Урок математики в 7-м классе по теме «Графический способ решения уравнений»
Разделы: Математика
Цели: обучить новому способу решения уравнений, развивать умения анализировать, умения строить графики линейной и квадратичной функций, находить координаты их общих точек; формировать аккуратность, внимательность, интерес, культуру математической речи.
1. Организационный момент
Анализ выполнения самостоятельной работы «Квадратичная функция и её график».
2. Актуализация знаний и умений учащихся
Основные определения и понятия темы вспомним, разгадывая кроссворд. (Приложение 1, слайд 2)
- у = кх + в, у = кх, у = х 2 – всё это функции.
- График линейной функции – прямая. Сколько точек нужно для построения?
- График квадратичной функции – парабола? Как построить?
- Точка (0,0) – для параболы – вершина.
- Вторая координата точки – ордината.
- В записи у = кх + вх – аргумент.
- х + 5 = 0, х = – 5, что такое – 5? Корень.
- Первая координата точки – абсцисса.
- Парабола состоит из двух частей, каждая из которых называется – ветвь.
Прочитайте главное слово в кроссворде. Что оно означает? Уравнение – равенство, содержащее неизвестную.
Но разве мы сейчас учимся решать уравнение? Нет, изучаем функции. Наша задача связать два математических понятия – функции и уравнения. Тема сегодняшнего урока – «Графическое решение уравнений».
3. Подготовка к восприятию нового способа действия (Приложение 1, слайд 3)
а) 9 + 13х = 35 + 26х –13х = 26 х = – 2 | б) 3х – 2 = 1 3х = 3 х = 1 | в) 9х 2 + 0,27х = 0 9х(х + 0,03) = 0 9х = 0 х + 0,03 = 0 х = 0 х = –0,03 | г) х 2 – 25 = 0 (х – 5)(х + 5) = 0 х = 5 х = – 5 д) х 2 = х + 2? |
Не подходит ни один из известных способов.
А может, попробуем угадать корни?
Рассмотрим внимательно левую и правую части уравнения. Что напоминает? Функции квадратную и линейную. Но, между ними знак равенства.
y = x 2 и y = x + 2. Что одинаково в этих записях? Правые части равны, значит равны и левые. У графиков этих функции есть одинаковые значения y. Как их найти? Построить оба графика в одной системе координат. (Приложение 1, слайд 5)
Сколько таких точек? Назовите их координаты ((–1; 1),(2; 4)) Но каждая точка – (x; у), а в уравнении только – х. Значит в ответе – х.
Таким образом, мы с вами решили уравнение графическим способом. Назовем все этапы. (Приложение 1, слайд 6)
- Уравнение разбиваем на две функции.
- Строим графики в одной системе координат.
- Находим точки пересечения.
- Ответ – только х.
x 2 = –3x
y = х 2 и у = – 3х
Х | 0 | 1 |
У | 0 | – 3 |
Пауза – сказка. Инсценировка с участием двух учениц. (Приложение 1, слайд 8)
“Жили-были два графика: Парабола и Прямая. Очень они друг друга недолюбливали. Их мамами были квадратичная и линейная функции (двоюродные сестры). Парабола говорила: “Я такая изящная и гибкая! У меня две ветви! А в тебе, Прямая, нет ничего особенного”. А Прямая твердила в ответ: “Нет, я самая стройная, не то, что эта горбатая парабола!”.
В один из теплых осенних дней гуляли графики в системе координат имени Декарта. Долго они гуляли, каждая сама по себе и рассуждали вслух о том, что она самая красивая и умная. Вдруг встретились они в одной общей точке и стали ругаться. Парабола кричит: “Уходи, это моя точка!”. А Прямая в ответ: “ Ты ошиблась, парабола! Эта точка принадлежит мне”. Долго они спорили. Никто из них и не заметил, как теплый день плавно перешел в прохладный вечер. В конце концов, графики поняли, что у них есть что-то общее – ведь точка принадлежала обеим функциям и являлась их точкой пересечения. С тех пор прямая и парабола стали жить, поживать и добра наживать”.
4. Закрепление материала. Самостоятельное решение
Ответ: Нет корней
х 2 + 2х – 3 = 0. Как поступить? Ваше мнение? (Приложение 1, слайд 11)
х 2 = – 2х + 3
у = х 2
у = – 2х +3
– Какие 2 математических понятия мы связали и для чего? (Функции и уравнения, чтобы решить уравнения)
– Как решить уравнение графическим способом?
– Этот способ будем применять в старших классах по мере изучения новых функций.
– Сложно ли решать уравнение?
Надо же как все просто…
Как научиться ходить. Потом ты начинаешь удивляться, что в этом было такого сложного.
График линейной функции, его свойства и формулы
О чем эта статья:
Понятие функции
Функция — это зависимость y от x, где x является независимой переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции. |
---|
Задать функцию значит определить правило, следуя которому по значениям независимой переменной можно найти соответствующие значения функции. Вот какими способами ее можно задать:
Табличный способ помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
Словесный способ.
Графический способ — наглядно. Его мы и разберем в этой статье.
График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу. |
---|
Понятие линейной функции
Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент. |
---|
Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.
Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.
Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.
Нам дана функция: у = 0,5х — 2. Значит:
если х = 0, то у = -2;
если х = 2, то у = -1;
если х = 4, то у = 0 и т. д.
Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:
х | 0 | 2 | 4 |
y | -2 | -1 | 0 |
Графиком линейной функции является прямая. Для ее построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.
Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.
k и b — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.
Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты k и b.
Функция | Коэффициент k | Коэффициент b |
---|---|---|
y = 2x + 8 | k = 2 | b = 8 |
y = −x + 3 | k = −1 | b = 3 |
y = 1/8x − 1 | k = 1/8 | b = −1 |
y = 0,2x | k = 0,2 | b = 0 |
Может показаться, что в функции y = 0,2x нет числового коэффициента b, но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа y = kx + b есть коэффициенты k и b.
Свойства линейной функции
Область определения функции — множество всех действительных чисел.
Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.
График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.
Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:
b ≠ 0, k = 0, значит, y = b — четная;
b = 0, k ≠ 0, значит, y = kx — нечетная;
b ≠ 0, k ≠ 0, значит, y = kx + b — функция общего вида;
b = 0, k = 0, значит, y = 0— как четная, так и нечетная функция.
Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.
График функции пересекает оси координат:
ось абсцисс ОХ — в точке (−b/k; 0);
ось ординат OY — в точке (0; b).
x = −b/k — является нулем функции.
Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.
Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х.
Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k 0 функция принимает отрицательные значения на промежутке (−∞; −b/k) и положительные значения на промежутке (−b/k; +∞).
При k 0, то этот угол острый, если k
Построение линейной функции
В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида у = kx + b, достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.
Например, чтобы построить график функции y = 1/3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:
В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:
если k > 0, то график наклонен вправо;
если k 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;
если b 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>
Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>
Если k > 0 и b
В задачах 7 класса можно встретить график уравнения х = а. Он представляет собой прямую линию, которая параллельна оси ОY все точки которой имеют абсциссу х = а.
Важно понимать, что уравнение х = а не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.
Например, график уравнения х = 3:
Условие параллельности двух прямых:
График функции y = k1x + b1 параллелен графику функции y = k2x + b2, если k1 = k2.
Условие перпендикулярности двух прямых:
График функции y = k1x + b1 перпендикулярен графику функции y = k2x + b2, если k1k2 = −1 или k1 = −1/k2.
Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:
С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.
Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).
С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = −b/k.
Координаты точки пересечения с осью OX: (−b/k; 0).
Решение задач на линейную функцию
Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!
Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.
В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.
Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.
Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:
Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x — 10
Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).
Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:
Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).
Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.
Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство.
Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.
Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.
Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.
Ответ: уравнение прямой y = 3x — 2.
Презентация по математике на тему «Графическое решение уравнений» (7 класс)
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Выберите документ из архива для просмотра:
Выбранный для просмотра документ графическое решение уравнений.ppt
Описание презентации по отдельным слайдам:
Урок математики в 7-м классе по теме «Графическое решение уравнений» Составила учитель математики КГКОУ КВСОШ №5 Бойко Татьяна Анатольевна
1. y=kx+b, y=kx, y=x² — все это … ? Ф У Н К Ц И Я 2. График линейной функции — …. П Р Я М А Я 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 3.График квадратичной функции — … ? П А Р А Б О Л А 4. Точка (0,0) – для параболы … ? 5. Вторая координата точки — …? 6. В записи y=kx+b x — …? 7. X+5=0, x=-5, что такое -5? 8. Первая координата точки — …? 9. Парабола состоит из двух частей, каждая из которых называется — …? В Е Р Ш И Н А О Р Д И Н А Т А А Р Г У М Е Н Т К О Р Е Н Ь А Б С Ц И С С А В Е Т В Ь функция и уравнение ?
1) 9 +13x=35+26х 2) 3x²+6х=0 3) x² — 49 =0 4*) x² = x + 2 Х = — 2 Х1 = — 2; Х2 = 0 Х1 = -7; Х2 = 7 Х1 = -1; Х2 = 2
-13x=26 x=-2 (x-7)(x+7)=0 x=7 x=-7 3x(x+2)=0 3x=0 x+2=0 x=0 x=-2 x²- x — 2=0 x²+x – 2x — 2=0 x(x+1)-2(x+1)=0 (x+1)(x-2)=0 x= — 1 x=2
Ответ: х=-1; х=2 y=x² y=x+2 x² = x + 2 y=x+2 функция и уравнение ? (2; 4) (-1; 1) (х; y) Х01 у23
Тема урока Математика
Ответ: х=-1; х=2 y=x² y=x+2 x² = x + 2 y=x+2 (2; 4) (-1; 1) (х; y)
Уравнение разбиваем на 2 функции: y = х2 (или y = -х2 )и y = kx + b. Строим графики функций в одной системе координат. Отмечаем все точки пересечения графиков функций. Находим абсциссы точек пересечения (это и есть корни уравнения). Алгоритм:
Каким может быть взаимное расположение прямой и параболы? Пересекаются в двух точках Не пересекаются Касаются в одной точке
x²=2x-1 x²=2x-3 -x²=-x-2 x²+x-6=0 5) 6) 7) 8*)
Решить графически уравнение x²+x-6=0 1. Перенесем -6 в правую часть уравнения. Получим равносильное данному уравнение x²+x=6 2. Построим графики функций y=x²+x и у=6 ?
Решить графически уравнение x²+x-6=0 1. Перенесем x-6 в правую часть уравнения. Получим равносильное данному уравнение x²=-x+6 2. Построим графики функций у=x² и у=-x+6 ?
Решить уравнение x²=-x+6 у=х² у=-6х-8 Ответ: х=-4;х=-2 -4 -2 X Y -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 Ответ: -3; 2.
Какие 2 математических понятия мы связали и для чего? Какую цель мы ставили на уроке? Какими умениями вы оперировали? Что получилось, а над чем Вам придется поработать? Как решить уравнение графическим способом? Сложно ли решать уравнение?
Надо же как всё просто… Как научиться ходить. Потом ты начинаешь удивляться, что в этом было такого сложного. Р. Бах «Иллюзии»
Выбранный для просмотра документ графическое решение уравнения.docx
Цели: обучить новому способу решения уравнений, развивать умения анализировать, умения строить графики линейной и квадратичной функций, находить координаты их общих точек; формировать аккуратность, внимательность, интерес, культуру математической речи.
Французский писатель XIX столетия Анатоль Франс однажды заметил: «Учиться можно только с интересом. Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом!». Давайте будем следовать совету писателя: будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием. В листе оценивания вы будете выставлять баллы, полученные вами за каждый этап урока. Открываем тетради и записываем число, классная работа. Тему урока сформулируем немного попозже.
2. Актуализация знаний и умений учащихся
На прошлых уроках мы говорили о функции у=х 2 и ее графике. Давайте вспомним основные определения и понятия темы, разгадывая кроссворд. (слайд 2)
График линейной функции – прямая. Сколько точек нужно для построения?
График квадратичной функции – парабола ? Как построить?
Точка (0,0) – для параболы – вершина.
Вторая координата точки – ордината.
х+5=0, х= -5, что такое -5? — к орень.
Первая координата точки – абсцисса.
Парабола состоит из двух частей, каждая из которых называется – ветвь.
Прочитайте главное слово в кроссворде. Что оно означает? Уравнение – равенство, содержащее неизвестную.
Но можно ли связать два математических понятия – функция у=х 2 (с которой мы познакомились) и уравнение? Давайте разбираться. Но для начала предлагаю вам решить самостоятельно несколько уравнений. На эту работу даю вам 7 мин.
3. Подготовка к восприятию нового способа действия (слайд 3)
2) 3х 2 + 6х = 0
3х(х + 2) = 0
0 или х + 2 = 0
х = -2
3) х 2 – 49 = 0 4 * ) х 2 = х + 2
(х – 7)(х + 7) = 0 х 2 — х – 2=0
х = 7 или х = – 7 х 2 + х — 2х – 2=0
Последнее уравнение мы решали способом группировки, такой способ как видно сложен для восприятия, да к тому же не всегда подходит. Как быть? А может, попробуем угадать корни?
Рассмотрим внимательно левую и правую части уравнения. Что напоминает? Функции квадратичную и линейную. Но, между ними знак равенства. y = x 2 и y = x + 2. Что одинаково в этих записях? Правые части равны, значит равны и левые. У графиков этих функции есть одинаковые значения y. Как их найти? Построимь оба графика в одной системе координат. Как мы видим прямая пересекает параболу в 2-х точках. (слайд 5)
Сколько таких точек? Назовите их координаты ((–1; 1),(2; 4)) Но каждая точка – (x; у), а в уравнении только – х. Значит в ответе – х. Это абсциссы точек, в которых пересекаются построенные графики. Ответ: х=–1; х=2
Нашей задачей было выяснить, как связаны понятия – функция у=х 2 и уравнение. Решили уравнение с помощью графиков функций. Таким образом, мы с вами решили уравнение графическим способом. Поэтому темой сегодняшнего урока будет «Графическое решение уравнений». (слайд 6) Какое умение вы будете показывать сегодня? Как бы вы озвучили цель нашего урока? Цель: уметь решать уравнения графическим способом. (слайд 7)
Назовем все этапы алгоритма решения уравнения графическим способом. (слайд 8)
Уравнение разбиваем на 2 функции: y = х 2 (или y = -х 2 ) и y = k x + b .
Строим графики функций в одной системе координат.
Отмечаем все точки пересечения графиков функций.
Находим абсциссы точек пересечения (это и есть корни уравнения). (слайд 9)
Первичное осмысление материала. (слайд 10)
Вчера на уроке мы с вами говорили о взаимном расположении прямой и параболы.
Каким может быть взаимное расположение прямой и параболы?
Пересекаются в двух точках
Касаются в одной точке
А что это нам дает при решении уравнений?
Уравнение имеет 2 корня
Уравнение корней не имеет
Уравнение имеет 1 корень
4. Закрепление материала. Самостоятельная работа с самопроверкой. (10 мин)
x² =2 x -3 Ответ: корней нет
— x² =- x -2 Ответ: х=-1, х=2
8 * ) x²+x -6=0 Ответ: х=-3, х=2
5. Итоги урока (слайд 16) Урок подходит к концу, давайте подведём итоги. Какую цель мы ставили на уроке? Справились мы с поставленными задачами? Какими умениями вы оперировали? (умения анализировать, умения строить графики линейной и квадратичной функций, находить координаты их общих точек; быть внимательным и аккуратным, культуру математической речи) На следующем уроке мы продолжим отработку этих умений.
– Какие 2 математических понятия мы связали и для чего? (Функции и уравнения, чтобы решить уравнения)
– Как решить уравнение графическим способом?
– Этот способ будем применять в старших классах по мере изучения новых функций.
– Сложно ли решать уравнение?
«Надо же как все просто…Как научиться ходить. Потом ты начинаешь удивляться, что в этом было такого сложного».
Что получилось, а н ад чем Вам придется поработать? Показал/ не показал умение
А теперь продолжите предложение:
Сегодня на уроке я научился…
Сегодня на уроке мне понравилось…
Сегодня на уроке я повторил…
Сегодня на уроке я закрепил…
Сегодня на уроке я поставил себе оценку …
Какие виды работ вызвали затруднения и требуют повторения…
В каких знаниях уверен…
Помог ли урок продвинуться в знаниях, умениях, навыках по предмету…
Кому, над, чем следовало бы ещё поработать…
Насколько результативным был урок сегодня…
Оценочные листы сдайте. Спасибо за урок!
http://skysmart.ru/articles/mathematic/grafik-linejnoj-funkcii
http://infourok.ru/prezentaciya-po-matematike-na-temu-graficheskoe-reshenie-uravneniy-klass-2243090.html