Линейное уравнение с двумя переменными и его график
График линейного уравнения с двумя переменными
В линейном уравнении с двумя переменными ax+by=c , a и b называют коэффициентами при переменных, c — свободным членом.
Если сравним полученное уравнение $с y = kx+ \tilde b$ (см. §38 данного справочника), получаем:
Графиком $y = kx+ \tilde b$ является прямая, угловой коэффициент k определяет угол наклона, слагаемое $\tilde b$ – точку пересечения прямой с осью Y (см. §39 данного справочника).
Точки пересечения с осями координат:
График линейной функции ax+by=c с ненулевыми коэффициентами очень удобно чертить по двум точкам пересечения с осями координат: точка на оси X ( $\frac
Равенство нулю коэффициентов при переменных:
$0x+2y = 4 \Rightarrow y = 2$
График – прямая, параллельная оси Х.
$3x+0y = 3 \Rightarrow x = 1$
График – прямая, параллельная оси У.
a = 0, b = 0, $c \neq 0$
x, $y \in \Bbb R$ — любое действительное число.
График – вся координатная плоскость
График – пустое множество.
Взаимное расположение графиков двух уравнений
$$ a_1 x+b_1 y = c_1 и a_2 x+b_2 y = c_2 $$
Постройте график линейного уравнения с двумя переменными
В первом задании мы рассмотрели линейные уравнения с одной переменной. Например, уравнения `2x+5=0`, `3x+(8x-1)+9=0` являются линейными уравнениями с переменной `x`. Уравнение, содержащее переменные `x` и `y`, называется уравнением с двумя переменными. Например, уравнения `2x-3=5`, `x^2+xy-y^2=7` являются уравнениями с двумя переменными.
Уравнение вида `ax+by=c` называется линейным уравнением с двумя переменными, где `x` и `y` переменные, `a`, `b`, `c` — некоторые числа.
Например, уравнения `2x+y=3`, `x-y=0` являются линейными уравнениями с двумя переменными.
Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.
Например, `x=3`, `y=4` является решением уравнения `2x+3y=18`, будем эту пару чисел записывать так `(3;4)`. Очевидно, что пара чисел `(4;3)` не является решением уравнения, т. к. `2*4+3*3=17!=18`. При нахождении решений с двумя переменными на первом месте в паре чисел пишем значение для переменной `x`, а на втором месте – значение переменной `y`.
Если каждое решение одного уравнения является решением второго уравнения и обратно, то данные уравнения называются равносильными. Например, решения уравнений `2x+y=3` и `4x+2y=6` совпадают, следовательно, эти уравнения равносильные.
1) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;
2) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.
Укажите три различных решения для уравнения `3x+y-2=0`.
Если `x=0`, то `y=2`; если `y=0`, то `x=2/3`; если `x=1`, то `y=-1`.
Таким образом, пары чисел `(0;2)`, `(2/3;0)`, `(1;-1)` являются решениями данного уравнения. Заметим, что данное уравнение имеет бесконечно много решений. Для заданного значения `x` значение `y=2-3x`, т. е. любая пара чисел `(x;2-3x)`, где `x` — любое число, является решением уравнения.
Рассмотрим координатную плоскость `Oxy` и отметим на ней все точки `(x,y)`, для которых пара чисел `x` и `y` является решениями уравнения. Например, рассмотрим уравнение `y=2`. Этому уравнению удовлетворяют все пары чисел `(x;2)`.Точки, для которых `x` — любое число, а `y=2`, лежат на прямой `y=2`. Эта прямая параллельна оси `x` и проходит через точку `(0;2)` (см. рис. 1).
Рассмотрим уравнение `x=3`. Каждая пара чисел, являющаяся решением данного уравнения, изображается точкой с координатами `x` и `y` на координатной плоскости `Oxy`. Решениями данного уравнения являются пары чисел `(3;y)`. Точки с координатами `x=3` и `y` лежат на прямой `x=3`, эта прямая параллельна оси `Oy` и проходит через точку `(3;0)` (см. рис. 2).
Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями данного уравнения.
На рис. 1 графиком уравнения является прямая `y=2`, на рис. 2 графиком уравнения является прямая `x=3`.
Рассмотрим теперь уравнение `2x+3y-1=0`. Выразим переменную `y` через `x`, получаем `y=1/3-2/3x`, это уравнение задаёт линейную функцию, и нам известно, что её графиком является прямая. Чтобы построить эту прямую, достаточно рассмотреть две точки, координаты которых удовлетворяют уравнению, а затем через эти две точки провести прямую. При `x=0` `y=1/3` и при `x=1/2` `y=0`. График данного уравнения приведён на рис. 3.
Рассмотрим уравнение `(x-4)(x+y-4)=0`. Произведение двух скобок равно нулю, каждая скобка может равняться нулю. Наше уравнение распадётся на два уравнения: `x=4` и `x+y-4=0`. Графиком первого уравнения является прямая, параллельная оси `Oy` и проходящая через точку `(4;0)`. Графиком второго уравнения является график линейной функции `y=4-x`, эта прямая проходит через точки `(4;0)` и `(0;4)`. График данного уравнения приведён на рис. 4.
Постройте график уравнения `|x|+|y|=1`.
Этот пример можно решать двумя способами. Пусть `x>=0` и `y>=0`, точки с такими координатами лежат в первой четверти. Получаем уравнение `x+y=1`, так как `|x|=x` и `|y|=y`. Графиком данного уравнения является прямая, проходящая через точки `A(1;0)` и `B(0;1)`. Графику исходного уравнения принадлежат точки полученной прямой, лежащие в первой четверти, т. е. графику принадлежат точки отрезка `AB`, где `A(1;0)` и `B(0;1)`.
Пусть теперь `x =0` тогда получаем уравнение `-x+y=1`, рассматриваем точки полученной прямой, лежащие во второй четверти. Это будет отрезок `BC`, где `C(-1;0)`. При `x =0`, `y =0`, тогда наше уравнение эквивалентно уравнению `y=1-|x|`. В первом задании мы строили график функции `y=|x|` (см. рис. 6). График функции `y=-|x|` получается зеркальным отражением относительно оси `Ox` графика функции `y=|x|` (см. рис. 7). График функции `y=1-|x|` получается из графика функции `y=-|x|` сдвигом вдоль оси `Oy` на единицу вверх (см. рис. 8). У полученного графика рассматриваем только точки, для которых `y>=0`. Получим ломаную `ABC` с рис. 5.
График линейного уравнения с двумя переменными
Разделы: Математика
Цели урока:
- познакомить учащихся с понятие графика линейного уравнения с двумя переменными;
- формировать умение строить такие графики и находить по ним решения уравнений.
- воспитывать умение работать в группах, коллективе;
- развивать абстрактно-логическое мышление (умение анализировать, делать вывод, выделять главное и второстепенное, сравнивать и обобщать); развивать любознательность, наблюдательность, самостоятельность, интерес к предмету.
Оборудование: карточки для работы в группах, музыка для релаксации, ПК, презентация.
ХОД УРОКА
ЭТАП 1. Орг. момент.
Тема урока “График линейного уравнения с двумя переменными”. (Слайд 1).
Схема построения урока.
ЭТАП 2. Выяснения ожиданий и опасений “Дерево возможных вариантов”, на этапе вхождения в тему.
Перед началом выяснения ожиданий и опасений учитель объясняет, почему важно выяснить цели, ожидания и опасения. Учитель также участвует в процессе, озвучивая свои цели, ожидания и опасения.
Цель: выявить ожидания и опасения обучающихся на уроке.
Участники: все обучающиеся.
Необходимый материал: нарисованное дерево, на которое в конце урока будут наклеены листочки.
Проведение: Учитель предлагает учащимся на желтых листах написать, чего они ждут на уроке, а на красных чего опасаются. В конце урока учащиеся заклеивают цветными листочками: сбывшиеся ожидания и несбывшиеся опасения-желтыми и несбывшиеся ожидания и подтвердившиеся опасения – красными.
Оценка результата урока: желтое дерево – цели достигнуты, корни крепкие, крона густая, ждем плодов. Красное дерево выросло – выросло не то, что ожидали.
ЭТАП 3. Повторения пройденного материала (п. 15, п. 16).
1. У ч и т е л ь. Один из ученых сказал, что в настоящее время поверхность Луны лучше изучена, чем “внутренность” Земли. Однако известно, что каждые 100 м в Земле температура повышается на 3 °С. Писателей-фантастов часто привлекала тема путешествия к центру земного шара. Но возможно ли это? давайте посчитаем. Пусть температура почвы 0 °С. Какова будет температура Земли на глубине 100 м, 200 м, 500 м, 1 км, 30 км, 100 км, 1000 км? Будет ли эта зависимость функцией? Запишите ее формулу. (Слайд №2).
2. Вывод. Мы получили зависимость у = 0,03х.
3. Что вы можете сказать про эту зависимость?
– Это прямая пропорциональность;
– коэффициент к = 0,03;
– график расположен в первой и третьей координатной плоскости;
– график проходит через начало координат;
– для того, чтобы построить график этой линейной функции нужно найти координаты двух точек.
На слайде в центре указано название темы, остальные секторы, пронумерованные, но пока не заполненные. Начиная с сектора 1, учитель вписывает в сектор название раздела темы, о котором сейчас пойдет обсуждение. Обучающимся предлагается обдумать, о каких аспектах темы пойдет речь. Затем ученики обсуждают тему, а в сектор вписываются наиболее существенные моменты первого раздела, ребята на местах заполняют таблицу №1. Закончив обсуждение материала по теме первого сектора, учитель вписывает во второй сектор название темы, ребята на местах заполняют таблицу №2, и так далее.
Таким образом, наглядно и в четко структурированном виде представляется весь материал урока, выделяются его ключевые моменты. Существующие на момент начала презентации “белые пятна” по данному уроку постепенно заполняются.
4. Работа в группах. (у каждого ученика есть карточка Приложение 2).
I группа. Заполнить таблицу №1.
I группа
II группа
Заполняем при работе в парах
– если к
II группа. Заполнить таблицу таблица №2
I группа
II группа
Заполняем при работе в парах
Вывод: после заполнения первого и второго секторов учитель показывает результат работы на электронной доске.(слайд №4) графиками этих функций является прямые, расположение которых зависит от к.
I группа | II группа | |
Прямая пропорциональность | Линейная функция | |
Общий вид | у= кх | у = кх + в |
Примеры | у= 6х | у = 2х – 8 |
График | Представляет собой прямую, проходящую через начало координат | Есть прямая, параллельная прямой |
у = кх. Графиком является прямая.
– если к 0, то угол наклона прямой к оси х острый;
ЭТАП 4. Физминутка. Слайд №5
ЭТАП 5. Изучение нового материала.
1. Ребята изучают самостоятельно п.41 “График линейного уравнения с двумя переменными”, и продолжают заполнять таблицу №1.
После заполнения и обсуждения полученных результатов в таблице, учитель делает вывод. (Слайд №6)
Делаем вывод, что график линейного уравнения с двумя переменными является прямая. Расположение графика линейного уравнения с двумя переменными рассматривается аналогично графикам прямой пропорциональности и линейной функции.
ЭТАП 6. Закрепление нового материала (Приложение 3, Приложение 4)
1. Вывод по первому заданию:
– в первой координатной четверти координаты х и у – положительные;
– во второй координатной четверти координата х – отрицательная, у – положительная;
– в третьей координатной четверти координата х – отрицательная, у – отрицательная;
– в четвертой координатной четверти координата х – положительная, у – отрицательная;
2. Вывод по второму заданию:
– слагаемое с х перенести в правую часть уравнения, изменив знак;
– поделить обе части уравнения на коэффициент перед у.
3. Вывод по третьему заданию:
– выразить у через х;
– найти координаты двух каких-либо точек прямой;
– отметить полученные точки в координатной плоскости;
– провести через точку прямую;
– эта прямая – график данного уравнения.
4. Вывод по четвертому заданию: для того, чтобы найти ординату (абсциссу) точки, нужно данное значение абсциссы (ординаты) подставить в уравнение, и решить полученное уравнение.
5. Вывод по пятому заданию: для того, чтобы найти ординату (абсциссу) точки, нужно данное значение абсциссы (ординаты) подставить в уравнение, и решить полученное уравнение.
6. Работа в группах. (Учитель выступает в роли консультанта)
1. Принадлежит ли графику уравнения 2х – 5у = 1 точка:
2. Постройте график линейного уравнения –4x + 3y = 6.
3. Известно, что график уравнения x + 2y = 2 проходит через точку А, абсцисса которой равна 2.
Найдите ординату этой точки.
1. Принадлежит ли графику уравнения 3х – 4у = 2 точка:
2. Постройте график линейного уравнения –2x + 5y = 10.
3. Известно, что график уравнения y = x – 5 проходит через точку В, абсцисса которой равна 6. Найдите ординату этой точки.
Вывод: с какие задания вызвали затруднения, разобрать план решения этих заданий.
Этап 7. Домашнее задание: № 1049 (б, в, г); № 1050 (б, г); № 1148.
Этап 8. Итог урока. (Слайд № 8).
– Что называется графиком уравнения с двумя переменными?
– Как построить график линейного уравнения с двумя переменными?
– Как определить, принадлежит ли точка А (2; –4) графику уравнения 3x + y = 2?
– Как найти абсциссу точки, принадлежащей графику какого-либо уравнения, если известна её ордината?
Этап 9. Рефлексия.
Проведение: учитель предлагает вернуться к “Дереву возможных вариантов”. Учащиеся выбирают стикеры нужного цвета и наклеивают их на дерево. Если преобладающий цвет желтый, то цели урока достигнуты. Красный – есть над чем поработать
http://zftsh.online/articles/5720
http://urok.1sept.ru/articles/628232