Потенциал зависит от координат согласно уравнению

Потенциал зависит от координат согласно уравнению

2018-05-14
Определить вектор напряженности электрического поля, потенциал которого зависит от координат х, у по закону:
а) $\phi = a (x^ <2>— y^<2>)$; б) $\phi = axy$, где $a$ — постоянная. Изобразить примерный вид этих полей с помощью силовых линий (в плоскости х, у).

(а) Учитывая, что $\phi = a (x^ <2>— y^<2>)$

Тогда, $\vec = — \vec < \nabla>\phi = — 2a ( x \vec — y \vec)$

Найденная форма линий поля показана на рисунке (а), предполагающая $a > 0$:

(б) Так как $\phi — axy$

Итак, $\vec = — \vec < \nabla>\phi = — ay \vec — ax \vec$

Потенциал электростатического поля

Лабораторная работа 2

Электростатическое поле в вакууме

(компьютерное моделирование)

Цель работы.Исследование при помощи компьютерного моделирования электростатического поля, созданного а) двумя точечными зарядами, б) заряженным проводящим эллипсоидом, в) точечным зарядом и проводящей заряженной сферой.

Приборы и оборудование. Компьютер с установленной программой моделирования электростатических полей.

Теоретическая часть

Общая задача электростатики

Вектор напряженности электрического поля неподвижного точечного заряда вычисляется по формуле

, (1)

где электрическая постоянная, вектор, проведенный от точечного заряда в точку, в которой определяется . Из (1) следует, что

,

а направление вектора напряженности совпадает с направлением при и противоположно направлению при . Используя принцип суперпозиции, нетрудно вычислить напряженность поля, созданного несколькими точечными зарядами. Если заряды распределены в пространстве непрерывно по известному закону, то для вычисления поля необходимо провести суммирование бесконечно малых величин — векторов напряженности, которые создаются бесконечно малыми порциями заряда. Математически эта задача сводится к интегрированию.

Однако реальные задачи, которые приходится решать в электростатике, гораздо сложнее. Дело в том, что распределение заряда в объеме и на поверхности тел не бывает известным заранее, а само подлежит определению.

Пусть, например, требуется найти напряженность поля уединенного проводника произвольной формы, заряд которого . Воспользоваться формулой (1) и принципом суперпозиции для расчета электрического поля напрямую не удается, поскольку не известна поверхностная плотность заряда в различных точках поверхности проводника. Заряд по поверхности распределен неравномерно и только в простейшем случае, когда проводник является шаром, поверхностная плотность заряда одинакова во всех точках поверхности. Если же, например, проводник имеет форму стержня, то большая часть заряда сосредоточена вблизи его концов.

Еще более сложной становится задача расчета полей при наличии диэлектриков. В электрическом поле происходит поляризация диэлектриков и наряду со сторонними зарядами необходимо учитывать и связанные (поляризационные заряды). В данной работе мы не будем рассматривать явления, связанные с поляризацией диэлектриков, и сформулируем задачу электростатики в вакууме следующим образом.

Заданы расположение в пространстве (в вакууме) и форма одного или нескольких проводящих тел. Кроме того известны заряды или потенциалы этих проводников. Требуется определить напряженность электрического поля во всех точках пространства и распределение заряда по поверхности проводников.

Общий подход к решению этой задачи состоит в следующем. Из теоремы Гаусса и условия потенциальности электростатического поля выводится (см. Приложение) дифференциальное уравнение 2-го порядка

, (2)

называемое уравнением Лапласа, которое при определенных граничных условиях на поверхности проводников позволяет в принципе рассчитать потенциал в любой точке поля. Если потенциал найден, то вектор напряженность электрического поля можно рассчитать по формулам

, , , (3-а)

которые принято объединять одной векторной записью

(3-б)

( — орты осей прямоугольной системы координат ).

Лишь в некоторых случаях удается выразить через элементарные функции, а чаще всего для решения уравнения Лапласа приходится привлекать численные методы и компьютерные расчеты. Мы научимся анализировать основные особенности электрического поля по результатам таких расчетов , вычислять вектор напряженности электрического поля в различных точках пространства и плотность поверхностного заряда на проводниках.

Еще раз заметим, что уравнения (2), (3) выводятся из теоремы Гаусса и условия потенциальности электростатического поля. Таким образом, значение теоремы Гаусса не ограничивается возможностью решения с ее помощью нескольких частных задач электростатики. И роль потенциала не сводится только к возможности простого расчета с его помощью работы сил поля. Теорема Гаусса и условие потенциальности электростатического поля приводят к дифференциальному уравнению, на основе которого решаются любые задачи электростатики.

Потенциал электростатического поля

В отличие от вектора напряженности электрического поля потенциал является скалярной величиной. Зная значения потенциала в окрестности некоторой точки, можно по формулам (3) вычислить напряженность поля в этой точке.

Пример. Найти напряженность электрического поля, потенциал которого зависит от координат x и y по закону , где a – постоянная.

, , , .

Обычно потенциал удается измерить или рассчитать в конечном числе точек, расположенных в некоторой области. Пусть, например, известны значения потенциала в близко расположенных узлах прямоугольной сетки (рис.1). Тогда вектор напряженности электрического поля в точке 0 имеет проекции на оси X и Y:

, .

Рис.1. К расчету напряженности электрического поля в точке О через значения потенциалов

в окрестности этой точки

Для приемлемой точности необходимо, чтобы в рассматриваемой окрестности точки 0 электрическое поле менялось слабо и, очевидно, что точность этих формул увеличивается с уменьшением a и b. Заметим, что замена производной отношением малых приращений функции и аргумента широко используется в численных методах и в экспериментальной технике.

Электростатические поля удобно изображать при помощи эквипотенциальных поверхностей — поверхностей равного потенциала. Возьмем на эквипотенциальной поверхности произвольную точку 0 и введем локальную систему координат с началом в этой точке (рис.2). Ось Z направим перпендикулярно к эквипотенциальной поверхности в сторону возрастания потенциала . Это направление примем за положительное направление единичного вектора нормали . Координатная плоскость очевидно совместится с касательной плоскостью к эквипотенциальной поверхности. Тогда в точке 0 . Кроме того, орт оси , . Формула (3) переходит в

. (4)

Рис.2. Локальная система координат

Рис.3. Эквипотенциальные поверхности

Функция возрастает наиболее быстро в направлении нормали . Поэтому, согласно (4), вектор напряженности электрического поля в каждой точке пространства перпендикулярен эквипотенциальной поверхности и направлен в сторону максимального убывания потенциала. Модуль вектора напряженности равен модулю производной функции в том же направлении.

Поясним сказанное на примере. На рис.3 изображены две эквипотенциальные поверхности, соответствующие двум близким значениям потенциала и . — вектор нормали, направленный в сторону увеличения потенциала. Видно, что производная по направлению больше, чем производная, вычисленная по любому другому направлению . Вектор напряженности направлен в сторону, противоположную , и его модуль .

Рис.4. Эквипотенциальные поверхности могут самопересекаться только в тех точках, где	Рис.5. Электрический диполь

Очевидно, что эквипотенциальная поверхность не может самопересекаться, поскольку в точках пересечения можно было бы провести две касательные плоскости и определить два различных направления вектора напряженности (рис.4.). Исключение составляют особые точки, где .

Потенциал электростатического поля зависит от координат по закону Ф = A exp(– Bx) + C sin(Dy). Найти величину напряжённости электрического поля в точке P(x0,y0).

Готовое решение: Заказ №8367

Тип работы: Задача

Статус: Выполнен (Зачтена преподавателем ВУЗа)

Предмет: Физика

Дата выполнения: 18.08.2020

Цена: 118 руб.

Чтобы получить решение , напишите мне в WhatsApp , оплатите, и я Вам вышлю файлы.

Кстати, если эта работа не по вашей теме или не по вашим данным , не расстраивайтесь, напишите мне в WhatsApp и закажите у меня новую работу , я смогу выполнить её в срок 1-3 дня!

Описание и исходные данные задания, 50% решения + фотография:

Потенциал электростатического поля зависит от координат по закону Ф = A exp(– Bx) + C sin(Dy). Найти величину напряжённости электрического поля в точке P(x0,y0). A = 1 В, B = 2 м-1, C = 3 В, D = 4 рад/м, x0 = 1 м, y0 = 2 м.

Потенциал электростатического поля связан с напряжённостью этого же поля соотношением: . В данном случае:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.