Постановка задачи системы нелинейных уравнений

Численные методы решения систем нелинейных уравнений

Введение

Многие прикладные задачи приводят к необходимости нахождения общего решения системы нелинейных уравнений. Общего аналитического решения системы нелинейных уравнений не найдено. Существуют лишь численные методы.

Следует отметить интересный факт о том, что любая система уравнений над действительными числами может быть представлена одним равносильным уравнением, если взять все уравнения в форме , возвести их в квадрат и сложить.

Для численного решения применяются итерационные методы последовательных приближений (простой итерации) и метод Ньютона в различных модификациях. Итерационные процессы естественным образом обобщаются на случай системы нелинейных уравнений вида:

(1)

Обозначим через вектор неизвестных и определим вектор-функцию Тогда система (1) записывается в виде уравнения:

(2)

Теперь вернёмся к всеми любимому Python и отметим его первенство среди языков программирования, которые хотят изучать [1].

Этот факт является дополнительным стимулом рассмотрения числительных методов именно на Python. Однако, среди любителей Python бытует мнение, что специальные библиотечные функции, такие как scipy.optimize.root, spsolve_trianular, newton_krylov, являются самым лучшим выбором для решения задач численными методами.

С этим трудно не согласится хотя бы потому, что в том числе и разнообразие модулей подняло Python на вершину популярности. Однако, существуют случаи, когда даже при поверхностном рассмотрении использование прямых известных методов без применения специальных функций библиотеки SciPy тоже дают неплохие результаты. Иными словами, новое- это хорошо забытое старое.

Так, в публикации [2], на основании проведенных вычислительных экспериментов, доказано, что библиотечная функция newton_krylov, предназначенная для решения больших систем нелинейных уравнений, имеет в два раза меньшее быстродействие, чем алгоритм TSLS+WD
(two-step least squares), реализованный средствами библиотеки NumPy.

Целью настоящей публикации является сравнение по числу итераций, быстродействию, а главное, по результату решения модельной задачи в виде системы из ста нелинейных алгебраических уравнений при помощи библиотечной функции scipy.optimize.root и методом Ньютона, реализованного средствами библиотеки NumPy.

Возможности решателя scipy.optimize.root для численного решения систем алгебраических нелинейных уравнений

Библиотечная функция scipy.optimize.root выбрана в качестве базы сравнения, потому что имеет обширную библиотеку методов, пригодных для сравнительного анализа.

scipy.optimize.root(fun, x0, args=(), method=’hybr’, jac=None, tol=None,callback=None, ptions=None)
fun — Векторная функция для поиска корня.
x0 –Начальные условия поиска корней

method:
hybr -используется модификация Пауэлл гибридный метод;
lm – решает системы нелинейных уравнений методом наименьших квадратов.
Как следует из документации [3] методы broyden1, broyden2, anderson, linearmixing, diagbroyden, excitingmixing, krylov являются точными методами Ньютона. Остальные параметры являются «не обязательными» и с ними можно ознакомится в документации.

Методы решения систем нелинейных уравнений

Приведенный далее материал действительно можно прочитать в литературе, например в [4], но я уважаю своего читателя и для его удобства приведу вывод метода по возможности в сокращенном виде. Те, кто не любит формулы, этот раздел пропускают.

В методе Ньютона новое приближение для решения системы уравнений (2) определяется из решения системы линейных уравнений:

(3)

Определим матрицу Якоби:

(4)

Запишем(3) в виде:

(5)

Многие одношаговые методы для приближенного решения (2) по аналогии с двухслойными итерационными методами для решения систем линейных алгебраических уравнений можно записать в виде:

(6)

где — итерационные параметры, a — квадратная матрица n х n, имеющая обратную.

При использовании записи (6) метод Ньютона (5) соответствует выбору:

Система линейных уравнений (5) для нахождения нового приближения может решаться итерационно. В этом случае мы имеем двухступенчатый итерационный процесс с внешними и внутренними итерациями. Например, внешний итерационный процесс может осуществляться по методу Ньютона, а внутренние итерации — на основе итерационного метода Зейделя

При решении систем нелинейных уравнений можно использовать прямые аналоги стандартных итерационных методов, которые применяются для решения систем линейных уравнений. Нелинейный метод Зейделя применительно к решению (2) дает:

(7)

В этом случае каждую компоненту нового приближения из решения нелинейного уравнения, можно получить на основе метода простой итерации и метода Ньютона в различных модификациях. Тем самым снова приходим к двухступенчатому итерационному методу, в котором внешние итерации проводятся в соответствии с методом Зейделя, а внутренние — с методом Ньютона.

Основные вычислительные сложности применения метода Ньютона для приближенного решения систем нелинейных уравнений связаны с необходимостью решения линейной системы уравнений с матрицей Якоби на каждой итерации, причем от итерации к итерации эта матрица меняется. В модифицированном методе Ньютона матрица Якоби обращается только один раз:

(8)

Выбор модельной функции

Такой выбор не является простой задачей, поскольку при увеличении числа уравнений в системе в соответствии с ростом числа переменных результат решения не должен меняться, поскольку в противном случае невозможно отследить правильность решения системы уравнений при сравнении двух методов. Привожу следующее решение для модельной функции:

Функция f создаёт систему из n нелинейных уравнений, решение которой не зависит от числа уравнений и для каждой из n переменных равно единице.

Программа для тестирования на модельной функции c результатами решения системы алгебраических нелинейных уравнений с помощью библиотечной функции optimize.root для разных методов отыскания корней

Только один из методов, приведенных в документации [3] прошёл тестирование по результату решения модельной функции, это метод ‘krylov’.

Решение для n=100:

Вывод: С увеличением числа уравнений вдвое заметно появление ошибок в решении. При дальнейшем увеличении n решение становится не приемлемым, что возможно из-за автоматической адаптации к шагу, эта же причина резкого падения быстродействия. Но это только моё предположение.

Программа для тестирования на модельной функции c результатами решения системы алгебраических нелинейных уравнений с помощью программы написанной на Python 3 с учётом соотношений (1)-(8) для отыскания корней по модифицированному методу Ньютона

Решение для n=100:

Решение для n=200:

Solution:
[1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.]
Newton iteration = 14
Newton method time 1.869 seconds

Чтобы убедиться в том, что программа действительно решает систему, перепишем модельную функцию для ухода от корня со значением 1 в виде:

Получим:
Solution:
[ 0.96472166 0.87777036 0.48175823 -0.26190496 -0.63693762 0.49232062
-1.31649896 0.6865098 0.89609091 0.98509235]
Newton iteration = 16
Newton method time 0.046 seconds

Вывод: Программа работает и при изменении модельной функции.

Теперь вернёмся к начальной модельной функции и проверим более широкий диапазон для n, например в 2 и 500.
n=2
Solution:
[1. 1.]
Newton iteration = 6
Newton method time 0.048 seconds
n=500

Системы с нелинейными уравнениями

Нелинейные уравнения с двумя неизвестными

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное

Однородные уравнения второй степени с двумя неизвестными

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное

Системы из двух уравнений, сводящиеся к системам, в которых одно из уравнений однородное

Примеры решения систем уравнений других видов

Нелинейные уравнения с двумя неизвестными

Определение 1 . Пусть A – некоторое множество пар чисел (x ; y) . Говорят, что на множестве A задана числовая функция z от двух переменных x и y , если указано правило, с помощью которого каждой паре чисел из множества A ставится в соответствие некоторое число.

Задание числовой функции z от двух переменных x и y часто обозначают так:

z = f (x , y) ,

(1)

причем в записи (1) числа x и y называют аргументами функции , а число z – значением функции , соответствующим паре аргументов (x ; y) .

Определение 2 . Нелинейным уравнением с двумя неизвестными x и y называют уравнение вида

f (x , y) = 0 ,

(2)

где f (x , y) – любая функция, отличная от функции

где a , b , c – заданные числа.

Определение 3 . Решением уравнения (2) называют пару чисел (x ; y) , для которых формула (2) является верным равенством.

Пример 1 . Решить уравнение

x 2 – 4xy + 6y 2 –
– 12 y +18 = 0 .

(3)

Решение . Преобразуем левую часть уравнения (3):

Таким образом, уравнение (3) можно переписать в виде

(x – 2y) 2 + 2(y – 3) 2 = 0 .

(4)

Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то из формулы (4) вытекает, что неизвестные x и y удовлетворяют системе уравнений

решением которой служит пара чисел (6 ; 3) .

Пример 2 . Решить уравнение

sin (xy) = 2 .

(5)

вытекает, что уравнение (5) решений не имеет.

Ответ : Решений нет.

Пример 3 . Решить уравнение

ln (x – y) = 0 .

(6)

Следовательно, решением уравнения (6) является бесконечное множество пар чисел вида

где y – любое число.

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное

Определение 4 . Решением системы уравнений

называют пару чисел (x ; y) , при подстановке которых в каждое из уравнений этой системы получается верное равенство.

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное, имеют вид

где a , b , c – заданные числа, а g(x , y) – функция двух переменных x и y .

Пример 4 . Решить систему уравнений

(7)

Решение . Выразим из первого уравнения системы (7) неизвестное y через неизвестное x и подставим полученное выражение во второе уравнение системы:

Таким образом, решениями системы (7) являются две пары чисел

Ответ : (– 1 ; 9) , (9 ; – 1)

Однородные уравнения второй степени с двумя неизвестными

Определение 5 . Однородным уравнением второй степени с двумя неизвестными x и y называют уравнение вида

где a , b , c – заданные числа.

Пример 5 . Решить уравнение

3x 2 – 8xy + 5y 2 = 0 .

(8)

Решение . Для каждого значения y рассмотрим уравнение (8) как квадратное уравнение относительно неизвестного x . Тогда дискриминант D квадратного уравнения (8) будет выражаться по формуле

откуда с помощью формулы для корней квадратного уравнения найдем корни уравнения (8):

Ответ . Решениями уравнения (8) являются все пары чисел вида

( y ; y) или

где y – любое число.

Следствие . Левую часть уравнения (8) можно разложить на множители

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное, имеют вид

где a , b , c – заданные числа, а g(x , y) – функция двух переменных x и y .

Пример 6 . Решить систему уравнений

(9)

рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного x :

В случае, когда x = – y , из второго уравнения системы (9) получаем уравнение

корнями которого служат числа y₁ = 2 , y₂ = – 2 . Находя для каждого из этих значений y соответствующее ему значение x , получаем два решения системы: (– 2 ; 2) , (2 ; – 2) .

из второго уравнения системы (9) получаем уравнение

которое корней не имеет.

Ответ : (– 2 ; 2) , (2 ; – 2)

Системы из двух уравнений, сводящиеся к системам, в которых одно из уравнений однородное

Пример 7 . Решить систему уравнений

(10)

Решение . Совершим над системой (10) следующие преобразования:

второе уравнение системы оставим без изменений;
к первому уравнению, умноженному на 5 , прибавим второе уравнение, умноженное на 3 , и запишем полученный результат вместо первого уравнения системы (10).

В результате система (10) преобразуется в равносильную ей систему (11), в которой первое уравнение является однородным уравнением:

(11)

рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного x :

В случае, когда x = – 5y , из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

которое корней не имеет.

из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

корнями которого служат числа y₁ = 3 , y₂ = – 3 . Находя для каждого из этих значений y соответствующее ему значение x , получаем два решения системы: (– 2 ; 3) , (2 ; – 3) .

Ответ : (– 2 ; 3) , (2 ; – 3)

Примеры решения систем уравнений других видов

Пример 8 . Решить систему уравнений (МФТИ)

Решение . Введем новые неизвестные u и v , которые выражаются через x и y по формулам:

(13)

Для того, чтобы переписать систему (12) через новые неизвестные, выразим сначала неизвестные x и y через u и v . Из системы (13) следует, что

(14)

Решим линейную систему (14), исключив из второго уравнения этой системы переменную x . С этой целью совершим над системой (14) следующие преобразования:

первое уравнение системы оставим без изменений;
из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.

В результате система (14) преобразуется в равносильную ей систему

из которой находим

(15)

Воспользовавшись формулами (13) и (15), перепишем исходную систему (12) в виде

(16)

У системы (16) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное u через неизвестное v и подставить это выражение во второе уравнение системы:

Следовательно, решениями системы (16) являются две пары чисел

Из формул (13) вытекает, что , поэтому первое решение должно быть отброшено. В случае u₂ = 5, v₂ = 2 из формул (15) находим значения x и y :

Определение 6 . Решением системы из двух уравнений с тремя неизвестными называют тройку чисел (x ; y ; z) , при подстановке которых в каждое уравнение системы получается верное равенство.

Пример 9 . Решить систему из двух уравнений с тремя неизвестными

(17)

Решение . У системы (17) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное z через неизвестные x и y и подставить это выражение во второе уравнение системы:

(18)

Перепишем второе уравнение системы (18) в другом виде:

Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то выполнение последнего равенства возможно лишь в случае x = 4, y = 4 .

Ответ : (4 ; 4 ; – 4)

Замечание . Рекомендуем посетителю нашего сайта, интересующемуся методами решения систем уравнений, ознакомиться также c разделом справочника «Системы линейных уравнений» и нашим учебным пособием «Системы уравнений».

План-конспект по математике на тему «Системы нелинейных уравнений с двумя переменными»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Методическая разработка занятия

по дисциплине «Математика»

Тема: «Системы нелинейных уравнений с двумя переменными» для студентов 1 курса

Составитель: Котенева Е.А., преподаватель математики

Тема урока : Системы нелинейных уравнений с двумя переменными.

Тип урока : урок изучения нового материала.

Цель урока : Систематизация материала и применение знаний в новой ситуации; умение определять рациональный способ решения систем уравнений с двумя переменными.

повторение и систематизация знаний и умений решения систем уравнений с двумя переменными;

стимулирование интереса обучающихся к решению систем уравнений различными методами..

продолжение работы над развитием операционного стиля мышления через всестороннюю оценку ситуации, оптимальное планирование действий, поиск информации, необходимой для решения задачи – формирование компетентности в сфере познавательной деятельности;

развитие внимания, творческих способностей обучающихся.

воспитание ответственности, внимательности, аккуратности, дисциплинированности, усидчивости.

технология обучения в сотрудничестве;

систематизация и обобщение знаний об основных методах решения систем уравнений;

совершенствование навыков решения систем нелинейных уравнений с двумя переменными;

применение знаний на практике для углубления и расширения ранее усвоенных знаний.

формирование умений анализировать, сопоставлять, обобщать знания;

развитие умения работать в группах;

формирование чувства ответственности за свою работу;

овладение опытом переноса знаний и умений в нестандартные ситуации при решении возникающих новых задач.

формирование культуры общения и осознанной потребности в знаниях;

развитие умения управлять своей учебной деятельностью.

Методы обучения: частично-поисковый, репродуктивный, словесно – наглядно – практический .

Формы организации познавательной деятельности обучающихся : групповая, индивидуальная.

— самоанализ и самооценка, рефлексия.

Цель: обеспечить нормальную внешнюю обстановку для работы на уроке и психологически приготовить обучающихся к общению и предстоящему занятию

приветствие студентов, проверка их готовности к занятию, проверка отсутствующих.

Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности обучающихся

Цель: поднять мотивацию обучающихся к участию в процессе познавательной деятельности, организация активной, самостоятельной и результативной работы каждого обучающегося при решении учебно-познавательных задач. Познакомить с планом и правилами работы, постановка проблемы и целей.

сообщение студентам темы урока, раскрытие её содержание (план занятия), а так же разъяснение цели и формы их деятельности на уроке.

Актуализация опорных знаний

Цель: проверить правильность, полноту и осознанность приобретенных ранее знаний, мотивировать и мобилизовать силы обучающихся.

повторение навыков решения систем линейных уравнений по формулам Крамера.

Обобщение и систематизация знаний

подготовка обучающихся к обобщённой деятельности;

воспроизведение на новом уровне.

Применение знаний и умений в новой ситуации

Цель: закрепить в памяти обучающихся те знания, которые они приобрели в ходе теоретического изучения материала, работая в парах, способствовать формированию у обучающихся умений и навыков при решении систем нелинейных уравнений

выполнение обучающимися заданий

Контроль усвоения изученного материала

работа в группах

Цель: подвести итог урока, оценить работу обучающихся, создать условия для самооценки учебной деятельности, закрепить положительные эмоции от познания нового, сообщить обучающимся о Д/з и разъяснить методику его выполнения.

анализ и содержание итогов работы;

формирование выводов по изученному материалу;

выдача домашнего задания.

I. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ

Приветствие обучающихся, проверка готовности к уроку.

II. ПОСТАНОВКА ЦЕЛИ И ЗАДАЧ УРОКА. МОТИВАЦИЯ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ОБУЧАЮЩИХСЯ

Сообщение студентам темы урока, раскрытие её содержание (план занятия), а так же разъяснение цели и формы их деятельности на уроке.

III . АКТУАЛИЗАЦИЯ ОПОРНЫХ ЗНАНИЙ

1) Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2) Контроль усвоения материала (задания по карточкам).

Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:

а) ;

б) ;

в) .

IV . ОБОБЩЕНИЕ И СИСТЕМАТИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ

Вспомним основные методы решения систем уравнений.

1. Метод подстановки.

2. Метод алгебраического сложения уравнений.

3. Метод замены переменной.

4. Метод разложения на множители.

5. Графическое решение систем уравнений.

1. Метод подстановки.

Решите систему уравнений: .

Из второго уравнения находим: Подставляя это значение в первое уравнение, получаем: или . Корнями этого уравнения являются числа . Таким образом, получаем совокупность двух систем уравнений:

Первая система имеет решения , а вторая . Значит, данная система имеет решения:

2. Метод алгебраического сложения уравнений.

Решите систему уравнений:

Метод подстановки в данном случае приводит к сложным выкладкам. Прибавим к первому уравнению системы второе уравнение, тогда получаем т.е.

равносильную заданной. А теперь воспользуемся методом подстановки:

то есть

Полученная система уравнений равносильна совокупности двух систем уравнений:

Первая система имеет решение а вторая Значит, решение данной системы имеет вид: .

3. Метод замены переменных.

Решите систему уравнений: .

Пусть u = тогда получаем более простую систему ,

равносильно исходной. Решив полученную систему, будем иметь:

Перейдём к переменным x и y , и решим совокупность двух систем уравнений:

или т.е.

Ответ: .

4. Метод разложения на множители.

Решите систему уравнений:

Второе уравнение системы представим в виде: =0. Тогда данная система будет равна совокупности двух систем, решаемых методом подстановки.

или значит

И решением первой системы будет

или значит и решением второй системы будет

Ответ: ;

5. Графическое решение систем уравнений.

Решите систему уравнений:

Уравнение задает окружность с центром в начале координат и радиусом 6. Уравнение — парабола, это уравнение можно переписать в виде: . Вершиной этой параболы является точка (0; 6), ветви параболы направлены вниз, она пересекает ось Ох в точках (6; 0); (-6; 0). Построим графики указанных линий и найдем их точки пересечения.

Из чертежа видно, что линии пересекаются трижды и точками пересечения являются А (-6; 0); В (0; 6); С (6; 0).

Рассмотрим два распространённых вида нелинейных систем: однородные системы и симметричные системы. Сначала обсудим однородные системы.

Решим систему уравнений: .

Особенностью системы является то, что первое уравнение – однородное. Решим его, считая y неизвестной, а х – постоянной величиной. Получаем: y = , т.е. Таким образом, нашли линейную связь между переменными (фактически получили линейное уравнение ). Далее исходная система сводится к совокупности двух систем уравнений:

а) Решения этой системы (1;1),(-1;-1);

б) Подставляя первое уравнение во второе, получим:

или Тогда х= и решения системы

При решении сходной системы все преобразования были равносильными. Поэтому решения проверять не надо. Исходная система имеет 4 решения: (1;1), (-1;-1),

Решим систему уравнений:

В этой системе однородного уравнения нет. Зато левая часть каждого уравнения представляет собой однородный многочлен по переменным x и у. Поэтому нетрудно получить и однородное уравнение . Почленно разделим первое уравнение на второе (это можно сделать, т. к. левые части уравнений не равны нулю): Используем свойство пропорции и получим: 8( (однородное уравнение).

Решая это уравнение, найдём корни: и Исходная система сводится к совокупности двух систем уравнений. Причём в качестве второго уравнения систем можно использовать любое из уравнений исходной системы. Будем использовать, например, второе уравнение. Получаем:

а) Подставим первое уравнение во второе: 2 или 352у 2 = 8, откуда (тогда х= ). Система имеет решения:

б) Подставим первое уравнение во второе:

или у 2 = 4 и у = ±2 (тогда x = ±1). Система имеет решения: (1; -2), (-1; 2).

Все преобразования были равносильны, и решения исходной системы (которые не проверяем): (1; 2), (-1; 2).

Теперь обратимся к симметричным системам уравнений. Если каждое уравнение системы не меняется при замене х и у и наоборот, то систему называют симметричной . Такие системы решаются заменой а = х + у и b = xу (простейшие симметричные многочлены).

Решим систему уравнений:

Прежде всего убедимся, что эта система симметричная. В каждом уравнении поменяем х и у и наоборот. Получаем систему уравнений Видим, что каждое уравнение такой системы совпадает с соответствующим уравнением исходной системы. Следовательно, данная система симметричная.

Введем новые переменные, а=х+у и b=ху. Учтем, что и запишем данную систему в виде: Сложим уравнения системы и получим квадратное уравнение: а 2 + а — 20 = 0, корни которого а ₁ = 4 (соответствующее значение b ₁ = 3) и а ₂ = -5 (значение b ₂ = 12). Вернемся к старым переменным и получим совокупность двух систем уравнений:

Так как первое уравнение линейное, то для решения системы можно использовать метод подстановки. Однако проще применить обратную теорему Виета . Будем считать, что х и у — корни некоторого приведенного квадратного уравнения. Так как известны сумма корней и их произведение, то уравнение имеет вид: t 2 – 4t + 3 = 0 — и его корни t ₁ = 1 и t ₂ = 3. Мы не знаем, какой из этих корней соответствует х, а какой — у. Поэтому система имеет два решения: (1; 3) и (3; 1).

Заметим, что это общее свойство симметричных систем: если система имеет решение (с; d), то она обязательно имеет и решение (d; с);

Получаем квадратное уравнение t 2 + 5t + 12 = 0. Его дискриминант отрицательный, и оно корней не имеет. Поэтому и такая система решений не имеет.

Все преобразования (метод замены переменных, метод алгебраического сложения) были равносильны. Поэтому решения проверять не надо. Итак, исходная система уравнений имеет два решения: (1; 3), (3; 1).

Встречаются (по гораздо реже) симметричные системы трех уравнений с тремя переменными. Для их решения также используют обратную теорему Виета для кубического уравнения. Если числа x, y, z удовлетворяют условиям: то x, y, z — корни приведенного кубического уравнения t 3 + аt 2 + bt + c = 0.

V . ПРИМЕНЕНИЕ ЗНАНИЙ И УМЕНИЙ В НОВОЙ СИТУАЦИИ

Решите систему уравнений

Решение. Пусть Тогда . Теперь первое уравнение системы можно записать так: . Отсюда
Для решения исходной системы достаточно решить две более простые системы.
1) Отсюда ,
Из второго уравнения получаем: . Тогда .
2) Отсюда
Из второго уравнения получаем: Тогда
Ответ:

Решите систему уравнений

Решение. Заметим, что данная система не изменится, если заменить x на y , а y на x . В таких случаях может оказаться эффективный замена x + y = u , xy = v .

Перепишем данную систему так:

Выполним указанную замену. Получим систему:

Её можно решить методом подстановки (сделайте это самостоятельно). Получаем:
или

Остается решить 2 системы: и Каждую из них можно решить методом подстановки. Однако здесь удобнее воспользоваться теоремой, обратной теореме Виета. Так, для системы Можно считать, что x и y – корни квадратного уравнения . Отсюда Следовательно, пары чисел (1;2) и (2;1) являются решениями этой системы.
Используя теорему, обратной теореме Виета, легко убедиться, что система решений не имеет.

V I . КОНТРОЛЬ УСВОЕНИЯ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА

Работа в группах.

№ 1. Установите графически количество решений системы уравнений:

1) 2) 3) 4)

№ 2. Решите графически систему уравнений:

1) 2) 3) 4)
№3. Решите графически систему уравнений:
1) 2) 3)

№ 4. Решите методом подстановки систему уравнений:

1) 2) 3) 4) 5) 6)

№ 5.Решите методом подстановки систему уравнений:
1) 2) 3) 4)
№6. Решите систему уравнений:
1) 2) 3) 4)

5) 6) 7)

Глава 4. § 4.6 стр.92-98 примеры.

Список использованных источников:

Азаров А.И., Барвенов С.А., Федосенко В.С., Шибут А.С. Системы алгебраических уравнений. Текстовые задачи. Справочное пособие для абитуриентов и школьников. 1998. — 288 с.

Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 11 класса. Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики. 4-е изд. — М.: Просвещение, 1995. — 335 с.

Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа.10-11 классы: Учебник.- М.: Мнемозина, 2009.

Мордкович А.Г., Денищева Л.О., Корешкова Т.А. и др. Алгебра и начала математического анализа.10-11 классы: Задачник.- М.: Мнемозина, 2009.

источники:

http://www.resolventa.ru/spr/algebra/system1.htm

http://infourok.ru/plankonspekt-po-matematike-na-temu-sistemi-nelineynih-uravneniy-s-dvumya-peremennimi-3149819.html