Постройте график уравнения 9 класс

Уравнение с двумя переменными и его график. Уравнение окружности

п.1. Понятие уравнения с двумя переменными

Мы уже знакомы со многими функциями и умеем их записывать в виде формул:
y = 2x + 5 – прямая, y = 5x 2 + 2x – 1 – парабола, \(\mathrm\) – гипербола.

Если записать такое выражение: x 2 (x + y) = 1 – y – в нём тоже есть две переменные x и y, и постоянная 1.

Для наших примеров:
F(x; y) = 2x – y + 5 = 0 – прямая
F(x; y) = 5x 2 + 2x – y – 1 = 0 – парабола
F(x; y) = \(\mathrm<\frac1x>\) – y = 0 – гипербола
F(x; y)=x 2 (x + y) + y – 1 = 0 – некоторая кривая (график — ниже).

п.2. Обобщенные правила преобразования графика уравнения

Пусть F(x; y) = 0 – исходный график некоторой функции

Симметричное отображение относительно оси OY

Симметричное отображение относительно оси OX

Центральная симметрия относительно начала координат

Параллельный перенос графика на a единиц вправо

Параллельный перенос графика на a единиц влево

Параллельный перенос графика на b единиц вниз

Параллельный перенос графика на b единиц вверх

Сжатие графика к оси OY в a раз

Сжатие графика к оси OX в b раз

F(x; by) = 0
0 Например:

Окружность с центром в точке O(2; 1) и радиусом R = 3 задаётся уравнением: $$ \mathrm <(x-2)^2+(y-1)^2=9>$$

п.4. Примеры

Пример 1. Постройте график уравнения:
а) 2x + 7y – 14 = 0
Выразим y из уравнения: \( \mathrm<7>=-\frac<2> + 2 > \) – это прямая

б) xy + 4 = 0
Выразим y из уравнения: \( \mathrm> \) – это гипербола

в) ( x+ 2) 2 + y 2 = 4
Это – уравнение окружности с центром O(–2; 0), радиусом \( \mathrm=2> \)

г) x 2 + 5y – 2 = 0
Выразим y из уравнения: \( \mathrm<5>> \) – это парабола

Пример 2*. Постройте график уравнения:
а) 2|x| + 5y = 10
\( \mathrm<5>=-\frac25|x|+2> \)
Строим график для \( \mathrm \), а затем отражаем его относительно оси OY в левую полуплоскость.

б) 3x + |y| = 6
|y| = –3x + 6
Строим график для y > 0: y = –3x + 6, а затем отражаем его относительно оси OX в нижнюю полуплоскость.

в) |x| + |y| = 2
|y| = –|x| + 2
Строим график для x > 0, y > 0: y = –x + 2, а затем отражаем его относительно осей OX и OY.

г) |x – 1| + |y – 2| = 4
Получим тот же ромб (квадрат), что и в (в), но его центр будет перенесен из начала координат в точку O(1; 2).

д) \(\mathrm<\frac<|x-1|><2>+2|y-2|=4>\)
Ромб по x растянется в 2 раза по диагонали, а по y – сожмётся в 2 раза по диагонали.

Пример 3. Постройте график уравнения:
а) x 2 + y 2 + 4x – 6y + 4 = 0
Выделим полные квадраты:
(x 2 + 4x + 4) + (y 2 – 6y + 9) – 9 = 0
(x + 2) 2 + (y – 3) 2 = 3 2 – уравнение окружности с центром (–2; 3), радиусом 3.

Графики уравнений

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы подробно рассмотрим построение графиков уравнений. Вначале вспомним, что такое рациональное уравнение и множество его решений, образующее график уравнения. Подробно рассмотрим график линейного уравнения и свойства линейной функции, научимся читать графики. Далее рассмотрим график квадратного уравнения и свойства квадратичной функции. Рассмотрим гиперболическую функцию и ее график и график уравнения окружности. Далее перейдем к построению и изучению совокупности графиков.

Разработка урока в 9 классе на тему: «График уравнения с двумя переменными.»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

МОБУ СОШ д.Верхнекарышево

Разработка урока в 9 классе на тему:

Учитель математики: Муниров Ф.Х.

Тема урока. График уравнения с двумя переменными.

Цель урока: добиться усвоения учащимися определения и алгоритма построения графика уравнения с двумя переменными. Сформировать умения формулировать изученное определение и объяснять алгоритм; применять их для решения задач на построение графиков уравнений с двумя переменными.

Тип урока: обобщения и систематизации знаний, формирования умений.

Наглядность и оборудование: опорный конспект .

I Организационный этап

Учитель рассказывает о приблизительном содержании учебного материала данного раздела.

II Проверка домашнего задания

Учитель проверяет выполненный учащимися анализ тематической контрольной работы № 3.

III Формулирование цели и задач урока.

Мотивация учебной деятельности учащихся

На этом этапе урока целесообразными будут слова учителя о том, что материал предыдущего раздела «Функция, свойства функции» может быть использован не только для решения квадратных неравенств и задач, предусматривающих их решение, но и для решения других задач. В частности, если вспомнить материал, изученный учащимися на уроках геометрии (уравнение фигуры в декартовых координатах), то становится понятным, что функции и их графики — одно из средств нахождения множеств точек, координаты которых удовлетворяют определенному уравнению с двумя переменными. Такую задачу учащиеся уже решали на уроках алгебры в 7 классе (во время изучения темы «График линейного уравнения с двумя переменными»). Итак, на данном уроке стоит вопрос о систематизации знаний учащихся о графике уравнения с двумя переменными, формировании умений выполнять его построение и решать простейшие задачи па его применение.

IV. Актуализация опорных знаний и умений учащихся

Найдите значение каждого из данных выражений:
а) при х = -1, у = 2; б) при х = -0,5, у = 0,4; в) при , у = 3.

Установите соответствие между данными функциями и графиками:

3. Выразите одну переменную через другую из равенства:

V. Усвоение знаний

План изучения нового материала

Понятие урав н ения с двумя переменными и сопутствующие понятия.

Определение графика уравнения с двумя переменными. Степень уравнения с двумя переменными.

Алгоритм построения графика уравнения с двумя переменными.

Примеры: х 2 + у 2 = 25, ху = 4, х + ху = 1.

Сопутствующие понятия
Решение уравнения с двумя переменными х и у — это упорядоченная пара (х ; у), преобразующая уравнение в верное равенство.

Например , пара (2;3) является решением уравнения ху = 6 ,

так как при х = 2 и y = 3 данное уравнение имеет вид 2 * 3 = 6,

т. е. образуется верное равенство.

Степень целого уравнения с двумя переменными p ( x ; y ) = 0 определяется как степень многочлена Р(х ; у ), если он приведен к стандартному виду.

Например, х 2 + ху + у = 0— уравнение второй степени.

График уравнения с двумя переменными х и у — это множество точек координатной плоскости с координатами (х;у) , где пара (х;у) является решением данного уравнения с двумя переменными.

Алгоритм построения графика уравнения с двумя переменными

Если уравнение можно привести к виду (х-а) 2 +(у- b ) г = R 2 где a , b — произвольные числа, a R >0, то графиком этого уравнения будет окружность радиуса R с центром (а ; b ). В других случаях (если нет модуля) выражаем у через х и строим график полученной функции y = f ( x ).

Пример. Построим график уравнения:
1) 2 x -3 у = 6; 2) х 2 + у 2 = 9; 3) ху = 4.

Решение (см. рисунок)

1) 2х — 3у = 6 у = x — 2 — линейная функция.

2) х 2 + у 2 = 9 = З 2 — уравнение окружности радиуса 3 с центром (0;0).

3) ху = 4; у = — обратная пропорциональность.