Лекция 9. Функция Грина. Примеры
В этой лекции мы будем рассматривать уравнение Лапласа в ограниченных областях D, расположенных на плоскости или в пространстве. Точки Р(х, у) и Рo (хo , уo ) на плоскости (или Р(х, у, z) и в пространстве) принадлежат области D и
(или
) — расстояние между точками Рo и Р.
Предположим, что на границе области D задано нулевое условие Дирихле.
Функция G(P,Po) называется функцией Грина задачи Дирихле в области D, если для любой фиксированной точки она, как функция от Р , удовлетворяет следующим условиям:
(i) непрерывная в всюду, кроме точки Po, и G(P,Po ) = 0 на границе D;
(ii) гармоническая в D за исключением точки Po;
(iii) в случае плоскости остается гармонической функцией в точке Po; в случае пространства функция остается гармонической в точке Po.
Как следует из определения, функция Грина непрерывна и гармонична всюду в области D за исключением точки Po, в которой она имеет особенность типа в плоскости или в пространстве. Функцию Грина иногда называют функцией источника.
Функция Грина G(P,Po) (если она существует) однозначно определяется свойствами (i)-(iii). Кроме того, в области D. Рассмотрим, к примеру, плоскую область D. Для того, чтобы доказать единственность функции Грина, предположим противное: пусть G1, и G2 — две функции, обладающие свойствами (i)-(iii) для заданных области D и точки . Тогда ( G1 — G2 ) остается гармонической в любой точке области D, включая и точку Po, поскольку вблизи точки Po можно записать
Каждая скобка в правой части (41) представляет собой функцию, гармоническую всюду в D (см. свойство (iii)), поэтому и разность ( G1 — G2 ) — функция гармоническая всюду в D. Кроме того, на границе D функция Следовательно, по принципу максимума в области D.
Далее, если D1 — часть области D, находящаяся вне малой окрестности точки Po, то, согласно условиям (i)-(iii), функция G непрерывна в гармонична в D1, и на границе D1 принимает неотрицательные значения (так как при ). Поэтому по принципу максимума в D1 причем нулевое значение внутри области D1 функция принимать не может. Это означает, что всюду в D.
Пример 1. На плоскости рассмотрим круг радиуса R с центром в начале координат. Построим функцию Грина в круге. При построении этой функции нам понадобится понятие сопряженных точек. Точки Po и Р * называются сопряженными относительно окружности, если они лежат на одном луче, исходящем из центра O окружности, и произведение их расстояний от центра равно квадрату радиуса: (см. рис.16).
Обозначим через ro =|OPo| и r * =|OP * |. Тогда ro r * =R 2 . Так как точки Po и Р лежат на одном луче, выходящем из начала координат, то
По теореме косинусов и , где ρ=|OP|.
Рис. 17
Воспользовавшись равенством ro r * =R 2 , получим 
Таким образом, величины r и r1 выражаются через R, ρ, ro, φ, φo, и, в конечном счете, через R, x, y, xo, yo. Покажем, что функция G(P,Po) удовлетворяет пунктам (i)-(iii) определения. Очевидно, что функция непрерывна всюду в замкнутом круге кроме точки Ро (когда r = 0). На границе круга расстояние ρ=R и, следовательно,
Отсюда Функция G(P,Po) состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое-фундаментальное решение уравнения Лапласа и,следовательно, гармоническая функция всюду, кроме точки Po. Функция является гармонической всюду в области D , так как точка Р принадлежит области, а точка Р * лежит вне области D и, следовательно, r1 >0. Гармоничность этой функции легко проверяется, если записать оператор Лапласа в полярной системе координат с полюсом в точке Р * (см.аналогичную формулу (33*) с полюсом в точке О):
Поэтому функция G(P,Po) гармоническая в области D всюду, кроме точки Ро, а разность G(P,Po) — ln(1/r) — гармоническая и в точке Ро.
Аналогично строится функция Грина для шара радиуса R. Она имеет вид где r=|PoP| , r1=|PP * | , ro=|OPo|. Точка P * (x * , y * , z * ) сопряженная точке Рo (хo , уo , zo ) относительно сферы радиуса R с центром в точке О, то есть . Координаты x * , y * , z * вычисляются по формулам:
Пример 2. Функцию Грина можно рассматривать не только для ограниченных, но и для неограниченных областей. В качестве примера построим функцию Грина для полуплоскости. Для этого определим точки, сопряженные относительно прямой: точки Ро и Р * называются сопряженными относительно прямой, если они симметричны относительно этой прямой (см. рис.18).
Функция где
,
(см. рис.19), удовлетворяет свойствам (i)-(iii) в полуплоскости у > 0. В самом деле, на границе области при у = 0 расстояние r = r1, поэтому Гармоничность функции всюду в области у > 0 проверяется непосредственно вычислением частных производных:
Следовательно, функция G(P,Po) гармоническая в области у > 0 всюду, кроме точки Ро, а разность G(P,Po) — ln(1/r) гармоническая и в точке Ро.
Для полупространства z > 0 функция Грина имеет вид где