Построение уравнения плоскости по 2 векторам

5.2.1. Как составить уравнение плоскости
по точке и двум неколлинеарным векторам?

Конструировать уравнение будем с помощью векторов и точек. Их должно быть как можно меньше, но достаточно, чтобы однозначно определить плоскость. Одним словом, красивая математическая лаконичность.

Казалось бы, плоскость можно однозначно определить с помощью двух неколлинеарных векторов. Но нет – векторы свободны и бродят по всему пространству, поэтому ещё нужна фиксированная точка:

Уравнение плоскости, которая проходит через точку параллельно неколлинеарным векторам , выражается формулой:

! Примечание: под выражением «вектор параллелен плоскости» подразумевается, что вектор можно отложить и в самой плоскости. Для наглядности я буду откладывать векторы прямо в плоскости.

Принципиально ситуация выглядит так:
Обратите внимание, что точка и два коллинеарных вектора не определят плоскость однозначно (они будут «вертеться» вокруг точки и зададут целый «пучок» плоскостей).

Задача 130

Составить уравнение плоскости по точке и неколлинеарным векторам .

Решение: искомое уравнение составим по формуле:

Определитель удобнее всего раскрыть по первому столбцу:

Раскрываем определители второго порядка:

На первом месте у нас нарисовался знак «минус», и хорошим тоном считается его убрать (точно так же, как и у общего уравнения «плоской» прямой).

Меняем у каждого слагаемого знак и проводим дальнейшие упрощения:

, сократить здесь ничего нельзя, поэтому:

Ответ:

Как проверить задание? Для проверки пока не хватает информации, но мы обязательно выполним её чуть позже. Решаем самостоятельно:

Задача 131

Составить уравнение плоскости по векторам и принадлежащей ей точке .

Кстати, если векторы коллинеарны, то и на этот случай есть корректный ответ 😉

Онлайн калькулятор. Уравнение плоскости

Предлагаю вам воспользоваться онлайн калькулятором чтобы найти уравнение плоскости.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное пошаговое решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на составление уравнения плоскости и закрепить пройденный материал.

Найти уравнение плоскости

Выберите метод решения исходя из имеющихся в задаче данных:

В задаче известны:

Ввод данных в калькулятор для составления уравнения плоскости

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора для вычисления уравнения плоскости

• Используйте кнопки и на клавиатуре, для перемещения между полями калькулятора.

Теория. Уравнение плоскости.

Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки

В зависимости от условий задачи уравнение плоскости можно составить следующими способами:

Если заданы координаты трех точек A( x ₁, y ₁, z ₁), B( x ₂, y ₂, z ₂) и C( x ₃, y ₃, z ₃), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно составить по следующей формуле

Если заданы координаты точки A( x ₁, y ₁, z ₁) лежащей на плоскости и вектор нормали n = , то уравнение плоскости можно составить по следующей формуле:

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам

Напомним, что три или более векторов называются компланарными , если существует плоскость, которой они параллельны. Эту плоскость будем называть компланарной заданным векторам .

Направляющими векторами плоскости называются два неколлинеарных вектора, компланарных этой плоскости, т.е. принадлежащих плоскости или параллельных ей.

Пусть в координатном пространстве заданы:

б) два неколлинеарных вектора (рис.4.15).

Требуется составить уравнение плоскости, компланарной векторам и проходящей через точку

Выберем на плоскости произвольную точку . Обозначим — радиус-векторы точек и (рис.4.16).

Условие компланарности векторов (рис.4.16) можно записать, используя свойства смешанного произведения Применяя формулу (1.17), получаем уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и компланарной двум неколлинеарным векторам:

Параметрическое уравнение плоскости

Пусть в координатном пространстве заданы:

б) два неколлинеарных вектора (рис.4.15).

Требуется составить параметрическое уравнение вида (4.10) плоскости, компланарной векторам и проходящей через точку

Выберем на плоскости произвольную точку . Обозначим -радиус-векторы точек и (рис.4.16).

Точка принадлежит заданной плоскости тогда и только тогда, когда векторы и компланарны (см. разд. 1.3.2). Запишем условие компланарности: где — некоторые действительные числа (параметры). Учитывая, что получим векторное параметрическое уравнение плоскости :

где — направляющие векторы плоскости, а — радиус-вектор точки, принадлежащей плоскости.

Координатная форма записи уравнения (4.19) называется параметрическим уравнением плоскости:

где и — координаты направляющих векторов и соответственно. Параметры в уравнениях (4.19),(4.20) имеют следующий геометрический смысл: величины пропорциональны расстоянию от заданной точки до точки принадлежащей плоскости. При точка совпадает с заданной точкой . При возрастании (или ) точка перемещается в направлении вектора (или ), а при убывании (или ) — в противоположном направлении.

1. Поскольку направляющие векторы плоскости неколлинеарны, то они ненулевые.

2. Любой вектор , коллинеарный плоскости, ортогонален нормальному вектору для этой плоскости. Поэтому их скалярное произведение равно нулю:

Следовательно, координаты и направляющих векторов и плоскости и ее нормали связаны однородными уравнениями:

3. Направляющие векторы плоскости определяются неоднозначно.

4. Для перехода от общего уравнения плоскости (4.15) к параметрическому (4.20) нужно выполнить следующие действия:

1) найти любое решение уравнения определяя тем самым координаты точки принадлежащей плоскости;

2) найти любые два линейно независимых решения однородного уравнения определяя тем самым координаты решения и направляющих векторов и плоскости;

3) записать параметрическое уравнение (4.20).

5. Чтобы перейти от параметрического уравнения плоскости к общему , достаточно либо записать уравнение (4.18) и раскрыть определитель, либо найти нормаль как результат векторного произведения направляющих векторов:

и записать общее уравнение плоскости в форме (4.14):

6. Векторное параметрическое уравнение плоскости (4.19), полученное в прямоугольной системе координат, имеет тот же вид в любой другой аффинной системе координат. Геометрический смысл коэффициентов в уравнении остается прежним.

Пример 4.8. В координатном пространстве (в прямоугольной системе координат) заданы точки и (см. рис.4.11). Требуется:

а) составить параметрическое уравнение плоскости, перпендикулярной отрезку и проходящей через его середину;

б) составить общее уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка и компланарной радиус-векторам и

Решение. а) Общее уравнение искомой плоскости было получено в примере 4.5: Составим параметрическое уравнение:

1) находим любое решение уравнения , например, следовательно, точка принадлежит плоскости;

2) находим два линейно независимых (непропорциональных) решения однородного уравнения например и следовательно, векторы являются направляющими для плоскости;

3) записываем параметрическое уравнение плоскости (4.20):

б) Координаты середины отрезка были найдены в примере 4.5. Нормаль к искомой плоскости получим как векторное произведение ее направляющих векторов и

Составляем уравнение (4.14):

Тот же результат можно получить, записывая уравнение (4.18):