Пособие по решению систем уравнений

Системы уравнений

СОДЕРЖАНИЕ

1. Метод последовательного исключения неизвестных
2. Простейшие нелинейные системы из двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными
3. Системы, сводящиеся к однородным уравнениям
4. Системы из трех уравнений с тремя неизвестными
5. Линейные системы, содержащие параметр. Число решений системы в зависимости от параметра
6. Системы, содержащие логарифмы
7. Системы, содержащие показательные функции

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Скачать пособие «Системы уравнений» (формат pdf, 247кб)

С необходимыми теоретическими сведениями, используемыми при решении задач, можно ознакомиться в разделе «Алгебра» нашего «Справочника по математике для школьников».

Рекомендуем также ознакомиться с методами и примерами решения систем уравнений, представленных в разделах нашего справочника «Системы линейных уравнений», «Системы с нелинейными уравнениями».

Со свойствами логарифмов можно ознакомиться в разделе «Логарифмы» нашего справочника.

С понятиями степени с целочисленным показателем и арифметического корня можно также ознакомиться в разделе «Степень с целочисленным показателем и арифметический корень» нашего справочника.

С понятием степени с рациональным показателем и свойствами степеней можно ознакомиться в разделе «Степень с рациональным показателем» нашего справочника.

Графики логарифмических функций представлены в разделе «Графики степенных, показательных и логарифмических функций» нашего справочника.

Учебное пособие для учащихся 8-9 классов «Различные методы решения систем уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

«Различные методы решения систем уравнений»

для учащихся 8-9 классов

(автор-составитель: Федорчук О.Ф.)

Основные методы решения систем уравнений ……………………………………

Симметрические системы уравнений …………………………………………….

Системы, содержащие однородные уравнения ……………………………………

Метод разложения на множители ………………………………………………….

Комбинированный метод решения систем уравнений ……………………………

Графический метод решения систем уравнения …………………………………..

Системы уравнений в материалах ОГЭ ……………………………………………

Дополнительная литература и источники …………………………………………

Ответы к заданиям для самостоятельного решения …. …………………………..

Система уравнений является одним из основных понятий в курсе школьной алгебры. Можно рассматривать системы линейных уравнений с двумя переменными (уравнений первой степени), системы нелинейных уравнений (второй и выше степеней) и другие. Решение некоторых текстовых задач приводит к решению систем двух и более уравнений. Существуют различные методы решения систем, но только некоторые из них представлены в школьном учебнике.

Данное учебное пособие «Различные методы решения систем уравнений» адресовано учащимся 8-9 классов. В пособии представлен необходимый теоретический материал, рассмотрены примеры решения систем уравнений различными методами. К каждому методу приведены задания для самостоятельного решения и ответы к ним.

Отдельный раздел пособия посвящен заданиям на решение систем уравнений ОГЭ по математике в 9 классе (часть 2, задания №21). В нем рассмотрены системы уравнений из Открытого банка заданий ОГЭ по математике (сайт Федерального института педагогических измерений), пособия «ОГЭ 2016. Математика. Типовые экзаменационные варианты» (под редакцией И.В. Ященко), с сайта «Решу ОГЭ» (обучающая система Д.Д.Гущина), тренировочных и диагностических работ СтатГрада.

Анализ заданий ОГЭ и контрольно-измерительных материалов показал, что на экзамене в 9 классе во второй части в основном предлагаются системы уравнений, решаемые методами подстановки и алгебраических действий. Также встречаются задания, которые удобно решать, используя методы замены переменной и разложения на множители, а более сложные системы уравнений – комбинированным методом.

Если рассматривают два уравнения с двумя переменными и ставится задача найти все пары чисел (а; b ), таких, что при подстановке их в эти уравнения получаются верные числовые равенства, то говорят, что задана система уравнений.

Си стему уравнений и записывают в виде:

Решить систему уравнений — значит найти множество всех пар чисел (а; b ), таких, что при подстановке числа а вместо х и числа b вместо у получаются верные числовые равенства. Такие пары чи сел (а; b ) называются решением системы уравнений. Если мно жество решений системы уравнений — пустое множество, то ее на зывают несовместной.

Аналогично можно определить систему уравнений с тремя и большим числом переменных. Будем рассматривать систе мы, у которых число уравнений равно числу переменных.

Две системы уравнений называются равносильными, ес ли множества их решений совпадают.

В частности, если обе системы несовместны (не имеют решений), то их также счита ют равносильными.

При решении систем уравнений их заменяют более простыми, равносильными им системами. Так же как и при решении уравне ний, в процессе решения систем уравнений важно знать, при каких преобразованиях данная система переходит в равносильную ей сис тему уравнений.

При этом можно использовать следующие утверждения о равносильности систем уравнений:

если одно из уравнений системы заменить на равносильное уравнение, то получим систему, равносильную исходной;

если одно из уравнений системы заменить суммой каких-либо двух уравнений данной системы, то получим систему, равносильную исходной;

если одно из уравнений системы выражает зависимость какой-либо переменной, например х , через другие переменные, то, заменив в каждом уравнении системы переменную х на ее выражение через другие переменные, получим систему, равносильную исходной.

В частности, можно выполнять перенос членов уравнения из одной части в другую с изменением знака и умножение обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число.

Выделяют аналитический и графический методы решения систем уравнений.

Основными средствами аналитического решения системы являются метод подстановки, метод введения новых переменных (замены переменной), метод алгебраических действий (сложения, умножения).

Для графического решения системы двух уравнений с двумя переменными надо построить в одной системе координат графики обоих уравнений и найти координаты точек пересечения этих графиков.

В работе рассмотрим также некоторые особые виды систем уравнений и способы их решения: симметрические системы уравнений, системы, содержащие однородные уравнения, метод разложения на множители.

ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

Основными методами решения систем уравнений являются метод подстановки, метод алгебраических действий и метод замены переменной.

Метод подстановки или исключения неизвестного основан на том, что если из одного уравнения системы выразить одну переменную через другую (например, y = f ( x )) или подставить полученное выражение во второе уравнение, то системы

Решение последней системы сводится к решению уравнения = 0 с одной переменной x . Подставляя затем найденные x в уравнение y = f ( x ), находим соответствующие значения y .

Этот метод особенно удобен, если в одно из уравнений системы какая-нибудь переменная входит в первой степени.

Решение. Из первого уравнения находим y = 4 – 2. Подставляя это значение во второе уравнение, получаем 4 – 2 2 = 16.

Приведя это уравнение к стандартному виду, получим биквадратное уравнение

5 x 4 – 16 x 2 = 0 или х 2 (5х 2 – 16) = 0.

Решая его, находим = 0,

Подставляя найденные значения x в выражение y = 4 – 2,

Задания для самостоятельного решения

3.2 Метод алгебраических действий

3.2.1 Метод алгебраического сложения уравнений основан на том, что если к обеим частям одного из уравнений системы прибавить соответствующие части другого уравнения, умноженные на одно и то же число, а другое уравнение оставить без изменения, то получим систему, равносильную данной. Обычно с помощью этого метода получают систему, к которой затем применяют метод подстановки.

Решение. Если вычесть второе уравнение из первого, получим – 2 x – 3 y = – 11, т.е.

2 x + 3 y = 11. Значит, надо решить систему уравнений

Из первого уравнения находим, что x =.

Подставляя x во второе уравнение, получаем + y 2 = 10,

откуда 121 – 66 y + 9 y 2 + 4 y 2 = 40, т.е. 13 y 2 – 66 y + 81 = 0.

Корнями этого квадратного уравнения являются .

Если то из x = находим

3.2.2 Метод почленного умножения и деления уравнений системы рассмотрим на конкретном примере.

Решение. Разделим почленно первое уравнение на второе, получим

Задания для самостоятельного решения

3.3 Метод замены переменной также рассмотрим на конкретном примере.

Решение. Пусть , тогда ; .

Возвращаясь к переменным x и y , получаем: .

Ответ: (1,5 ; -0,5); (0 ; 1); (3 ; 1); (1,5; 2,5)

Задания для самостоятельного решения

СИММЕТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

Обозначим многочлен от переменных x и y через P ( x , y ). Тогда P ( y , x ) обозначает многочлен, получаемый заменой в P ( x , y ) переменной х на y , а y на x .

Например, если P ( x , y ) = 6х 4 –3 x 3 y + 7 xy 3 + 8 y 4 , то P ( y , x ) = 6 y 4 –3 y 3 x + 7 yx 3 + 8х 4 .

Если выполняется равенство P ( x , y ) = Р( y , x ), то есть многочлен остается неизменным после замены х на у, а у на х, то многочлен P ( x , y ) называют симметрическим.

Например, симметрическими являются многочлены х + у и ху.

При решении систем уравнений вида , где и — симметрические многочлены, используется замена неизвестных: х + у = u , ху = v .

Решение. Запишем систему в виде

Пусть х + у = u , ху = v .

Тогда относительно u и v система примет вид .

Решив эту систему способом подстановки, найдем

Соответствующие значения v найдем из формулы v = 11 – u .

Осталось решить системы уравнений .

Первая система имеет решения (2 ; 3) и (3 ; 2). А вторая не имеет решений.

Ответ: (2 ; 3) и (3 ; 2).

Задания для самостоятельного решения

СИСТЕМЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ

5.1. Системы уравнений, одно из которых однородно

Многочлен Р(х,у) называется однородным многочленом n -ой степени, если все его члены имеют n -ю степень.

Уравнение Р(х,у) = 0 называется однородным уравнением n -ой степени, если Р(х,у) – однородный многочлен n -ой степени.

Решение. Первое уравнение этой системы является однородным степени 2.

Так как х = 0 ни при каком значении у не входит в решение системы, то разделим обе части первого уравнения на и введем новую переменную Получим квадратное уравнение 2 – 3 u + = 0. Корни этого уравнения ,

Теперь нужно решить совокупность двух систем

Первая система несовместна, так как при подстановке выражения у = х во второе уравнение получим 0 = 12.

Решая вторую систему, подставим выражение у = 2х во второе уравнение.

Получим 4х 2 – х 2 = 12 или х 2 = 4. Отсюда находим .

Так как у = 2х, то .

Ответ: (2 ; 4) ; (-2 ; — 4).

5.2. Системы уравнений с однородной левой частью

В некоторых системах оба уравнения не являются однородными, но, применив метод алгебраического сложения, удается перейти к равносильной системе, одно из уравнений которой является однородным.

Решение. Ни одно из уравнений не является однородным. Действительно, в первом уравнении члены и ху имеют степень 2, а -12 имеет нулевую степень. По той же причине не является однородным и второе уравнение. Но если умножить первое уравнение на 7, а второе на 3 и затем их сложить, то получим однородное уравнение 7у 2 – 10ху + 3х 2 = 0. Решая теперь систему уравнений , находим решение исходной системы: , или , .

Рассмотрим систему уравнений

Левая часть каждого из уравнений этой системы – однородный многочлен второй степени. Умножив обе части первого уравнения на -2 и заменив любое из уравнений системы (например, первое) полученной суммой уравнений, получим систему , одно из уравнений которой однородно.

Задания для самостоятельного решения

МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ

Метод разложения на множители основан на том, что если выражения и определены для всех значений переменных х и у, то система уравнений

равносильна совокупности систем и

Решение. Система равносильна совокупности двух систем

Заметим, что – однородное уравнение и у = 0 не входит в решение системы.

Разделим первое уравнение на у 2 . Получим:

Введем новую переменную u = и найдем корни квадратного уравнения

u 2 – 3 u + 2 = 0. Получим Значит, либо либо .

Подставляя у = 2х и у = х поочередно во второе уравнение системы, получаем совокупность уравнений 5х 2 = 10 и 2х 2 = 10.

Решая уравнение 5х 2 = 10, находим Подставляя найденные значения в выражение у = 2х, получаем

Решая уравнение 2х 2 = 10 и подставляя результаты в выражение у = х, находим , ,

Таким образом, решением первой системы является:

Решая вторую систему, выразим из первого уравнения у. Получим у = х.

Так как этот случай уже рассмотрен, то решением исходной системы будет множество пар (; (;();().

Задания для самостоятельного решения

КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

Комбинированный метод решения систем основан на использовании нескольких методов на разных этапах решения систем.

Задания для самостоятельного решения

ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

Системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными можно решить графически. Для этого нужно начертить графики обоих уравнений и найти координаты точек их пересечения. Будем считать известными уравнения:

а) прямой: ах + by + c = 0

б) параболы: y = x 2 + bx + c

в) окружности: (х – а) 2 + (у – b ) 2 = R 2

г) гиперболы: ху = k

Решение. Выделяя полные квадраты, получаем

= (х 2 – 2х + 1) + (у 2 + 4у + 4) – 1 – 4 – 20 = (х – 1) 2 + (у + 2) 2 – 25.

Значит, систему уравнений можно записать так:

Графиком первого уравнения является окружность с центром А(1 ; — 2) и радиусом 5.

2х – у = –1 – уравнение прямой, проходящей через точки В(0;1) и С (2;5).

Строим окружность радиусом 5 с центром в точке А и проводим прямую через точки В и С.

Эти линии пересекаются в двух точках М(1;3) и N (-3; -5).

Значит, решением системы уравнений являются

Задания для самостоятельного решения

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В МАТЕРИАЛАХ ОГЭ

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА И ИСТОЧНИКИ

1. Виленкин Н.Я.Алгебра 8 класс. Учебник для учащихся 8 класса с углубленным изучением математики. – Москва: «Просвещение», 2013.

2. Виленкин Н.Я.Алгебра 9 класс. Учебник для учащихся 9 класса с углубленным изучением математики. – Москва: «Просвещение», 2013.

3. Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. – Москва: «Просвещение», 2014.

4. Шахмейстер А.Х. Системы уравнений. Пособие для школьников, абитуриентов и учителей. – С.-Петербург, Москва, 2003.

6. Открытый банк заданий ОГЭ, адрес доступа:

7. ОГЭ 2016. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (под редакцией И.В. Ященко). – Москва: Издательство «Национальное образование», 2016.

ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЯМ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

9. 1) (3; −4); 2) (-7; −2), (-3; 2); 3) (-2;-2);(-2;2);(-1;-2);(-1;2); 4) (2;4);(5;13); 5) (1;5);(-1;); 6) (3; 6); 7) (−1; 4); (1; 4); 8) (1;1);(; 9) (−4; 2); (4; 2); 10) (−1; −6); (1; 6); (−6; −1); (6; 1); 11) (-1;3);(1;3); 12) (2; −1); (2; 1); 13) (−1; −3), (1; 3), (−3; −1); (3; 1); 14) (-1;-1); 15) (26,5;-5,5); 16) (5;9)

Как решать систему уравнений

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Основные понятия

Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно.

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в исходное уравнение получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.

Уравнением можно назвать, например, равенство 3 + x = 7 с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям.

Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.

Линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и обращает его в верное числовое равенство.

Теорема, которую нужно запомнить: если в линейном уравнение есть хотя бы один не нулевой коэффициент при переменной — его графиком будет прямая линия.

Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0:

Дать переменной 𝑥 конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при ax₁ + by + c = 0.

Дать x другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0.

Построить на координатной плоскости xy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂).

Провести прямую через эти две точки и вуаля — график готов.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Система двух линейных уравнений с двумя переменными

Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество.

Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это вот так:

Из первого линейного уравнения a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия.

Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия.

Можно записать систему иначе:

Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂.

Две прямые могут быть параллельны, а значит, они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂.

Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.

Метод подстановки

Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y:

Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.

Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы.

Решить полученное уравнение, найти одну из переменных.

Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение.

Записать ответ. Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).

Потренируемся решать системы линейных уравнений методом подстановки.

Пример 1

Решите систему уравнений:

x − y = 4
x + 2y = 10

Выразим x из первого уравнения:

x − y = 4
x = 4 + y

Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x:

x + 2y = 10
4 + y + 2y = 10

Решим второе уравнение относительно переменной y:

4 + y + 2y = 10
4 + 3y = 10
3y = 10 − 4
3y = 6
y = 6 : 3
y = 2

Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение:

x − y = 4
x − 2 = 4
x = 4 + 2
x = 6

Ответ: (6; 2).

Пример 2

Решите систему линейных уравнений:

x + 5y = 7
3x = 4 + 2y

Сначала выразим переменную x из первого уравнения:

x + 5y = 7
x = 7 − 5y

Выражение 7 − 5y подставим вместо переменной x во второе уравнение:

3x = 4 + 2y
3 (7 − 5y) = 4 + 2y

Решим второе линейное уравнение в системе:

3 (7 − 5y) = 4 + 2y
21 − 15y = 4 + 2y
21 − 15y − 2y = 4
21 − 17y = 4
17y = 21 − 4
17y = 17
y = 17 : 17
y = 1

Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x:

x + 5y = 7
x + 5 = 7
x = 7 − 5
x = 2

Ответ: (2; 1).

Пример 3

Решите систему линейных уравнений:

x − 2y = 3
5x + y = 4

Из первого уравнения выразим x:

x − 2y = 3
x = 3 + 2y

Подставим 3 + 2y во второе уравнение системы и решим его:

5x + y = 4
5 (3 + 2y) + y = 4
15 + 10y + y = 4
15 + 11y = 4
11y = 4 − 15
11y = −11
y = −11 : 11
y = −1

Подставим получившееся значение в первое уравнение и решим его:

x − 2y = 3
x − 2 (−1) = 3
x + 2 = 3
x = 3 − 2
x = 1

Ответ: (1; −1).

Метод сложения

Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y:

При необходимости умножаем почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.

Складываем почленно левые и правые части уравнений системы.

Решаем получившееся уравнение с одной переменной.

Находим соответствующие значения второй переменной.

Запишем ответ в в виде пар значений (x; y).

Система линейных уравнений с тремя переменными

Системы ЛУ с тремя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так:

Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).

Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.

Решение задач

Разберем примеры решения систем уравнений.

Задание 1. Как привести уравнение к к стандартному виду ах + by + c = 0?

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y − 4x + 9y = 3

Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки

Выразить у из первого уравнения:

Подставить полученное выражение во второе уравнение:

Найти соответствующие значения у:

Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения

1. Решение систем линейных уравнений начинается с внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым:

1. Решаем полученное квадратное уравнение любым способом. Находим его корни:

1. Найти у, подставив найденное значение в любое уравнение:

1. Ответ: (1; 1), (1; -1).

Задание 4. Решить систему уравнений

Решим второе уравнение и найдем х = 2, х = 5. Подставим значение переменной х в первое уравнение и найдем соответствующее значение у.

Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными

При у = -2 первое уравнение не имеет решений, при у = 2 получается: