План – конспект урока алгебры в 11 классе по теме «Способы решения иррациональных уравнений»
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| plan_-_konspekt_uroka_algebry_v_11_klasse_sposoby_resheniya_irratsionalnykh_uravneniy.doc | 111 КБ |
Предварительный просмотр:
План – конспект урока алгебры в 11 М классе
по теме «Способы решения иррациональных уравнений»
- Образовательные: усвоить различные способы решения иррациональных уравнений и научиться применять их в соответствии с заданным уравнением.
- Развивающие: способствовать формированию умений применять приёмы сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.
- Воспитательные: содействовать воспитанию интереса к математике, сознательного отношения к учению, познавательной активности, мобильности, умения общаться, общей культуры.
Тип урока – урок изучения нового материала.
- Организационный момент
- Подготовка к изучению нового материала
- Изучение нового материала
- Первичная проверка понимания
- Подведение итогов урока
- Домашнее задание
I. Организационный момент
Подготовка учащихся к работе на уроке.
II. Подготовка к изучению нового материала
- Формулирование целей урока для определения действий школьников во время лекции.
- Повторение.
а) Определение иррационального уравнения
б) Решение уравнений
- уравнение равносильно системе
- уравнение равносильно любой из систем
в) Наиболее распространенный метод решения иррациональных уравнений – последовательное возведение в степень.
3. Решите уравнение
(Учащиеся должны высказать разные предположения, и они затрудняются решить данное уравнение, учитель предлагает оставить его и решить после изучения других способов решения иррациональных уравнений)
III. Изучение нового материала
Одним из сложных разделов алгебры, изучаемых в школьной программе, являются иррациональные уравнения, так как отсутствуют общие алгоритмы их решения и приходится делать преобразования, приводящие к уравнениям, не равносильным данным. Рассмотрим случаи, когда проще свести решение уравнения к решению следствия и проверке. Следствия могут быть получены:
- Последовательным возведением исходного уравнения в степень.
- Заменой исходного уравнения системой уравнений.
- Умножением обеих части исходного уравнения на разность радикалов.
- Использованием монотонности функций в левой части уравнения.
- Использованием подстановок, сводящих исходное уравнение к рациональному.
1 . Пусть дано уравнение 
.
Возведем обе части уравнения в куб, воспользовавшись формулой
( a + b ) 3 = a 3 + b 3 + 3 ab ( a + b ).
Заменим сумму кубических корней величиной с и получим следствие последнего уравнения: . Это уравнение решается последовательным возведением в куб.
Пример: Решите уравнение
Это уравнение равносильно уравнению
Следствием его является уравнение
Решение — х = 80. Проверка показывает, что это число является корнем данного уравнения.
2. Некоторые уравнения удобно заменить системой уравнений.
Пример: Решите уравнение
Возведение в степень не дает результата. Тогда сделаем замену:
Заменим данное уравнение системой Исключая из первых двух уравнений переменную х , получим систему Решаем эту систему методом подстановки, получим a 1 =0, a 2 = -2, a 3 = 1, тогда х 1 =2, х 2 =10, х 3 = 12. Проверка показывает, что все найденные значения х есть корни данного уравнения.
Этот прием хорош в том случае, когда сумма или разность подкоренных выражений есть константа.
3. Уравнения вида , в котором разность подкоренных выражений есть число, можно решать, умножив обе части уравнения на разность радикалов.
Пример: Решите уравнение
Умножив обе части уравнения на разность корней, получим уравнение
Сложив почленно эти уравнения, получим и х = . Проверка показывает, что найденное число корень данного уравнения.
4. При решении некоторых уравнений полезно воспользоваться тем, что функция монотонна.
Пример: Решите уравнение
В левой части уравнения сумма возрастающих функций, а в правой — константа, значит уравнение имеет не более одного корня. х = 1 — корень уравнения.
5. Решить уравнение
Откуда t = –3, t = 2.
Согласно проверке, x = 2 корень исходного уравнения.
1. Почему данные уравнения не имеют корней?
2. Решите уравнения:
V. Подведение итогов урока
VI. Домашнее задание на выбор:
1. Решить уравнения:
2. Пообобрать или придумать иррациональные уравнения, решаемые изученными приемами
3. Индивидуальное задание для желающих: Найти в пособиях по математике другие способы решения иррациональных уравнений.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Конспект урока – практикума по алгебре и началам анализа с презентацией по теме «Методы решения иррациональных уравнений»
Урок алгебры и начала анализа в 10 классе физико – математического профиля. Цель урока: обобщение и систематизация знаний по теме. Подготовка учащихся к ЕГЭ. В заданиях Единого государственного .
Анализ урока-лекции в 11-м классе по теме: «Способы решения иррациональных уравнений» (45 минут) руководителем
Оценка качества учебного занятия проводится по схеме, разработанной на кафедре управления развитием школы, возглавляемой чл. – кор. АПН России Т.И.Шамовой. “Сверка задач реально протекающего обр.
Конспект урока по алгебре в 8 классе по теме :» Способы решения квадратных уравнений»
Обобщающий урок по теме: » Квадратные уравнения «. С использованием дополнительного материала.
Конспект урока алгебры в 9 классе. Графическое решение систем уравнений.
Конспект урока алгебры в 9 классе «Использование графиков функций для решения систем уравнений».
План-конспект урока в 10-м классе «Способы решения иррациональных уравнений»
Способы решения иррациональных уравнений в 10-м классе.План-конспект.
Конспект урока по математике на 1 курсе «Решение иррациональных уравнений»
Конспект урока по математике на 1 курсе.
Конспект урока алгебры 9 класс. Тема урока. Способы решения целых уравнений.
Конспект урока алгебры 9 класс.Учебник: Алгебра 9 класс: учебник для общеобразовательных организаций. Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, С.Б.Суворова – М.: Просвещение, 2014Тема урока. Способы реше.
Открытый урок по алгебре и началам анализа в 11-м классе. Тема: «Иррациональные уравнения»
Разделы: Математика
Тип урока: урок ознакомления с новым материалом и первичное его закрепление.
Цель урока: ввести понятие иррациональных уравнений и показать способы их решения.
Время проведения: два урока по 40 минут.
Образовательные: сформировать у учащихся умение решать иррациональные уравнения различными способами, отработать навыки решения иррациональных уравнений.
- развитие алгоритмического мышления, памяти, внимательности;
- развитие операционного мышления, направленного на выбор оптимальных решений;
- развитие у учащихся умения излагать мысли, делать выводы, обобщения;
- развитие познавательного интереса, логического мышления.
- воспитывать умение преодолевать трудности при решении задач;
- усиление познавательной мотивации осознанием ученика свей значимости в образовательном процессе;
- воспитание у учащихся самостоятельности, умение достойно вести спор, находчивость.
Материал разработан применительно к учебнику “Алгебра и начала анализа, 10-11” под редакцией А.Н. Колмогорова.
I. Актуализация (10 мин.)
- Проверка домашнего задания.
- Повторение пройденного материала.
II. Объяснение нового материала (15 мин.)
- Сообщение темы урока.
- Постановка целей и задач.
- Рассмотреть некоторые способы решения иррациональных уравнений.
III. Закрепление изученного (30 мин.)
IV. Подведение итогов (2 мин.)
V. Домашнее задание (2 мин.)
VI. Самостоятельная работа (20 мин.)
Оборудование:
- графический способ решения;
- нестандартные уравнения;
- самостоятельная работа.
Учитель: Здравствуйте ребята! Садитесь!
– Начнем урок с проверки домашнего задания. (Домашнее задание оформлено на перемене перед уроком, на боковой доске). Рассмотрим решение № 410 (б). (Решить уравнение, 
с помощью подстановки 
).
Отвечающий рассказывает и показывает свое решение, учащиеся внимательно слушают, задают вопросы отвечающему и оценивают его, аргументируя оценку.
– На дом было задано еще дополнительное задание. Поднимите, пожалуйста, руки, кто с этим заданием справился? Внимание на доску.
Отвечающий объясняет, как найти значение следующего выражения: 
Объяснение: чтобы вычислить значение данного выражения избавимся от квадратного корня. Для этого воспользуемся свойством: 
- Представим подкоренные выражения в виде полного квадрата суммы или разности.
- Применим свойство:
- Раскроем модуль, учитывая его определение.
- Вычислим.
Вопросы к отвечающему:
- В данном задании ты использовал(а) свойство корня квадратного из квадрата, а чему равен квадрат корня квадратного?
- Вычислить:
– Спасибо, садись, оценка.
Учитель: Какую тему мы рассматривали с вами на прошлых уроках?
Ответ: “Корень n-ой степени и его свойства”.
будет верным? Сделать карточки и при ответах их прикрепить к доске.
Они должны висеть до конца урока.
II. Объяснение нового материала.
На магнитной доске висят карточки с уравнениями.
Учитель: Прошу вашего внимания на доску. Здесь расположены карточки, на которых записаны уравнения. Посмотрите внимательно и определите, какие уравнения вы уже умеете решать, а какие у вас вызывают затруднения?
– Кто из вас может выйти к доске убрать карточки с уравнениями, которые вы можете решить и назвать их тип?
Вывод: Остались карточки с уравнениями, которые вы еще не умеете решать.
– Чем отличается запись этих уравнений от тех, которые мы убрали?
Ответ: Неизвестное находится под знаком корня.
– Верно! Такие уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называются иррациональными уравнениями.
Итак, тема нашего урока: “Иррациональные уравнения”.
Цель урока: Отработать алгоритм решения простейших иррациональных уравнений, рассмотреть некоторые способы решения более сложных иррациональных уравнений.
Записываем число и тему урока в тетрадь.
Объясняю алгоритм решения и оформления иррациональных уравнений.
Беру первую карточку с уравнением, прикрепляю к основной доске и решаю его.
Основной метод решения иррациональных уравнений – это метод возведения в квадрат обеих частей уравнения. Но при этом мы можем получить неравносильное уравнение, поэтому в конце обязательно нужно сделать проверку.
3. Следовательно, числа –3 и 3 являются решениями данного иррационального уравнения.
Учитель: А как бы вы решали вот такое уравнение 
2. Выходит учащийся к доске и решает второе уравнение этим же способом.
Возведем обе части уравнения в квадрат, получим х + 2 = х 2 ; х 2 – х – 2 = 0; х1 = -1, х2 = 2.
– Давайте проверим, являются ли полученные значения переменной решениями данного уравнения? Пишем ПРОВЕРКА!
Следовательно, число 2 является решением данного уравнения.
Итак, ребята, мы получили, что только одно значение переменной является решением данного уравнения. Это число 2. Число –1 в данном случае называется посторонним конем.
Вопрос к отвечающему: Скажи, важна ли проверка в иррациональных уравнениях, решаемых таким способом и почему?
Ответ: Да, так как могут появиться посторонние корни.
Учитель: Возможность появления посторонних корней обязывает нас быть очень внимательными при решении иррациональных уравнений.
Мы рассмотрели один из способов решения иррациональных уравнений. Это возведение обеих частей уравнения в квадрат. А если переменная находится под знаком корня 3-ей, 4-ой и т.д. степени. Тогда как быть?
Ответ: Возвести обе части уравнения в 3-ю, 4-ю и т.д. степень.
Учитель: Кто попытается сформулировать общий способ решения иррациональных уравнений?
Выслушать все высказывания и в завершении подвести итог.
Учитель: Значит одним из способов решения иррациональных уравнений является возведение обеих частей уравнения в степень, равную показателю степени корня. И не забыть, при этом сделать проверку, отсеяв, возможные посторонние корни.
III. Закрепление нового материала.
Решить следующие уравнения:
1. 
Ответ: нет корней.
2.
 |
Учащиеся первые два уравнения решают у доски, третье уравнение на местах, один ученик проговаривает решение, четвертое уравнение устно, а пятое – для хорошо успевающих детей.
Учитель: На следующем уроке я покажу вам другой способ оформления решения иррациональных уравнений, используя равносильные переходы. А сегодня я бы хотела показать вам еще один способ решения иррациональных уравнений. Это графический способ. Так как этот способ дает нам не точные значения переменной, то его используют реже. Однако встречаются уравнения, которые можно и легче решить именно этим способом. Посмотрите, как это делается. Внимание на экран.
Показываю презентацию (слайды № 1-5)
Решить уравнение 
(рис. 1, 2, 3).
Учитель: Существует ее один способ решения иррациональных уравнений. Этот способ вы рассмотрели самостоятельно, выполняя домашнее задание № 410 (б). Посмотрите еще раз на это уравнение.
– Какое вам нужно было решить уравнение?
– Каким способом вы его решали?
Ответ: Способом замены переменной.
Учитель: Итак, существует несколько способов решения иррациональных уравнений. Мы сегодня рассмотрели только некоторые из них. Давайте, перечислим, какие это способы?
Ответ: Возведение обеих частей уравнения в степень, равную показателю степени корня, графический способ, способ замены переменной.
Учитель: Расскажите алгоритм решения уравнений каждого из способов.
Учащиеся очень быстро проговаривают три алгоритма.
Учитель: Молодцы! А теперь прошу внимание на экран.
Высвечиваются уравнения через проектор по одному (презентация, слайд №5)
Учитель: Как решить первое уравнение?
Выслушать все варианты ответов. Если будут затруднения, вспомнить еще раз с учащимися определение арифметического квадратного корня и обратить внимание на доску с карточками, 
, где записаны условия выполнения равенства
Ответ: уравнение не имеет решения.
Высветить второе уравнение. Учащиеся дают свои варианты решения. Учитель их внимательно выслушивает, корректирует, задает наводящие вопросы, если это необходимо. И все вместе делают вывод, что уравнение не имеет корней.
Ответ: нет корней.
Высветить третье уравнение. Все необходимые рассуждения высвечиваются на экран. Решаем это уравнение с помощью области определения уравнения. В итоге получаем систему
которая не имеет решений. Следовательно, и уравнение не имеет решений.
Ответ: нет решений.
IV. Подведение итогов.
Итак, ребята! Какие уравнения мы сегодня на уроке рассмотрели?
– Дать определение иррациональных уравнений.
– Какая особенность существует при решении иррациональных уравнений?
– Какие способы решения иррациональных уравнений мы рассмотрели?
– Молодцы! Запишите домашнее задание. (На экран высветить слайд № 7).
V. Домашнее задание.
Пока ребята записывают домашнее задание, учитель проговаривает оценки за урок, обосновывая каждую оценку.
Поурочный план по алгебре на тему: «Иррациональные уравнения» 11 класс
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Тема: » Иррациональные уравнения «
Тип урока : урок изучения нового материала.
Метод: словесно – наглядно – практический.
Обучающие : рассмотреть иррациональные уравнения. Сформировать у учащихся умение решать иррациональные уравнения различными способами, отработать навыки решения иррациональных уравнений.
Развивающие : продолжить развитие мышления, памяти, внимательности, умения применять полученные знания при решении задач. Развивать навыки решения иррациональных уравнений.
Воспитательные : продолжить воспитание математической культуры учащихся, стимулировать развитие интереса к данной теме и к дисциплине в целом; продолжить воспитание ответственности, аккуратности при выполнении различных заданий, настойчивости при достижении цели.
Этап подготовки к усвоению нового материала
Этап усвоения новых знаний
Этап первичной проверки понимания нового материала
Этап обобщения и систематизации новых знаний
Этап информации о домашнем задании
Нацелить учащихся на урок
Актуализировать опорные знания
Рассмотреть принципы решения иррациональных уравнений
Научить находить решения данных уравнений
Обобщить теоретические сведения, полученные на
Разъяснить содержание домашнего задания
1. Организационный момент. Здравствуйте ребята. Приветствие учеников. Тема нашего урока « Иррациональные уравнения» . На этом уроке мы должны рассмотреть решение иррациональных уравнений; изучить основные методы решения данных уравнений.
2. Этап подготовки к усвоению нового материала. На прошлом уроке мы рассмотрели свойства степени с рациональным показателем. Давайте вспомним основные понятия:
Учитель: Что называется степенью с рациональным показателем?
Ответ ученика: Если a — положительное число, а — p / q рациональное число ( q 2), то a в степени p / q равно арифметическому корню степени q из a в степени p .
Учитель: Что делать при умножении степеней с рациональным показателем одного и того же положительного числа?
Ответ ученика: Показатели степеней складывают .
Учитель: При возведении степени с рациональным показателем положительного числа a в степень, что необходимо предпринять?
Ответ ученика: Показатели степеней перемножают.
Учитель: Молодец. Теперь рассмотрим тему нашего урока. Зайди, пожалуйста, на сайт i -школы, выбери урок № 3 и открой теоретический материал «Иррациональные уравнения».
3. Этап усвоения новых знаний.
Учитель: На этом уроке мы рассмотрим иррациональные уравнения. Решение иррациональных уравнений с помощью различных методов сводится к решению обычных квадратных или линейных уравнений. Основным методом решения данных уравнений является метод возведения в степень. Рассмотрим уравнение: 
. Возведём обе части уравнения в квадрат. Получим:
x 2 +5 x +1 = (2 x -1) 2
При решении иррациональных уравнений необходимо сделать проверку полученного решения, т.к. возведение в квадрат расширяет область допустимых значений функции.
1) x = 0, тогда 
, что неверно, следовательно, корень посторонний.
2) x = 3, тогда 
, это верно, следовательно, число 3 является корнем исходного уравнения.
4. Этап первичной проверки понимания нового материала.
Учитель: Теперь перейдем к решению примеров. Открой задания по теме « Иррациональные уравнения » .
Учитель: Задание 1. Решить уравнения. Рассмотрим первый пример.
. Как будем решать данное уравнение?
Ученик: Возведем в квадрат левую и правую часть уравнения.
Учитель: Молодец. Находи корни уравнения.
Учитель: Хорошо. Теперь необходимо проверить подходит ли найденный корень.
Ученик: 
, получаем 
. Подходит.
Учитель: Молодец. Теперь рассмотрим задание 1, пример в: 
.
Ученик: Возведем в квадрат левую и правую часть уравнения.
Учитель: Молодец. Дальше что делать будем?
Ученик: Перенесем все в левую часть.
Учитель: Можно конечно так поступить, но лучше воспользоваться свойством пропорции. Получим: 7 x – 31 = 32. Чему равен корень?
Учитель: Хорошо. Теперь проверим полученное решение?
Ученик: 
.
Учитель: Хорошо. Рассмотрим задание 2, пример л: 
. Как будем решать данное уравнение?
Ученик: Перенесем 6 из левой части в правую.
Учитель: Молодец. Но обрати внимание, что рациональнее ввести новую переменную 
? Тогда уравнение примет вид: 6 – 7 t = – t 2 , получаем квадратное уравнение t 2 – 7 t + 6 = 0. Решаем квадратное уравнение и находим корни.
Учитель: Хорошо. Вернемся к переменной x , и найдем корни.
Учитель: Молодец. Проверим полученные корни.
Ученик: Корни удовлетворяют уравнению.
5. Этап обобщения и систематизации новых знаний.
Учитель: Итак, сегодня на занятии мы рассмотрели иррациональные уравнения . Что нового узнали на уроке?
Ученик: отвечает на вопросы учителя.
6. Этап информации о домашнем задании.
Учитель: Домашнее задание: задание 1 примеры б, г, к, задание 2, примеры д, ж,е из задания по теме « Иррациональные уравнения » . На следующем уроке мы рассмотрим новую тему «Первообразная функции» .
http://urok.1sept.ru/articles/103547
http://infourok.ru/pourochniy-plan-po-algebre-na-temu-irracionalnie-uravneniya-klass-2531402.html