Метод итераций
Правила ввода функции
- Примеры
≡ x^2/(1+x)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3)
На рис.1а, 1б в окрестности корня |φ′(x)| 1, то процесс итерации может быть расходящимся (см. рис.2).
Достаточные условия сходимости метода итерации
Процесс нахождения нулей функции методом итераций состоит из следующих этапов:
- Получить шаблон с омощью этого сервиса.
- Уточнить интервалы в ячейках B2 , B3 .
- Копировать строки итераций до требуемой точности (столбец D ).
Примечание: столбец A — номер итерации, столбец B — корень уравнения X , столбец C — значение функции F(X) , столбец D — точность eps .
Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ) и Систем (СОДУ)
Порядок производной указывается штрихами — y»’ или числом после одного штриха — y’5
Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin
Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)
Список математических функций и констант :
• ln(x) — натуральный логарифм
• sh(x) — гиперболический синус
• ch(x) — гиперболический косинус
• th(x) — гиперболический тангенс
• cth(x) — гиперболический котангенс
• sch(x) — гиперболический секанс
• csch(x) — гиперболический косеканс
• arsh(x) — обратный гиперболический синус
• arch(x) — обратный гиперболический косинус
• arth(x) — обратный гиперболический тангенс
• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс
• arsch(x) — обратный гиперболический секанс
• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс
Метод последовательных приближений решения дифференциального уравнения
Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения
Будем предполагать, что в некотором прямоугольнике для уравнения (1) выполнены условия а) и б) теоремы существования и единственности решения задачи (1)-(2).
Решение задачи (1)-(2) может быть найдено методом последовательных приближений , который состоит в следующем.
Строим последовательность функций, определяемых рекуррентными соотношениями
В качестве нулевого приближения можно взять любую функцию, непрерывную в окрестности точки , в частности — начальное значение Коши (2). Можно доказать, что при сделанных предположениях относительно уравнения (1) последовательные приближения сходятся к точному решению уравнения (1), удовлетворяющему условию (2), в некотором интервале , где
Оценка погрешности, получаемой при замене точного решения n-м приближением , даётся неравенством
где . Применяя метод последовательных приближений, следует остановиться на таком , для которого не превосходит допустимой погрешности.
Пример 1. Методом последовательных приближений найти решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию .
Решение. Очевидно, что для данного уравнения на всей плоскости выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Строим последовательность функций, определяемых соотношениями (3), приняв за нулевое приближение :
Ясно, что при . Непосредственной проверкой убеждаемся, что функция решает поставленную задачу Коши.
Пример 2. Методом последовательных приближений найти приближенное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию в прямоугольнике
Решение. Имеем , т. е. . За берем меньшее из чисел , т. е. . Последовательные приближения согласно (4) будут сходится в интервале . Составляем их
Абсолютная погрешность третьего приближения не превосходит величины
Замечание. Функция должна удовлетворять всем условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши.
Следующий пример показывает, что одной непрерывности функции недостаточно для сходимости последовательных приближений.
Пусть функция определена следующим образом:
На множестве , функция непрерывна и ограничена постоянной . Для начальной точки последовательные приближения при имеют вид:
Поэтому последовательность для каждого не имеет, предела, т. е. последовательные приближения не сходятся. Заметим также, что ни одна из сходящихся подпоследовательностей и не сходится к решению, поскольку
Если же последовательные приближения сходятся, то полученное решение может оказаться неединственным , как показывает следующий пример: .
Возьмем начальное условие ; тогда
Беря в качестве нулевого приближения функцию , будем иметь
так что все последовательные приближения равны нулю и поэтому они сходятся к функции, тождественно равной нулю. С другой стороны, функция представляет собой также решение этой задачи, существующее на полупрямой .
http://mathdf.com/dif/ru/
http://mathhelpplanet.com/static.php?p=metod-posledovatelnyh-priblizheniy