Построить гиперболу заданную уравнением 9×2 64y2 576

Гипербола

Что такое гипербола? Как построить гиперболу? (Для школьников (7-11 классов)).

Функция заданная формулой \(y=\frac\), где к неравно 0. Число k называется коэффициентом обратной пропорциональности.
Определение гиперболы.
График функции \(y=\frac\) называют гиперболой. Где х является независимой переменной, а у — зависимой.

Что нужно знать, чтобы построить гиперболу?
Теперь обсудим свойства гиперболы:

гипербола, где k y≠0 это вторая асимптота.
И так, асимптоты x≠0 и y≠0 в данном примере совпадают с осями координат OX и OY.
k=1, значит гипербола будет находится в первой и третьей четверти. k всегда находится в числители.
Построим примерный график гиперболы.

Пример №2:
$$y=\frac<1>-1$$
Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому х+2 неравен 0.
х+2≠0
х≠-2 это первая асимптота

Находим вторую асимптоту.

Дробь \(\color <\frac<1>>\) отбрасываем
Остается y≠ -1 это вторая асимптота.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-2 и y≠-1):

Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому 1+х неравен 0.
1+х≠0
х≠-1 это первая асимптота.

Находим вторую асимптоту.

Остается y≠1 это вторая асимптота.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-1 и y≠1):

3. У гиперболы есть центр симметрии относительно начала координат. Рассмотрим на примере:

Возьмем точку А(1;1) с координатами, которая находится на графике у=1/х. На этом же графике лежит точка B(-1;-1). Видно, что точка А симметрична точке В относительна начала координат.

4. Оси симметрии гиперболы. У гиперболы две оси симметрии. Рассмотрим пример:

Первой осью симметрии является прямая y=x. Посмотрим точки (0,5;2) и (2;0,5) и еще точки (-0,5;-2) и (-2;-0,5). Эти точки расположены по разные стороны данной прямой, но на равных расстояниях от нее, они симметричны относительно этой прямой.

Вторая ось симметрии это прямая y=-x.

5. Гипербола нечетная функция.

6. Область определения гиперболы и область значения гиперболы. Область определения смотрим по оси х. Область значения смотрим по оси у. Рассмотрим на примере:

а) Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому x-1 неравен 0.
x-1≠0
х≠1 это первая асимптота.

Находим вторую асимптоту.

Остается y≠ -1 это вторая асимптота.

б) k=-1, значит ветви гиперболы будут находится во второй и четвертой четверти.

в) Возьмем несколько дополнительных точек и отметим их на графике.
х=0 y=0
x=-1 y=-0,5
x=2 y=-2
x=3 y=-1,5

г) Область определения смотрим по оси х. Графика гиперболы не существует по асимптоте х≠1, поэтому область определения будет находится
х ∈ (-∞;1)U(1;+∞).

д) Область значения смотрим по оси y. График гиперболы не существует по асимптоте y≠ -1, поэтому область значения будет находится
y ∈ (-∞;-1)U(-1;+∞).

е) функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞;1)U(1;+∞).

7. Убывание и возрастание функции гиперболы. Если k>0, функция убывающая. Если k Category: 8 класс, База знаний, Уроки Tag: Гипербола Leave a comment

Математический портал

Nav view search

Navigation

Search

• Вы здесь:
• Home
• Высшая математика.
• Аналитическая геометрия.
• Эллипс, гипербола, парабола. Директориальное свойство эллипса и гиперболы. Полярный параметр.

Эллипс, гипербола, парабола. Директориальное свойство эллипса и гиперболы. Полярный параметр.

Эллипс, гипербола, парабола. Директориальное свойство эллипса и гиперболы.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Эллипс.

Эллипс с каноническим уравнением $\frac+\frac=1, a\geq b>0,$ и меет форму изображенную на рисунке.

Параметры $a$ и $b$ называются полуосями эллипса (большой и малой соответственно). Точки $A_1(-a, 0),$ $A_2(a, 0), $ $B_1(0, -b), $ и $B_2(0, b), $ его вершинами. Оси симметрии $Ox$ и $Oy$ — главными осями а центр симметрии $O -$ центром эллипса.

Точки $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=\sqrt\geq 0,$ называются фокусами эллипса векторы $\overline$ и $\overline -$ фокальными радиус-векторами, а числа $r_1=|\overline|$ и $r_2=|\overline| -$ фокальными радиусами точки $M,$ принадлежащей эллипсу. В частном случае $a=b$ фокусы $F_1$ и $F_2$ совпадают с центром, а каноническое уравнение имеет вид $\frac+\frac=1,$ или $x^2+y^2=a^2,$ т.е. описывает окружность радиуса $a$ с центром в начале координат.

Прямые $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e,$ перпендикулярные главной оси и проходящей на расстоянии $a/e$ от центра, называются директрисами эллипса.

Теорема. ( Директориальное свойство эллипса)

Эллипс является множеством точек, отноше ние расстояний от которых до фокуса и до соответствующей директрисы постоянно и равно $e.$

Примеры.

2.246. Построить эллипс $9x^2+25y^2=225.$ Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения директрис.

Приведем уравнение эллипса к каноническому виду:

а) Находим полуоси $a=5,$ $b=3.$

б) Фокусы найдем по формулам $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=\sqrt:$

$c=\sqrt<5^2-3^2>=\sqrt<16>=4\Rightarrow F_1(-4, 0),\qquad F_2(4, 0).$

г) Уравнения директрис находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

Ответ: а) $a=5,$ $b=3;$ б) $ F_1(-4, 0),\qquad F_2(4, 0);$ в) $e=\frac<4><5>;$ г) $D_1: x=-\frac<25><4>$ и $D_2: x=\frac<25><4>.$

2.249 (a). Установить, что уравнение $5x^2+9y^2-30x+18y+9=0$ определяет эллипс, найти его центр $C,$ полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис.

Приведем уравнение эллипса к каноническому виду, для этого выделим полные квадраты:

Это уравнение эллипса. Центр имеет координаты $C=(x_0, y_0)=(-3, -1);$ полуоси $a=3,$ $b=\sqrt 5.$

Уравнения директрис для эллипса с центром в начале координат находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

$D_1: x=-\frac<3><2/3>=-\frac<9> <2>$ и $D_2: x=\frac<3><2/3>=\frac<9><2>.$ Поскольку у заданного эллипса центр смещен, то директриссы будут иметь уравнения $D_1: x=x_0-a/e$ и $D_2: x=x_0+a/e:$

Ответ: $C=(x_0, y_0)=(-3, -1);$ $a=3,$ $b=\sqrt 5;$ $ e=\frac<2><3>.$ $D_1:2x+3=0, $ $D_2: 2x-15=0.$

2.252. Эллипс, главные оси которого совпадают с координатными осми, проходят через точки $M_1(2, \sqrt 3)$ и $M_2(0, 2).$ Написать его уравнение, найти фокальные радиусы точки $M_1$ и расстояния этой точки до директрис.

Решение.

Поскольку оси эллипса совпадают с координатными осями, то центр эллипса совпадает с началом координат. Следовательно, из того, что точка $(0, 2)$ принадлежит эллипсу, можно сделать вывод, что $b=2.$

Далее, чтобы найти $a,$ подставим найденное значение $b$ и координаты точки $M_1(2, \sqrt 3)$ в каноническое уравнение эллипса $\frac+\frac=1:$

Таким образом, уравнение эллипса $\frac<16>+\frac<4>=1.$

Далее найдем координаты фокусов:

$c=\sqrt=\sqrt<16-4>=2\sqrt 3\Rightarrow F_1(-2\sqrt 3, 0),\,\,\, F_2(2\sqrt 3, 0).$

Отсюда находим $\overline =(2+2\sqrt 3, \sqrt 3),$ $\overline=(2-2\sqrt 3, \sqrt 3).$

Чтобы найти расстояния от точки $M_1$ до директрис, найдем уравнения директрис по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

Расстояние от точки $P(x_0, y_0)$ до прямой $L: Ax+By+C=0$ вычисляется по формуле $$d=\left|\frac<\sqrt>\right|.$$

Таким образом, расстояние от точки $M_1(2, \sqrt 3)$ до прямой $D_1: \sqrt 3 x+8=0$

расстояние от точки $M_1(2, \sqrt 3)$ до прямой $D_2: \sqrt 3 x-8=0$

Параметры $a$ и $b$ называются полуосями гиперболы. Точки $A_1(-a, 0),$ $A_2(a, 0) — $ ее вершинами. Оси симметрии $Ox$ и $Oy$ — действительной и мнимой осями а центр симметрии $O -$ центром гиперболы.

Точки $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=\sqrt\geq 0,$ называются фокусами гиперболы, векторы $\overline$ и $\overline -$ фокальными радиус-векторами, а числа $r_1=|\overline|$ и $r_2=|\overline| -$ фокальными радиусами точки $M,$ принадлежащей гиперболе.

Прямые $D_1: x=-a/e$ и $D_2:x=a/e,$ перпендикулярные главной оси и проходящей на расстоянии $a/e$ от центра, называются директрисами гиперболы.

Теорема. (Директориальное свойство гиперболы).

Гипербола является геометрическим местом точек, отношение расстояний от которых до фокуса и до соответствующей дирек трисы постоянно и равно $e.$

Примеры.

2.265. Построить гиперболу $16x^2-9y^2=144.$ Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения асимптот; д) уравнения директрис.

Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду:

а) Находим полуоси $a=3,$ $b=4.$

б) Фокусы найдем по формулам $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=\sqrt:$

$c=\sqrt<3^2+4^2>=\sqrt<25>=5\Rightarrow F_1(-5, 0),\qquad F_2(5, 0).$

г) Асимптоты гиперболы находим по формулам $y=\pm\fracx:$

д) Уравнения директрис находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

Ответ: а) $a=3,$ $b=4;$ б) $ F_1(-5, 0),\qquad F_2(5, 0);$ в) $e=\frac<5><3>;$ г) $y=\pm\frac<4><3>x;$ д ) $D_1: x=-\frac<9><5>$ и $D_2: x=\frac<9><5>.$

2.269 (a). Установить, что уравнение $16x^2-9y^2-64x-54y-161=0$ определяет гиперболу, найти ее центр $C,$ полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис.

Приведем заданное уравнение к каноническому виду, для этого выделим полные квадраты:

Это уравнение гиперболы. Центр имеет координаты $C=(x_0, y_0)=(2,-3);$ полуоси $a=3,$ $b=4.$

Асимптоты гиперболы c центром в начале координат, находим по формулам $y=\pm\fracx,$ а с центром в точке $C=(x_0, y_0) -$ по формуле $y-y_0=\pm\frac(x-x_0),$

$$y+3=\frac<4><3>(x-2)\Rightarrow 3y+9=4x-8\Rightarrow 4x-3y-17=0.$$

$$y+3=-\frac<4><3>(x-2)\Rightarrow 3y+9=-4x+8\Rightarrow 4x+3y+1=0.$$

Уравнения директрис для эллипса с центром в начале координат находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

$D_1: x=-\frac<3><5/3>=-\frac<9> <5>$ и $D_2: x=\frac<3><5/3>=\frac<9><5>.$ Поскольку у заданного эллипса центр смещен, то директриссы будут иметь уравнения $D_1: x=x_0-a/e$ и $D_2: x=x_0+a/e:$

Ответ: $C=(2, -3);$ $a=3,$ $b=4;$ $ e=\frac<5><3>,$ $4x-3y-17=0,$ $4x+3y+1=0,$ $D_1:5x-1=0, $ $D_2: 5x-19=0.$

2.272. Убедившись, что точка $M(-5, 9/4)$ лежит на гиперболе $\frac<16>-\frac<9>=1,$ найти фокальные радиусы этой точки и расстояния этой точки до директрис.

Решение.

Проверим, что заданная точка лежит на гиперболе:

Следовательно, точка $M(-5, 9/4)$ лежит на гиперболе $\frac<16>-\frac<9>=1.$

Для того, чтобы найти фокальные радиусы, найдем фокусы гиперболы:

$c=\sqrt\Rightarrow c=\sqrt<16+9>=\sqrt <25>=5$ Следовательно, фокусы имеют координаты $F_1(-5, 0), F_2(5, 0).$

Фокальные радиусы точки, можно найти по формулам $r_1=|\overline|$ и $r_2=|\overline|.$

Чтобы найти расстояния от точки $M$ до директрис, найдем уравнения директрис по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

$D_1: x=-\frac<4><5/4>\Rightarrow x=-\frac<16><5>\Rightarrow 5x+16=0;$

$D_2: x=\frac<4><5/4>\Rightarrow x=\frac<16><5>\Rightarrow 5x-16=0;$

Расстояние от точки $P(x_0, y_0)$ до прямой $L: Ax+By+C=0$ вычисляется по формуле $$d=\left|\frac<\sqrt>\right|.$$

Таким образом, расстояние от точки $M(5, 9/4)$ до прямой $D_1: \sqrt 5x+16=0$

расстояние от точки $M(5, 9/4)$ до прямой $D_2: \sqrt 5x-16=0$

Ответ: $r_1=9/4,$ $r_2=\frac<41><4>;$ $d_1=\frac<41><5>;$ $d_2=\frac<9><5>.$

2.273. Найти точки гиперболы $\frac<9>-\frac<16>=1,$ находящиеся на расстоянии $7$ от фокуса $F_1.$

Решение.

Из уравнения гиперболы находим полуоси: $a=3, \, b=4.$ Следовательно, $c=\sqrt\Rightarrow c=\sqrt<9+16>=\sqrt <25>=5.$

Отсюда находим $F_1=(-5, 0).$

Геометрическое место точек, расположенных на расстоянии $7$ от фокуса $F_1,$ это окружность с центром в точке $F_1=(-5, 0)$ и радиусом $r=7:$

Чтобы н айти точки гиперболы $\frac<9>-\frac<16>=1,$ находящиеся на расстоянии $7$ от фокуса $F_1,$ решим систему уравнений

Решим уравнение $5x^2+18x-72=0:$

Находим соответствующие координаты $y:$ $y_1=\pm\sqrt<24-2,4^2-10\cdot 2,4>=\sqrt<-5,76>$ — нет корней .

Ответ: $(-6, \pm4\sqrt 3).$

Парабола.

Парабола с каноническим уравнением $y^2=2px, p>0,$ и меет форму изображенную на рисунке.

Число $p$ называется параметром параболы. Точка $O -$ ее вершиной, а ось $Ox$ — осью параболы.

Точка $F\left(\frac

<2>, 0\right)$ называется фокусом параболы, вектор $\overline -$ фокальным радиус-векторам, а число $r=|\overline| -$ фокальным радиусом точки $M,$ принадлежащей параболе.

Прямая $D: x=-p/2$ перпендикулярная оси и проходящая на расстоянии $p/2$ от вершины параболы, называется ее директрисой.

Примеры.

2.285 (а). Построить параболу $y^2=6x$ и найти ее параметры.

Решение.

Параметр $p$ параболы можно найти из канонического уравнения $y^2=2px: $

$$y^2=6x\Rightarrow y^2=2\cdot 3x\Rightarrow p=2.$$

Ответ: $p=3.$

2.286 (а). Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что парабола расположена в левой полуплоскости, симметрично относительно оси $Ox$ и $p=1/2.$

Решение.

Поскольку парабола расположена в левой полуплоскости, симметрично относительно оси $Ox,$ то уравнение параболы будет иметь вид $y^2=-2px.$ Подставляя заданное значение параметра, находим уравнение параболы:

Ответ: $y^2=-x.$

2.288 (а). Установить, что уравнение $y^2=4x-8$ определяет параболу, найти координаты ее вершины $A$ и величину параметра $p.$

Решение.

Уравнение параболы, центр которой сдвинут в точку $(x_0, y_0),$ имеет вид $(y-y_0)^2=2p(x-x_0)^2.$

Приведем заданное уравнние к такому виду:

Таким образом, $y^2=4(x^2-2)$ — парабола с центром в точке $(0, 2).$ Параметр $p=2.$

Ответ: $C(0, 2),$ $p=2.$

2.290. Вычислить фокальный параметр точки $M$ параболы $y^2=12x,$ если $y(M)=6.$

Решение.

Чтобы найти фокальный параметр точки $M,$ найдем ее координаты. Для этого подставим в уравнение параболы координату $y:$ $$6^2=12x\Rightarrow 36=12x\Rightarrow x=3.$$

Таким образом, точка $M$ имеет координаты $(3, 6).$

Из уравнения параболы $y^2=12x$ находим параметр параболы: $y^2=2\cdot 6x\Rightarrow p=6.$ Следовательно фокус параболы имеет координаты $F(3, 0).$

Далее находим фокальный параметр точки:

Ответ: $6.$

2.298. Из фокуса параболы $y^2=12x$ под острым углом $\alpha$ к оси $Ox$ направлен луч света, причем $tg\alpha=\frac<3><4>.$ Написать уравнение прямой, на которой лежит луч, отраженный от параболы.

Решение.

Найдем координаты фокуса. Из канонического уравнения параболы $y^2=2px$ находим параметр: $y^2=12x=2\cdot 6x\Rightarrow p=6.$

Координаты фокуса $F(p/2, 0)\Rightarrow F(3,0).$

Далее находим уравнение прямой, которая проходит через точку $(3, 0)$ под углом $\alpha: tg\alpha=\frac<3><4>$ к оси $OX.$ Уравнение ищем в виде $y=kx+b,$ где $k=tg\alpha=\frac<3><4>.$

Чтобы найти $b,$ в уравнение прямой подставим координаты точки $(3, 0):$

$0=\frac<3><4>\cdot 3+b\Rightarrow b=-\frac<9><4>.$ Таким образом, уравнение луча, направленного из фокуса $y=\frac<3><4>x-\frac<9><4>.$

Далее, найдем точку пересечения найденной прямой с параболой:

Поскольку по условию луч падает под острым углом, то мы рассматриваем только положительную координату $y=18.$ Соответствующее значение $x=\frac<18^2><12>=\frac<324><12>=27.$

Таким образом, луч пересекает параболу в точке $(27, 18).$

Далее найдем уравнение касательной к параболе в найденной точке $(27, 18)$ по формуле $(y-y_0)=y'(x_0)(x-x_0):$

Подставляем все найденные значения в уравнение касательной:

$y-18=\frac<1><3>(x-27)\Rightarrow 3y-54=x-27\Rightarrow x-3y+27=0.$

Далее, найдем угол $\beta$ между лучем $y=\frac<3><4>x-\frac<9><4>$ и касательной $x-3y+27=0.$ Для этого оба уравнения запишем в виде $y=k_1x+b_1$ и $y=k_2+b_2$ угол вычислим по формуле $tg(L_1, L_2)=\frac<1+k_1\cdot k_2>$

$$L_2: x-3y+27=0\Rightarrow y=\frac<1><3>x+9\Rightarrow k_2=\frac<1><3>.$$

Легко увидеть, что угол между лучем $L_1,$ направленным из фокуса и его отражением равен $\pi-2\beta,$ а угол между отраженным лучем и осью $Ox$ $\pi-(\pi-2\beta)-\alpha=2\beta-\alpha.$

Зная $tg\beta=\frac<1><3>$ и $tg\alpha=k_1=\frac<3><4>$ и вспоминая формулы для двойного угла тангенса и тангенс разности, находим $tg(2\beta-\alpha):$

$$tg(2\beta-\alpha)=\frac<1+tg2\beta tg\alpha>=\frac<\frac<3><4>-\frac<3><4>><1+\frac<3><4>\frac<3><4>>=0.$$ Следовательно, прямая, содержащая отраженный луч параллельна оси $Ox.$ Так как она проходит через точку $(27, 18),$ то можно записать ее уравнение $y=18.$

Построить гиперболу заданную уравнением 9×2 64y2 576

Вопрос по математике:

Найти полуоси,координаты фокусов , эксцентриситет и уравнение асимптот гиперболы 9x^2-16y^2=576. Построить гиперболу

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

Ответы и объяснения 1

Дана гипербола 9x² — 16y² = 576.

Разделим обе части уравнения на 576.
(9x²/576) — (16y²/576) = 576/576.
(х²/64) — (у²/36) = 1.
Получаем каноническое уравнение гиперболы:
(х²/8²) — (у²/6²) = 1.
Из него получаем значение полуосей:
a =8, b = 6.
Половина расстояния между фокусами — параметр с — равен:
с = √(a² + b²) = √(64 + 36) = √100 = 10.
Координаты фокусов:
F1(-10; 0), F2(10; 0).
Эксцентриситет гиперболы равен:
ε = с/а = 10/8 = 5/4.
Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых:
у = +-(b/a)x = +-(6/8)x = +-(3/4)x.

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

• Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
• Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
• Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

• Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
• Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
• Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
• Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Математика.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Математика — наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов.