iSopromat.ru
Пример решения задачи по определению траектории равноускоренного движения точки, заданного уравнениями, скорости и ускорения в некоторые моменты времени, координаты начального положения точки, а также путь, пройденный точкой за время t.
Задача
где x и y – в см, а t – в с. Определить траекторию движения точки, скорость и ускорение в моменты времени t0=0 с, t1=1 с и t2=5 с, а также путь, пройденный точкой за 5 с.
Решение
Расчет траектории
Определяем траекторию точки. Умножаем первое заданное уравнение на 3, второе – на (-4), а затем складываем их левые и правые части:
Получилось уравнение первой степени – уравнение прямой линии, значит движение точки – прямолинейное (рисунок 1.5).
Для того, чтобы определить координаты начального положения точки A0, подставим в заданные уравнения значения t0=0; из первого уравнения получим x0=2 см, из второго y0=1 см. При любом другом значении t координаты x и y движущейся точки только возрастают, поэтому траекторией точки служит полупрямая 3x-4y=2 с началом в точке A0 (2; 1).
Расчет скорости
Расчет ускорения
Определяем ускорение точки. Его проекции на оси координат:
Проекции ускорения не зависят от времени движения,
т.е. движение точки равноускоренное, векторы скорости и ускорения совпадают с траекторией точки и направлены вдоль нее.
С другой стороны, поскольку движение точки прямолинейное, то модуль ускорения можно определить путем непосредственного дифференцирования уравнения скорости:
Определение пути
Определяем путь, пройденный точкой за первые 5с движения. Выразим путь как функцию времени:
Проинтегрируем последнее выражение:
Если t=t0=0, то C=s0; в данном случае s0=0, поэтому s=2,5t 2 . Находим, что за 5с точка проходит расстояние
Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах
Построение траектории по уравнению движения
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО КИНЕМАТИКЕ
1.1. Даны уравнения движения точки.
1. Определить уравнение траектории и построить ее.
2. Определить начальное положение точки на траектории.
3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.
4. Найти закон движения точки по траектории , принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки.
5. Построить график движения точки.
Дано: , .
Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :
.
Строим уравнение траектории:
2. Для определения положения точки в начальный момент времени необходимо подставить значение в уравнения движения:
.
Точка при занимает положение .
3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осями нет.
4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:
, при ,
видим, что с выходом из начального положения координата х увеличивается, а координата y увеличивается. Это направление примем за положительное, тогда:
,
.
1.2. Даны уравнения движения точки.
1. Определить уравнение траектории и построить ее.
2. Определить начальное положение точки на траектории.
3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.
4. Найти закон движения точки по траектории , принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки.
5. Построить график движения точки.
Дано: , .
Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :
.
Строим уравнение траектории:
2. Для определения положения точки в начальный момент времени необходимо подставить значение в уравнения движения:
.
Точка при занимает положение .
3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OX в точке (0;9).
4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:
, при ,
видим, что с выходом из начального положения координата х уменьшается, а координата y увеличивается. Это направление примем за положительное, тогда:
,
.
1.3. Даны уравнения движения точки.
1. Определить уравнение траектории и построить ее.
2. Определить начальное положение точки на траектории.
3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.
4. Найти закон движения точки по траектории , принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки.
5. Построить график движения точки.
Дано: , .
Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :
.
Строим уравнение траектории:
2. Для определения положения точки в начальный момент времени необходимо подставить значение в уравнения движения:
.
Точка при занимает положение .
3. Так как x может принимать значения , а y , траектория пересекает ось ОХ при , и ось OY и
4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:
, при ,
видим, что с выходом из начального положения координата х уменьшается, а координата y увеличивается. Это направление примем за положительное, тогда:
,
.
1.4. Даны уравнения движения точки.
1. Определить уравнение траектории и построить ее.
2. Определить начальное положение точки на траектории.
3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.
4. Найти закон движения точки по траектории , принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки.
5. Построить график движения точки.
Дано: , .
Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :
.
Строим уравнение траектории:
2. Для определения положения точки в начальный момент времени необходимо подставить значение в уравнения движения:
.
Точка при занимает положение .
3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OX в точке (0;3,375), а с осью OY (0;-4,5).
4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:
, при ,
видим, что с выходом из начального положения координата х уменьшается, а координата y увеличивается. Это направление примем за положительное, тогда:
,
.
1.5. Даны уравнения движения точки.
1. Определить уравнение траектории и построить ее.
2. Определить начальное положение точки на траектории.
3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.
4. Найти закон движения точки по траектории , принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки.
5. Построить график движения точки.
Дано: , .
Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :
,
.
Строим уравнение траектории:
2. Для определения положения точки в начальный момент времени необходимо подставить значение в уравнения движения:
.
Точка при занимает положение .
3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OX в точке (0;-0,75) и пересечение с осью OY (-1;0).
4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:
, при ,
видим, что с выходом из начального положения координата х уменьшается, а координата y увеличивается. Это направление примем за положительное, тогда:
,
1.6. Даны уравнения движения точки.
1. Определить уравнение траектории и построить ее.
2. Определить начальное положение точки на траектории.
3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.
4. Найти закон движения точки по траектории , принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки.
5. Построить график движения точки.
Дано: , .
Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :
.
Строим уравнение траектории:
2. Для определения положения точки в начальный момент времени необходимо подставить значение в уравнения движения:
.
Точка при занимает положение .
3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осями нет.
4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:
, при ,
видим, что с выходом из начального положения координата х уменьшается, а координата y увеличивается. Это направление примем за положительное, тогда:
,
.
1.7. Даны уравнения движения точки.
1. Определить уравнение траектории и построить ее.
2. Определить начальное положение точки на траектории.
3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.
4. Найти закон движения точки по траектории , принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки.
5. Построить график движения точки.
Дано: , .
Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :
.
Строим уравнение траектории:
2. Для определения положения точки в начальный момент времени необходимо подставить значение в уравнения движения:
.
Точка при занимает положение .
3. Так как x может принимать значения , а y , ,
4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой , при , видим, что с выходом из начального положения координата х увеличивается, а координата y уменьшается. Это направление примем за положительное, тогда ,
откуда .
1.8. Даны уравнения движения точки.
1. Определить уравнение траектории и построить ее.
2. Определить начальное положение точки на траектории.
3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.
4. Найти закон движения точки по траектории , принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки.
5. Построить график движения точки.
Дано: , .
Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :
.
Строим уравнение траектории:
2. Для определения положения точки в начальный момент времени необходимо подставить значение в уравнения движения:
.
Точка при занимает положение .
3. Так как x может принимать значения , а y , траектория пересекает ось ОХ при ,
4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:
, при ,
видим, что с выходом из начального положения координата х уменьшается, а координата y увеличивается. Это направление примем за положительное, тогда:
,
.
1.9. Даны уравнения движения точки.
1. Определить уравнение траектории и построить ее.
2. Определить начальное положение точки на траектории.
3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.
4. Найти закон движения точки по траектории , принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки.
5. Построить график движения точки.
Дано: , .
Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :
.
Строим уравнение траектории:
2. Для определения положения точки в начальный момент времени необходимо подставить значение в уравнения движения:
.
Точка при занимает положение .
3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OX в точке (0;-0,75) и пересечение с осью OY (-1;0).
4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:
, при ,
видим, что с выходом из начального положения координата х уменьшается, а координата y увеличивается. Это направление примем за положительное, тогда:
,
.
1.10. Даны уравнения движения точки.
1. Определить уравнение траектории и построить ее.
2. Определить начальное положение точки на траектории.
3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.
4. Найти закон движения точки по траектории , принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки.
5. Построить график движения точки.
Дано: , .
Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :
.
Строим уравнение траектории:
2. Для определения положения точки в начальный момент времени необходимо подставить значение в уравнения движения:
.
Точка при занимает положение .
3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осями в точке (0;0).
4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:
, при ,
видим, что с выходом из начального положения координата х уменьшается, а координата y увеличивается. Это направление примем за положительное, тогда:
,
.
1.11. Даны уравнения движения точки.
1. Определить уравнение траектории и построить ее.
2. Определить начальное положение точки на траектории.
3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.
4. Найти закон движения точки по траектории , принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки.
5. Построить график движения точки.
Дано: , .
Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :
.
Строим уравнение траектории:
2. Для определения положения точки в начальный момент времени необходимо подставить значение в уравнения движения:
.
Точка при занимает положение .
3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осями в точке (0;0).
4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:
, при ,
видим, что с выходом из начального положения координата х уменьшается, а координата y увеличивается. Это направление примем за положительное, тогда:
,
.
1.12. Даны уравнения движения точки.
1. Определить уравнение траектории и построить ее.
2. Определить начальное положение точки на траектории.
3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.
4. Найти закон движения точки по траектории , принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки.
5. Построить график движения точки.
Дано: , .
Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :
.
Строим уравнение траектории:
2. Для определения положения точки в начальный момент времени необходимо подставить значение в уравнения движения:
.
Точка при занимает положение .
3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OX в точке (0; ) и пересечение с осью OY (-3;0).
4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:
, при ,
видим, что с выходом из начального положения координата х уменьшается, а координата y увеличивается. Это направление примем за положительное, тогда:
,
.
1.13. Даны уравнения движения точки.
1. Определить уравнение траектории и построить ее.
2. Определить начальное положение точки на траектории.
3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.
4. Найти закон движения точки по траектории , принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки.
5. Построить график движения точки.
Дано: , .
Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :
.
Строим уравнение траектории:
2. Для определения положения точки в начальный момент времени необходимо подставить значение в уравнения движения:
.
Точка при занимает положение .
3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OY в точке (0;11,75).
4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:
, при ,
видим, что с выходом из начального положения координата х уменьшается, а координата y увеличивается. Это направление примем за положительное, тогда:
,
.
1.14. Даны уравнения движения точки.
1. Определить уравнение траектории и построить ее.
2. Определить начальное положение точки на траектории.
3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.
4. Найти закон движения точки по траектории , принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки.
5. Построить график движения точки.
Дано: , .
Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :
.
Строим уравнение траектории:
2. Для определения положения точки в начальный момент времени необходимо подставить значение в уравнения движения:
.
Точка при занимает положение .
3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OX в точке (0;0,75) и пересечение с осью OY (1;0).
4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:
, при ,
видим, что с выходом из начального положения координата х уменьшается, а координата y увеличивается. Это направление примем за положительное, тогда:
,
.
1.15. Даны уравнения движения точки.
1. Определить уравнение траектории и построить ее.
2. Определить начальное положение точки на траектории.
3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.
4. Найти закон движения точки по траектории , принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки.
5. Построить график движения точки.
Дано: , .
Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :
.
Строим уравнение траектории:
2. Для определения положения точки в начальный момент времени необходимо подставить значение в уравнения движения:
.
Точка при занимает положение .
3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OX в точке (0;-6,5).
4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:
, при ,
видим, что с выходом из начального положения координата х уменьшается, а координата y увеличивается. Это направление примем за положительное, тогда:
,
.
1.16. Даны уравнения движения точки.
1. Определить уравнение траектории и построить ее.
2. Определить начальное положение точки на траектории.
3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.
4. Найти закон движения точки по траектории , принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки.
5. Построить график движения точки.
Дано: , .
Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :
.
Строим уравнение траектории:
2. Для определения положения точки в начальный момент времени необходимо подставить значение в уравнения движения:
.
Точка при занимает положение .
3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OX в точке (0;3,75) и пересечение с осью OY (9;0).
4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:
, при ,
видим, что с выходом из начального положения координата х уменьшается, а координата y увеличивается. Это направление примем за положительное, тогда:
,
.
Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21
Траектория и уравнения движения точки
Траектория и уравнения движения точки
- Уравнение движения для локуса и точек 1°.Основные понятия. Траекторией точки называется линия, описываемая точкой движения в пространстве. Траектории могут быть плоскими или пространственными кривыми. Движение точки определяется установлением закона движения. Закон движения точек (уравнения) устанавливает зависимость расположения точек во временном пространстве.
Движение точки M в фиксированной системе координат xyz определяется установкой 3 функций (рис.3.1). * = / > ( ’). J’ = / *( Людмила Фирмаль
Создайте уравнение движения для точки N в декартовой системе координат. Найдите уравнение его орбиты. Определяет полный 1-кратный поворот точки N и точку, в которой координаты обеих точек равны. The solution. To составьте уравнение движения точки N, необходимо представить ее координаты в виде функции времени. Из рисунка найдите координату x в точке N. Х = О с COS Людмила Фирмаль
Затем по координатам определяется максимальное отклонение точки м от центра колебаний О. МПМ = а ХІ =-а. Величина a называется амплитудой колебаний, kt — (- (J называется фазой колебаний, ap-начальной фазой колебаний. Определите период колебаний, то есть время, в течение которого точки совершают 1 полное колебание, то есть возвращаются в исходное положение с той же скоростью и величиной. Обозначим период буквой Т и найдем его значение из условия, что приращение фазы колебаний за это время равно 2π. Иначе говоря
Задача 3.4.Точки перемещаются в соответствии с уравнением. x = A cos(kt-e), (1) г = Б, потому что КТ(2) Определите уравнение траектории движения точки. Как изменяется локус точек при увеличении разности фаз£от 0 до 2r? The solution. To найдя уравнение орбиты точки в явном виде, нужно исключить время из уравнения motion. To для этого сначала преобразуем уравнение движения. х = а соѕ(т-е)= а [потому что КТ потому что£-(- КТ грех грех ЭЖ.(3) решая уравнения (2) и (3) для cos kt и sin kt, получим: Х г — г соз£ а б. Преступление. потому что КТ =£о грех КТ = Добавьте эти уравнения, возведя их в квадрат. г, (т -£»»’) ’ 1 Б% ’ °1 (4) Sin2 е
Или в конце: — В + М — ^^ ко ^ грех ’、 уравнение (4) для любого значения e является уравнением эллипса. Из этого уравнения максимальные и минимальные значения являются Параметры±соответственно. a для x и zt b для y. таким образом, во всех случаях эллипс вписывается в прямоугольники со сторонами 2a и 2b. измените значение от 0 до 2ir. если e = 0, то выражение(4) принимает вид:
Так, если фазы обеих составляющих колебаний перпендикулярны друг другу, то эллипс вырождается в 2 совпадающие прямые, являющиеся диагоналями прямоугольника(рис. в коса -> -= учитывая it_y = 0, горизонтальная дальность полета I определяется из орбитального уравнения (4).
log A x cos2 a следовательно 2 значения x\ Т / л грех 2а х0 = 0, ХН = 1 = 8. Первое значение соответствует первому моменту (моменту отправления точки), А второе определяет горизонтальное расстояние. Сравнивая значения /и 5, можно сделать вывод, что/ = 2s, то есть точки достигают наивысшего положения в диапазоне горизонтальной половины. Итак, положение точки в пространстве в этой точке.
Уравнение (1) представляет собой параметрическое уравнение траектории a point. To найдя уравнение орбиты точки в координатной форме, нужно исключить время из уравнения(1) и получить форму зависимости. БФ,(Ци, г)= 0, 9а, КР, з)= 0. Комбинация этих 2 уравнений определяет кривую, по которой перемещаются точки. Есть и другие способы указать движение points. In векторным методом, определяющим законы движения, радиус-вектор r движущейся точки M (рис.3.1) задается как функция времени r = r (t).Связь между радиус-вектором r и Декартовыми координатами точки представлена уравнением Р = ХІ * \ — ый + ЗК. (2 ) Где i, j и k-единичные векторы (единичные векторы) осей. (2)
Если вы получаете x, y> z, текущие координаты точки A4, как определено y. уравнение(1), то (2) x Дайте закон движения точек в векторной форме. 3-й способ задания движения точек называется natural. In в этом случае движение точек определяется уравнением а = /( (). Сферические и цилиндрические координаты часто используются для изучения движения точки в пространстве. Сферическими координатами точки M (рис.3.4) являются расстояние r точки M от неподвижного центра O, угол φ (угол поворота плоскости zOM относительно неподвижной плоскости xOz) и угол ? =?(’) * (5 *)
Уравнение движения для цилиндрических координат: р = п(о> т = м р = РЗ). (си *) м г Так… 1. Рисунок 3.4. Да. Чтобы перейти от сферических координат к декартовым, используйте следующую формулу:> х = р с с COS
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
http://www.teoretmeh.ru/primerkinematika.htm
http://lfirmal.com/traektoriya-i-uravneniya-dvizheniya-tochki/