Построение графиков уравнений с модулем

Графики функций, содержащих переменную под знаком модуля. Обобщающее повторение при подготовке к экзамену

Разделы: Математика

Определение модуля

Алгебрагическое определение: | x | =

Геометрическое определение: модулем числа называется расстояние от точки, изображающей это число, до начала отсчета.

Понятие модуля впервые вводится в 6 классе, в 7 классе рассматривается линейная функция и ее график и уже можно показывать построение несложных графиков функций, содержащих модуль. Далее, по мере изучения различных функций, их свойств, каждую такую тему можно заканчивать рассмотрением более сложных графиков, в том числе с модулем. В этой статье рассматриваются основные приемы построения графиков таких функций.

I. На алгебрагическом определении основан метод «раскрытия модуля на промежутках».

Например: | x + 2 | = | x + 2 | =

Этот метод можно применять при построении графиков функций, содержащих один или более модулей. Например, построим график функции у = | x + 2 | – 2x + 1 , предварительно упростив ее.

у = у =

Если модулей несколько, то каждый из них раскрываем на промежутках относительно точек, обращающих каждый из них в нуль. Например, построим график функции у = | 3 – x | – x + | x + 2 | + 1.

Функцию записываем как кусочно-заданную:

у =

Подобно тому, как числовая прямая точками – 2 и 3 разбивается на промежутки, координатная плоскость прямыми х = – 2 и х = 3 разбивается на части («полосы»), в каждой из которых строим свой график. Заметим, что данная функция непрерывна, поэтому на «границах» части графика должны соединяться.

II. Этот метод можно применять к функциям разных видов.

Например, построим график функции у = | log₂ x – 1 | – log_0,5 x.

Заметим, что х > 0.

Построим сначала график функции у = х 2 – 2х – 3. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Координаты ее вершины: х = 1, у = – 4. Точки пересечения параболы с осями координат: (0; – 3); (– 1; 0); (3; 0). Далее выполняем отображение части графика, лежащей в нижней полуплоскости, относительно оси абсцисс.

2) у = f(| x |). Используем определение модуля: f(| x |) =

Чтобы построить график такой функции строим график функции у = f(x) и берем ту его часть, где х > 0 (в правой полуплоскости). Затем эту часть симметрично отображаем в левую полуплоскость, где х 2 – 2| х | – 3. Сначала строим график функции у = х 2 – 2х – 3, далее выполняем указанные преобразования.

3) Построим график функции y = | f(| x |)|, например, y = | x 2 – 2| х | – 3 |, выполним последовательно преобразования, рассмотренные в пунктах 2 и 1.

4. Рассмотрим зависимость | y | = f(x). Ее нельзя назвать функцией, так как не выполняется условие: каждому значению х должно соответствовать единственное значение у.

Рассмотрим построение графика такой зависимости (можно говорить «графика уравнения»). Используем определение модуля: у = f(x), если у > 0, – у = f(x), y = – f(x), если у 0; чтобы построить график в нижней полуплоскости (где у 2 – 2х – 3

Заметим, что графики, не относящиеся к рассмотренным частным случаям, следует строить « раскрывая модули на промежутках».

1

0

– 1

y

0

IV. Приведем некоторые примеры

1. Построим график уравнения | y | = arccos| x |.

2. Графическим способом можно решать и неравенства с двумя переменными. Например, решением неравенства | y | 2 – 4 | x | + 3 |; y = + 1.

2. Решите графически уравнения c одной и двумя переменными: | 3 – x | – 3 = 2| x | – x 2 ; | y | = 2| x | – x 2 ; = | x – 2,5 | –1,5.

3. Решите графически неравенства с двумя переменными: | y | > x 2 4x + 3; | x | + | y | 15.11.2011

Построение графиков уравнений с модулем

Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!

Контакты

Администратор, решение задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

Графики прямой, параболы, гиперболы, с модулем

Пошаговое построение графиков.

«Навешивание» модулей на прямые, параболы, гиперболы.

Графики — самая наглядная тема по алгебре. Рисуя графики, можно творить, а если еще и сможешь задать уравнения своего творчества, то и учитель достойно это оценит.

Для понимания друг друга введу немного «обзываний» системы координат:

Для начала построим график прямой y = 2x − 1.

Не сомневаюсь, что ты помнишь. Я напомню себе, что через 2 точки можно провести одну прямую.

Возьмем значение X = 0 и Х = 1 и подставим в выражение y = 2x − 1, тогда соответственно Y = − 1 и Y = 1

Через данные две точки А = (0; −1) и B = (1; 1) проводим единственную прямую:

А если теперь добавить модуль y = |2x − 1|.

Модуль — это всегда положительное значение , получается, что «y» должен быть всегда положительным.

Значит, если модуль «надет» на весь график, то, что было в нижней части «−y», отразится в верхнюю (как будто сворачиваете лист по оси х и то, что было снизу, отпечатываете сверху).

Получается такая зеленая «галочка».

Красота! А как же будет выглядеть график, если надеть модуль только на «х»: y = 2|x| − 1?

Одна строчка рассуждений и рисуем:

Модуль на «x», тогда в этом случае x = −x, то есть все, что было в правой части, отражаем в левую. А то, что было в плоскости «−x», убираем.

Здесь отражаем относительно оси «y» . Такая же галочка, только теперь через другую ось.

Смертельный номер: y = |2|x| − 1|.

Черную прямую y = 2x − 1 отражаем относительно оси Х, получим y = |2x − 1|. Но мы выяснили, что модуль на х влияет только на левую часть.

В правой части: y = |2x − 1| и y = |2|x| − 1| идентичны!

А после этого отражаем относительно оси «y» то, что мы получили справа налево:

Если ты человек амбициозный, то прямых тебе будет мало! Но то, что описано выше, работает на всех остальных графиках, значит делаем по аналогии.

Разберем по винтикам параболу y = x² + x − 2. Точки пересечения с осью «x» получим с помощью дискриминанта: x ₁ = 1 и x ₂ = -2.

Можно найти вершину у параболы и взять пару точек для точного построения.

А как будет выглядеть график: y = |x²| + x − 2? Слышу: «Такого мы еще не проходили», а если подумаем? Модуль на x², он же и так всегда положителен, от модуля тут толку, как от стоп-сигнала зайцу − никакого.

При y = x² + |x| − 2 все так же стираем всю левую часть, и отражаем справа налево:

А дальше что мелочиться: рассмотри сразу остальные графики с модулем!

Следующий смертельный номер: |y| = x² + x − 2, подумай хорошенько, а еще лучше попробуй нарисовать сам.

При положительных значениях «y» от модуля нет смысла − уравнения y = x² + x − 2, а при «−y» ничего не меняется, будет так же y = x² + x − 2!

Рисуем параболу в верхней части системы координат (где у > 0), а затем отражаем вниз.

А теперь сразу комбо:

Cиний: похож на y = x² + |x| − 2, только поднят вверх. Строим график в правой части, а затем отражаем через ось Y влево.

Оранжевый: строим в правой части и отражаем относительно оси Х. Доходим до оси Y и отражаем все что было справа налево. Двойка в знаменателе показывает, что график будет «шире», расходится в бока он быстрее остальных.

Зеленый: Так же начинаем с правой части и отражаем относительно оси оси Y. Получается график y = |x² + x − 2|, но еще есть −2, поэтому опустим график на 2 вниз. Теперь параболы как бы отражается относительно Y = − 2.

Легкий и средний уровень позади, и настала пора выжать концентрацию на максимум , потому что дальше тебя ждут гиперболы, которые частенько встречаются во второй части ЕГЭ и ОГЭ.

y = 1/x — простая гипербола, которую проще всего построить по точкам, 6-8 точек должно быть достаточно:

А что будет, если мы добавим в знаменателе «+1»? График сдвинется влево на единицу:

А что будет, если мы добавим в знаменателе « − 1»? График сдвинется вправо на единицу.

А если добавить отдельно «+1» y = (1/x) + 1? Конечно, график поднимется вверх на единицу!

Глупый вопрос: а если добавить отдельно «−1» y = (1/x) − 1? Вниз на единицу!

Теперь начнем «накручивать» модули: y = |1/x + 1| — отражаем все из нижней части в верхнюю.

Возьмем другой модуль, мой амбициозный друг, раз ты дошел до этогог места: y = |1/(x + 1)|. Как и выше, когда модуль надет на всю функцию, мы отражаем снизу вверх.

Можно придумывать массу вариантов, но общий принцип остается для любого графика. Принципы повторим в выводах в конце статьи.

Фиолетовый: Вычитаем из дроби −1 и сдвигаем график вниз на единицу. Ставим модуль − отражаем все, что снизу вверх.

Оранжевый: Ставим +1 в знаменателе и график смещается влево на единицу. Вычитаем из дроби −1 и сдвигаем график вниз на единицу. А после этого ставим модуль − отражаем все, что снизу вверх.

Зеленый: Сначала получим фиолетовый график. После этого ставим «−» и отражаем график по горизонтали. Сгибаем лист по оси Х и переводим его вниз. Остается добавить +1, это значит, что его нужно поднять вверх на единицу.

Модули не так уж страшны, если еще вспомнить, что их можно раскрыть по определению:

И построить график, разбив его на кусочно-заданные функции.

Например для прямой:

Для параболы с одним модулем будет два кусочно-заданных графика:

C двумя модулями кусочно-заданных графиков будет четыре:

Таким способом, медленно и кропотливо можно построить любой график!

1. Модуль — это не просто две палочки, а жизнерадостное, всегда положительное значение!
2. Модулю без разницы находится он в прямой, параболе или еще где-то. Отражения происходят одни и те же.
3. Любой нестандартный модуль можно разбить на кусочно-заданные функции, условия только вводятся на каждый модуль .
4. Существует большое количество модулей, но парочку вариантов стоит запомнить, чтобы не строить по точкам:

• Если модуль «надет» на все выражение (например, y = |x² + x − 2|), то нижняя часть отражается наверх.
• Если модуль «надет» только на х (например, y = x² + |x| − 2), то правая часть графика отражается на левую часть. А «старая» левая часть стирается.
• Если модуль «надет» и на х, и на все выражение (например, y = |x² + |x| − 2|), то сначала отражаем график снизу вверх, после этого стираем полностью левую часть и отражаем справа налево.
• Если модуль «надет» на y (например, |y| = x² + x − 2), то мы оставляем верхнюю часть графика, нижнюю стираем. А после отражаем сверху вниз.