Потенцирование и логарифмирование уравнений примеры

Метод потенцирования – метод решения уравнений

Метод потенцирования [1, с. 125] – это один из методов решения уравнений. В этой статье мы всесторонне разберем этот метод. Сначала скажем, для решения каких уравнений он применяется. Дальше вникнем в суть метода потенцирования и дадим его обоснование. После этого запишем алгоритм решения уравнений методом потенцирования. Наконец, проанализируем решения нескольких характерных уравнений.

Когда применяется метод потенцирования

Метод потенцирования применяется для решения логарифмических уравнений, обе части которых представляют собой логарифмы по одинаковым основаниям. Например, применение метода потенцирования позволяет справиться с уравнениями log₂(x−1)=log₂(3·x−7) , и т.п. К методу потенцирования можно прибегать и в случаях, когда в основаниях логарифмов находятся не числа, а одинаковые выражения с переменными. Например, логарифмическое уравнение log_x+4(x 2 −1)=log_x+4(5−x) вполне можно решать методом потенцирования.

Суть метода потенцирования

Суть метода потенцирования состоит в нахождении решения заданного уравнения посредством решения уравнения, полученного из исходного уравнения путем его почленного потенцирования, на области допустимых значений для исходного уравнения.

Не помешает пояснить, что такое почленное потенцирование. Напомним, что потенцирование заключается в восстановлении выражения по его логарифму. Поэтому, под почленным потенцированием уравнения log_h(x)f(x)=log_h(x)g(x) обычно понимают следующую последовательность преобразований уравнения:

которую обычно сокращают до , осуществляя первое преобразование в уме.

Проиллюстрируем суть метода потенцирования. Для этого обратимся к примеру: решение уравнения log₂(x−1)=log₂(3·x−7) методом потенцирования подразумевает переход к решению уравнения x−1=3·x−7 на ОДЗ для исходного логарифмического уравнения.

Обоснование метода

Метод потенцирования предполагает переход от уравнения log_h(x)f(x)=log_h(x)g(x) к сравнительно простому уравнению f(x)=g(x) . Но почему мы можем осуществлять такой переход, и каким является полученное уравнение, равносильным уравнением или уравнением-следствием? Ответы на эти вопросы дает следующее утверждение:

Почленное потенцирование уравнения в общем случае дает уравнение-следствие.

В первую очередь докажем, что любой корень уравнения log_h(x)f(x)=log_h(x)g(x) является корнем уравнения f(x)=g(x) .

Пусть x₀ — корень уравнения log_h(x)f(x)=log_h(x)g(x) . Значит log_h(x0)f(x₀)=log_h(x0)g(x₀) — верное числовое равенство. Также из того, что x₀ – корень уравнения log_h(x)f(x)=log_h(x)g(x) следует, что x₀ принадлежит ОДЗ для этого уравнения, откуда вытекает, что h(x₀)>0 и h(x₀)≠1 . При этом известно, что две степени одного и того же положительного и отличного от единицы числа равны тогда и только тогда, когда равны показатели этих степеней (см. свойства степеней). Следовательно, (h(x₀)) log_h(x0)f(x₀) =(h(x₀)) log_h(x0)g(x₀) – верное числовое равенство. А основное логарифмическое тождество позволяет переписать его в виде f(x₀)=g(x₀) . Полученное равенство означает, что x₀ – корень уравнения f(x)=g(x) .

Теперь докажем, что уравнение f(x)=g(x) может иметь корни, посторонние для уравнения log_h(x)f(x)=log_h(x)g(x) . На этом доказательство будет закончено. Для этого достаточно одного примера. В качестве такого примера приведем уравнение –x 2 +5·x+3=x 2 , которое получается в результате почленного потенцирования уравнения log_x−1(–x 2 +5·x+3)=log_x−1x 2 . Число −1/2 является корнем уравнения –x 2 +5·x+3=x 2 , но −1/2 – посторонний корень уравнения log_x−1(–x 2 +5·x+3)=log_x−1x 2 .

Остается обговорить, из-за чего при потенцировании обеих частей уравнения могут появляться посторонние корни. При переходе от уравнения log_h(x)f(x)=log_h(x)g(x) к уравнению f(x)=g(x) пропадают ограничения на значения переменной, связанные с логарифмами. Из-за этого может расшириться ОДЗ. А из-за расширения ОДЗ могут появиться посторонние корни. Других причин появления посторонних корней при потенцировании уравнения нет. Из этого следует, что при решении уравнений методом потенцирования отсеивание посторонних корней можно проводить с опорой на ОДЗ.

Алгоритм решения уравнений методом потенцирования

Информация предыдущих пунктов позволяет записать алгоритм решения уравнений методом потенцирования.

Чтобы решить уравнение методом потенцирования, надо

• Выполнить почленное потенцирование уравнения, то есть, перейти от уравнения log_h(x)f(x)=log_h(x)g(x) к уравнению f(x)=g(x) .
• Решить полученное уравнение.
  • Если оно не имеет корней, то исходное уравнение тоже не имеет корней.
  • Если оно имеет корни, то перейти к следующему шагу.
• Взять корни, принадлежащие условиям ОДЗ для исходного уравнения, или провести отсеивание посторонних корней любым другим способом.

Примеры с решениями

Решение уравнений методом потенцирования обычно проводится в три этапа: проводится потенцирование уравнения, решается полученное уравнение, берутся все корни, удовлетворяющие условиям ОДЗ для исходного уравнения, остальные корни отбрасываются как посторонние. Давайте разберем пример решения уравнения методом потенцирования.

Решите уравнение методом потенцирования

Левая и правая части заданного уравнения представляют собой логарифмы по одинаковым основаниям 10 . Это позволяет нам использовать метод потенцирования для решения уравнения. Первое, что нам надо сделать по методу потенцирования, — это провести потенцирование уравнения:

Почленное потенцирование уравнения привело нас к рациональному уравнению . Теперь нам надо решить полученное уравнение:

Таким образом, уравнение имеет два корня x₁=−1 и x₂=3 .

Остается пройти последний шаг алгоритма решения уравнений методом потенцирования – отсеять посторонние корни. В нашем случае это удобно сделать по условиям ОДЗ для исходного уравнения . Для этого уравнения ОДЗ определяется системой . Корень x₁=−1 не удовлетворяет записанной системе ( ), значит, является посторонним корнем уравнения . А x₂=3 удовлетворяет ей ( ), значит, является корнем решаемого уравнения .

На этом решение уравнения методом потенцирования завершено. Уравнение имеет один корень 3 .

Для полноты картины стоит рассмотреть, как проводится потенцирование уравнений, когда в основаниях логарифмов находятся одинаковые выражения с переменными. Вот соответствующий пример с подробным решением.

Решите уравнение log_x−1(–x 2 +5·x+3)=log_x−1x 2

Перед нами логарифмическое уравнение. Части этого уравнения представляют собой логарифмы, в основаниях этих логарифмов находятся одинаковые выражения с переменной. Для решения подобных логарифмических уравнений подходит метод потенцирования.

Решение уравнений методом потенцирования проводится следующим образом:

• во-первых, выполняется почленное потенцирование уравнения,
• во-вторых, решается полученное уравнение,
• и, в-третьих, отсеиваются корни, посторонние для исходного уравнения.

Начинаем с потенцирования уравнения:

Полученное в результате потенцирования уравнение сводится к квадратному уравнению 2·x 2 −5·x−3=0 . Решаем его через дискриминант:

Остается пройти последний шаг метода потенцирования – отсеять посторонние корни. При решении уравнений методом потенцирования отсеивание посторонних корней обычно проводится по условиям ОДЗ. В нашем случае область допустимых значений для исходного уравнения log_x−1(–x 2 +5·x+3)=log_x−1x 2 определяется следующими условиями: –x 2 +5·x+3>0 , x 2 >0 , x−1>0 , x−1≠1 (выражения под знаками логарифмов должны быть положительными, а в основаниях логарифмов – положительными и отличными от единицы). Проверим, удовлетворяют ли найденные выше корни x₁=−1/2 , x₂=3 записанным условиям. Очевидно, x₁=−1/2 не удовлетворяет условию x−1>0 , значит, x₁=−1/2 – посторонний корень. А x₂=3 удовлетворяет всем условиям ОДЗ ( ), следовательно, является корнем.

Таким образом, уравнение log_x−1(–x 2 +5·x+3)=log_x−1x 2 имеет единственный корень 3 .

В заключение этой статьи заметим, что почленное потенцирование уравнения log_af(x)=log_ag(x) с одинаковыми положительными и отличными от единицы числами в основаниях логарифмов ( a>0 и a≠1 ), дает такой же результат, что и освобождение от внешней функции: и в том, и в другом случае уравнение log_af(x)=log_ag(x) заменяется уравнением f(x)=g(x) .

Урок-лекция по теме «Логарифмические уравнения. Основные методы их решения»

Презентация к уроку

В моём календарно-тематическом планировании на тему “Логарифмические уравнения” отводится 3 часа. Я их разбиваю следующим образом:

1 возможный вариант:

1 урок — лекция “Логарифмические уравнения. Основные методы их решения”. В конце лекции задаю блок уравнений обязательного уровня.

2 урок – решение уравнений различного типа и сложности (это зависит от уровня математической подготовки класса, использую индивидуальный подход).

3 урок – решение уравнений и зачётная работа с само- и взаимопроверкой, а также проверкой учителем.

2 возможный вариант:

1 урок — лекция “Логарифмические уравнения. Основные методы их решения”, но только два метода – на основании определения и потенцирования. Решение уравнений на применение этих методов.

2 урок – лекция “Логарифмические уравнения. Основные методы их решения”, два других метода – подстановки и логарифмирования. Решение уравнений на применение этих методов.

3 урок – решение уравнений и зачётная работа с само- и взаимопроверкой, а также проверкой учителем.

Вариант подачи темы зависит от подготовленности класса.

Лекция “Логарифмические уравнения. Основные методы их решения”.

Эпиграфом своей сегодняшней лекции я привожу слова Ричарда Олдингтона (1892 – 1962гг., английский поэт, прозаик, критик): “Ничему тому, что важно знать, научить нельзя, — всё, что может сделать учитель, это указать дорожки”.

А так же – русскую народную пословицу: “Кто говорит – тот сеет, кто слушает – тот собирает”.

В самом начале моей лекции я хотела бы обратить ваше внимание на следующее. При решении логарифмических уравнений применяют преобразования, которые не приводят к потере корней, но могут привести к приобретению посторонних корней. Поэтому проверка каждого из полученных корней обязательна, если нет уверенности в равносильности уравнений. Здесь возможны два подхода:

Проверка путём подстановки полученных решений в исходное уравнение.

Нахождение области допустимых значений уравнения (ОДЗ). Тогда корнями могут быть только те числа, которые принадлежат этой области.

В своей лекции я буду использовать оба этих подхода, а ваше право уже самим выбирать, какой лично вам больше нравится. Следует отметить, что при решении логарифмических неравенств возможен только один из них: ОДЗ!

Основные методы решения логарифмических уравнений.

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Решение логарифмических уравнений на основании определения логарифма.

Определение логарифма: Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b. Т. е.

Таким образом, применяя его к нашей теме, мы получим следующее:

при этом

Пример 1:

Число 16 удовлетворяет ОДЗ, значит 16 – корень исходного уравнения.

Пример 2:

Проверка: — верно, значит число 4 – корень исходного уравнения.

Пример 3:

По определению логарифма значит

Ответ:

А сейчас мы рассмотрим пример, в котором в основании логарифма уже не число, а выражение, содержащее переменную. Т. е. уравнение будет иметь вид при этом Хочу отметить особо, что рассуждения НЕ ИЗМЕНИЛИСЬ!

Пример 4:

ОДЗ:.

С учётом ОДЗ получим, что решением данного уравнения является число 2.

Как мы видим, наличие выражения с переменной в основании влияет лишь на ОДЗ, а не на ход рассуждений. Кроме того, данное уравнение можно решать, не прибегая к нахождению ОДЗ, а просто в конце выполнить проверку.

Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их.

, где

Пример 5:

— верно.

— не верно.

Значит, только число 1 является решением исходного уравнения.

Если же в основании – выражение с переменной, то рассуждения не меняем! В этом случае уравнение будет иметь вид

, где

И пример такого уравнения можно разобрать на предыдущем примере 5.

Пример 6:

— верно.

— не верно.

Значит, только число 1 является решением исходного уравнения.

ОДЗ для данного уравнения выглядит следующим образом:

Мы видим, что в этом уравнении рациональнее выполнить проверку, а не искать ОДЗ. Но ещё раз повторюсь, что при решении неравенств ОДЗ находить придётся ОБЯЗАТЕЛЬНО.

Рассмотрим пример, который, на первый взгляд, не может относиться к данному типу уравнений.

Пример7:

Сделаем замену , получим воспользовавшись свойством логарифма (сумма логарифмов равна логарифму произведения подлогарифмических выражений: ), получим уравнение которое в свою очередь замечательно решается методом потенцирования, т.е. А это линейное уравнение, решив которое, получим

Проверка: — верно.

Замечу, что часто перед применением какого-либо метода решений, необходимо преобразовать уравнение, применив различные свойства логарифмов. Предыдущий пример, тому подтверждение.

Данный метод мы достаточно часто встречаем в математике, вспомните тригонометрические или показательные уравнения. Поэтому применение его при решении логарифмических уравнений я вам покажу на примере.

Пример 8: .

В этом уравнении рациональней найти ОДЗ:

Пусть , тогда уравнение примет вид

,

Значит или . А это уравнения, которые мы решим, используя определение: 1)

2)

Мы видим, что оба корня удовлетворяют ОДЗ, значит оба числа являются решениями исходного уравнения.

Ответ:

Если в основании логарифма лежит выражение с переменной, то уравнение в общем виде будет выглядеть следующим образом:

, где

И опять, вы сами выбираете: ОДЗ или проверка.

Пример 9: .

ОДЗ:

Приведём логарифмы к одному основанию – 7, пользуясь свойством перехода к новому основанию , получим:

, выполним подстановку , получим уравнение

,

	или	.

Оба числа удовлетворяют ОДЗ.

Ответ:

Данный метод является “обратным” методу потенцирования, т. е. мы от уравнения без логарифмов переходим к уравнению, их содержащему.

, при этом

Этот метод обычно используется, если в уравнении есть показательные функции, логарифмы – в показателе. Рассмотрим этот метод на примере.

Пример 10:

ОДЗ:

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3:

а теперь воспользуемся свойством логарифмов , получим

Выполним подстановку , получим уравнение

	или	.

Оба числа удовлетворяют ОДЗ.

Этот пример показывает, что при решении логарифмических уравнений, возможна комбинация нескольких методов. А значит необходимо уметь пользоваться каждым из них. Научиться этому – теперь ваша задача.

Итак, сегодня мы с вами рассмотрели основные методы решения логарифмических уравнений:

• На основании определения логарифма.
• Метод потенцирования.
• Метод постановки.
• Метод логарифмирования.

Главным, по моему мнению, является метод, основанный на определении логарифма. Практически в каждом их других методов происходит “выход” на него. Кроме того, на примерах мы увидели, что все методы взаимосвязаны, в “чистом” виде при решении уравнений не используется ни один из них. Поэтому вам необходимо уметь пользоваться КАЖДЫМ!

Для отработки навыков решения логарифмических уравнений, я вам предлагаю следующее домашнее задание. Уравнения являются базовыми, т. е. решать их должен уметь решать каждый. Отмечу, что подборка сделана из открытого банка заданий для экзамена по математике ЕГЭ http://mathege.ru .

№ п/п	Уравнения	Комментарии (даётся для слабых учащихся)
1		Пользуясь определением
2		Пользуясь определением
3		Потенциирование
4		Потенциирование
5		Потенциирование
6		Потенциирование
7		Применить свойства логарифмов и затем потенциировать
8		Применить свойства логарифмов и затем потенциировать
9		Пользуясь определением
10		Пользуясь определением, выход на показательное уравнение
11		Показательное уравнение, выход на логарифмическое

Замечание: домашнее задание распечатано на листах для каждого ученика.

Решение задач по теме “Логарифмические уравнения”. Зачёт.

Уравнения (примерные, зависит от математической подготовки учащихся).

Алгебра

План урока:

Задание. Укажите корень логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

В чуть более сложных случаях под знаком логарифма может стоять не сама переменная х, а выражение с переменной. То есть урав-ние имеет вид

Задание. Найдите решение логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

Задание. Решите урав-ние

Получили показательное уравнение. Показатели степеней можно приравнять, если равны их основания:

Уравнения вида log_af(x) = log_ag(x)

Порою логарифм стоит в обеих частях равенства, то есть и слева, и справа от знака «равно». Если основания логарифмов совпадают, то должны совпадать и аргументы логарифмов.

Задание. Решите урав-ние

Задание. Найдите корень урав-ния

Ситуация несколько усложняется в том случае, когда, под знаком логарифма в обоих частях равенства стоят выражения с переменными, то есть оно имеет вид

С одной стороны, очевидно, что должно выполняться равенство f(x) = g(x). Но этого мало, ведь под знаком логарифма не должно стоять отрицательное число. Поэтому после получения корней следует подставить их в урав-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями.

Задание. Решите урав-ние

Получили квадратное уравнение, которое решаем с помощью дискриминанта:

Получили два корня, (– 3) и 4. Однако теперь подставим их в исходное урав-ние и посмотрим, что у нас получится. При х = – 3 имеем:

Это верное равенство, поэтому х = – 3 действительно является корнем урав-ния. Теперь проверяем х = 4:

Хотя выражения и справа, и слева одинаковы, равенство верным считать нельзя, ведь выражение log₃ (– 1) не имеет смысла! Действительно, нельзя вычислять логарифм от отрицательного числа. Поэтому корень х = 4 оказывается посторонним, и у нас остается только один настоящий корень – число (– 3).

Уравнения, требующие предварительных преобразований

Естественно, не всегда в обоих частях логарифмических уравнений и неравенств стоят только логарифмы с совпадающими основаниями. Часто требуется выполнить некоторые предварительные преобразования, чтобы привести урав-ние к виду log_af(x) = log_ag(x).

Задание. Решите урав-ние

с помощью которой любой множитель можно внести под знак логарифма. Сделаем это и в нашем случае:

Теперь в обеих частях равенства не стоит ничего, кроме логарифмов с одинаковыми основаниями. Поэтому мы можем приравнять их аргументы:

Задание. Решите урав-ние

Снова проверяем каждый из корней, подставляя его в исходное ур-ние. Прих = –1 получаем

Задание. Решите урав-ние

Решение. В правой части снова стоит сумма, но на этот раз не логарифмов. Однако число 1 можно представить как log₅ 5. Тогда урав-ние можно преобразовать:

Задание. Решите урав-ние

Решение. Данный пример похож на простейшее логарифмическое уравнение, однако переменная находится в основании логарифма, а не в аргументе. По определению логарифма мы можем записать, что

Первый вариант придется отбросить, так как основание логарифма, (а в данном случае это выражение х – 5) не может быть отрицательным числом. Получается, что

Задание. Решите урав-ние

Решение. Здесь ситуация осложняется тем, что основания логарифмов разные. Поэтому один из них необходимо привести к новому основанию. Попробуем привести log₂₅x 4 к основанию 5, используя известную нам формулу

Мы добились того, что у логарифмов одинаковые основания, а потому мы можем приравнять их аргументы:

Логарифмические уравнения с заменой переменных

Иногда приходится делать некоторые замены, чтобы уравнение приняло более привычный вид.

Задание. Решите уравнение методом замены переменной

Задание. Найдите решение уравнения методом замены переменной

Решение. Для начала напомним, что символ lg означает десятичный логарифм. Отдельно знаменатель дроби в правой части:

Логарифмирование уравнений

Ясно, что если от равных величин взять логарифмы по одному и тому же основанию, то тогда эти логарифмы окажутся также равными. Если подобный прием применяют при решении урав-ния, то, говорят, что производится логарифмирование уравнения. Иногда оно позволяет решить некоторые особо сложные примеры.

Задание. Укажите корни урав-ния

Здесь переменная величина находится одновременно и в основании степени, и в ее показателе. Возьмем от правой и левой части урав-ния логарифм по основанию 5:

Возвращаемся от переменной t к переменной х:

Переход от логарифмических неравенств к нелогарифмическим

Рассмотрим график логарифмической функции у = log_ax при условии а > 1. Она является возрастающей функцией. Если на оси Ох отложить два числа tи s так, чтобы t располагалось левее s (то есть t 1). Но это не совсем так. Дело в том, что надо учесть ещё и тот факт, что под знаком логарифма может стоять исключительно положительное число. Получается, что от простейшего логарифмического неравенства

Естественно, вместо величин t и s могут стоять как числа, так и выражения с переменными.

Задание. Найдите решение логарифмического неравенства

Ответ можно оставить и в такой форме, однако всё же принято записывать его в виде промежутка. Очевидно, что нерав-во 0 log_as:

Но, снова-таки, мы должны учесть, числа t может быть лишь положительным (тогда s, которое больше t, автоматически также окажется положительным). Получается, что при 0 log_a s можно перейти к двойному нерав-ву 0 2 – 45х + 200 имеет решение

Однако в системе (5) есть ещё два неравенства, х > 0 и 45 >x. Их решениями являются промежутки (0; + ∞) и (– ∞; 45). Чтобы определить решение всей системы, отметим на одной прямой решения каждого отдельного нерав-ва и найдем область их пересечения:

Видно, что решениями нерав-ва будут являться промежутки (0; 5) и (40; 45), на которых справедливы все три нерав-ва, входящих в систему (5).