Поурочный план нелинейные уравнения с двумя переменными

урок по теме»Решение нелинейных систем уравнений с 2 переменными»
план-конспект урока (алгебра, 11 класс) на тему

обобщающий урок по теме»Решение нелинейных систем уравнений с 2 переменными» для 11 класса

Скачать:

Предварительный просмотр:

ТЕМА УРОКА: «РЕШНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ»

Образовательные: закрепить изученный материал, совершенствовать умения применять способы решения систем уравнений при решении примеров, применять свойства функций.

Развивающие: способствовать формированию умений применять приёмы переноса знаний в новую ситуацию, развитию мышления и речи, внимания и памяти;

Воспитательная: содействие воспитанию активности, аккуратности и внимательности, развитие навыков самоорганизации и самоконтроля, самостоятельности.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Оборудование: доска, индивидуальные карточки

Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная, коллективная.

Литература : Дидактические материалы по алгебре и началам анализа» Б.Г. Зив, В.А. Гольдич, сборник заданий для подготовки письменного экзамена за курс средней школы, ЕГЭ (актив-тренинг) под редакцией А.Л.Семенова, И.В. Ященко, интернет-ресурс «Решу ЕГЭ»

II. Устная работа

Вопросы – задания.
На которые ученик отвечает «да» или «нет»

1. Логарифмическая функция y=log а x определена при любом х.(0)
2.Область значений логарифмической функции является множество действительных чисел.(1)

3.Область определения всех тригонометрических функций является множество действительных чисел (1)

4.Областью значения фунций у=cosx; y=sinx является отрезок [-1;1] (1)

5.Областью значений функции у=а х является множество действительных чисел (0)

6.Область определения функций у= tgx, где x= (0)

11.Графики тригонометрических функций имеют наименьший период Т=2πк(0)
12.Областью определения степенной функции является множество положительных чисел (1)
13.График четной функции симметричен относительно Ох.(0)
14.График нечетной функции всегда находится в I и Ш четвертях.(0)

15.График логарифмической функции всегда пересекает ось Ох в точке (1;0).(1)

В это время 5 сильных учеников решают по карточкам.

Вспомним основные методы решения систем уравнений.

1. Метод подстановки.
2. Метод алгебраического сложения уравнений .
3. Метод замены переменных .
4. Метод разложения на множители
5. Графическое решение систем уравнений.

Вспомним основные графики через решения систем (решения задач по карточкам)

Пример 1. Решите систему уравнений

х 2 +у 2 =2,5ху

х+у=0,25ху (для более сильных учащихся)

Решение. Из второго уравнения находим: . Подставляя это значение в первое уравнение, получаем: , или после упрощения . Корнями этого уравнения являются числа , . Таким образом, получаем совокупность двух систем уравнений:

Первая система имеет решения , а вторая . Значит, данная система имеет решения: .

2. Метод алгебраического сложения уравнений .

Пример 2. Решите систему уравнений:

Решение. Метод подстановки в данном случае приводит к сложным выкладкам. Поэтому будем рассуждать иначе: прибавим к первому уравнению системы второе уравнение, тогда получаем систему: т.е.

Равносильную заданной. А теперь воспользуемся методом подстановки:

Полученная система уравнений равносильна совокупности двух систем уравнений:

Первая система имеет решение , а вторая . Значит, решение данной системы имеет вид: .

3. Метод замены переменных .

Пример 3. Решите систему уравнений:

Решение. пусть u= , v= , тогда получим более простую систему равносильную исходной. Решив полученную систему, будем иметь: . Перейдем к переменным х и y , и решим совокупность двух систем уравнений:

4. Метод разложения на множители :

Пример 4. Решите систему уравнений:

Решение. Второе уравнение системы представим в виде: . Тогда данная система будет равносильна совокупности двух систем, решаемых методом подстановки.

1. или , значит и решением первой системы будет .
2. или , значит и решением второй системы будет Ответ: .

5. Графическое решение систем уравнений.

Пример 5. Решите несколькими способами систему уравнений:

Решение. Уравнение задает окружность с центром в начале координат и радиусом 6. Уравнение — парабола, это уравнение можно переписать в виде: . Вершиной этой параболы является точка (0; 6), ветви параболы направлены вниз, она пересекает ось Ох в точках (6; 0); (-6; 0). Построим графики указанных линий и найдем их точки пересечения.

Из чертежа видно, что линии пересекаются трижды и точками пересечения являются А (-6; 0); В (0; 6); С (6; 0).

Рассмотрим примеры решения систем уравнений, содержащих тригонометрические, показательные, логарифмические уравнения .

Пример 6. Решить систему уравнений:

Решение. Преобразуем первое уравнение данной системы с помощью соответствующих формул к виду , складывая и вычитая уравнения полученной системы перейдем к системе тригонометрических уравнений вида

или . Из полученной системы находим

Пример 7. Решить систему уравнений:

Решение. Заменим данную систему на равносильную ей, воспользовавшись свойствами степеней: . Обозначим ; . Система примет вид: Решив её методом подстановки, получим и = 1, v = 2, т.к. полученные значения удовлетворяют условиям ; , перейдем к системе

, откуда получаем х = 0, y = 1. Ответ: .

Пример 8. Решить систему уравнений: .

Решение. ОДЗ:

Переходя к логарифмам по основанию 3, получаем систему, равносильную исходной:

Так как уравнение равносильно совокупности двух систем, то и полученная система равносильна совокупности двух систем:

1) Так как х = -6 не входит в ОДЗ, то решение первой системы является только пара (1; 1).

2) Так как х = 3 не входит в OДЗ, то решением является пара (2; 4). Ответ: <(1; 1); (2; 4)>.

Пример 9. Найти все а, при которых система имеет 2 решения.

Найти все параметры а, при которых система (|x|-4) 2 +(y-4) 2 =9

(x+1) 2 +y 2 =a 2 имеет 3 решения

Решение. ОДЗ: х >0 данная система уравнений равносильна системе . Полученная система уравнений имеет 2 решения тогда и только тогда, когда уравнений (2) системы имеет два положительных корня. Исследуем уравнение (2)

Так как по теореме Виета , то указанные условия будут иметь место, если имеет решение следующая система двух неравенств

Пример 10. Пусть — решение системы . Найдите разность .

Решение. Из условия задачи следует, . Кроме того , т.к. . Следовательно, данная система равносильна системе

так как второе уравнение полученной системы равносильно совокупности двух уравнений, то и полученная система равносильна совокупности двух систем уравнений

1) 2) так как y = -1 не удовлетворяет условию , то вторая пара чисел не является решением.

Рассмотрим пример системы с неизвестным под знаком модуля.

Пример 11 . Решить систему уравнений:

Решение. Множество допустимых значений х , y можно определить из условий

. Данная система в ОДЗ равносильна системе или . Полученная система в ОДЗ переменных х и y равносильна совокупности двух систем и .

Решая методом подстановки каждую из систем, получаем, что первая не имеет действительных корней, а решением второй системы является множество двух пар чисел

План-конспект урока алгебры в 9 классе по теме «Решение систем нелинейных уравнений с двумя переменными»

Обобщающий урок по алгебре в 9 классе по теме «Уравнения с двумя переменными и их системы». Учащиеся закрепят знания и умения по решению систем нелинейных уравнений с двумя переменными различными способами, как графическим, так и аналитическим.

Просмотр содержимого документа
«План-конспект урока алгебры в 9 классе по теме «Решение систем нелинейных уравнений с двумя переменными»»

Тема урока: «Решение систем нелинейных уравнений с двумя переменными»

Учитель: Поцепун Т.И.

Тип: Урок обобщения и систематизации знаний.

Вид: традиционный урок

Базовая компетентность: умение учиться.

коммуникативная, познавательная, формирование личного самосовершенствования

Цель урока: систематизировать знания и умения у учащихся, решать системы различными способами

повторить способы решения систем

способствовать развитию логического мышления, математической интуиции;

развивать умения самостоятельной учебно-познавательной деятельности;

воспитывать трудолюбие, умение работать в коллективе, умение слушать одноклассников

Средства обучения: текст теста, карточки для работ по группам, интерактивная доска

2. Актуализация знаний (устная работа)

3. Практическая работа

4. Осмысление и применение (тестовое задание)

5. Коррекция знаний

6. Инструктаж по выполнению домашнего задания

Мотивация:( 3 мин)

Здравствуйте! Сегодня у нас необычный урок у нас гости, и мы должны показать свои знания и умения по теме «Системы нелинейных уравнений с двумя переменными». Данный урок является последним перед контрольной работой.

Девизом нашего урока будут слова: Дорогу осилит идущий, а математику –мыслящий»

Актуализация знаний (устная работа)

(в это время 2 ученика решают системы методом подстановки и методом сложения)

Что является решением системы уравнений с двумя переменными? (пара чисел, которые при постановке в эту систему превращают каждое ее уравнение в верное равенство)

Что значит решить систему уравнений с двумя переменными? ( найти все

ее решения или установить , что их нет)

Какие существуют способы решения систем уравнений с двумя переменными?

Сколько решений имеет система, если графики изображены на рисунках. (слайд)

1.

5. На рисунке дано графическое решение системы уравнений. Назовите решение каждой системы

Используя метод подбора на знании теоремы обратной теоремы Виета,

найдите решения системы

(Проверка учащихся решения систем у доски )

Какой способ вы считаете самым не рациональным в решении систем? И почему?

Проверка умений применять на практике полученные знания.

Работа в группах ( дифференцированно)

1 группа ( слабая)

Решите систему наиболее рациональным способом:

Ответ: (2;3) (-4;15)

2. Выберите систему уравнений, соответствующую условию задачи и решите ее.

Сумма двух чисел равна 12, а их произведение равно 32. Найти эти числа

а) б) Ответ: 4 и 8

3. Какая из нижеуказанных пар чисел является решением системы уравнений:

2 группа (средняя)

1. Решить систему наиболее рациональным способом:

2. Решить задачу:
Площадь прямоугольного земельного участка равна 20м 2 . Участок обнесен изгородью длиной 18 м. Найдите длину и ширину участка.

Какая из указанных пар чисел, является решением системы уравнений:

Осмысление и применение (тестовое задание)

1. Какие из перечисленных уравнений являются нелинейными уравнениями?

А) х – 2у = 1, Б) хуz + 3у = -18, В) +2у = 5, Г) –х – у = -11.

2. Даны уравнения, график какого, уравнения является парабола?

А) у =, б) 5х + 4у = 20, в) ху = 12. , г) у = ,

3. Какая пара чисел является решением системы уравнений

А) (6; 3), б) (2; -1), в) (-3; -6), Г) (3; 0).

4. С помощью графика, изображенного на рисунке, определите, сколько решений имеет система уравнений?

А) Одно решение; б) Два решения; в) Три решения; г) Четыре решения;

5. Если система состоит из двух уравнений второй степени с двумя переменными, то каким способом легче удается найти ее решение?

А) способом подстановки; б) способом сложения; в) графическим способом;

План конспект урока по алгебре на тему «Система нелинейных уравнений с двумя переменными» (9 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

ГУ «Отдел оразования Аршалынского района »

«ЕЦ 166/5 мекмесiнi жанынагы №5 кешкi(аусымда) жалпы орта бiлiм беретiн мектебi» ММ басшысы

ГУ «Вечерняя(сменная) средняя общеобразовательная школа №5 при учреждении ЕЦ 166/5 »

Система нелинейных уравнений с двумя переменными

учитель математики Бережная Л.И.

Тема: Система нелинейных уравнений с двумя переменными

Цели: систематизировать материал и применить знания в новой ситуации.

Задачи: — обучить учащихся решению системы нелинейных уравнений с двумя переменными;

— научить определять рациональный способ решения систем уравнений с двумя переменными

— воспитание сознательного отношения к изучению предмета.

Тип: Ознакомление с новым материалом.

Метод: Словесное объяснение материала с демонстрацией и практическим решением заданий.

2.Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности.

3. Актуализация знаний учащихся

4.Объяснение материала 5.Закрепление изученного материала. 6.Итог урока — рефлексия. 7.Задание на дом

Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности

Эмоциональный настрой нашей совместной работы.

— Здравствуйте! Садитесь, пожалуйста. Сегодня у нас с вами урок изучения нового материала «Система нелинейных уравнений с двумя переменными». Девизом урока будут слова: хочу, могу, умею, делаю. МОГУ: на уроке можно ошибаться, сомневаться, консультироваться. УМЕЮ: мы умеем решать линейные уравнения с двумя переменными и нелинейные уравнения с двумя переменным ХОЧУ: познакомиться с методами решения систем нелинейных уравнений с двумя переменными. ДЕЛАЮ: делаем каждый себе установку: Понять и быть тем первым, который увидит правильный путь решения. Желаю всем удачи!

Слайд 1: Система нелинейных уравнений с двумя переменными

Актуализация знаний учащихся

— Как вы думаете, чему мы сегодня должны научиться? (научиться решать системы нелинейных уравнений и определить какой из способов более рациональный)

-Все ли слова вам понятны?

-Что такое уравнение?

-Что значит уравнение с двумя переменными?

-Что является решением уравнения?

-Что значит система уравнений?

-Какие уравнения называются нелинейными?

— Выполнить задание на доске: разложить уравнения по местам (провести стрелки)

7у 4 -3ху 2 +11х 5 =0

Переходим к ключевому слову темы (система). Решить систему- необходимо найти все ее решения или доказать, что их нет. Решение системы -пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы уравнений с двумя переменными в верное равенство.

Система уравнений с двумя переменными, в составе которой хотя бы одно уравнение является нелинейным, называется системой нелинейных уравнений с двумя переменными

Для решения системы нелинейных уравнений применяют несколько способов.

Слайд 2: Способы решения систем уравнений второй степени:

-введения новой переменной

Для решения системы способом алгебраического сложения обычно используют следующий алгоритм:

1) Умножить почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными членам;

2) Сложить почленно левые и правые части уравнений системы;

3) Решить получившееся уравнение с одной переменной;

4) Найти соответствующее значение второй переменной;

5) Записать ответ в виде пар числовых значений переменных.

Слайд №3. Решим способом алгебраического сложения систему

Способ подстановки мы раньше применяли для решения систем уравнений с двумя переменными . Алгоритм решения :

В одном из уравнений системы нужно выразить одну переменную через другую;

Подставить это выражение во второе уравнение для получения уравнения с одной переменной;

Решить полученное уравнение с одной переменной;

Найти соответствующее значение второй переменной;

Записать ответ в виде пар числовых значений переменных.

Слайд №4. Решим способом подстановки систему

Графический способ решения систем нелинейных уравнений с двумя переменными заключается в построении графика каждого уравнения , входящего в данную систему, в одной координатной плоскости и нахождении точки пересечения этих графико в. Координаты этой точки (x; y) и будут являться решением данной системы уравнений.

нужно рассмотреть одну из переменных системы уравнений как аргумент, а другую как функцию;

построить графики уравнений системы в одной прямоугольной системе координат;

определить координаты точек пересечения графиков уравнений;

записать ответ в виде пар числовых значений переменных

Слайд 5. Решим графическим способом систему Решим систему уравнений:

Построим в одной системе координат графики первого х 2 + у 2 = 25
(окружность) и второго ху = 12 (гипербола) уравнений. Видно что графики уравнений пересекаются в четырех точках А(3; 4), В(4; 3)
С(-3;-4) и Д(-4; 3), координаты которых являются решениями одной системы. Так как при графическом способе решения могут быть найдены с некоторой точностью, то их необходимо проверить подстановкой. Проверка показывает, что система действительно имеет четыре решения: (3;4),(4;3),(-3;-4),(-4;-3).

Для решения более сложных систем уравнений с двумя переменными удобно использовать способ введения новых переменных . Алгоритм решения:

Ввести новые переменные для выражения определенных соотношений переменных в уравнений системы;

Записать уравнения системы через введенные переменные;

Решать полученную сстему уравнений относительно новых переменных;

Найти значения исходных переменных, используя числовые значения введенных переменных;

Записать ответ в виде пар числовых значений переменных исходных уравнений системы.

Слайд №6. Решим способом введения новой переменной систему ⇔ t = s =

5.Закрепление изученного материала. № 42 (а)- методом подстановки

№ 47 (а) – графическим методом

6.Итог урока — рефлексия. -Что называется решением системы уравнений с двумя переменными? — С какими способами решения систем уравнений с двумя переменными мы познакомились? — В чем заключается их суть? — Какой способ дает точные результаты, а какой дает не точные результаты? — Какой еще способ решения системы уравнений с двумя переменными вы знаете? — В каком случае система не будет иметь решений?

7.Задание на дом: § 3

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 949 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 681 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 567 408 материалов в базе

Другие материалы

• 30.09.2017
• 4260
• 99

• 30.09.2017
• 1513
• 3

• 30.09.2017
• 1882
• 42

• 30.09.2017
• 2297
• 2

• 30.09.2017
• 5466
• 45

• 30.09.2017
• 1742
• 1

• 30.09.2017
• 730
• 3

• 29.09.2017
• 1384
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 30.09.2017 3399
• DOCX 51.8 кбайт
• 68 скачиваний
• Рейтинг: 3 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Бережная Людмила Ивановна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 4 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 25837
• Всего материалов: 14

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

В Забайкалье в 2022 году обеспечат интернетом 83 школы

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.

Время чтения: 2 минуты

У 76% российских учителей оклад ниже МРОТ

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.