Системы линейных однородных уравнений
Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для нахождения нетривиального и фундаментального решения СЛАУ. Полученное решение сохраняется в файле Word (см. пример решения).
- Шаг №1
- Шаг №2
- Видеоинструкция
- Оформление Word
Свойства систем линейных однородных уравнений
Теорема. Система в случае m=n имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю.
Теорема. Любая линейная комбинация решений системы также является решением этой системы.
Определение. Совокупность решений системы линейных однородных уравнений называется фундаментальной системой решений, если эта совокупность состоит из линейно независимых решений и любое решение системы является линейной комбинацией этих решений.
Теорема. Если ранг r матрицы системы меньше числа n неизвестных, то существует фундаментальная система решений, состоящая из ( n-r ) решений.
Однородные СЛАУ. Фундаментальная система решений
Однородные СЛАУ
Однородной СЛАУ называется система, все правые части которой равны нулю одновременно.
Однородная СЛАУ, записанная в матричном виде, $A X=\Theta$ всегда совместна, так как $X=\Theta$ всегда является ее решением.
Заметим, что если $x_<1>, x_<2>$ — это два решения однородной СЛАУ, то их линейная комбинация также будет решением однородной СЛАУ:
$$Y=\lambda_ <1>x_<1>+\lambda_ <2>x_<2>$$ $$A Y=A\left(\lambda_ <1>x_<1>+\lambda_ <2>x_<2>\right)=\lambda_ <1>A x_<1>+\lambda_ <2>A x_<2>=\lambda_ <1>\Theta+\lambda_ <2>\Theta=\Theta$$
Если однородная квадратная СЛАУ имеет ненулевое решение, то определитель матрицы системы равен нулю.
Задание. Выяснить, имеет ли однородная СЛАУ $\left\<\begin
$$\Delta=\left|\begin
Так как определитель не равен нулю, то система имеет только нулевое решение $x=y=0$
Ответ. Система имеет только нулевое решение.
Фундаментальная система решений
Рассмотрим множество всех столбцов, которые являются решениями исходной системы.
Фундаментальной системой решений (ФСР) однородной СЛАУ называется базис этой системы столбцов.
Количество элементов в ФСР равно количеству неизвестных системы минус ранг матрицы системы. Любое решение исходной системы есть линейная комбинация решений ФСР.
Общее решение неоднородной СЛАУ равно сумме частного решения неоднородной СЛАУ и общего решения соответствующей однородной СЛАУ.
Задание. Найти общее решение и ФСР однородной системы $\left\<\begin
Решение. Приведем систему к ступенчатому виду с помощью метода Гаусса. Для этого записываем матрицу системы (в данном случае, так как система однородная, то ее правые части равны нулю, в этом случае столбец свободных коэффициентов можно не выписывать, так как при любых элементарных преобразованиях в правых частях будут получаться нули):
$$A=\left(\begin
с помощью элементарных преобразований приводим данную матрицу к ступенчатому виду. От второй строки отнимаем первую, от третьей — четыре первых, от четвертой — две первых:
$$A \sim\left(\begin
Обнуляем элементы второго столбца, стоящие под главной диагональю, для этого от третьей строки отнимаем три вторых, к четвертой прибавляем вторую:
$$A \sim\left(\begin
От четвертой строки отнимем $\frac<4><3>$ третьей и третью строку умножим на $\frac<1><3>$ :
$$A \sim\left(\begin
Нулевые строки можно далее не рассматривать, тогда получаем, что
$$A \sim\left(\begin
Далее делаем нули над главной диагональю, для этого от первой строки отнимаем третью, а ко второй строке прибавляем третью:
$$A \sim\left(\begin
то есть получаем систему, соответствующую данной матрице:
Или, выразив одни переменные через другие, будем иметь:
Здесь $x_<2>, x_<4>$ — независимые (или свободные) переменные (это те переменные, через которые мы выражаем остальные переменные), $x_<1>, x_<3>, x_<5>$ — зависимые (связанные) переменные (то есть те, которые выражаются через свободные). Количество свободных переменных равно разности общего количества переменных $n$ (в рассматриваемом примере $n=5$ , так как система зависит от пяти переменных) и ранга матрицы $r$ (в этом случае получили, что $r=3$ — количество ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду): $n-r=5-3=2$
Так как ранг матрицы $r=3$ , а количество неизвестных системы $n=5$ , то тогда количество решений в ФСР $n-r=5-3=2$ (для проверки, это число должно равняться количеству свободных переменных).
Для нахождения ФСР составляем таблицу, количество столбцов которой соответствует количеству неизвестных (то есть для рассматриваемого примера равно 5), а количество строк равно количеству решений ФСР (то есть имеем две строки). В заголовке таблицы выписываются переменные, свободные переменные отмечаются стрелкой. Далее свободным переменным придаются любые, одновременно не равные нулю значений и из зависимости между свободными и связанными переменными находятся значения остальных переменных. Для рассматриваемой задачи эта зависимость имеет вид:
Тогда придавая в первом случае, например, независимым переменным значения $x_<2>=1$ , $x_<4>=0$ получаем, что $\left\<\begin
Эти две строчки и есть фундаментальным решением заданной однородной СЛАУ. Частное решение системы:
$$X_<1>=\left(\begin
Общее решение является линейной комбинацией частных решений:
$$X=C_ <1>X_<1>+C_ <2>X_<2>=C_<1>\left(\begin
где коэффициенты $C_<1>, C_<2>$ не равны нулю одновременно. Или запишем общее решение в таком виде:
Придавая константам $C_<1>, C_<2>$ определенные значения и подставляя их в общее решение, можно будет находить частные решения однородной СЛАУ.
Курсовая работа: Исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей
Название: Исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей Раздел: Рефераты по математике Тип: курсовая работа Добавлен 09:52:23 12 октября 2010 Похожие работы Просмотров: 1030 Комментариев: 19 Оценило: 3 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно Скачать | |
Экспонентой e A матрицы А называется сумма ряда
где Е – единичная матрица.
Свойство матричной экспоненты:
а) если АВ=ВА, то е А+В =е А *е В = е В *е А ;
б) если А=S — 1*B*S, то е А =S -1 *e B *S, где матрица S – это матрица преобразования переменных из собственного базиса в базис исходных переменных.
в) матрица y(t)=e At является решением матричной задачи Коши:
т.е. является фундаментальной матрицей системы (1).
Из свойства в) следует, что решение y(t) системы (1) удовлетворяющее условию y(0)=y0 , определяется выражением y(t)=e At *y0 . Таким образом, задача нахождения решений системы уравнений (1) эквивалентна задачи отыскания матрицы e At по матрице А.
Для вычисления матрицы e At удобно представить матрицу А в виде:
,
где матрица S – это матрица преобразования переменных из собственного базиса в базис исходных переменных, а B А – жорданова форма матрицы А, т.к. e At = S -1 *e Bt *S.
Жорданова форма матрицы зависит от вида характеристических чисел.
1. Пусть характеристические числа действительные кратные, тогда Жорданова форма матрицы размерности nxn имеет вид:
где — действительный корень кратности n.
2. Если среди корней характеристического полинома имеются, как действительные разные, так и действительные кратные корни, то матрица В имеет вид:
где — действительные разные корни, а — действительный корень кратности 2.
3. При наличии среди корней характеристического полинома корней комплексно-сопряженных Жорданова клетка выглядит следующим образом:
где а комплексно сопряженный корень характеристического полинома.
Так как в нашем случае среди характеристических чисел присутствуют, как комплексно-сопряженные корни л = 2 — ∨ л = 2 + , так и действительный разные корни л = -1 ∨ л = 1,то жорданова матрица выглядит следующим образом:
Из уравнения A* S = S* В, где S – невырожденная матрица, получаем систему 16-го порядка, из которой находим элементы матрицы S. Полученная матрица S будет выглядеть следующим образом:
Решаем систему 16-го порядка из уравнения A* S = S* В
Доопределяем некоторые элементы и получаем следующую матрицу S:
Значит матрица перехода найдена верно.
Для нахождения вектора решений y необходимо умножить матрицу S на , где — это вектор, элементы которого зависят от корней характеристического многочлена:
Для комплексных чисел имеет следующий вид:
Для случая корней действительных разных:
В нашем случае получается равной:
=
Отсюда найдем общее решение у=S*, получим:
При подстановке решения в исходную систему получается верное равенство, из этого следует, что решение найдено верно:
7. Задача Коши для матричного метода
Необходимо из всех решений системы уравнений найти такое решение, в котором y ( i ) (t) принимает заданное числовое значение y0 i в заданной точке, т.е. найти значения сi для следующих заданных значений: x=0, y=[1, 2, 3,4].
В вектор решений y(t) подставляем заданные условия и решаем полученную систему относительно c1, c2, c3, c4:
В результате получаем:
При подстановке c1, c2, c3, c4в общее решение получим решение в форме Коши:
Сделаем проверку, подставив общее решение в исходную систему
:
Получился нулевой вектор . Следовательно, найденная матрица является решением исходной системы.
Исследование зависимости жордановой формы матрицы А от свойств матрицы системы
Пусть J – жорданова клетка матрицы А. Для случая действительных разных корней жорданова клетка будет выглядеть следующим образом:
Пусть среди действительных собственных чисел матрицы А есть кратные. Жорданова клетка будет находиться по следующей формуле:
Например, если кратность k=2, то жорданову клетку матрицы мы можем записать так:
Если кратность k=3, то жорданову клетку матрицы мы можем записать так:
Если же среди трех собственных чисел являются корнями кратности 2, то жорданова форма будет выглядеть следующим образом:
Если два собственных числа матрицы А являются комплексными сопряженными, то запись жордановой клетки будет выглядеть так:
где – действительная, – мнимая часть собственного числа .
8. Решение неоднородной системы
Правая часть:
Общее решение неоднородной системы можно найти по формуле:
Где — фср, Со – матрица , F(t) – вектор правых части.
— общее решение однородной системы
— частное решение неоднородной системы
Полученное частное решение неоднородной системы:
Общее решение однородной системы
Тогда их сумма будет искомым общим решением неоднородной системы:
Найденное решение верно.
Изобразим графически точное частное решение однородной линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами для начальных условий: t0 = 0, y0 = [1, 2, 3, 4].
Сравним график одной функции вектора точного решения и одной функции вектора приближенного решения с 3-мя, 5-ю и 7-ю членами ряда:
Где 1 – график приближенного решения для трех членов ряда; 2 – график приближенного решения для шести членов ряда; 3 – график приближенного решения для девяти членов ряда; 4 – график точного решения.
Можно сделать вывод:
С увеличением числа членов ряда, число совпадения членов ряда с точным решением будет увеличиваться, область совпадения будет расти.
Заключение
В ходе проделанной работы было изучено 3 метода нахождения общего решения однородной системы линейных дифференциальных уравнений: метод Эйлера, решение в виде матричного ряда и матричный метод. По сравнению с методом Эйлера и матричным методом, метод разложения в матричный ряд прост в реализации, но дает приближенное решение. Также была изучена задача Коши, которая была использована для нахождения частного решения однородной системы линейных дифференциальных уравнений для данного вида начальных условий.
Для установления правильности проведенных вычислений была проведена проверка с помощью подстановки полученных решений в исходную систему уравнений.
Для реализации этой работы в DERIVE были использованы следующие функции пакета:
1. EIGENVALUES (A, ) – вычисление собственных чисел матрицы A с последующей записью в вектор .
2. SOLVE (Pm=0, ) – решение уравнения Pm=0, где Pm – полином степени m: Pm=p0* m p1* m -1 +…+pm-1*+pm, а — переменная, относительно которой решается данное уравнение.
3. EXACT_VECTOR(A, ) – вычисление точного собственного вектора матрицы А и размещение этих значений в .
4. DIF(A,x,n) – дифференцирование A по xn раз.
5. SUM(M,n,f,g) – вычисление суммы M по n изменяющимся с f до g.
6. VECTOR(u,k,n)– задание (вычисление) вектора значений при k изменяющемся от 1 до n.
А также функции меню:
1. SOLVE/SYSTEM –решение системы с последующим заданием в диалоговом окне количества уравнений, самих уравнений и переменных, относительно которых решается данное уравнение.
2. Simplify > Expand– раскрытиевыражений.
Команда Expand используется для раскрытия математических выражений.
Expand expression: #n: где n – номер строки выражения (операнда).
Expand Variable: #n .
В этом варианте команды необходимо указать имя переменной, по которой будет проведено преобразование. Если по всем — .
3. Для построения графиков использовали функцию 2D-plot.
http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_5_6.php
http://www.bestreferat.ru/referat-110462.html