Постройте множество точек координаты которых удовлетворяют уравнениям

Постройте множество точек координаты которых удовлетворяют уравнениям

Пример 15. Построим множество точек ( x , y ) (x, y) , удовлетворяющих уравнению x 2 + x y = 0 x^2 + xy = 0 .

Построим множество точек ( x , y ) (x, y) таких, что

x 2 + 4 x + 4 + 4 y 2 = 0 x^2 + 4x + 4 + 4y^2 = 0 .

Аналогично рассматривается следующий пример, в котором также существенно выделение полного квадрата.

т. е. уравнению снова будет удовлетворять единственная точка ( 0,5 ; – 0,5 ) (0,5; – 0,5) (см. рис. 39).

Множеством точек может быть область на плоскости. Рассмотрим пример.

Построим множество точек ( x , y ) (x, y) таких, что

Покажем ещё пример построения множеств точек, удовлетворяющим уравнениям с модулями.

Построим множество точек, удовлетворяющих | y | = | x | |y| = |x| .

Множество точек. Изображение некоторых множеств точек на плоскости.

Представим на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих условию х = 5 и х = -4,

В первом случае прямые параллельны оси ординат, во втором – абсцисс.

На прямой может быть расположено неограниченное количество точек. И у всего этого множества точек, координаты удовлетворяют условиям х = 5 и х = -4; у = -4 и у = 1.

На координатной прямой неравенству х 3. Проанализируем, что это за точки:

— множество точек, абсцисса которых больше или равна 3

— точки, лежащие правее прямой х = 3 и на прямой.

Алгоритм построения будет иметь вид:

— строим в координатной плоскости прямую: х = 3;

— определяем, где будут находиться точки, абсцисса которых больше 3; ответ – правее;

— множество всех точек удовлетворяющих условию х > 3 покажем при помощи штриховки;

х > 3 задает полуплоскость, находящаяся правее прямой х = 3 и все точки этой прямой. Прямую изображаем одной цельной линией, этим указываем, что все точки расположенные на прямой так же включены во множество.

Представим множество точек, удовлетворяющих условию у 1.

Постройте множество точек у > 1. По аналогии, точкам этого множества присуще свойство — у них ордината больше 1.

Следовательно, они будут находиться выше прямой у = 1. В соответствии со знаком неравенства точки прямой у = 1 не удовлетворяют условию y > 1. Графически мы это покажем, изобразив прямую у = 1 пунктиром.

Представим множество точек, соответствующих условию у > 1 так:

Представим на координатной плоскости множества точек, соответствующих условию: -2 ≤ х ≤ 2.

Графики функций, содержащих знак модуля (стр. 2 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6

3 у1

2 у3

Х0 1

Рис.9 -3 У=2│х│-3 Рис.10

При решении девятого задания, рассмотрим цепочку функций: у1=│х +2│, у2 =│х +2│-3 и у=││х+2│-3│). Графики первых двух мы умеем строить (первый изображён тонкой сплошной линией, а второй – сплошной жирной и частично пунктирной линией). При построении третьего достаточно отразить нижнюю часть второго графика зеркально относительно оси абсцисс (на рис.10 эта часть показана сплошной линией).

Для закрепления навыков построения графиков функций, содержащих модули, выполните самостоятельно следующие задания, а потом проверьте свои чертежи с рисунками 11 – 13.

№ 3. Построить графики функций:

10) у = – │х – 3│, 11) у = -3│ х│+5, 12) у = 0,5│х — 2│- 4.

У у у у1

У= -3│х│+5 5

-3 -3

У= —│х-3│

-4 0

0 1 х

Рис.11 Рис.12 Рис.13

В тестах часто встречаются некоторые примеры, использующие функции и графики специфического вида. И хотя эти функции и не входят в общую программу, но лучше знать основные особенности некоторых «полезных» функций и их графики. Такие графики могут встретиться на математических олимпиадах, абитуриентам на вступительных экзаменах. Знание этих функций, умение быстро построить график позволяет ускорить решение многих примеров. Для запоминания удобно дать этим графикам «имена».

№4. Построить графики функций:

13) у = │х — а│+│х — в│ («Корыто»);

14) у = │х — а│-│х — в│ («Ступенька»);

15) у = ││х — а│ — в│ («W»). Эта функция нам уже встречалась.

Рассмотрим график под номером 13 (рис. 14) в общем виде

«Корыто» Рис. 14

Например, построим график функции: У=│х-1│+│х+2│.

у

х

-1

к =-2 к=2

х х

Рассмотрим график под номером 15 (рис. 18) в общем виде

х

Задания для самостоятельного решения.

№ 5. Используя переход к блочно-кусочному виду, постройте графики следующих функций:

16) у = │х +1│-│х -1│, 17) у =│-│х + 3│ — 2│,

18) у = │х -1│-│х + 1│, 19) у = │х│- х, 20) у = │1-х│-│х-2│-│х-3│,

Геометрическое место точек вида │у│=│х│, │у –у0│=│х – х0│ и других.

Мы рассмотрели наиболее общие методы построения графиков некоторых функций вида у = f(x). При этом каждому допустимому значению аргумента соответствовало одно значение функции. Однако на практике очень часто встречаются такие зависимости между двумя переменными х и у, в которых одному значению х соответствует два или более значений у. Зависимость между двумя переменными может быть задана и в виде неравенства. Подобные зависимости тесно связаны с понятием геометрического места точек.

Определение. Геометрическим местом точек, обладающих каким-либо свойством, называется множество, в которое входят все те и только те точки, которые обладают этим свойством.

Указанное в данном определении свойство, характеризующее геометрическое место точек (г. м.т.) может задаваться либо уравнением вида F(x;y) = 0, либо неравенством F(x;y) ≥ 0.

Например, г. м.т., координаты которых удовлетворяют уравнению х2+ у2= 1,

является окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Г. м.т., координаты которых удовлетворяют неравенству х2 + у 2≤ 1, будет круг единичного радиуса с центром в начале координат. Каждому значению х из интервала -1≤х≤1 в первом случае соответствует два значения, во втором случае – бесконечное множество значений у.

Все графики функций у= f(x), которые рассматривались до сих пор, можно также рассматривать как геометрические места точек, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению у= f(x). Таким образом, построение г. м.т., координаты которых удовлетворяют какому-либо соотношению, является задачей более общей, чем построение графиков (однозначных) функций. Г. м.т. плоскости, когда каждому значению аргумента х соответствует не одно, а два или более значений переменной у, называют многозначной функцией.

В настоящем параграфе рассмотрим ряд заданий, посвящённых отысканию на плоскости ХОУ геометрических мест точек, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению F(x;y) = 0 или неравенству F(x;y) ≥ 0.

Пользуясь определением модуля, уравнение │у│= f(x) можно представить в виде

Заметим попутно, что при построении геометрических мест точек такого вида (да и любых других) полезно использовать чётность по одной или двум координатным осям. Это экономит время при выполнении заданий.

Изобразите в плоскости ХОУ множество всех точек, координаты которых удовлетворяют равенству ││х│ -│у││=1.

Выражение чётно по двум координатным осям, поэтому достаточно провести построение лишь при х ≥ 0, у ≥ 0, т. е. в первом квадранте, где уравнение имеет вид │х — у│= 1. Последнее выражение эквивалентно двум уравнениям х – у = 1 и х – у = — 1, определяющим две параллельные прямые, построение которых и произведём (с учётом ограничения выполняем построение только двух лучей, расположенных в первом квадранте). Далее, используя чётность (проведя отражения относительно осей координат), получим искомое геометрическое место точек (рис. 26).

у у

у=х+1 ││х│ — │у││= 1

1 х 1 х

-1 -1

Полезно запомнить, что в случаях расположения переменных х и у одновременно внутри знака модуля, графики многозначных функций следует строить, применяя это свойство двойной чётности.

Изобразите в плоскости ХОУ множество всех точек, координаты которых удовлетворяют равенству ││х│ + │у│- 3│=2.

При построении используем двойную чётность и способ разбиения на два уравнения, как и в предыдущем примере. Работая в первом квадранте (при х ≥ 0, у ≥ 0), получим два уравнения у = — х + 5 и у = — х + 1. Выполним построение частей этих прямых, далее отражаем построенные два отрезка симметрично относительно обеих осей координат. Искомым геометрическим местом точек является совокупность двух квадратов, показанных на рис. 27.

у

5

х

№6. Задания для самостоятельного решения

Постройте графики функций:

32) у = — 2 — │х -1│; 33) у = 1/3 │х│ -2; 34) у = │2│х│- 3│;

35) у = — │х-1│; 36) у = 1 — │х│; 37) у = │х + 2│- 1; 38) у = │││х│- 2│ — 1│

39) у = │2х — 1│-│2х +2│; 40) у = │0,5х +1│-│0,5х -2│.

Постройте геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнениям:

41) │у│ = 1 – х; 42) │у — 1│ = х; 43) ││х│-│у│ + 3│ = 2; 44) ││х│+

+│у │- 2│ +2; 45) │у + 2│ = │х — 1│.

§5. Построение графиков функций, содержащих знаки модуля, на основе дробно-линейной функции.

Определение. Дробно-линейной (или гиперболической) называют функцию вида

у = , с≠0.

Эту функцию можно представить также в эквивалентном виде

у = p + , с ≠0, (выделение целой части из дроби).

Чтобы выделить целую часть из дроби, можно разделить «уголком» числитель на знаменатель; тогда получим целое число p, а остаток от деления – k запишем числителем дробной части (знаменатель сохранится).

Чаще в конкретных заданиях применяют другой (искусственный) способ выделения целой части из дроби. Позднее рассмотрим этот способ на примере.

Отметим некоторые особенности графиков гиперболической функции.

1. Функции имеют вертикальную асимптоту х = — d/с.

2. Функции имеют горизонтальную асимптоту у = а/с или у = p.

4. При k/с>0 график расположен к «северо-востоку и к юго-западу» от точки симметрии.

01 х1

0 х Ось О1 Х1 : у = p = а/с – горизонтальная

ось О1 У1 : х = — d/с – вертикальная

Рассмотрим пример: построить график дробно-линейной функции

у = .

Выделим целую часть из данной дроби:

у = = = 1 — .

Для построения графика данной функции преобразуем прямоугольную систему координат ХОУ, осуществив параллельный перенос на вектор ОО1= (-1;1), и в преобразованной системе координат Х1О1У1 построим график прямой пропорциональности у = — 4/х (рис. 29).