Построение графиков системы нелинейных уравнений

Построение графиков и решение нелинейных уравнений в табличном процессоре
методическая разработка на тему

Табличный процессор. Построение графика. Работа с мастером функций и мастером диаграмм.

Скачать:

Предварительный просмотр:

«Инструментальные и программные средства вычислительных систем»

Построение графиков и решение нелинейных уравнений

Практическая работа №3

Построение графиков и решение нелинейных уравнений.

Тема 1. Построение графика. Работа с мастером функций и мастером диаграмм.

Внимательно прочитать и выучить все рекомендации.

Рассмотрим процедуру построения графика функции у=cos 2 ( π х)

Выполнить все указанные действия.

Для построения графика функции необходимо сначала построить таблицу значений при различных значениях аргумента, причем обычно аргумент изменяется с фиксированным шагом. Шаг выбирают небольшим, чтобы таблица значений функций отражала ее поведение на интервале табуляции. В нашем случае будем считать, что шаг изменения аргумента равен 0,1. Необходимо найти у(0), у(0,1), у(0,2), …у(1). С этой целью в диапазон ячеек А1:А11 введем следующие значения переменной х: 0, 0.1, 0.2, …1. Отметим, что выбранные нами значения переменной образуют арифметическую прогрессию. Заполнение ячеек членами арифметической прогрессии можно осуществить двумя способами:

1. В ячейки А1 и А2 вводим первый и второй члены арифметической прогрессии и выделяем эти ячейки. После этого устанавливаем указатель мыши на маркере заполнения выделенного диапазона и протаскиваем его вниз до тех пор, пока не получится числовой ряд нужной длины.
2. В ячейку А1 вводим первый член арифметической прогрессии. Выбираем команду Правка, Заполнить, Прогрессия и в открывшемся диалоговом окне Прогрессия в группе Расположение устанавливаем переключатель в положение По столбцам , а в группе Тип – в положение арифметическая. В поле Шаг вводим значение 0.1, а в поле Предельное значение – 1. После нажатия кнопки ОК будет выполнено построение прогрессии.

С помощью команды Правка, Заполнить, Прогрессия можно также создавать геометрические прогрессии.

В ячейку В1 введем формулу =COS(ПИ()*А1)^2 .

Ввод формул в ячейку можно производить с клавиатуры или с помощью диалогового окна Мастер функций , вызываемого командой Вставка, Функция или нажатием кнопки панели инструментов Стандартная . На экране появится первое диалоговое окно Мастер функций . Это окно содержит два списка:

1. Категория – это список, включающий 11 категорий функций.
2. Функция – список имен функций, входящих в выбранную категорию.

Категория Полный алфавитный перечень содержит все встроенные функции, имена которых упорядочены в алфавитном порядке. Категория 10 недавно использовавшихся содержит имена десяти недавно использовавшихся функций. Она ускоряет вызов функций, постоянно используемых пользователем.

Функция COS относится к категории Математические . Выберем эту функцию и нажмем кнопку Далее. На экране появится второе диалоговое окно Мастер функций.

В поле число второго диалогового окна Мастер функций вводится аргумент функции. В нашем примере это ПИ()*А1. Конечно, его можно ввести с клавиатуры. Однако этот аргумент содержит встроенную функцию ПИ(), поэтому лучше, нажав кнопку, расположенную перед полем число, еще раз вызвать мастер функций (эта кнопка предназначена для построения суперпозиций функций).

В первом диалоговом окне Мастер функций выберем функцию ПИ() из категории Математические . Так как функция ПИ() не имеет аргументов, то нет необходимости переходить ко второму шагу мастера функций. Достаточно, нажав кнопку Готово , вернуться в диалоговое окно функции COS.

Появившееся окно отличается от предыдущего окна тем, что в поле число введена функция ПИ(). С помощью клавиатуры введем в это поле * и, щелкнув ячейку А1 рабочего листа, введем А1. Конечно, ссылку на ячейку можно ввести также с помощью клавиатуры, однако, такой способ ввода (щелчком по соответствующей ячейке) дает дополнительную проверку правильности ввода. После нажатия кнопки Готово в ячейку В1 ввести формулу =сos ((ПИ()*А1. Затем при помощи клавиатуры добавить в эту формулу операцию возведения в квадрат. В итоге в ячейку В1 будет введена формула =cos (ПИ()*А1)^2.

Для того, чтобы завершить процесс табулирования функции, выделить ячейку В1, установить указатель мыши на маркере заполнения этой ячейке и протащить его вниз до ячейки В11. Таким образом, таблица значений создана.

Для построения графика функции выделить диапазон ячеек А1:В11, содержащий таблицу значений функции и ее аргумента, вызвать мастера диаграмм. Вызов мастера диаграмм осуществляется с помощью команды Вставка, Диаграмма, На этом листе или команды Вставка, Диаграмма, На новом листе, либо нажатием кнопки на панели инструментов Стандартная.

Протащить указатель мыши на рабочем листе, выделить прямоугольную область, где будет построен график. Проверить, правильно ли введен в поле ввода Диапазон первого диалогового окна Мастер диаграмм диапазон ячеек, по которому строится график. На втором шаге мастера диаграмм выбрать тип диаграммы – График. На третьем шаге мастера диаграмм выбираем вид графика, например, 10 – сглаженный график. На четвертом шаге мастера диаграмм заполнить диалоговое окно: в группе Ряды данных находятся установить переключатель в положение В столбцах. В поле Считать метками оси Х ввести 1 (номер столбца, из которого берутся метки оси Х), а в поле Считать метками легенды – 0 (т.к. легенда – обозначение графиков различных функций разными цветами не нужна). На пятом шаге мастера диаграмм заполнить диалоговое окно: в группе Добавить легенду? Установить переключатель в положение Нет. В поле Название диаграммы ввести График функции, а в группе Название по оси в поля Категорий (Х) и Значений (У) ввести х и у соответственно. Нажать кнопку Готово.

Построение графика закончено.

Наиболее часто используемые стандартные математические функции:

Логарифм аргумента по данному основанию (если основание опущено, то оно полагается равным 10).

Тема 2. Построение графика функции

с одним условием.

Пример. Построение графика функции:

⎩ х 1/3 , х ≥ 0,5 при х ∈ [0,1].

Этот график строится, как и предыдущий, за одним исключением – в ячейку В1 вводится формула:

Синтаксис логической функции ЕСЛИ (IF):

Функция ЕСЛИ используется для проверки значений формул и организации переходов в зависимости от результатов этой проверки.

Другими логическими функциями являются:

И (логическое_значение1; логическое_значение2; …)

Возвращает значение ИСТИНА, если все аргументы имеют значение ИСТИНА; возвращает значение ЛОЖЬ, если хотя бы олин аргумент имеет значение ЛОЖЬ;

Например, И(2+2=4; 2+3=5) равняется ИСТИНА;

Если ячейка В4 содержит число между 1 и 100, то И(1

ИЛИ (логическое_значение1; логическое_значение2; …)

Возвращает значение ИСТИНА, если хотя бы один из аргументов имеет значение ИСТИНА; возвращает ЛОЖЬ, если все аргументы имеют значение ЛОЖЬ;

Например, ИЛИ(2+2=4; 2+3=6) возвращает ИСТИНА; если ячейка В4 содержит число меньше 1 или больше 100; то ИЛИ(В4 100) возвращает ИСТИНА

НЕ (логическое значение)

Меняет на противоположное логическое значение своего аргумента; например НЕ(2+2=5) возвращает ИСТИНА; если ячейка В4 содержит число меньше 1 или больше 100, то НЕ(ИЛИ(В4 100)) возвращает ЛОЖЬ.

Тема 3. Построение графика функции

с двумя условиями.

Пример. Построение графика функции:

⎫ 1+х , при х ∈ [0.2, 0.8],

График строится так же, как и в предыдущих примерах, только в ячейку В1 вводится формула:

В ячейку В1 можно ввести и более простую формулу, которая приведет к тому же результату

Тема 4. Построение двух графиков в одной системе координат.

Пример. Построение двух графиков в одной системе координат:

у = 2sin(x) и z = 3cos(2x) – sin(x) при х ∈ [-3,0]

1. В диапазон ячеек А26А17 ввести значения переменной х от –3 до 0 с шагом 0,2.
2. В ячейки В1 и С1 ввести соответственно у и z.
3. В ячейку В2 ввести формулу: =2*SIN(А2).
4. В ячейку С2 ввести формулу: = 3*COS(2*A2)-SIN(A2).
5. Выделить диапазон В2:С2, установить указатель мыши на маркер заполнения и протащить его вниз так, чтобы заполнить диапазон В2:С17.
6. Выделить диапазон ячеек А1:С17, в который внесены: таблица значений двух функций, их общий аргумент и заголовки столбцов В и С, вызвать мастера диаграмм.
7. С помощью мыши на рабочем листе выделить прямоугольную область, где будет построен график.
8. Проверить, правильно ли введен в первом диалоговом окне Мастер диаграмм диапазон ячеек, по которому строится график.
9. На втором шаге Мастера диаграмм выбрать тип диаграммы – График.
10. На третьем шаге мастера диаграмм выбрать тип графика – 1 (разновидность точечного графика).
11. На четвертом шаге мастера диаграмм заполнить диалоговое окно следующим образом: в группе Ряды данных находятся устанавливаем переключатель в положение В столбцах.
12. В поле Считать метками оси Х ввести 1 (номер столбца), а в поле Считать метками легенды – 1 (номер строки).
13. На пятом шаге мастера диаграмм заполнить диалоговое окно следующим образом:
14. В группе Добавить легенду? Установить переключатель в положение Да.
15. В поле Название диаграммы ввести Графики функций, а в группе Название по оси в поле Категорий (х) ввести х, а в поле Значений (у) ввести у и z.
16. Для того, чтобы графики функций у и z различались по типу линий нужно выделить график, внешний вид которого нужно изменить, и с помощью контекстного меню вызвать диалоговое окно Форматирование элемента данных, которое позволит изменить толщину, тип, цвет и фон маркера

Тема 5. Построение поверхности.

Пример. Построение поверхности:

Z = х 2 + у 2 при х, у ∈ [-1, 1]

1. В диапазон ячеек B1:L1 ввести последовательно значения: -1; -0.8; …….1 переменной Х, а в диапазон ячеек А2:А12 – последовательность значений: -1; -0.8;…; 1 переменной У.
2. В ячейку В2 ввести формулу =$A2^2-B$1^2.
3. Выделить эту ячейку, установить указатель мыши на ее маркере заполнения и протащить его так, чтобы заполнить диапазон B2:L12. Знак $, стоящий перед буквой в имени ячейки, дает абсолютную ссылку на столбец с данным именем, а знак $, стоящий перед цифрой – абсолютную ссылку на строку с этим именем. Поэтому при протаскивании ячейки В2 в ячейки диапазона В2:L12 в них будет найдено значение Zпри соответствующих значениях Х и У. Т.о. таблица значений функции Z при различных значениях переменных Х и У.
4. Перейдем к построению поверхности. Выделите диапазон ячеек A1:L12, содержащий таблицу значений функции и ее аргументов.
5. Вызовите мастер диаграмм.
6. С помощью мыши на рабочем столе выделить прямоугольную область, где будет построен график.
7. Проверить, правильно ли введен в первом диалоговом окне Мастер диаграмм диапазон ячеек, по которому будет строиться поверхность.
8. На втором шаге диаграмм выбрать тип диаграммы – Поверхность.
9. На третьем шаге мастера диаграмм выбрать тип поверхности – например, 1.
10. На четвертом шаге мастера диаграмм заполнить диалоговое окно следующим образом: в группе Ряды данных находятся установить переключатель в положение В столбцах. В поле Считать метками оси Х ввести 1 (номер столбца), а в поле Считать метками оси Значений – 1 номер строки).
11. На пятом шаге мастера диаграмм заполнить диалоговое окно следующим образом: в группе Добавить легенду? Установить переключатель в положение Нет. В поле Название диаграммы ввести Поверхность, а в группе Название по оси в поля Категорий (Х), Значений (Z) и Рядов (У) ввести Х, Z, У соответственно.
12. Нажать кнопку Готово.

Тема 6. Нахождение корней уравнения.

Пример. Найти корни уравнения:

Х 3 – 0,01Х 2 – 0,7044Х + 0,139104 = 0.

У полинома третьей степени имеется не более 3-х вещественных корней.

1. Для нахождения корней их предварительно нужно локализировать. С этой целью необходимо построить график функции и его протабулировать. Например, протабулируем наш полином на отрезке [ -1,1 ] с шагом 0,2.
2. В столбец А ввести значения Х — -1,0; -0,8; …1,0.
3. В ячейку В1 ввести формулу:

Графический метод решения систем нелинейных уравнений, 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Цель урока:

• совершенствование навыки построения графиков функций;
• применение умений, полученных на уроках информатики (графики в Ехсе1);
• развитие современной функциональной грамотности.

Задачи урока:

• Обучающие: знакомство с графическим способом решения систем нелинейных уравнений; развитие умения применять теоретические знания в процессе
  решения систем уравнений;
• Развивающие: развитие познавательного интереса к предмету; развитие навыка самостоятельного поиска необходимой
  информации; развитие навыка самоконтроля.
• Воспитательные: развитие культуры общения; желания помочь товарищу в затруднительных ситуациях.
• Здоровье-сберегающие: соблюдение гигиены умственного труда при работе с компьютером.

Виды используемых на уроке средств ИКТ: СD, универсальные, ресурсы Интернет.

Необходимое аппаратное и программное обеспечение: Мультимедийный компьютер, программные средства, наушники/

Оборудование: Чертежные инструменты.

Ход урока

I. Организационный момент

Приветствие и размещение на рабочих местах.

Учитель. Мы продолжаем изучение большой темы “Решение систем нелинейных уравнений”. Какие способы решения нами были рассмотрены? (Метод постановки, метод сложения, метод введения новых неизвестных, метод решения однородных уравнений.)

Какой еще способ нам известен из курса алгебры седьмого класса? (Графический.)

Почему он так называется? (В одной и той же системе координат строим графики обоих уравнений и находим координаты точек их пересечения.)

! Цель сегодняшнего урока: научиться решать нелинейные системы уравнений графическим методом, Используя чертежные инструменты и программу построения графиков на компьютере.

Систему координат, в которой мы будем строить графики, называют декартовой,. Почему? Ответ на этот вопрос вы узнаете, посмотрев диск.

Учащиеся переходят к компьютерам, надевают наушники и читают и слушают информацию из диска “Алгебра Кирилла и Мефодия 7–8”, тема “Графики функций” о Рене Декарте и созданной им системе координат.

П. Актуализация опорных знаний

Фронтальная беседа. Презентация “Графики функций”.

1. Какие функции нам известны? Как называются их графики?

а) у = кх + Ь – линейная функция. Графиком является прямая, которую строим по двум точкам.

Если к > 0, то угол наклона прямой к положительному направлению от Ох острый.

Если к 2 квадратная функция. Графиком является парабола. Для построения графика используем таблицу значений.

в) обратная пропорциональность: y = k/x, графиком является гипербола В(f)=x0

г) y = D(f)=[0;+)

д) уравнение окружности

х 2 + у 2 = R 2
(х – а) 2 + (у – b) 2 = R 2
0(а; b)

III. Объяснение нового материала

В чем состоит графический метод решения систем уравнений? (В одной и той же системе координат строим графики уравнений.)

Координаты точки пересечения и будут являться решением данной системы.

IV. Закрепление темы

1) Решить систему уравнений:

в) б) а)

V. Работа на компьютере

№ 130 из учебника Виленкин:

а) б) в)

г) д) е)

а) б) № 162 (г,д)

Д/з на стр. 205 № 162 (а,б)

VI. Итог урока

Применение современной техники позволяет сделать процесс решения систем уравнений графическим методом значительно быстрее, но необходимо уметь строить графики функций.

Учебник: Н.Я. Виленкин Н.Я. Алгебра. 8. – М.: Просвещение, 2001.

MathCAD — это просто! Часть 5. Системы нелинейных уравнений

Добрый день, уважаемые читатели и читательницы, мы с вами продолжаем грызть гранит науки. Делаем мы это с целью — напомню, если кто вдруг успел позабыть — овладеть замечательным математическим пакетом под названием MathCAD. И в прошлый раз мы с вами закончили на решении систем линейных алгебраических уравнений, для простоты также обозначаемых как СЛАУ. Что ж, линейные уравнения — это, конечно же, спору нет, замечательно. Однако на них, к величайшему сожалению многих поколений школьников и студентов, математические задачи далеко не заканчиваются, а даже, я бы сказал, напротив. То есть СЛАУ — это только частный случай систем уравнений, которые могут в обыкновенной вычислительной практике оказаться совсем даже и не линейными, а, напротив, нелинейными (да, именно так их и называют математики). Системы нелинейных уравнений без использования MathCAD или какого-либо другого математического пакета решать обычно не просто трудно, а очень трудно, но в MathCAD подход к ним не слишком отличается от подхода к СЛАУ — в этом вы сейчас получите возможность убедиться лично.

В общем-то, основные аспекты аналитического решения систем уравнений мы с вами уже, по большому счету, обсудили. Когда это мы так лихо успели? А вот именно тогда, когда обсуждали аналитическое решение систем линейных уравнений с помощью оператора solve. Оказывается, все те же методы вполне применимы для решения систем нелинейных уравнений. Тем не менее, чтобы вы лучше их усвоили, повторю еще раз кратко алгоритм их решения с помощью MathCAD’а и приведу небольшой пример решения подобной системы. Давайте попробуем решить следующую систему уравнений: ex + y + z(xyz)1/2 = 0
(x + y+ z)1/2 = c
x +y + cz = 0

Система выглядит несложной, но для того, чтобы решить ее без использования MathCAD’а, даже очень хорошему математику потребуется не такое уж малое количество времени. Естественно, MathCAD с этой системой справится в два счета. Для ее решения создайте матрицу размером 3 на 1 (3 строки, 1 столбец), в которую и поместите уравнения нашей системы. Напомню, что для того, чтобы MathCAD распознавал уравнения как уравнения, знак «равно» нужно нажимать, удерживая клавишу Ctrl. После того, как система будет введена в виде матрицы, найдите на панели Symbolic оператор solve — мы им уже неоднократно пользовались для решения и простых уравнений, и СЛАУ, так что вы, по идее, уже должны были запомнить, где именно он находится. После оператора через запятые укажите переменные, которые входят в нашу систему уравнений — это пусть будут для начала x, y и z. Поскольку при вводе solve с панели Symbolic MathCAD сам добавляет нужную стрелочку для аналитического решения нашей с вами системы уравнений, то больше ничего, в общем-то, делать не нужно — дальше MathCAD будет решать систему. Сколько это времени у него займет, зависит, конечно же, от мощности вашего компьютера, ну и от самой системы. Нашу систему он решит быстро, а вот если поизвращаться и написать какую-нибудь систему тригонометрических и логарифмических уравнений, да еще и с комплексными переменными (о них мы потом еще поговорим отдельно), то решать такое MathCAD может на слабых компьютерах и не один час.

Для чистоты эксперимента поменяем переменные: пусть теперь произвольной константой в нашей системе будет не c, а z. В этом случае нас ожидает совершенно другое, куда как более громоздкое, решение этой самой системы.

Как видите, аналитическое решение систем нелинейных уравнений с помощью MathCAD’а — вещь несложная, только, к сожалению, возможная далеко не всегда. Как обычно, на помощь символьному процессору MathCAD, который опускает в бессилии руки перед сложными системами, спешат численные методы. Вот здесь уже начинаются различия с системами линейных уравнений.

Численное решение нелинейных систем

В целом алгоритм решения систем нелинейных уравнений в MathCAD для пользователя мало чем отличается от него же для СЛАУ. Мы точно так же задаем начальные приближения, пишем «Given», записываем под этим словом наши уравнения и запрягаем функцию Find, которая должна вывести эти самые уравнения на чистую воду. Все точно так же, как тогда, когда мы решали СЛАУ.

Почему же я так пугал вас буквально двумя абзацами выше, говоря о том, что решать системы нелинейных уравнений намного сложнее, чем СЛАУ? Дело в том, что в случае нелинейных уравнений намного сложнее подобрать такие начальные значения, чтобы численное решение сходилось к реальным значениям корней уравнений. Честно говоря, со СЛАУ тоже не всегда все так просто, как я в прошлый раз сказал, однако в крайнем случае можно заставить MathCAD решить СЛАУ аналитически, а затем просто подставить конкретное численное значение какого-нибудь коэффициента. С нелинейными системами такой прием, что называется, «не покатит». Именно поэтому для получения максимального точного решения многих из таких систем придется озадачиться такими вещами, как задание начальных значений для наших переменных.

Первый способ, который я вам предложу, сразу предупреждаю, для людей неленивых. Заключается он в банальном подборе значений переменных собственными руками. То есть для начала берем начальные значения «с потолка» и решаем систему с помощью Find’а. Подставляем значения, выданные этой функцией, в исходные уравнения и смотрим, насколько они похожи на истинные решения. Если уравнения обращаются при подстановке в верные равенства, то все хорошо: либо система была простой, либо в вас дремлет талант подбирателя корней уравнений. Но если равенством после подстановки и близко не пахнет, то придется попотеть. Нужно начать изменять значения начальных приближений для каждой переменной и смотреть, как это отразится на близости выражений, получившихся после подстановки решений в уравнения, к равенствам. Таким нехитрым методом можно за не столь долгое время, как может сначала показаться, добиться хорошего приближения начальных значений к реальным решениям. И, несмотря на явный садомазохистский характер данного метода, он имеет то неоспоримое преимущество, что действует железно на любые системы и любые переменные — было бы терпение.

Второй метод, который я хочу предложить, этим достоинством не обладает, но зато и не требует от пользователя столь деятельного участия в решении. Думаю, вы сами сможете сформулировать главный его недостаток, если я скажу, что с этим методом мы уже сталкивались, и заключается он в построении графиков для уравнений, входящих в систему. Да, главный недостаток — это сложность в применении к системам уравнений, содержащим более трех переменных. Сложно, сами понимаете, изобразить на мониторе компьютера 25-мерное пространство для отображения решений системы с 25-ю переменными. Но для тех систем, которые содержат две или три переменные, построить график мы вполне сможем. Однако для этого сначала нужно научиться строить графики уравнений.

Построение графиков параметрических кривых

Наиболее простым способом построения графика уравнения в MathCAD’е является параметризация входящих в него переменных друг через друга или через какую-то третью переменную. Что это означает? Поясню на примере. Например, у нас есть уравнение окружности x2 + y2 = 5. Если вы попытаетесь записать функцию f(x, y) = x2 + y2 — 5, а потом построить ее график от x или от y, то вас ожидает разочарование. То, что в итоге выдаст на экран MathCAD, будет так же мало похоже на окружность, как сам MathCAD — на пасьянс «Косынка». Придется придумывать что-то другое. Например, можно подобрать такие функции переменной t, которые, будучи возведенными в квадрат, в сумме тоже дадут пять. Естественно, такими функциями будут тригонометрические — синус и косинус от переменной t, помноженные на корень из пяти. Если мы выразим таким образом x и y через t, то мы параметризуем наше уравнение и уже сможем успешно построить график x(t) от y(t) или же y(t) от x(t) — впрочем, в данном случае в силу симметричности это будет уже не столь важно.

Для того, чтобы решить систему уравнений, нужно просто подобным образом параметризовать и второе уравнение. Вполне возможно, что, как и в нашем примере, оно вполне подойдет для того, чтобы банально выразить x через y или наоборот, после чего построение графика окажется особенно простым (см. соответствующий скриншот). Для нахождения начальных приближений достаточно воспользоваться уже знакомой нам с вами трассировкой — само собой, решением будет точка пересечения двух кривых на уравнении. Для того, чтобы получить более точное значение решения, чем предлагает нам трассировка, нужно, конечно же, подставить полученные с ее помощью координаты точки пересечения графиков в численное решение системы перед Given’ом. Последний скриншот иллюстрирует, что графики мы с вами построили правильно, и с его помощью действительно намного легче искать решение системы двух исходных уравнений. А легче хотя бы уже просто потому, что видно, какого количества корней мы вправе ожидать от нашей системы.

Но работа с трехмерными графиками в MathCAD’е не так проста, как с двумерными, поскольку и сама по себе поверхность — более сложный объект, чем кривая. С поверхностями можно ожидать немалого количества не самого приятного рода сюрпризов, так что лучше о них поговорить более подробно. Этим мы с вами и займемся в следующей статье из цикла о MathCAD’е.

Компьютерная газета. Статья была опубликована в номере 17 за 2008 год в рубрике soft