Построение конечно разностной схемы для уравнения адвекции
Рассмотрим уравнение, которое описывает локальные изменения некоторой скалярной величины (это может быть, например, температура или концентрация растворенных и/или взвешенных веществ), обусловленные только переносом (адвекцией) по заданным траекториям:
где U, V, W представляют собой компоненты скорости вдоль трехмерной декартовой системы координат. Это уравнение имеет важное самостоятельное значение, поскольку необходимость в его решении появляется на одном из этапов метода расщепления по физическим процессам. Качество общего решения задачи адвекции — диффузии — реакции сильно зависит от того, каким образом аппроксимированы члены, описывающие адвективный перенос. Ошибки аппроксимации, проявляющиеся в виде паразитной дисперсии и аппроксимационной вязкости, приводят не только к количественному, но и к качественному искажению получаемого решения. Ввиду большой практической значимости, проблема поиска новых направлений кардинального улучшения диссипативных и дисперсионных свойств численных схем для уравнения переноса является чрезвычайно актуальной, а соответствующая задача может быть отнесена к разряду фундаментальных задач вычислительной гидродинамики. Именно важностью приложений объясняется большое внимание исследователей к решению подобного рода уравнений. В последние годы интенсивное изучение проблем механики сплошной среды, прогноза погоды, распространения загрязняющий веществ, динамики океана привело к разработке достаточно универсальных и эффективных методов численного уравнения адвекции (Вабищевич и др., 2000; Марчук, 1974; Марчук, 1982; Рождественский, Яненко, 1978; Роуч, 1980; Самарский, Вабищевич, 1998; Arakawa, 1997; Bryan, 1997). Наряду с этим продолжается и поиск принципиально новых подходов к решению этой задачи (Головизнин, Карабасов, 1998; Головизнин, Самарский, 1998; Головизнин, Самарский, 1998). В данном разделе мы рассмотрим некоторые из таких подходов.
Рассмотрим сначала простейший, одномерный, вариант уравнения переноса субстанций вдоль траекторий с постоянной скоростью :
где — начальное распределение при . Скорость адвекции U можно рассматривать как фазовую скорость перемещения возмущения вдоль оси , которое в начальный момент времени представляет собой волну:
где — амплитуда в начальный момент времени, — волновое число, L — длина волны, — мнимая единица. Найдем решение уравнения (82) методом разделения переменных. Представим в виде произведения некоторых двух функций:
После подстановки выражения (84) в уравнение (82) и деления результата на получим
Выполнив интегрирование, получим:
или , , где , — постоянные интегрирования. Следовательно, , . Искомая функция —
Используя начальное условие (83), имеем: , , а следовательно, окончательное решение можно представить в следующем виде:
при условии, что — есть дифференцируемая функция. Это решение описывает процесс начального возмущения вдоль характеристики . Это означает, что на любой прямой . Итак, задача (82) при определяет процесс распространения возмущения в сторону возрастающих значений . Это, хорошо известное положение учитывается и при конструировании разностных схем для уравнения адвекции. Среди наиболее употребительных на практике схем для численного решения одномерного уравнения переноса можно отметить следующие схемы (Белов и др., 1989; Мезингер, Аракава, 1979; Роуч, 1980):
·согласованную, трехуровневую по времени, условно устойчивую схему центральных разностей второго порядка точности. Условие устойчивости для данной схемы соответствует критерию Куранта — Фридрихса — Леви (КФЛ): ;
·согласованную неявную схему направленных разностей первого порядка точности. Эта схема абсолютно устойчива и диссипативна, но ей свойственна вычислительная вязкость;
·неявную двухуровенную схему трапеций второго порядка (схема Кранка-Николсона). Эта схема нейтральна и абсолютно устойчива при любых шагах по пространству и времени. Кроме того она свободна от эффекта вычислительной вязкости;
·согласованную двухтактную схему Мацуно (Эйлера с пересчетом), первого порядка точности по времени и второго — по пространству. Эта схема устойчива при выполнении критерия КФЛ. Ей свойственна вычислительная вязкость, причем вязкость максимально воздействует на волны длиной . На волны длиной счетная вязкость не влияет;
·согласованную явную схему четвертого порядка точности по пространству и второго — по времени. Схема условно устойчивая, причем условие устойчивости оказывается более жестким, чем для схем первого и второго порядка по пространству. Для схем четвертого порядка по пространству шаг по времени должен быть примерно на 27% меньше, чем для схем второго порядка (при одних и тех же U и ). В случае применения этой схемы эффект вычислительной вязкости не проявляется;
·явную согласованную схему Лакса-Вендрофа второго порядка точности. Важным достоинством схемы является ее способность подавлять волны длиной , которые нельзя правильно представить на сетке. Тем самым появляется возможность демпфирования коротких волн в процессе численного интегрирования уравнений. Схема условно устойчива. Условие устойчивости соответствует критерию КФЛ. При схема Лакса-Вендрофа диссипативна. По мере увеличения длин волн диссипативность схемы уменьшается.
В работах (Головизнин, Карабасов, 1998; Головизнин, Самарский, 1998; Головизнин, Самарский, 1998) предложена принципиально новая базисная линейная разностная схема для одномерного модельного уравнения конвективного переноса с постоянной скоростью, названная схемой «кабаре». Эта схема имеет ряд уникальных особенностей, в связи с чем ее дальнейшее изучение представляет как теоретический, так и прикладной интерес. Главной особенностью схемы «кабаре» является то, что она оказывается точной при двух различных числах Куранта, лежащих в области ее устойчивости. Это означает, что в этих случаях данная схема не содержит также и аппроксимационной дисперсии, что обеспечивает наличие у нее достаточно хороших транспортных свойств. Так, на нерегулярной расчетной сетке схема без существенного искажения переносит нетривиальные начальные распределения на расстояния, на порядок больше, чем это позволяют классические линейные схемы, такие, например, как схема Лакса-Вендрофа. Другая особенность схемы заключается в том, что она имеет второй порядок аппроксимации на нерегулярных расчетных сетках и исключает распространение возмущений вверх по потоку. Кроме того, схема «кабаре» является консервативной (дивергентной), и для нее автоматически выполняется закон сохранения квадрата переносимой функции, который является аналогом закона сохранения энергии. Поэтому можно говорить о том, что эта схема обладает свойством полной консервативности. Путем тестовых расчетов было показано, что при наличии значительных пространственных вариаций у переносимого профиля решение теряет свою монотонность. Поэтому в схему «кабаре», как и в другие малодиссипативные линейные схемы, необходимо включать алгоритмы нелинейной коррекции, монотонизирующие получаемые решения (Головизнин, Карабасов, 1998). Есть все основания полагать, что распространение данной схемы на многомерный случай может также привести к получению качественно новых результатов.
Если скорость — переменная по пространству и во времени, то нахождение задачи (82) в аналитическом виде, в общем случае, невозможно. Именно в таких ситуациях и оказывается необходимым применение численных методов, основанных на разностных аппроксимациях. Следует только иметь виду, что даже при использовании неявных диссипативных разностных схем возможно нарушение счетной устойчивости (Белов и др., 1989). Особенно это проявляется в нелинейных задачах. Это объясняется следующим (Мезингер, Аракава, 1979). Если разложить решение разностной задачи и коэффициент в ряд Фурье, то произведения рядов Фурье приведут к гармоникам как более длинным, чем взаимодействующие, так и более коротким. В результате такого процесса в ряде случаев может произойти перекачка «энергии» от ошибок округления из длинных волн в более короткие, и процесс вычислений окажется неустойчивым, даже несмотря на то, что данная разностная схема с постоянным коэффициентом будет счетно устойчивой. Она также иногда появляется и при решении линейных задач с переменными коэффициентами. Поэтому построение разностных схем для нелинейных уравнений с переменными коэффициентами, устойчивых в отношении к любым возмущениям, является чрезвычайно актуальной задачей. В большинстве случаев подавление счетной неустойчивости возможно с помощью диссипативных разностных схем, отвечающих определенному выбору коэффициента счетной вязкости. Однако такие схемы, как правило, оказываются схемами первого порядка аппроксимации либо по , либо по , либо и по , и по .
Рассмотрим теперь задачу адвекции на плоскости :
Здесь , . Будем предполагать, что компоненты вектора скорости U, V в каждый момент времени удовлетворяют уравнению неразрывности
Пусть область представляет собой прямоугольник и решение задачи (86) вместе с коэффициентами U и V является периодическим, то есть принимает на границах прямоугольника одинаковые значения. Используя оператор конвективного переноса в недивергентной форме , задачу (86) — (87) можно записать в операторной форме:
Покажем, что в исследуемой задаче оператор удовлетворяет условию . Действительно, рассматривая гильбертово пространство со скалярным произведением, запишем
Преобразуем подынтегральное выражение, используя для этого уравнение неразрывности (89). Получим: . Поэтому . Отсюда, с помощью условия периодичности решения на границах расчетной области, получаем доказательство условия . Из этого вытекает важный вывод о том, что оператор является кососимметрическим и, следовательно, допускает конструирование абсолютно устойчивых разностных схем.
Попытаемся теперь оператор расщепить таким образом, чтобы каждый из элементарных операторов также удовлетворял условию
В этом случае разностная схема покомпонентного расщепления позволит получить абсолютно устойчивую разностную схему второго порядка точности. Важно заметить, что формальное разложение оператора на составные части
не удовлетворяет условию (93). В этом случае мы получаем следующие соотношения:
Таким образом, операторы в форме (94) не могут быть взяты в качестве элементарных для построения схемы последовательного расщепления.
Выберем теперь более сложную форму представления операторов :
Каждый из таких операторов теперь удовлетворяет условию (93), а сумма этих операторов в точности равна . В самом деле, составим сумму
Здесь мы воспользовались уравнением неразрывности (89).
Таким образом, все необходимые условия для применимости метода расщепления соблюдены и можно записать, например, схему двуциклического покомпонентногорасщепления на временном интервале для случая оператора :
Как было отмечено выше, если , то при достаточной гладкости решения задачи и элементов матриц система разностных уравнений (96) абсолютно устойчива и эта схема аппроксимирует исходную задачу со вторым порядком точности по . Кроме того, данный прием снимает весьма сильное требование коммутативности операторов. Это — важный и поучительный пример того, насколько существенно учитывать математические особенности решаемой задачи и сущность описываемых процессов. Формальное, прямолинейное применение методов расщепления может скомпрометировать саму идею.
Выписывая схему (96) мы еще ничего не сказали о путях рациональной аппроксимации оператора конвективного переноса по пространственным переменным . Удобным методом аппроксимации с сохранением аддитивных свойств оператора и его основных качественных особенностей является метод покоординатной аппроксимации (Марчук, 1980). Предположим, что поле скоростей достаточно гладкое и рассмотрим уравнение адвекции в дивергентной (консервативной) форме:
За основу построения разностной схемы возьмем оператор конвективного переноса С, который определяется выражением
а разностный аналог этого соотношения рассмотрим в виде
Разностное выражение (101) аппроксимирует исходный оператор (100) со вторым порядком относительно пространственных шагов и сетки при достаточной гладкости решения и поля скоростей . Однако выражение (101) имеет существенный недостаток, поскольку в такой форме оператор нарушает свою кососимметрическую структуру, то есть теперь . А это означает, что внешне привычная аппроксимация оказывается неудовлетворительной для построения вычислительного алгоритма решения поставленной задачи. Для того, чтобы соотношение выполнялось, необходимо осуществить аппроксимацию оператора (100) в следующем виде (Марчук, Саркисян, 1988):
где , , , . Выражение (102), так же как и (101), аппроксимирует исходный оператор (100) со вторым порядком относительно пространственных шагов сетки и . Таким образом построенный оператор сохраняет важное свойство кососимметричности и, более того, каждый из операторов и , определяемых выражениями
также удовлетворяет условиям , (Марчук, Саркисян, 1988).
Итак, необходимые пространственные аппроксимации оператора конвективного переноса проведены. Теперь задача состоит в решении системы обыкновенных дифференциальных уравнений
где , — вектор-функция времени t с компонентами , а каждый из операторов и удовлетворяет условиям , . Это значит, что данная задача может быть решена с помощью метода расщепления. Например, схема (96) двуциклического покомпонентногорасщепления на временном интервале для оператора будет иметь теперь следующий вид:
Таким образом, исходная задача (86) — (88) редуцировалась к системе простейших одномерных разностных уравнений, решение каждой их которых возможно с помощью метода факторизации трехточечных разностных уравнений (метода прогонки). Совершенно аналогично решается уравнение адвекции в трехмерном пространстве, когда оператор конвективного переноса расщепляется на три кососимметричных оператора.
Рассмотрим теперь другой вариант построения конечно-разностной схемы для двумерного уравнения адвекции (86) — (88) на интервале времени, равном шагу по времени от до — схему предиктор-корректор (Белов и др., 1989; Моделирование процессов переноса и трансформации вещества в море, 1979). Здесь уравнение (86) расщепляют на два уравнения так, чтобы в каждом из них присутствовали производные только по одной пространственной переменной:
Каждое из уравнений системы (107) решается на первой половине шага по времени, то есть на интервале от до , который разбивается на две части (дробных шага), с помощью следующих неявных двухточечных схем направленных разностей против потока:
Эти конечно-разностные схемы применяются последовательно так, что решение, полученное на предыдущем дробном шаге, используется в качестве начального условия для следующего дробного шага. В совокупности схемы (108), (109) обеспечивают получение решения на момент времени . Поскольку в этих схемах применяются направленные разности по времени и по пространству, то аппроксимация ими уравнения (86) имеет первый порядок точности. Схемы (108), (109) называются схемами предиктора.
Далее, на интервале времени от до , уравнение (86) решается с помощью схемы центральных разностей
которая аппроксимирует уравнение (86) уже со вторым порядком точности. Эта схема называется схемой корректора.
Рассмотрим более подробно решение системы уравнений (107). Поскольку оба уравнения этой системы однотипны, рассмотрим решение только первого уравнения
Для простоты разобьем шаг по времени на два равных интервала: от до и от до . На первом интервале (дробном шаге) от до используется схема предиктора
Двухточечные схемы (112) формально можно записать в виде единой трехточечной схемы, объединяющей случаи и :
где , , , . Схема (113), записанная для точек i = 1, 2, . I-1, представляет собой систему алгебраических уравнений, в которых содержатся неизвестные функции в трех соседних точках: , , . Матрица коэффициентов этой системы уравнений — трехдиагональная. В точках i = 0, i = I ставятся соответствующие задаче граничные условия (например, , ). Система уравнений (113) с граничными условиями является замкнутой. Для решения этой системы применяется метод разностной факторизации (прогонки). Запишем систему (113) в следующем виде:
Для того, чтобы обеспечить точное соблюдение граничных условий, полагаем , , , , , . Выразим из первого уравнения . Получим:
где , . Подставляя (115) во второе уравнение, найдем :
где , . Повторяя далее процесс подстановки, для некоторого промежуточного значения i получим:
где , . Для i = I-1 из (117) получим :
где , . Наконец, подставляя (118) в последнее уравнение системы (114), получаем:
Поскольку , , , то из (119) следует, что граничное условие при в точности выполняется. Таким образом, видно, что метод прогонки реализуется с помощью двух циклов вычислений, которые называются прогонками вперед и назад. На прогонке вперед (индекс i возрастает, пробегая значения i = 1, 2, . I-1) рассчитываются вспомогательные величины , , , . На прогонке назад (индекс i убывает, пробегая значения i = I-1, I-2, . 1) по формуле определяются искомые величины, причем .
Нетрудно убедиться в том, что граничные условия в точках , будут использоваться только тогда, когда поток направлен внутрь области определения решений. В противных случаях граничные условия не используются. Так, например, для водоемов на твердых границах, в створах вытекающих рек и на открытой границе обычно задается условие равенства нулю производной по направлению внешней нормали n к границе: .
Метод прогонки устойчив, если . Очевидно, что в данном случае это условие выполняется, поскольку , а .
Покажем, что аппроксимация уравнения (111) конечно-разностным уравнением (112) приводит к появлению эффекта счетной вязкости (Белов и др., 1989). Для этого разложим решение уравнения (111) в ряды Тейлора в окрестности точки , , :
Подставляя данные разложения в конечно-разностное уравнение (113), получаем:
где — коэффициент искусственной или «счетной» вязкости. При получении уравнения (120) предполагалось, что отброшенные члены в разложениях малы.
При определенных условиях (больших скоростях течения и/или шагах разностной сетки) эффект схемной вязкости значительно возрастает, что, естественно, приводит к существенному сглаживанию полей температуры или переносимой субстанции. Именно поэтому для уточнения решения и используется схема корректора второго порядка точности с центральными разностями, применение которой не приводит к появлению эффекта счетной вязкости. Схема корректора для уравнения (111) записывается в следующем виде:
Таким образом, применение схем предиктора и корректора обеспечивает получение решения в момент времени . Аппроксимация уравнения (111) схемами предиктора и корректора имеет второй порядок точности.
Покажем теперь, что комбинация схем (113) и (121) оказывается устойчивой. Воспользуемся для этого методом Неймана. Предположим, что . Пусть для определенности . В этом случае из (112) получаем:
Из конечно-разностных схем (121) и (122) исключим неизвестную величину с дробным временным индексом . Для этого запишем схему (122) для точек и :
Вычитая из первого соотношения второе, получим:
Схему (121) запишем для точки : . Отсюда находим
Используя выражение (124), уравнение (123) можно представить в следующем виде:
Подставим теперь в (125) волновое решение вида , где — амплитуда, — мнимая единица. После сокращения на общий сомножитель получаем следующее выражение для множителя перехода:
где . Как отмечалось выше, эта величина связывает амплитуды возмущений на соседних уровнях по времени. Поскольку модули комплексных чисел в числителе и знаменателе равны, то , а это и означает, что рассмотренная схема предиктор-корректор устойчива.
Для приближенного решения начально-краевых задач для уравнения переноса широко используются также разностные схемы, для которых выполнен принцип максимума — монотонные разностные схемы. Для уравнений переноса легко строятся безусловно монотонные разностные схемы первого порядка по пространству с использованием направленных разностных производных (Самарский, 1983). Хорошо известно (Годунов, 1959), что в классе однородных линейных схем отсутствуют схемы с порядком аппроксимации, по пространству выше первого. При численном решении задач механики сплошной среды строятся различные классы нелинейных монотонных схем, которые в основной части расчетной области имеют повышенный порядок — второй и выше. В настоящее время большое внимание в прикладных исследованиях по механике сплошной среды уделяется разностных схемам типа TVD( T otal V ariation D iminishing). Безусловная монотонность в этих и им подобных схемах достигается за счет нелинейного ограничения потоков в исходной схеме с направленными разностями второго порядка. Эти исследования были инициированы в работах (Колган, 1972; Harten, 1983) и продолжены во многих других (Hartenetal., 1986; Harten, Osher,1987; Hartenetal., 1987). В работе (Самарский, Вабищевич, 1998) отмечается возможность построения монотонных однородных нелинейных разностных схем для уравнения переноса на основе регуляризации (возмущения) схемы второго порядка аппроксимации. В качестве производящей схемы выбираются схемы со стандартными аппроксимациями первой производной второго порядка — центральными разностями и направленными разностями второго порядка, а также их комбинациями.
Для того, чтобы пояснить основную идею построения такого рода схем, в прямоугольной области рассмотрим, следуя работе (Вабищевич и др., 2000), нестационарное уравнение переноса с конвективными слагаемыми в недивергентной (характеристической) форме:
Уравнение (126) дополняется начальным условием
Граничные условия задаются на той части границы, на которой поток входит в область. Для простоты ограничимся случаем
где — нормаль к границе расчетной области. При ограничениях (128) нет необходимости формулировать какие-либо граничные условия для однозначного определения решения задачи (126), (127). Для поставленной задачи справедлив принцип максимума: , если . Кроме того, верна априорная оценка в : , где . Естественно ориентироваться на построение таких разностных схем, для которых эти важнейшие свойства были бы выполнены.
Рассмотрим теперь разностную схему с направленными разностями. После дискретизации по пространственным переменным от (126) придем к дифференциально-операторному уравнению
В соответствии с (127) положим
При решении задач для уравнений переноса обычно ориентируются на использование явных схем. Простейшей является двухслойная явная схема, когда дифференциально-разностной задаче (129), (130) ставится в соответствие разностное уравнение
При построении схем с направленными разностями учитывается знак скорости в соответствующем направлении. Будем использовать следующие обозначения:
С учетом (128) положим ,
Разностная схема (131), (132) устойчива в при следующих ограничениях (условие Куранта) на шаг по времени:
При этом для решения имеет место оценка , где . Разностная схема (131) с центрально-разностными аппроксимациями конвективных слагаемых
является безусловно неустойчивой и немонотонной при всех . Но ее потенциальное преимущество перед схемой с направленными разностями (131), (132) связано со вторым порядком аппроксимации по пространству.
Помимо аппроксимаций (134), для конвективных слагаемых можно использовать направленные разности второго порядка аппроксимации. Не обсуждая проблемы, связанные с аппроксимациями в приграничных узлах, полагаем
Комбинируя центрально-разностные аппроксимации, можно определить разностный оператор конвективного переноса в следующем параметрическом виде:
В этом случае значение соответствует использованию центрально-разностных аппроксимаций (134), — аппроксимаций направленными разностями второго порядка. Среди аппроксимаций второго порядка (136) отдельного упоминания заслуживает случай и — аппроксимации третьего порядка.
Монотонные разностные схемы строятся на основе общего методологического принципа получения разностных схем заданного качества — принципа регуляризации разностных схем (Самарский, 1967). При построении монотонных разностных схем проводится нелинейное возмущение коэффициентов разностной схемы. По существу, речь идет об использовании в отдельных подобластях (вне экстремумов решения) схем второго порядка аппроксимации. Это достигается комбинированием монотонных аппроксимаций первого порядка с немонотонными аппроксимациями более высокого порядка. При построении нелинейных монотонных схем обычно привлекаются соображения физического плана и оперируют, например, потоками, их направлениями и т. д. Фактически речь идет о том, как от одной схемы в части расчетной области перейти к другой схеме в другой части расчетной области, то есть об интерполяции между двумя схемами. Уже имеющиеся работы в этом направлении говорят о том, что можно построить множество таких интерполяционных схем.
В нелинейной регуляризованной схеме используются аппроксимации конвективного переноса, которые имеют форму аппроксимации направленными разностями со специальными регуляризующими множителями:
Принимая во внимание (136), для регуляризующих множителей в работе (Вабищевич и др., 2000) получено следующее представление
Здесь и этот коэффициент выступает в качестве параметра регуляризации. В предельном случае мы приходим к нелинейной аппроксимации (136) второго или третьего (при ) порядка. Монотонность схемы (131), (137), (138.1) — (138.2) (неотрицательность регуляризующих коэффициентов ) обеспечивается выбором коэффициента . Принимая во внимание то, что для , приходим к следующим ограничениям на временной шаг: , где (см. (133)) — минимальный шаг для схемы с направленными разностями первого порядка. Тем самым при минимально допустимом значении параметра предельный шаг по времени в нелинейной монотонной схеме в два раза меньше по сравнению с обычной схемой (131), (132). Отметим, что нет простых соображений в пользу того или иного однозначного выбора параметра . На тестовых расчетах для одномерной задачи показано, что параметр влияет на перемещение профиля с большей или меньшей скоростью по сравнению с точным решением тестовой задачи. Поэтому его связывают с дисперсионными характеристиками разностной схемы. Установлено, что наиболее оптимальным является значение . Важным достоинством рассматриваемых схем является их простота и прозрачность базовых математических конструкций.
Опорный конспект лекции
Ф СО ПГУ 7.18.2/06
Министерство образования и науки Республики Казахстан
Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова
дисциплины «Численные методы решения задач математической физики»
для специальности 050601 Математика
Ф СО ПГУ 7.18.1/07
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по УР
Составители: доцент ,
преподаватель
Кафедра «Информатика и информационные системы»
Опорный конспект лекции
по дисциплине «Численные методы решения задач математической физики »
для студентов специальностей 050601 Математика
Рекомендована на заседании кафедры от “____”___200___г.
Заведующая кафедрой ___________
Одобрена методическим советом факультета Физики, математики и информационных технологий “___”______200 _ г. Протокол №___
Председатель МС__________________________
Тема 1. Основные задачи математической физики.
Разностные уравнения. Пространство сеточных функций. Разностные операторы. Разностная аппроксимация оператора Лапласа. Задачи на собственные значения для разностного оператора Лапласа. Разностные формулы Грина. Свойства разностных операторов. Априорные оценки. Аппроксимация дифференциальной начально-краевой задачи разностной схемой. Шаблон. Порядок аппроксимации. Определение устойчивости. Аппроксимация нормированного пространства. Внутренние и внешние аппроксимации. Невязка. Ошибка аппроксимации. Устойчивость. Сходимость.
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений зависит лишь от одной переменной 
и так далее. Во многих практических задачах решения — искомые функции зависят от нескольких переменных и уравнения, описывающие данные задачи могут содержать частные производные искомых функции. Они называются уравнениями с частными производными.
Математическая постановка задачи вместе с дифференциальными уравнениями содержит и некоторые дополнительные условия. Если решение ищется в ограниченной области, то задаются условия на ее границе, называемые граничными (краевыми) условиями. Такие задачи носят названия краевых задач для уравнений с частными производными.
Задача, которая состоит в решении уравнений при заданных начальных условиях, называется задачей Коши (ЗК) для уравнений с частными производными. При этом задача решается в неограниченном пространстве , и граничные условия не задаются. Задача, у которой ставится , и начальные и граничные условия называются нестационарными (смешанными) краевыми задачами. Получающиеся при этом решения меняются с течением времени.
Задачи, решение которых существует и единственно в некотором классе начальных и граничных условий и непрерывно зависит как от этих условий, так и от коэффициентов этих уравнений, называются корректно поставленными.
Среди численных методов рассмотрим разностные методы, которые основаны на введение некоторой разностной сетки в рассматриваемой области. Все значения производных, начальные и граничные условия выражаются через значения функции в узлах сетки, в результате чего получается система линейных уравнений, называемая разностной схемой. Построение разностных схем решения уравнений с частными производными основано на введение сетки в рассматриваемой области. Узлы сетки являются расчетными точками.
 |
a £ x £ b xi = a + ih 1 ( I =0,1,…, I )
c £ y £ d yj=c+jh2 (j=0,1,…,J)
Для построения разностной схемы, частные производные в уравнений заменяются, конечно — разностными соотношениями по некоторому шаблону. При этом точные значения искомой функции U заменяются значениями сеточной функции u в узлах разностной сетки.
Разностная схема для решения уравнения теплопроводности при заданных начальных и граничных условий имеет следующий вид:
— распределение температуры на концах рассматриваемого отрезка [0,1] в любой момент, начальные и граничные условия должны быть согласованы, то есть 
. Вводим прямоугольную сетку:
— шаги. 
— значение функции в узлах сетки. Таким образом, 
 |
Получаем систему алгебраических уравнений для определения значений сеточных функции во внутренних узлах. Из граничного условия
(4)
При 
совокупность узлов называется слоем. Из (2) находим последовательно значения 
на 
слое через соответствующие значения 
на 
— том слое. Такие схемы называются явными. Для начала счета при 
необходимо решение на начальном слое, которое определяется начальным условием, имеющим следующий вид:
(5)
В отличие от явной схемы каждое разностное уравнение (3) содержит на каждом новом слое значения неизвестных в трех точках, поэтому нельзя сразу определить эти значения через известное решение на предыдущем слое. Они носят названия неявных схем. При этом разностная схема (3) состоит из линейных трехточечных уравнений, то есть каждое уравнение содержит неизвестную функцию в трех точках данного слоя. Решаются методом прогонки.
В данном примере рассматривали двухслойную схему, т. е. в каждое разностное уравнение входят значения функции их двух слоев – нижнего, на котором решение уже найдено, и верхнего, в узлах которого решение ищется.
Сходимость. Аппроксимация. Устойчивость .
Дифференциальная задача состоит в решение уравнения с частными производными при заданных начальных и граничных условии записывается в операторном виде:
(6)
Операторное уравнение включает исходное уравнение с частными производными, и дополненное, включающее начальные и граничные условия. 
описывает правые части уравнения, начальные и граничные условия, 
включает и расчетную область, и границу. Дифференциальную задачу (6) заменяем разностной задачей, где 
, где 
.
(7)
Значение сеточной функции в узлах сетки 
приближенно заменяют значения искомой функции 
в тех же узлах с погрешностями
. (8)
Вводим 
.
Разностная схема (7) называется сходящейся, если при сгущении узлов сетки, это значение погрешности стремится к нулю, т. е. если 
(9).
Если 
где 
, то разностная схема имеет k-ый порядок точности или говорят, что она сходится со скоростью 
.
Запишем уравнение (7) для погрешности решения на сетке 
. Подставляя в (7), имеем 
(10)
Величина 
называется невязкой (
погрешностью аппроксимации) разностной схемы. Вводим характеристическую величину
(11)
при 
аппроксимация имеет k — ый порядок относительно h. Разностная схема (7) аппроксимирует исходную дифференциальную задачу (6), если при измельчении сетки невязка стремится к нулю, т. е. если
(1 2 )
Абсолютной (безусловной) аппроксимацией называется аппроксимация такого типа, когда невязка стремится к нулю при 
по любому закону без каких — либо условий. При условной аппроксимации налагаются некоторые условия на размеры шагов по пространству и времени. Разностная схема (7) называется устойчивой, если ее решение непрерывно зависит от входных данных, т. е. малому изменению входных данных соответствует малое изменение решения. Устойчивость характеризует чувствительность разностной схемы к различного рода погрешностям.
Теорема: Если решение исходной дифференциональной задачи (6) существует, а разностная схема (7) устойчива и аппроксимирует (6) на данном решение, то разностное решение сходится к точному.
[1] — [5], введение, глава 5
Тема 2. Разностные схемы для уравнений параболического типа
Классы устойчивых двухслойных схем. Энергетическое тождество. Дискретизация одномерного уравнения теплопроводности. Шаблоны. Порядок разностной аппроксимации. Исследование устойчивости методом Фурье. Начально-краевые задачи. Семейство шеститочечных схем. Явная и неявная схемы. Схема Кранка-Николсона. Порядок аппроксимации, устойчивость. Трехслойные схемы для уравнения теплопроводности. Схема Дюфорта и Франкеля. Порядок аппроксимации и устойчивости. Схема «ромб». Погрешности аппроксимации, устойчивости. Схемы с весами. Погрешность аппроксимации и устойчивость.
2.1 Постановка задач для уравнений параболического типа
Классическим примером уравнения параболического типа является уравнение теплопроводности (диффузии). В одномерном по пространству случае однородное (без источников энергии) уравнение теплопроводности имеет вид
. ( 2 .1)
Если на границах х=0 и х=l заданы значения искомой функции u(x, t) в виде
( 2 .2)
т. е. граничные условия первого рода, и, кроме того, заданы начальные условия
то задачу (2.1)-(2.4) называют первой начально-краевой задачей для уравнения теплопроводности (2.1).
В терминах теории теплообмена u(x, t) – распределение температуры в пространственно-временной области 
коэффициент температуропроводности, а (2.2), (2.3) с помощью функций ϕ 0 (t), ϕ l (t) задают температуру на границах x=0 и x=l.
Если на границах х=0 и х=l заданы значения производных искомой функции по пространственной переменной
(2.5) 
(2.6)
т. е. граничные условия второго рода, то задачу (25.1), (2.5), (2.6), (2.4) называют второй начально-краевой задачей для уравнения теплопроводности (2.1). В терминах теории теплообмена на границах в этом случае заданы тепловые потоки.
Если на границах заданы линейные комбинации искомой функции и ее производной по пространственной переменной
(2.7)
(2.8)
т. е. граничные условия третьего рода, то задачу (2.1), (2.7), (2.8), (2.4) называют третьей начально-краевой задачей для уравнения теплопроводности (2.1). В терминах теории теплообмена граничные условия (2.7), (2.8) задают теплообмен между газообразной или жидкой средой и границами расчетной области с неизвестными температурами u(0,t), u(l, t).
Для пространственных задач теплопроводности в области 
первая начально-краевая задача имеет вид
Аналогично ставится вторая и третья начально-краевые задачи для пространственного уравнения задачи (2.9) – (2.11).
На практике часто ставятся начально-краевые задачи теплопроводности со смешанными краевыми условиями, когда на границах задаются граничные условия различных родов.
2 .1.2. Понятие о методе конечных разностей. Применение метода конечных разностей к решению уравнений параболического типа
Основные определения, связанные с методом конечных разностей, рассмотрим на примере конечно-разностного решения первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности (2.1)-(2.4). Нанесем на пространственно-временную область 0≤x≤l, 0≤t≤T конечно-разностную сетку ω hτ
(2.12)
с пространственным шагом h=l/N и шагом по времени τ=T/K (рис 2.1).
Введем два временных слоя: нижний tk=kτ , на котором распределение искомой функции u(xj, tk), известно (при k=0 распределение определяется начальным условием (2.4) u(xj, t0)=ψ(xj)) и верхний временной слой tk+1=(k+1)τ, на котором распределение искомой функции u(x j j ,tk+1), j =0,1,…,N подлежит определению.
Рис. 2 .1. Конечно-разностная сетка
Сеточной функцией задачи (2.1)-(2.4) (обозначение ) назовем однозначное отображение целых аргументов j, k в значения функции 
На введенной сетке (2.12) введем сеточные функции 
первая из которых известна, вторая – подлежит определению. Для ее определения в задаче (2.1)-(2.4) заменим (аппроксимируем) дифференциальные операторы отношением конечных разностей (см. раздел «Численное дифференцирование»), получим
(2.13)
(2.14)
Подставляя (2.13), (2.14) в задачу (2.1)-(2.4), получим явную конечно-разностную схему для этой задачи в форме
(2.15)
где для каждого j -го уравнения все значения сеточной функции известны, за исключением одного 
, которое может быть определено явно из соотношений (2.15). В соотношения (2.15) краевые условия ( j =0, j = N ) входят при значениях j=1 и j=N-1, а начальное условие – при k=0.
Если в (2.14) дифференциальный оператор по пространственной переменной аппроксимировать отношением конечных разностей на верхнем временном слое
(2.16)
то после подстановки (2.13), (2.16) в задачу (2.1)-(2.4), получим неявную конечно-разностную схему для этой задачи
( 2 .17)
Теперь сеточную функцию на верхнем временном слое можно получить из решения СЛАУ (2.17) с трехдиагональной матрицей. Эта СЛАУ в форме, пригодной для использования метода прогонки, имеет вид
Шаблоном конечно-разностной схемы называют ее геометрическую интерпретацию на конечно-разностной сетке. 
Рис. 2 .2. Шаблоны явной и неявной конечно-разностных схем для уравнения теплопроводности
На рисунке 2.2 приведены шаблоны для явной (2.15) и неявной (2.17) конечно-разностных схем при аппроксимации задачи (2.1)-(2.4).
Явная конечно-разностная схема (2.15), записанная в форме
(2.18)
обладает тем достоинством, что решение на верхнем временном слое получается сразу (без решения СЛАУ) по значениям сеточных функций на нижнем временном слое 
, где решение известно (при k=0 значения сеточной функции формируются из начального условия (2.4.)). Но эта же схема обладает существенным недостатком, поскольку она является условно устойчивой с условием 
, накладываем на сеточные характеристики τ и h.
С другой стороны, неявная конечно-разностная схема (2.17), записанная форме
( 2 .19)
приводит к необходимости решать СЛАУ, но зато эта схема абсолютно устойчива.
Проанализируем схемы (2.18), (2.19). Пусть точное решение, которое не известно, возрастает по времени, т. е. 
. Тогда, в соответствии с явной схемой (2.18) разностное решение будет заниженным по сравнению с точным, т. к. 
определяется по меньшим значениям сеточной функции на предыдущем временном слое, поскольку решение является возрастающим по времени.
Для неявной схемы (2.19) на возрастающем решении, наоборот, решение завышено по сравнению с точным, поскольку оно определяется по значениям сеточной функции на верхнем временном слое.
На убывающем решении картина изменяется противоположным образом: явная конечно-разностная схема завышает решения, а неявная — занижает (см. рис. 2.3)
Рис. 2 .3. Двусторонний метод аппроксимации
На основе этого анализа возникла идея о построении более точной неявно-явной конечно-разностной схемы с весами при пространственных конечно-разностных операторах, причем при измельчении шагов τ и h точное (неизвестное) решение может быть взято в ″вилку″ сколь угодно узкую, т. к. если явная и неявная схемы аппроксимируют дифференциальную задачу и эти схемы устойчивы, то при стремлении сеточных характеристик и h к нулю, решения по явной и неявной схемам стремятся к точному решению с разных сторон.
Рассмотрим неявно-явную схему с весами для простейшего уравнения теплопроводности
( 2 .20)
где θ — вес неявной части конечно-разностной схемы, 1−θ — вес для явной части, причем 0≤θ≤1. При θ=1 имеем полностью неявную схему, при θ=0 — полностью явную схему, и при θ=1/2 — схему Кранка-Николсона. Для схемы Кранка-Николсона (θ=1/2) порядок аппроксимации составляет, 
т. е. на один порядок по времени выше, чем обычные явная или неявная схемы.
Неявно-явная схема с весами (2.20) абсолютно устойчива при 1/2≤θ≤1 и условно устойчива с условием при 0≤θ
Таким образом, схема Кранка-Николсона (2.20) при θ=1/2 абсолютно устойчива и имеет второй порядок аппроксимации по времени и пространственной переменной x.
2 .1.3. Аппроксимация граничных условий, содержащих производные
В задачах математической физики вообще, и в задачах теплопроводности в частности, граничные условия 1-го рода аппроксимируются точно в узлах на границе расчетной области. Граничные условия 2-го и 3-го рода отличаются тем, что в них присутствует производная первого порядка искомой функции по пространственной переменной. Поэтому для замыкания конечно-разностной схемы необходима их аппроксимация. Простейшим вариантом является аппроксимация производных направленными разностями первого порядка:
Тогда в общем случае граничных условий 3-го рода (2.7), (2.8) уравнения, связывающие значения искомой функции в двух крайних узлах разностной сетки, выглядят следующим образом:
Дополняя полученными уравнениями явную конечно-разностную аппроксимацию во внутренних узлах, получим явную разностную схему для третьей начально-краевой задачи (2.1), (2.4), (2.7), (2.8).
В результате алгоритм перехода на новый временной слой 
с использованием явной схемы можно представить в следующем виде:
Т. е. сначала рассчитываются значения искомой функции во всех внутренних узлах на новом временном слое, а затем определяются значения на границах.
При использовании неявной конечно-разностной схемы получаем следующий разностный аналог дифференциальной задачи:
В результате для получения решения на новом временном слое решается система линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей. Аналогичная картина имеет место и при использовании неявно-явной схемы с весами.
Принципиальной особенностью рассмотренного выше подхода является первый порядок аппроксимации граничных условий. Т. е. порядок аппроксимации в граничных узлах ниже порядка аппроксимации во внутренних узлах расчетной области. При этом глобальный порядок аппроксимации (во всей расчетной области) равен наименьшему относительно всех узлов сетки порядку аппроксимации.
Одним из способов повышения порядка аппроксимации граничных условий является использование формул численного дифференцирования второго порядка:
В случае явной схемы алгоритм вычисления решения на новом временном слое при такой аппроксимации граничных условий не приобретает принципиальных изменений. Если же используется неявная схема, то получающаяся при этом СЛАУ теряет трехдиагональный вид (первое и последнее уравнение содержат три неизвестных). Этот недостаток легко устраним, т. к. путем линейной комбинации первого уравнения со вторым (последнего с предпоследним) можно добиться исключения третьего неизвестного из соответствующего уравнения. Однако при этом возможно нарушение диагонального преобладания матрицы и, следовательно, нарушение условий применимости метода прогонки.
Более эффективным является подход, позволяющий повысить порядок аппроксимации граничных условий без увеличения числа узлов в аппроксимационных соотношениях. Для иллюстрации этого подхода рассмотрим следующий пример.
Решить третью начально-краевую задачу для параболического уравнения, содержащего как конвективные члены (пропорциональные производной 
), так и источниковые члены, содержащие искомую функцию 
(2.21)-(2.24) Решение.
Во внутренних узлах конечно-разностной сетки неявная конечно-разностная схема для уравнения (2.21) имеет вид:
(2.25)
Если производные первого порядка в граничных условиях (2.22) и (2.23) аппроксимировать по следующей схеме (с помощью отношения конечных разностей справа и слева)
то граничные условия аппроксимируются с первым порядком, и глобальный порядок будет равен первому порядку несмотря на то, что во всех остальных узлах порядок аппроксимации по пространственным переменным равен двум. Для сохранения порядка аппроксимации, равного двум, в граничных узлах разложим на точном решении значение 
в окрестности точки x=0 в ряд Тейлора по переменной x до третьей производной включительно, 
— в аналогичный ряд в окрестности точки x= l , получим (в предположении что функция u(x, t) в граничных узлах имеет первые производные по времени и вторые — по x):
(2.26)
. (2.27)
Далее, подставим сюда значения второй производной в граничных узлах, полученные из дифференциального уравнения (2.21):
и найдем из полученных выражений (2.26), (2.27) значения первой производной 
в граничных узлах с порядком 
Подставляя 
в (2.22), а 
в (2.23) и аппроксимируя полученные соотношения в соответствующих граничных узлах (при этом 
получим алгебраические уравнения для граничных узлов, в каждом из которых два неизвестных:
(2.28)
(2.29)
Таким образом, (2.28) — конечно-разностная аппроксимация граничного условия 3-го рода (2.22) на левой границе x=0, а (2.29) — конечно-разностная аппроксимация граничного условия 3-го рода (2.23) на правой границе x=l, которые сохраняют тот же порядок аппроксимации, что и в конечно-разностной аппроксимации (2.25) дифференциального уравнения (2.21).
Приписывая к граничным конечно-разностным уравнениям (2.28), (2.29), каждое из которых содержит два значения сеточной функции, алгебраические уравнения (2.25), записанные в виде
(2.30)
получим СЛАУ с трехдиагональной матрицей, решаемую методом прогонки
(2.31)
Изложенный метод аппроксимации краевых условий, содержащих производные по пространственным переменным, повышает не только порядок аппроксимации, но и сохраняет консервативность конечно-разностной схемы, т. е. в конечно-разностной аппроксимации соблюдаются законы сохранения, на основе которых выведены дифференциальные соотношения задачи (2.
Аналогичный подход можно осуществить в краевых задачах для дифференциальных уравнений любых типов.
Тема 3. Разностные схемы для уравнений гиперболического типа Разностные схемы для уравнения колебания струны. Явная схема («крест»). Неявная схема (типа Кранка-Николсона). Порядок аппроксимации. Исследование устойчивости методом Фурье. Семейство схем с весами. Устойчивость. Погрешность аппроксимации. Исследование устойчивости разностных схем для уравнения колебания.
3.1. Постановка задач для уравнений гиперболического типа
Классическим примером уравнения гиперболического типа является волновое уравнение, которое в области 0 0 имеет вид:
Данное уравнение описывает, в частности, процесс малых поперечных колебаний струны. В этом случае u(x, t) — поперечные перемещения (колебания) струны, а – скорость распространения малых возмущений в материале, из которого изготовлена струна.
Если концы струны движутся по заданным законам, то есть на концах заданы перемещения (или значения искомой функции), то первая начально-краевая задача для волнового уравнения имеет вид:
(3.
причем, если концы струны жестко закреплены, то ϕ 0 (t)= ϕ l (t)=0.
Как видно, в задачах для волнового уравнения, кроме начального распределения искомой функции, задается еще распределение начальной скорости перемещения.
Если на концах струны заданы значения силы, которая по закону Гука пропорциональна значениям производной перемещения по пространственной переменной (то есть на концах заданы значения первых производных по переменной x), то ставится вторая начально-краевая задача для волнового уравнения:
В условиях, когда концы струны свободны, функции ϕ 0 (t)= ϕ l (t)=0.
Наконец в условиях, когда концы закреплены упруго, т. е. на концевые заделки действуют силы, пропорциональные перемещениям, ставится третья начально-краевая задача для волнового уравнения: 
Аналогично ставятся двумерные и трехмерные начально-краевые задачи для двумерного и трехмерного волнового уравнения.
3.2 Конечно-разностная аппроксимация уравнений гиперболического типа
Рассмотрим первую начально-краевую задачу для волнового уравнения (3.1)-(3.5). На пространственно-временной сетке (3.12) будем аппроксимировать дифференциальное уравнение (3.1) одной из следующих конечно-разностных схем:
(3.6) с шаблоном на рисунке 3.1а и
(3. 7 )
Рис. 3.1. Шаблоны конечно-разностных схем для волнового уравнения
с шаблоном на рисунке 3.1 б
При этом схема (3.6) является явной. С ее помощью решение 
определяется сразу, поскольку значения сеточных функции, на нижних временных слоях должны быть известны. В соответствии с шаблоном для этой схемы порядок аппроксимации равен двум, как по пространственной, так и по временной переменной. При этом явная конечно-разностная схема (3.6) для волнового уравнения условно устойчива с условием 
, накладываемым на сеточные характеристики τ , h ..
Схема (3.7) является неявной схемой и обладает абсолютной устойчивостью. Ее можно свести к СЛАУ с трехдиагональной матрицей, решаемой методом прогонки.
В обеих схемах необходимо знать значения 
на нижних временных слоях. Для k =1 это делается следующим образом:
(3.8)
где 
функция из начального условия (3.5).
Для определения 
можно воспользоваться простейшей аппроксимацией второго начального условия (3.6): 
Откуда для искомых значений 
получаем следующее выражение:
Недостатком такого подхода является первый порядок аппроксимации второго начального условия. Для повышения порядка аппроксимации воспользуемся следующей процедурой.
Разложим в ряд Тейлора на точном решении по времени в окрестности t=0 :
. (3.9)
Для определения второй производной в выражении (3.9) воспользуемся исходным дифференциальным уравнением. 
В результате получаем искомую сеточную функцию со вторым порядком точности:
. После определения из начальных условий значений сеточных функций, на двух первых временных слоях вычислительный процесс продолжается согласно схемам (3.8) или (3.9). При этом аппроксимация краевых условий (3.3) и (3.4) производится аналогично тому, как это описывалось выше для уравнений параболического типа. Для иллюстрации этого этапа рассмотрим следующий пример.
Выписать явную конечно-разностную схему для третьей начально-краевой задачи.
Аппроксимация дифференциального уравнения на шаблоне (3.1б) выглядит следующим образом:
где. 
Граничные условия аппроксимируем с первым порядком:
. В результате переход на новый временной слой представляется следующим алгоритмом:
Таким образом, сначала рассчитываются значения искомой функции u во внутренних узлах на новом временном слое, после чего из аппроксимации граничных условий находятся значения функции в крайних узлах.
Для окончательного замыкания вычислительного процесса определим, исходя из начальных условий, значения искомой функции на двух первых временных слоях 
В начальный момент времени значения 
определяются точно:
. Если воспользоваться аппроксимацией первого порядка по времени, то как было показано выше, получим
. Для повышения порядка аппроксимации разложим в ряд Тейлора на точном решении по времени в окрестности t=0 :
где, согласно исходному уравнению
Окончательно получаем 
.
Тема 4. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа Задача Дирихле для уравнения Пуассона в квадрате. Аппроксимация. Однозначная разрешимость. Принцип максимума. Устойчивость. Разностная задача Дирихле в прямоугольнике. Сложная область. Связные и несвязные области. Метод установления. Явная и неявная схемы. Схема переменных направлений. Анализ явной схемы установления и анализ схемы переменных направлений.
Классическим примером уравнения эллиптического типа является уравнение Пуассона
или уравнение Лапласа при f(x, y)≡0.
Здесь функция u(x, y) имеет различный физический смысл, а именно: стационарное, независящее от времени, распределение температуры, скорость потенциального (безвихревого) течения идеальной (без трения и теплопроводности) жидкости, распределение напряженностей электрического и магнитного полей, потенциала в силовом поле тяготения и т. п.
Если на границе Г расчетной области 
задана искомая функция, то соответствующая первая краевая задача для уравнения Лапласа или Пуассона называется задачей Дирихле
(4.1)-(4.2)
Если на границе Г задается нормальная производная искомой функции, то соответствующая вторая краевая задача называется задачей Неймана для уравнения Лапласа или Пуассона
(4.3)-(4.4)
При этом n – направление внешней к границе Г нормали.
Более приемлемой является координатная форма краевого условия (4.4)
где 
− направляющие косинусы внешнего вектора единичной нормали к границе Г, i и j орты базисных векторов.
Наконец третья краевая задача для уравнения Пуассона (Лапласа) имеет вид
4.1. Конечно-разностная аппроксимация задач для уравнений эллиптического типа
Рис. 4.1. Центрально-симметричный шаблон
Рассмотрим краевую задачу для уравнений Лапласа или Пуассона (4.1), (4.2) в прямоугольнике 
, на который наложим сетку
(4.5)
На этой сетке аппроксимируем дифференциальную задачу во внутренних узлах с помощью отношения конечных разностей по следующей схеме (вводится сеточная функция 
):
(4.6)
которая на шаблоне имеет второй порядок по переменным и, поскольку шаблон центрально симметричен.
СЛАУ имеет пяти-диагональный вид (каждое уравнение содержит пять неизвестных и при соответствующей нумерации переменных матрица имеет ленточную структуру). Решать ее можно различными методами линейной алгебры, например, итерационными методами, методом матричной прогонки и т. п.
Рис.4.2 Центрально — симметричный шаблон
Рассмотрим разностно-итерационный метод Либмана численного решения задачи Дирихле (4.1), (4.2). Для простоты изложения этого метода примем, тогда из схемы (4.6 ) получим (k-номер итерации)
(4.8)
На каждой координатной линии (например, 
) с помощью линейной интерполяции (см. рис.4.3) граничных значений 
определим 
на нулевой итерации, подставив которые в (4.8), получим распределение 
на первой итерации
Рис. 4.3. К разностно-итерационному методу Либмана
Это распределение снова подставляются в (4.8), получаем распределение 
и т. д. Процесс Либмана прекращается, когда 
,
где — 
наперед заданная точность.
При решении задач с граничными условиями 2-го и 3-го родов наряду с аппроксимацией дифференциального уравнения производится также аппроксимация граничных условий. Здесь в качестве примера приведем разностную схему, аппроксимирующую третью краевую задачу для уравнения Пуассона в прямоугольнике.
Как и ранее в прямоугольнике 
построим сетку 
На этой сетке аппроксимируем дифференциальную задачу во внутренних узлах по рассмотренной выше центрально-разностной схеме
. Граничные условия аппроксимируем с первым порядком с помощью направленных разностей:
. В результате получена СЛАУ, содержащая уравнений ( N 1 +1)( N 2 +1)-4 относительно неизвестных 
( i =0,1,…, N 1 , j =0,1,…, N 2 ) при этом угловые узлы с координатами ( i , j ), равными 
в вычислениях не участвуют). Как и в случае граничных условий первого рода, она имеет пятидиагональный вид и может быть решена, например, итерационным методом Либмана.
Замечание. Метод простых итераций для решения СЛАУ, возникающих при аппроксимации уравнения Пуассона (Лапласа), отличается довольно медленной сходимостью. Этот недостаток может стать существенным при использовании мелких сеток, когда число уравнений в системе становится большим.
Тема 5. Вариационные и вариационно-разностные методы Метод Ритца. Описание метода Ритца. Формулировка метода и применение для решения разностной задачи Дирихле. Построение простейших разностных уравнений диффузии с помощью метода Ритца.
Глава 4, §4.1, §4.2, §4.3, §4.4 , Уравнения математической физики, М.: Физматлит, 2003.
Тема 6. Численные методы решения интегральных уравнений Метод конечных сумм для решения интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра. Метод вырожденных ядер. Резольвента. Нахождение собственных значений и собственных функций. Метод наименьших квадратов. Методы Монте-Карло.
. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973.
. Метод Монте-Карло. М.: Наука, 1985.
5. Список литературы
1 .Калиткин методы. М.: Наука, 1978.
2. , , Шувалова методы анализа. М.: Наука, 1967.
3. Бахвалов методы. Том 1, изд. 2-е, стереотипное, М.,1975.
4. Ермаков СМ., Михайлов моделирование. Изд. 2-е. М.: Наука, 1982.
5. . Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973.
6. . Метод Монте-Карло. М.: Наука, 1985.
7. Самарский разностных схем. М.: Наука, 1977.
8. Марчук вычислительной математики. М.:Наука, 1989.
9. Бабенко численного анализа. М.: Наука. 1986.
10. , , Монастырный методы. Т. 1. М.: Наука, 1976, Т. 2. М.: Наука, 1977.
11., Гулин методы. М.: Наука, 1989.
12., Рябенький B . C . Разностные схемы, введение в теорию. М: Наука, 1977.
13. Васильев Ф .П. Численные методы решения экстремальных задач. – М., 1980 – 520 с. с илл.
14. Кириллова максимума в теории оптимального управления. – Минск: Наука и техника, 1974.
15. Гамкрелидзе оптимального управления. – Тбилиси: Изд-во Тбилисского ун-та, 1977
1.Шакенов Монте-Карло и их приложения. Алматы: КазГУ,1993.
2. , , Ривин по вычислительной математике. М.: Наука, 1980.
3., , Вычислительная математика в примерах и задачах. М.: Наука, 1972.
4.Черкасова задач по численным методам. Минск: Высшая школа, 1967.
5.ВазовВ., Дж. Форсайт. Разностные методы решения дифференциальных
уравнений в частных производных. М.: ИЛ, 1963.
6.Ортега Дж., Итерационные методы решения нелинейных
систем уравнений со многими неизвестными. М.: Наука, 1975.
7. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М.: Мир, 1981.
8.Трауб Дж. Итерационные методы решения уравнений. М.: Мир, 1983.
9.Михлин вопросы теории погрешностей. Л.: ЛГУ, 1988.
10.Михлин методы в математической физике. М., 1970.
Построение конечно разностной схемы для уравнения адвекции
Математическое моделирование в технической физике
Данный репозиторий предназначен для размещения лекционных и практических занятий по курсу «Математического моделирования в технической физике».
Подготовка к прохождению курса
Для прохождения курса желательны базовые навыки работы с языком программирования python 3, наличие python 3 и установленных библиотек NumPy, SciPy, Matplotlib, а также интерактивной оболочки Jupyter. Предварительные инструкции по подготовке необходимых инструментов:
Лекция 0. Основы языка программирования python 3.
Лекция 1. Конечно-разностные методы.
- Часть 1. Конечно-разностная аппроксимация производных
- Часть 2. Подходы к получению конечно-разностных аппроксимаций
- Часть 3. Построение конечно-разностных схем для уравнения адвекции
- Часть 4. Анализ свойств конечно-разностных схем
- Часть 5. Квазилинейное уравнение переноса
- Часть 6. Метод КАБАРЕ для уравнений и систем гиперболического типа
- Проект №1 на тему «Конечно-разностные методы»
- Проект №2 на тему «Распад произвольного разрыва в политропном газе»
Таблица текущей успеваемости по курсу, магистры ФН-4, осень 2021 год
Таблица текущей успеваемости по курсу, магистры ФН-4, весна 2022 год
About
Repository for Lectures in Mathematical Modeling for Technical Physics
http://pandia.ru/text/79/487/55595.php
http://github.com/yakovenko-ivan/Mat_Model_for_Tech_Phys