Постановка основных краевых задач для уравнения лапласа

Краевые задачи для уравнения Лапласа

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 17 Ноября 2011 в 18:30, курсовая работа

Краткое описание

Рассмотрение понятия краевой задачи для уравнений эллиптического типа. Как частный случай — уравнение Лапласа (простейшее уравнение эллиптического типа). Для уравнения Лапласа краевая задача I рода — задача Дирихле; краевая задача II рода — задача Неймана. Краевое условие III рода — смешанная краевая задача. Рассматриваются также задача Дирихле в пространств/на плоскости, решение задачи Дирихле (первой краевой задачи) для уравнения Лапласа в круге, решение задачи Неймана (второй краевой задачи) для уравнения Лапласа в круге, решение задачи Дирихле для кольца.

Содержание

Введение
Понятие краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
Уравнение Лапласа и понятие гармонической функции.
Корректность краевой задачи.
Первая и вторая краевые задачи для уравнения Лапласа.
Задача Дирихле в пространстве
Задача Дирихле на плоскости
Задача Неймана
Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах.
Решение задачи Дирихле (первой краевой задачи) для уравнения Лапласа в круге.
Решение задачи Неймана для уравнения Лапласа в круге.
Примеры.
Решение задачи Дирихле для кольца.

Вложенные файлы: 1 файл

Понятие краевой з.doc

ПЕНЗЕНСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ В. Г. БЕЛИНСКОГО

Кафедра «Математического анализа»

«Краевые задачи для уравнения Лапласа»

Введение
Понятие краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
1. Уравнение Лапласа и понятие гармонической функции.
2. Корректность краевой задачи.
Первая и вторая краевые задачи для уравнения Лапласа.
1. Задача Дирихле в пространстве
2. Задача Дирихле на плоскости
3. Задача Неймана
Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах.
1. Решение задачи Дирихле (первой краевой задачи) для уравнения Лапласа в круге.
2. Решение задачи Неймана для уравнения Лапласа в круге.
3. Примеры.
4. Решение задачи Дирихле для кольца.

Уравнениями математической физики называются уравнения, описывающие математические модели физических явлений. Среди них процессы, изучаемые в теории упругости, гидродинамике, электродинамике, квантовой физике и т. д. Во многих случаях их изучение приводит к уравнениям с частными производными второго порядка.

Дифференциальным уравнением с частными производными (в частных производных) называется уравнение, связывающее функцию , независимые переменные и частные производные от функции , то есть соотношение

где известная функция и .

При этом предполагается, что в области, где рассматривается данное уравнение, функция имеет частные производные порядка

Порядок старшей из частных производных, входящих в уравнение (1), называется порядком этого уравнения. Например, уравнение второго порядка для функции, имеющей непрерывные частные производные второго порядка, в общем случае может быть записано в виде

Уравнение (1) называется линейным, если данное уравнение линейно относительно этой функции и ее производных.

Решением уравнения (1) называется всякая функция , которая, будучи подставлена в указанное уравнение, обращает его в тождество по всем переменным.

Для полного описания физических процессов помимо уравнений необходимо указать некоторые дополнительные условия. В частности, может быть задана картина процесса в фиксированный момент времени, т.е. начальные условия. Кроме того, задают значения изучаемых величин на границе рассматриваемой области – граничные (или краевые) условия. Дифференциальное уравнение вместе с соответствующими краевыми (и начальными) условиями называется краевой задачей математической физики.

К основным уравнениям математической физики относятся следующие дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка.

Это уравнение является простейшим уравнением гиперболического типа. К его исследованию приводит изучение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводах и т.д.

Уравнение теплопроводности, или уравнение Фурье:

Это уравнение является простейшим уравнением параболического типа. К его исследованию приводит рассмотрение процессов распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой среде, изучение некоторых вопросов теории вероятностей и т.д.

Это уравнение относится к простейшим уравнениям эллиптического типа. К его исследованию приводит изучение задач об электрических и магнитных полях, о стационарном тепловом состоянии, задач гидродинамики и т.д.

В выписанных уравнениях искомая функция u зависит от двух переменных t, x или x, y. Рассматриваются также уравнения и для функций с большим числом переменных. Например, волновое уравнение с тремя независимыми переменными имеет вид

и уравнение Лапласа

Исключительную роль в математической физике играет уравнение Лапласа

Для уравнения Лапласа обычно считают, что необходимо найти функцию , удовлетворяющую этому уравнению внутри некоторой области , ограниченной поверхностью (кривой) , или вне этой области. Если при этом функция должна удовлетворять краевому условию

то говорят, что необходимо решить соответственно внутреннюю или внешнюю задачу Дирихле.

Если краевые условия имеют вид

где есть производная по внешней нормали к границе области , то говорят, что требуется решить задачу Неймана (внутреннюю или внешнюю).

Если краевые условия записываются в форме

то это – третья краевая задача для уравнения Лапласа.

Здесь M текущая точка границы ; , заданные функции.

Если какая-то из последних трех функций тождественно равна нулю, то соответствующее условие называется однородным.

Для уравнения теплопроводности и волнового уравнения во многих случаях приходится решать так называемую смешанную задачу, то есть задачу с начальными и граничными условиями. Если при этом на границе пространственной (плоской) области задано значение искомой функции, то говорят, что поставлена первая смешанная задача.

Если в качестве краевого условия задано значение производной от искомой функции в направлении внешней нормали к границе, то говорят, что решается вторая смешанная задача. Если задана линейная зависимость между значениями функции на границе и ее производной по нормали, то это – третья смешанная задача.

Описание многих физических явлений требует использования интегральных уравнений. Они появляются также при изучении свойств уравнений с частными производными.

Понятие краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа.

Чтобы полностью описать тот или иной физический процесс, необходимо, кроме самого уравнения, описывающего этот процесс, задать начальное состояние этого процесса (начальные условия) и режим на границе той области, в которой происходит этот процесс (граничные условия). Математически это связано с не единственностью решения

дифференциальных уравнений. Действительно, даже для обыкновенных д. у. n-го порядка общее решение зависит от n-произвольных постоянных. Для уравнений же в частных производных решение, вообще говоря, зависит от произвольных функций; например, общее решение уравнения в классе функций, зависящих от переменных и , имеет вид , где — произвольная функция класса . Поэтому, чтобы выделить решение, описывающее реальный физический процесс, необходимо задавать дополнительные условия. Такими дополнительными условиями и являются краевые условия. Соответствующая задача называется краевой задачей.

Краевые условия (граничные условия)— условия, которым должно удовлетворять искомое решение заданного дифференциального уравнения на границе (или ее части) области, где это решение ищется.

Краевые условия обычно задаются с помощью дифференциальных операторов, однако встречаются краевые условия и других типов.

Различают, таким образом, следующие три основных типа краевых задач для дифференциальных уравнений:

Задача Коши для уравнений гиперболического и параболического типов: задаются начальные условия, область совпадает со всем пространством , граничные условия отсутствуют.
Краевая задача для уравнений эллиптического типа: задаются граничные условия на границе , начальные условия, естественно, отсутствуют.
Смешанная задача для уравнений гиперболического и параболического типов: задаются и начальные и граничные условия, .

— область, где происходит процесс, — ее граница, которую считаем кусочно-гладкой поверхностью. Таким образом, есть область изменения аргументов в уравнении, описывающем стационарный процесс – область задания уравнения.

Уравнения эллиптического типа возникают обычно при исследовании стационарных процессов. Время t в эти уравнения не входит, и обе независимые переменные являются

координатами точки. Для задач такого типа ставятся только краевые условия, т. е.

указывается поведение неизвестной функции на контуре области. Для эллиптического уравнения характерно то, что краевые условия задаются на всей границе. Простейшим уравнением эллиптического типа является уравнение Лапласа.

Уравнение Лапласа является основным представителем дифференциальных уравнений с частными производными 2-го порядка эллиптического типа, на котором вырабатывались и вырабатываются основные методы решения краевых задач для эллиптических уравнений.

– уравнение Лапласа для случая функций двух независимых переменных.

–уравнение Лапласа с тремя независимыми переменными, называют оператор Лапласа или лапласиан.

Уравнение Лапласа играет важную роль в приложениях.

Например, ему должно удовлетворять всякое стационарное распределение температуры в теле.

Действительно, если температура не зависит от времени t, то и

уравнение теплопроводности , где — коэффициент

теплопроводности, сводится к уравнению Лапласа.

Применение уравнения Лапласа выходит далеко за рамки вопроса стационарного распределения температуры. Однако при изучении этого уравнения представление функции как температуры очень удобно и наглядно.

Постановка краевых задач для уравнения Лапласа

Авторская разработка на тему «Постановка краевых задач для уравнения Лапласа» по предмету «Рекламная деятельность» содержит 51 страницу, 2 рисунка, 3 таблицы и 36 источников.

Ключевые слова: Рекламная деятельность, Менеджмент, Государственное и муниципальное управление, Экономика предприятия, Психология, PR, Международные отношения, Экономика, Сравнительно-сопоставительная типология языков .

Объектом исследования является анализ условий «Постановка краевых задач для уравнения Лапласа». Предметом исследования является рассмотрение отдельных вопросов, сформулированных в качестве задач данного исследования.

Целью исследования является изучение темы «Постановка краевых задач для уравнения Лапласа» с точки зрения новейших отечественных и зарубежных исследований по сходной проблематике.

Работа имеет традиционную структуру и включает в себя введение, основную часть, состоящую из 3 глав, заключение и библиографический список.

В процессе работы выполнялся теоретико-методологический анализ темы «Постановка краевых задач для уравнения Лапласа», в том числе исследовались теоретические аспекты изучения явления «Постановка краевых задач для уравнения Лапласа», изучалась природа темы «Постановка краевых задач для уравнения Лапласа».

Далее проводилось исследование актуальности «Постановка краевых задач для уравнения Лапласа» в современных условиях с привлечением статистических данных и научных публикаций последних лет.

В результате исследования выявлены и количественно обоснованы конкретные пути решения проблемы «Постановка краевых задач для уравнения Лапласа», в том числе обозначены некоторые возможности решения проблемы «Постановка краевых задач для уравнения Лапласа» и определены тенденции развития тематики «Постановка краевых задач для уравнения Лапласа».

Степень внедрения — предложения и конкретные мероприятия опробованы в деятельности организации, послужившей базой для учебной практики.

Предложенные мероприятия с некоторой конкретизацией могут быть использованы в работе кадровых служб российских предприятий.

Реализация предлагаемых мер позволяет обеспечить более точное понимание природы и актуальных проблем «Постановка краевых задач для уравнения Лапласа».

Введение
Глава 1. Теоретико-методологический анализ темы «Постановка краевых задач для уравнения Лапласа»
- 1.1. Теоретические аспекты изучения явления «Постановка краевых задач для уравнения Лапласа»
- 1.2. Природа явления «Постановка краевых задач для уравнения Лапласа»
Глава 2. Исследование актуальности «Постановка краевых задач для уравнения Лапласа» в современных условиях
Глава 3. Пути решения проблемы «Постановка краевых задач для уравнения Лапласа»
- 3.1. Возможности решения проблемы «Постановка краевых задач для уравнения Лапласа»
- 3.2. Тенденции развития тематики «Постановка краевых задач для уравнения Лапласа».
Заключение
Список использованной литературы
- 1. Нормативно-правовые акты
- 2. Библиография
- 3. Периодические источники
- 4. Интернет-источники
Приложения

В списке литературы, использованной при подготовке данной работы, представлено 36 библиографических источников. Охарактеризуем некоторые из них:

Обозначенную проблему «Постановка краевых задач для уравнения Лапласа» рассматривает В. П. Пикулин, С. И. Похожаев в книге «Практический курс по уравнениям математической физики», изданной в 2004 году и содержащей 208 стр. Из описания книги можно сделать вывод, что

Книга представляет собой изложение (демонстрацию) основных методов решения некоторых задач классической математической физики. Рассматриваются метод Фурье, метод конформных отображений, метод функции Грина для уравнений Лапласа и Пуассона на плоскости и в пространстве, способы решения краевых задач для уравнений Гельмгольца, метод возмущений, методы интегральных преобразований (Фурье, Лапласа, Ханкеля) при решении нестационарных краевых задач, а также другие методы для решения эллиптических, гиперболических и параболических задач. В конце каждой главы приводятся задачи для самостоятельного решения и ответы к ним. Для студентов высших учебных заведений, научных работников и инженеров.

Также проблем регулирования современных вопросов по теме «Постановка краевых задач для уравнения Лапласа» касается В. П. Глушко, А. В. Глушко в монографии «Курс уравнений математической физики с использованием пакета Mathematica. Теория и технология решения задач (+ CD-ROM)». Данная книга была выпущена в издательстве «Лань» в 2010 году, содержит 320 стр.

Современный учебник по основным разделам курса «Уравнения математической физики» («Уравнения с частными производными») с использованием пакета Mathematica, что позволяет модернизировать изучение этих разделов математики, переведя решение многих задач на ПК. Процедура приведения уравнений с частными производными второго порядка (двумерный случай) к каноническому виду использует все возможности пакета Mathematica. В разнообразных примерах описываются принципы и технология решения начальных задач для уравнения теплопроводности и волнового уравнения в случаях трех, двух и одной пространственной переменной. Глава 4 посвящена описанию метода разделения переменных при решении граничных задач общего вида для уравнений Лапласа и Пуассона в прямоугольнике на плоскости, начально-краевых задач для колебаний конечной струны при общих граничных условиях; начально-краевых задач для уравнения теплопроводности конечного стержня с общими граничными условиями на концах стержня. Все алгоритмы решения.

Ряд актуальных проблем был затронут в книге «Качественные свойства решений дифференциальных уравнений и смежные вопросы спектрального анализа». определил актуальность и новизну этой темы в своем исследовании, опубликованном в 2012 году в издательстве «Юнити-Дана». В описании книги сказано следующее.

Книга объединяет круг вопросов, связанных с исследованием качественных свойств решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, краевых задач для уравнений в частных производных и связанных с ними спектральных задач. Содержатся подробные доказательства результатов, полученных авторами как классическими, так и оригинальными методами исследования. Результаты могут быть полезны как студентам и аспирантам, начинающим знакомство с качественной теорией дифференциальных уравнений и краевых задач, так и специалистам по дифференциальным уравнениям и функциональному анализу.

Кроме того, при изучении темы «Постановка краевых задач для уравнения Лапласа» были использованы такие периодические источники, как:

О методологии постановки налогового учета. И.А. Киселева, «Налоговый учет для бухгалтера», № 11, ноябрь 2007.
В целях исчисления налога на прибыль. в соответствии с подпунктом 12 пункта 1 статьи 264 НК РФ могут быть учтены любые расходы по проезду при нахождении в командировке, необходимые для выполнения поставленной задачи, в том числе по проезду на такси. А.А. Куликов, «БУХ.1С», № 8, август 2007.
1С:Консолидация 8 — новый продукт для решения задач современного бизнеса. И.А. Берко, С.В. Митрохин, «БУХ.1С», № 7, июль 2007.
Комментарий к приказу Федеральной налоговой службы от 1 декабря 2006. № САЭ-3-09/826 «Об утверждении форм документов, используемых при постановке на учет и снятии с учета российских организаций и физических лиц». Э.В. Юшкова, «Нормативные акты для бухгалтера», № 4, февраль 2007.
Серьезная задача для современной компании — «аудит людей». Ф.Н. Филина, «Кадровая служба и управление персоналом предприятия», № 2, февраль 2007.

Представленная работа посвящена теме «Постановка краевых задач для уравнения Лапласа».

Проблема данного исследования носит актуальный характер в современных условиях. Об этом свидетельствует частое изучение поднятых вопросов.

Тема «Постановка краевых задач для уравнения Лапласа» изучается на стыке сразу нескольких взаимосвязанных дисциплин. Для современного состояния науки характерен переход к глобальному рассмотрению проблем тематики «Постановка краевых задач для уравнения Лапласа».

Вопросам исследования посвящено множество работ. В основном материал, изложенный в учебной литературе, носит общий характер, а в многочисленных монографиях по данной тематике рассмотрены более узкие вопросы проблемы «Постановка краевых задач для уравнения Лапласа». Однако, требуется учет современных условий при исследовании проблематики обозначенной темы.

Высокая значимость и недостаточная практическая разработанность проблемы «Постановка краевых задач для уравнения Лапласа» определяют несомненную новизну данного исследования.

Дальнейшее внимание к вопросу о проблеме «Постановка краевых задач для уравнения Лапласа» необходимо в целях более глубокого и обоснованного разрешения частных актуальных проблем тематики данного исследования.

Актуальность настоящей работы обусловлена, с одной стороны, большим интересом к теме «Постановка краевых задач для уравнения Лапласа» в современной науке, с другой стороны, ее недостаточной разработанностью. Рассмотрение вопросов связанных с данной тематикой носит как теоретическую, так и практическую значимость.

Результаты могут быть использованы для разработки методики анализа «Постановка краевых задач для уравнения Лапласа».

Теоретическое значение изучения проблемы «Постановка краевых задач для уравнения Лапласа» заключается в том, что избранная для рассмотрения проблематика находится на стыке сразу нескольких научных дисциплин.

Объектом данного исследования является анализ условий «Постановка краевых задач для уравнения Лапласа».

При этом предметом исследования является рассмотрение отдельных вопросов, сформулированных в качестве задач данного исследования.

В рамках достижения поставленной цели автором были поставлены и решения следующие задачи:

Изучить теоретические аспекты и выявить природу «Постановка краевых задач для уравнения Лапласа».
Сказать об актуальности проблемы «Постановка краевых задач для уравнения Лапласа» в современных условиях.
Изложить возможности решения тематики «Постановка краевых задач для уравнения Лапласа».
Обозначить тенденции развития тематики «Постановка краевых задач для уравнения Лапласа».

Во введении обоснована актуальность выбора темы, поставлены цель и задачи исследования, охарактеризованы методы исследования и источники информации.

Глава первая раскрывает общие вопросы, раскрываются исторические аспекты проблемы «Постановка краевых задач для уравнения Лапласа». Определяются основные понятия, обуславливается актуальность звучание вопросов «Постановка краевых задач для уравнения Лапласа».

В главе второй более подробно рассмотрены содержание и современные проблемы «Постановка краевых задач для уравнения Лапласа».

Глава третья имеет практический характер и на основе отдельных данных делается анализ современного состояния, а также делается анализ перспектив и тенденций развития «Постановка краевых задач для уравнения Лапласа».

По результатам исследования был вскрыт ряд проблем, имеющих отношение к рассматриваемой теме, и сделаны выводы о необходимости дальнейшего изучения/улучшения состояния вопроса.

Таким образом, актуальность данной проблемы определила выбор темы работы «Постановка краевых задач для уравнения Лапласа», круг вопросов и логическую схему ее построения.

Теоретической и методологической основой проведения исследования явились законодательные акты, нормативные документы по теме работы.

Источниками информации для написания работы по теме «Постановка краевых задач для уравнения Лапласа» послужили базовая учебная литература, фундаментальные теоретические труды крупнейших мыслителей в рассматриваемой области, результаты практических исследований видных отечественных и зарубежных авторов, статьи и обзоры в специализированных и периодических изданиях, посвященных тематике «Постановка краевых задач для уравнения Лапласа», справочная литература, прочие актуальные источники информации.

Рекламная деятельность	образцы работ
Менеджмент	образцы работ
Государственное и муниципальное управление	образцы работ
Экономика предприятия	образцы работ
Психология	образцы работ
PR	образцы работ
Международные отношения	образцы работ
Экономика	образцы работ
Сравнительно-сопоставительная типология языков	образцы работ

О методологии постановки налогового учета. И.А. Киселева, «Налоговый учет для бухгалтера», № 11, ноябрь 2007.
В целях исчисления налога на прибыль. в соответствии с подпунктом 12 пункта 1 статьи 264 НК РФ могут быть учтены любые расходы по проезду при нахождении в командировке, необходимые для выполнения поставленной задачи, в том числе по проезду на такси. А.А. Куликов, «БУХ.1С», № 8, август 2007.
1С:Консолидация 8 — новый продукт для решения задач современного бизнеса. И.А. Берко, С.В. Митрохин, «БУХ.1С», № 7, июль 2007.
Комментарий к приказу Федеральной налоговой службы от 1 декабря 2006. № САЭ-3-09/826 «Об утверждении форм документов, используемых при постановке на учет и снятии с учета российских организаций и физических лиц». Э.В. Юшкова, «Нормативные акты для бухгалтера», № 4, февраль 2007.
Серьезная задача для современной компании — «аудит людей». Ф.Н. Филина, «Кадровая служба и управление персоналом предприятия», № 2, февраль 2007.
Система Гарант для решения юридических задач организаций. Р. Ларионов, «Финансовая газета. Региональный выпуск», № 43, октябрь 2006.
Постановка бюджетирования: задачи и анализ ошибок. А. Андрющенко, «Консультант», № 23, декабрь 2005.
Переход на МСФО — актуальная задача для российских компаний. интервью с С.В. Модеровым, руководителем отдела финансовой отчетности по международным стандартам Института проблем предпринимательства. «Финансовая газета», № 46, ноябрь 2005.
Комментарий к письму Минфина РФ от 24 октября 2005. № 03-03-04/4/66 «О налогообложении доходов иностранных некоммерческих организаций» и письму Минфина РФ от 19 октября 2005. № 03-03-04/1/286 «О постановке на учет и налогообложении доходов иностранных организаций». А.В. Афоненков, «Нормативные акты для бухгалтера», № 22, ноябрь 2005.
Комментарий к приказу Минфина России от 11.07.2005 № 85н «Об утверждении Особенностей постановки на учет крупнейших налогоплательщиков». С.В. Разгулин, «Налоговый вестник: комментарии к нормативным документам для бухгалтеров», № 10, октябрь 2005.
Комментарий к письму Федеральной налоговой службы от 2 июня 2005. № 09-2-04/2348 «По вопросу постановки на учет. учета в налоговых органах налогоплательщиков водного налога». Л.В. Воробьева, «Нормативные акты для бухгалтера», № 14, июль 2005.
Задача для банкира: как обустроить российскую ипотеку. В.Г. Брюков, «Банковское кредитование», № 3, III квартал 2005.
Комментарий к приказу Минфина РФ от 8 апреля 2005. № 55н «О порядке постановки на учет налогоплательщиков налога на игорный бизнес». С.В. Разгулин, «Нормативные акты для бухгалтера», № 10, май 2005.
Комментарий к письму Минфина РФ от 16 февраля 2005. № 03-06-05-04/35 «О порядке постановки на учет организации в налоговых органах по местонахождению обособленных подразделений и представления налоговых деклараций». И.И. Иванцов, «Нормативные акты для бухгалтера», № 7, апрель 2005.
Постановка на учет: что изменилось для налогоплательщиков. М. Ракитина, Бухгалтерское приложение к газете «Экономика и жизнь», выпуск 9, март 2005.
Комментарий к письму Федеральной налоговой службы от 21 января 2005. № ШС-6-09/35 «О постановке на учет плательщиков ЕНВД по месту осуществления деятельности», письму Федеральной налоговой службы от 9 декабря 2004. № 09-4-02/4866 «О постановке на учет налогоплательщиков единого налога на вмененный доход в налоговых органах по месту осуществления предпринимательской деятельности» и письму Минфина РФ от 27 декабря 2004. № 03-06-05-02/25 «О порядке постановки на учет налогоплательщиков единого налога на вмененный доход для отдельных видов деятельности». Е.И. Кропотина, «Нормативные акты для бухгалтера», № 4, февраль 2005.
Комментарий к приказу Федеральной налоговой службы от 20 декабря 2004. № САЭ-3-09/165 «Об утверждении методических указаний для налоговых органов по вопросам единообразия процедуры снятия с учета и постановки на учет в налоговых органах российских организаций в связи с изменением места нахождения». Т.Ю. Легарова, «Нормативные акты для бухгалтера», № 2, январь 2005.
Комментарий к письму Федеральной налоговой службы от 27 декабря 2004. № 09-0-10/5096 «О постановке на учет налогоплательщиков налога на игорный бизнес по месту нахождения объекта игорного бизнеса». Т.Ю. Легарова, «Нормативные акты для бухгалтера», № 2, январь 2005.
Комментарий к Постановлению Правительства РФ от 26.02.2004 № 110 «О совершенствовании процедур государственной регистрации и постановки на учет юридических лиц и индивидуальных предпринимателей». С.И. Федченко, «Налоговый вестник: комментарии к нормативным документам для бухгалтеров», № 6, июнь 2004.
Комментарий к письму МНС РФ от 15 марта 2004. № 22-0-10/425 «О постановке на учет в налоговом органе объектов налогообложения налогом на игорный бизнес». С.В. Ранцева, «Нормативные акты для бухгалтера», № 8, апрель 2004.
Комментарий к Федеральному закону от 23.12.2003 № 185-ФЗ «О внесении изменений в законодательные акты Российской Федерации в части совершенствования процедур государственной регистрации и постановки на учет юридических лиц и индивидуальных предпринимателей». Г.Г. Иванова, «Налоговый вестник: комментарии к нормативным документам для бухгалтеров», № 4, апрель 2004.
Наиболее интересная задача для лидера сделать так, чтобы люди руководили сами собой. интервью с Д. Киркпатриком, доктором философии и психологии. Г. Базарова, О. Гремякова, М. Холкина, «Управление персоналом», № 4, февраль 2010.
Задачи для концепции-2020. интервью с А. Вялковым, директором НИИ общественного здоровья и управления здравоохранением, академиком РАМН. М. Цуциев, «Бюджет», № 7, июль 2008.

Свяжитесь со мной, если вам нужна консультация по этой теме или сопровождение.

Гладышева Марина Михайловна

marina@studentochka.ru

с 9 до 21 ч. по Москве.

Спасибо, ваше сообщение отправлено

В ближайшее время мы пришлем сообщение с ценой и возможными сроками консультации. Если Вас все устроит, то мы начнем работать.

Если никто из сотрудников не сможет вас проконсультировать, то мы сообщим об этом письмом в течение суток.

источники:

http://tema.studentochka.ru/23821.html