Повторение математика 11 класс тригонометрические уравнения

Урок-повторение по теме «Тригонометрические уравнения и неравенства» (11-й класс)

Разделы: Математика

Класс: 11

Цели:

• Образовательные – систематизировать знания и создать разноуровневые условия контроля (самоконтроля, взаимоконтроля) усвоения знаний и умений.
• Развивающие – способствовать формированию умений применять полученные знания в новой ситуации, развивать математическое мышление, речь.
• Воспитательные – содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, умения общаться.

Ход урока

1. Оргмомент
2. Математическая эстафета
3. Конкурс капитанов
4. Самостоятельная работа
5. Угадай слово
6. Подведение итогов. Домашнее задание

I. Оргмомент

Сегодня на уроке мы повторим тему «Тригонометрические уравнения и неравенства». Тем самым систематизируем знания и создадим разноуровневые условия контроля (самоконтроля, взаимоконтроля) усвоения знаний и умений. Данная тема важна еще и тем, что тригонометрические уравнения встречаются в заданиях ЕГЭ во всех частях.

Рассадить учащихся по группам (их две), выбрать капитанов. Четырех учеников посадить за компьютеры для решения тестов. Одному ученику дать индивидуальное задание: решить уравнение, входящее в часть В тестов ЕГЭ.

II. Математическая эстафета (Приложение 3)

Данный этап позволит нам отработать все формулы тригонометрических уравнений.

Члены команды по очереди подходят к доске и решают очередное уравнение.

Задания для 1 команды (Приложение 2)

Задания для 2 команды

III. Конкурс капитанов

Пока капитаны у доски решают свои задания, проверим ученика с индивидуальным заданием: решить уравнение, входящее в часть В тестов ЕГЭ.

1 капитану решить уравнение (1 — cos2x)(tgx — √3) = 0

2 капитану решить уравнение (1 — 2sinx)(ctgx — 1) = 0

IV. Самостоятельная работа

Каждая группа получает карточку, в которой не только задания работы, но и карточка со вспомогательной консультацией по решению каждого задания.

Задание группе №1

1. Решите уравнение:

2. Решите неравенство:

3. Решите уравнение:

Группа №1

Консультация первого уровня.

1. а) Решите уравнение относительно cos х по общей формуле для корней квадратного уравнения, после чего получившееся уравнение решите относительно х.

б) Разложите левую часть уравнения на множители и примените условие равенства произведения нулю.

2. Запишите решение неравенства относительно аргумента “3х”, а дальше относительно “х”.

3. Решите систему способом подстановки.

4. Исследуйте знак выражения, стоящего под знаком модуля.

Консультация второго уровня.

1. а) Решите уравнение как квадратное относительно cos x, придете к совокупности уравнений cos x= -(1/2) и cos x= -1. Решая каждое из уравнений, учтите, что arсcos(-1/2) = 2π/3, а второе уравнение можно решать используя частный случай.

б) Имеем: sin x (sin x +√3cos x) = 0. Перейдем к совокупности уравнений sin x = 0; sin x+√3cos x= 0. Решаем как однородное уравнение I степени (деление обеих частей уравнения на cos x≠ 0 или на sin x≠ 0).

Консультации для дополнительных заданий второго уровня.

1. Заметим, что √3/2 = cos(π/6); 1/2 = sin(π/6). Имеем формулу sin(π/6 + x) в левой части уравнения. Решаем уравнение: sin(π/6 + x) = -(1/2)

2. Имеем: 2y 2 + y – 1 ≤ 0

Решаем графически на единичной окружности.

5 sin x — 6 cos x — 6 = 0

Вынесем общий множитель за скобки. Будем решать совокупность уравнений:

(имеем однородное уравнение I степени)

Задание группе № 2

1. Решите уравнение:

б) 2 sin 2 x + 5 sinx ∙ cosx — 7cos 2 x = 0.

2. Решите неравенство:

Дополнительно:

1. Решите уравнение:

2. Решите уравнение:

2 cos 2 x+ cos x — 1 ≤ 0.

3. Решите неравенство:

Группа №2

Консультация первого уровня.

1. а) Воспользуйтесь тождеством ctgx = 1/(tgx). Решается уравнение заменой переменной. При решении дробного уравнения вспомните алгоритм его решения.

б) Имеем однородное уравнение второй степени, решаем его деление обеих частей уравнения на cos x (или sin x). Затем сведем к решению квадратного уравнения.

2. Запишем решение неравенства для (π/2 + x), затем относительно “x”.

3. Решите систему способом подстановки, для этого из 1-го уравнения выразите одну переменную через другую и подставьте во второе уравнение. Решение тригонометрического уравнения записывается точками единичной окружности.

4. Помним, что верно равенство x 2 =│x│ 2 для любого x. Введите замену │sinx│= y. Решение сведется к решению квадратного (неполного) уравнения.

Консультация второго уровня.

1. а) Получив дробное уравнение y + (1/y) = 2. Умножив обе части уравнения на общий знаменатель y ≠ 0. Решаем квадратное уравнение y 2 — 2y+ 1 = 0. Проверьте корни уравнения. Сделайте обратную подстановку.

б) Введем новую переменную tg x= y, получаем 2y 2 + 5y— 7 = 0, решив его будем иметь tg x= 1, или tg x= -3,5. Решим каждое из уравнений.

Решаем

Решаем каждое из полученных уравнений относительно x.

Консультации для дополнительных заданий первого уровня.

1. Умножьте обе части уравнения на 1/2.

2. Введите замену: cos x = y и решите квадратное неравенство.

3. Воспользуйтесь формулами sin x = 2 sin(x/2)cos(x/2)

Консультации для дополнительных заданий второго уровня.

1. Заметим, что (√3/2)= cos(π/6); 1/2 = sin(π/6). Имеем формулу sin(π/6 + x) в левой части уравнения. Решаем уравнение: sin(π/6 + x) = -(1/2)

Решаем графически на единичной окружности.

5 sin x — 6 cos x — 6 = 0

Вынесем общий множитель за скобки. Будем решать совокупность уравнений:

(имеем однородное уравнение I степени)

Ответы для группы №1

Ответы к дополнительной части.

Ответы для группы №2

Ответы к дополнительной части.

В это время группа более сильных учащихся на доске должна решить следующее задание

Решите уравнение:

V. Угадай слово (Приложение 4)

И на последок еще такое задание, в котором всего одно слово, но какое?! Решив задания вы его и отгадаете. На доске находите карточку со своим ответом и переворачиваете ее.

V. Подведение итогов. Домашнее задание.

К работе прилагается тест в MS Excel (Приложение 5).

Решение тригонометрических уравнений. Алгебра 11 класс. Вводное повторение

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Приложение № 3.doc

Информационная карта автора методической разработки

Губина Клара Владимировна

Место работы (полное наименование образовательной организации в соответствии с её уставом)

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Гимназия №2»

Адрес школьного сайта в Интернете

Занимаемая должность (наименование в соответствии с записью в трудовой книжке)

Адрес личного Интернет-ресурса

Личная электронная почта

Умей поставить себя на место ученика. У каждого есть право на ошибку. Найди возможность дать ученику шанс исправить ее.

Выбранный для просмотра документ Урок по теме. Повторение.Решение тригонометрических уранений.doc

Название предмета Алгебра и начала анализа.

УМК А.Г. Мордкович и др. «Алгебра и начала анализа», 11 класс, (профильный уровень), М. «Мнемозина», 2014г.

Уровень обучения Профильный

Тема урока Повторение материала 10 класса. Тригонометрические уравнения.

Общее количество часов, отведенное на изучение данной темы 1

Место урока в системе уроков по теме 1.

Цель урока Обобщить и систематизировать теорию о способах решения тригонометрических уравнений, виды уравнений.

повторить решение простейших уравнений, основные тригонометрические формулы, основные формулы тригонометрических уравнений;

закрепить умения применять данные формулы не только в знакомой, но в модифицированной и незнакомой ситуациях.

развивать умения самостоятельного решения уравнений связанных с выбором алгоритма решения уравнений;

содействовать развитию устойчивого интереса к математике с помощью математической строгости умозаключения;

ознакомить с логическими приемами мышления.

воспитать чувство ответственности, формировать навыки самооценки;

содействовать желанию расширить и углубить знания, полученные на уроке,

содействовать повышению грамотности устной и письменной речи учащихся.

Обучающиеся должны уметь: находить корни простейших тригонометрических уравнений, уметь решать уравнения как простейшие (из ЕГЭ базового уровня), так и более сложных уравнений (из ЕГЭ профильного уровня) и спользовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для практических расчетов по формулам.

Техническое обеспечение урока проектор, компьютер, экран.

Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока

1. Организационный момент: вступительное слово учителя, в котором подчеркивается значение, материала повторяемой темы, сообщается цель и план урока (1 мин.)

Тема “Решение тригонометрических уравнений» актуальна, умение решать тригонометрические уравнения позволит вам справиться с заданиями ЕГЭ за курс средней школы. Будьте активны, внимательны, помогайте друг другу вспомнить, все то, что вы изучали на уроках алгебры и началах анализа в 10 классе.

2.Актуализация опорных знаний (формы: устная беседа).

Вопросы и задания для актуализации :

а). Как решить уравнение sinx = m ? Запишите в тетради формулу корней данного уравнения.

б). Как решить уравнение cos x = m ? Запишите в тетради формулу корней данного уравнения.

в). Как решить уравнение tg x = m ? Запишите в тетради формулу корней данного уравнения.

г). Давайте вспомним частные случаи. Учащиеся в тетрадях записывают решение этих уравнений.

3. Работа на доске и в тетрадях вместе с учителем. Разбор всех тригонометрических уравнений на виды.

Простейшие тригонометрические уравнения. Уравнения вида T ( kx + m ) = a , где T — знак какой – либо тригонометрической функции.

Пример: sin 2 x = 0,5

Решение: 2 x = m , 2 x = m , x = m , x = m ,

Пример: Найдите корень уравнения: В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Решение: х – 7 = 8 + 6в или х – 7 = 6 + 8 t , тогда х = -4

тригонометрические уравнения, приводимые к линейным или квадратным:

A sin 2 х + В sin х + С =0 или A sin 2 х + В cos х + С =0

Пример: Решите уравнение:

sin 2 х + 5 sin х — 6 =0. Введем замену sin х = z , решая квадратное уравнение

z 2 + 5 z — 6 = 0, z ₁ = 1; z ₂ = -6

Решением уравнения sin х = 1 являются числа вида х = π /2 +2 π k , k Z .

Уравнение sin х = — 6 не имеет решения, так как -6 не принадлежит Е ( sin х ), т.е. -6 не принадлежит [-1; 1]

При решении уравнения вида A sin 2 х + В cos х + С =0 вводим замену sin 2 х = 1 — cos 2 х, а затем решаем уравнение способом, аналогичным предыдущему.

Пример: Решите уравнение 2 sin 2 х + 3 cos х -3 =0.

Учащиеся решают уравнение, вводят замену sin 2 х = 1 — cos 2 х,

2 (1 — cos 2 х) +3 cos х -3 =0.

— 2 cos 2 х + 3 cos х — 1 = 0 | (-1)

2 cos 2 х — 3 cos х + 1 = 0

Решая квадратное уравнение 2 t 2 — 3 t +1 = 0,

Решением уравнения cos х = 1 являются числа вида х = 2 π k , k Z .

Решением уравнение cos х = 0,5 являются числа вида х = ± arccos 0,5+ 2 π n , n Z

однородные тригонометрические уравнения.

Рассмотрим самое простое однородное тригонометрическое уравнение первой степени: A sin x + B cos x = 0. Разделив обе части уравнения на cos x ≠ 0, получим уравнение вида tg x = С.

Пример: 2 sin x + 3 cos x = 0.

2 sin x+ 3 cos x = 0 | : cos x ≠ 0

х = arctg (-1,5) + πk, k Z или х = — arctg 1,5 + πk, k Z

однородное тригонометрическое уравнение второго порядка:

А sin 2 х + В sin х cos х + С cos 2 х = 0. Разделив обе части уравнения на cos 2 x ≠ 0, получим уравнение вида А tg 2 x + В tg x + С = 0.

Пример: 2 sin 2 х — 3 sin х cos х — 5 cos 2 х =0

2 sin 2 х — 3 sin х cos х — 5 cos 2 х =0 | : cos 2 х ≠ 0

2 tg 2 x — 3 tg x — 5 = 0

2 t 2 – 3 t – 5 =0

Решением уравнения tg х = -1 являются числа вида х = — π /2 + πk , k Z .

Решением уравнение tg х = 2,5 являются числа вида х = arctg 2,5+ πn , n Z .

Проблемы, возникающие при решении тригонометрических уравнений

опасные формулы (универсальная подстановка).

Этими операциями мы сужаем область определения.

возводим в четную степень.

умножаем на g (х) (избавляемся от знаменателя).

Этими операциями мы расширяем область определения.

Решим уравнеие:

Поделив уравнение на , получим , ,

При решении этой задачи обе части уравнения были поделены на

Напомним, что при делении уравнения на выражение, содержащее неизвестное, могут быть потеряны корни. Поэтому нужно проверить, не являются ли корни уравнения корнями данного уравнения. Если , то из уравнения следует, что . Однако и не могут одновременно равняться нулю, так как они связаны

равенством . Следовательно, при делении

уравнения , где , , на (или ) получаем уравнение, равносильное данному.

Еще формулы для решения уравнений: Формулы понижения степени:

4. Решите уравнения:

1.) Найдите корень уравнения: В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

2.) Решите уравнение .

3.) Решите уравнение

5. Домашнее задание:

а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

6. Итог урока. Учитель: Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы вспомнили формулы решения простейших тригонометрических уравнений, рассмотрели общие подходы решения тригонометрических уравнений, закрепили навыки и проверили умения решать тригонометрические уравнения, познакомились с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.

Фронтальным опросом вместе с учащимися подводятся итоги урока:

Что нового узнали на уроке?

Испытывали ли вы затруднения при решении уравнений?

Какие из способов решения тригонометрических уравнений из рассмотренных оказались наиболее трудными?

Какие пробелы в знаниях выявились на уроке?

Какие проблемы у вас возникли по окончании урока?

Урок алгебры в 11 кл. «Тригонометрические уравнения. Подготовка к ЕГЭ»
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

Предмет: алгебра и начала анализа

Класс: 11

Тема урока: «Тригонометрические уравнения. Подготовка к ЕГЭ»

Тип урока: урок коррекции и систематизации знаний.

Цель урока: закрепить навыки решения тригонометрических уравнений различных типов в процессе подготовки к ЕГЭ.

Задачи урока.

1. Образовательные:

— закрепление программных знаний и умений по решению тригонометрических уравнений; применение свойств тригонометрических функций;

— обобщение и систематизация материала;

— создание условий для контроля и самоконтроля усвоения знаний и умений;

2. Воспитательные:

— воспитание навыков делового общения, активности;

-формирование интереса к математике и ее приложениям.

3. Развивающие:

— формирование умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию,

— развитие познавательного интереса, математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

Формы организации работы учащихся на уроке:

индивидуальная, фронтальная, парная, групповая.

Методы обучения:

частично-поисковый (эвристический), тестовая проверка уровня знаний, работа по опорным схемам, работа по обобщающей схеме, решение познавательных обобщающих задач, системные обобщения, самопроверка, взаимопроверка.

Оборудование и источники информации: компьютер, мультимедийный проектор, таблицы (плакаты) по теме «Решение тригонометрических уравнений», системно-обобщающая схема; на партах учащихся опорные схемы по решению тригонометрических уравнений, справочные материалы, листы учета знаний, карточки — задания с уравнениями, карточки с домашними заданиями.

Знания, умения, навыки и качества, которые актуализируют, приобретут, закрепят, ученики в ходе урока:

· знание методов и этапов решения тригонометрических уравнений;

· умение решать тригонометрические уравнения, выбирая наиболее рациональные методы.

Обоснование возможности использования системно-деятельностного подхода при изучении темы: Содержание изучаемого материала позволяет логически выстроить репродуктивные и творческие учебные ситуации, предполагает использование различных способов действий, в том числе и в области адекватного оценивания учащимися своих действий.

Ресурсы:

• Учебники «Алгебра 10» и «Алгебра 11» под редакцией . Г.К.Муравина, О.В. Муравиной. — М.: «Просвещение», 2014-15гг.

• Презентация офисе Microsoft Power Point и для интерактивной доски Smart Board

• Демонстрационный и раздаточный материал

• Интернет сайт: социальная сеть работников образования : nsportal.ru

Скачать:

Предварительный просмотр:

29 февраля 2016 года

Районный семинар учителей математики, физики и информатики

при МОУ «Лямбирская СОШ №1» Лямбирского района Республики Мордовия

Предмет: алгебра и начала анализа

Тема урока: «Тригонометрические уравнения. Подготовка к ЕГЭ»

Тип урока : урок коррекции и систематизации знаний.

Цель урока : закрепить навыки решения тригонометрических уравнений различных типов в процессе подготовки к ЕГЭ.

— закрепление программных знаний и умений по решению тригонометрических уравнений; применение свойств тригонометрических функций;

— обобщение и систематизация материала;

— создание условий для контроля и самоконтроля усвоения знаний и умений;

— воспитание навыков делового общения, активности;

-формирование интереса к математике и ее приложениям.

— формирование умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию,

— развитие познавательного интереса, математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

Формы организации работы учащихся на уроке :

индивидуальная, фронтальная, парная, групповая.

частично-поисковый (эвристический), тестовая проверка уровня знаний, работа по опорным схемам, работа по обобщающей схеме, решение познавательных обобщающих задач, системные обобщения, самопроверка, взаимопроверка.

Оборудование и источники информации : компьютер, мультимедийный проектор, таблицы (плакаты) по теме «Решение тригонометрических уравнений», системно-обобщающая схема; на партах учащихся опорные схемы по решению тригонометрических уравнений, справочные материалы, листы учета знаний, карточки — задания с уравнениями, карточки с домашними заданиями.

Знания, умения, навыки и качества , которые актуализируют, приобретут, закрепят, ученики в ходе урока:

• знание методов и этапов решения тригонометрических уравнений;
• умение решать тригонометрические уравнения, выбирая наиболее рациональные методы.

Обоснование возможности использования системно-деятельностного подхода при изучении темы: Содержание изучаемого материала позволяет логически выстроить репродуктивные и творческие учебные ситуации, предполагает использование различных способов действий, в том числе и в области адекватного оценивания учащимися своих действий.

• Учебники «Алгебра 10» и «Алгебра 11» под редакцией . Г.К.Муравина, О.В. Муравиной. — М.: «Просвещение», 2014-15гг.
• Презентация офисе Microsoft Power Point и для интерактивной доски Smart Board
• Демонстрационный и раздаточный материал
• Интернет сайт: социальная сеть работников образования : nsportal.ru
• http://www.yandex .

1 этап — мотивационно — ориентировочный : разъяснение целей учебной деятельности учащихся, мотивация учащихся: выйти на результат.

2 этап — подготовительный: актуализация опорных знаний, необходимых для решения тригонометрических уравнений – это основные формулы тригонометрии и примеры решения простейших тригонометрических уравнений.

3 этап — основной: осмысление последовательности выполнения действий согласно правилу (работа с проговариванием правил); совершенствование или коррекция умений учащихся в зависимости от успешности выполнения предыдущего этапа (кто быстро справился – работает с более сложными заданиями; кто испытывал затруднения – продолжает работать с заданиями стандартного уровня); отчёт учащихся о выполнении заданий.

4 этап – компьютерное тестирование. Контроль знаний обучающихся через тестирование в тестовой оболочке КРАБ 2

5 этап — заключительный : подведение общих итогов, инструкция по выполнению домашнего задания, рефлексия.

Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его применять.

1 этап — мотивационно — ориентировочный

– Доброе утро! Здравствуйте , ребята . Сегодня у нас необычный урок, потому что у нас гости . «Гости в дому — это к добру!». Посмотрите друг на друга, улыбнитесь, и пожелайте мысленно своим друзьям удачи!

Эпиграфом нашего урока я взяла высказывание великого французского ученого Рене Декарта «Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его применять» …

У вас на столах лежат листы достижений. К концу урока вы их заполните и вернете мне.

2 этап — подготовительный: актуализация опорных знаний

Скажите пожалуйста, какие темы мы повторили на последних уроках?

• Определения тригонометрических функций, свойства и графики
• Основное тригонометрическое тождество
• Формулы приведения
• Формулы сложения
• Формулы двойного угла
• Формулы понижения степени (формулы половинного угла)
• Тригонометрические выражения, тождества и уравнения

Коль собираемся говорить о тригонометрии, как вы думаете, какова цель нашего урока? Сформулируйте её.

Действительно, сегодня у нас урок закрепления навыков решения тригонометрических уравнений различных типов в процессе подготовки к ЕГЭ. Мы повторим, обобщим и приведем в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения тригонометрических уравнений. Надо сказать, что именно тригонометрические задания вызывают затруднения при сдаче экзаменов. Будем работать и вместе, и индивидуально.

«Сегодня мы учимся вместе: я, ваш учитель, и вы, мои ученики. Но в будущем ученик должен превзойти учителя, иначе в науке не будет прогресса», — сказал Василий Александрович Сухомлинский, советский педагог.

Вопросы для учащихся:

1) Какие уравнения называют тригонометрическими? — Уравнения, в которых переменная стоит под знаком тригонометрической функции, называются тригонометрическими.

2 Приведите примеры простейших тригонометрических уравнений? — cos x = a; sin x = a; tg x = a; ctg x = a

3 Сколько корней может иметь тригонометрическое уравнение? — Зависит от а: может не иметь корней, может иметь множество корней в силу периодичности тригонометрических функций.

4 Что значит решить тригонометрическое уравнение? — Найти множество корней или убедиться, что корней нет

5 В уравнениях cos x = a; sin x = a оцените число а? Если а 1, то нет корней.

6. Решите простейшие тригонометрические уравнения

Напомните типы тригонометрических уравнений и методы их решения

• Уравнения, сводящиеся к квадратным a sin 2 x + b sin x + c = 0
• Однородные уравнения а sin x +b cos x = 0 a sin 2 x + b cos 2 x +c sin x cos x = 0
• Уравнения, решаемые разложением левой части на множители а(х) b(x) =0
• Уравнения вида а sin x +b cos x = с

3 этап — основной

Задание 1. Решите уравнение 8 cos 4 x +3 sin 2 x = 8

1. Определите тип уравнения
2. Наметьте план решения
3. Введите соответствующую замену переменной
4. Найдите область допустимых значений введенной переменной
5. Решите полученные простейшие уравнения
6. Запишите верно ответ

Учитывая, что из основного тригонометрического тождества sin 2 x = 1- cos 2 x, получим

8 cos 4 x +3 (1-сos 2 x) = 8

8 cos 4 x -3 сos 2 x — 5 = 0

Исходное уравнение свелось к квадратному относительно сos 2 x

Пусть сos 2 x = t, при условии , тогда 8t 2 -3t-5=0,

откуда t 1 =1, t 2 = -5/8- не удовл.усл. t

cos 2 x =1, cos x = , x= ,

Важнейшая задача цивилизации –

научить человека мыслить

Задание 2. Решите уравнение cos x – sin x =1.

1 способ. Преобразование разности в произведение. cos x – sin x = 1

2 способ. Введение вспомогательного угла

Введем вспомогательный угол такой, что

3 способ. Использование формул двойного угла .

Ответ.

4 способ. С учетом множества значений функций

cos x – sin x = 1 0 1

Разность косинуса и синуса одного угла может быть равна 1, если

Задание 3. Решите уравнение cos x + sin x = 7.

Учитывая множество значений функций y=cos x и y=sin x, которыми являются отрезки , сумма не может быть равна 7. Поэтому, уравнение корней не имеет.

Ответ. Корней нет.

Тригонометрические выражения, уравнения и отбор корней присутствуют в заданиях ЕГЭ по математике базового и профильного уровней.

Задание 4. (базовый уровень ЕГЭ)

Найдите значение выражения

4 этап — Компьютерное тестирование.

Вычислить cos 60 0

Вычислить sin 120 0

Решить уравнение cos x= -1

Решить уравнение sin x = 1

Решить уравнение cos x=0

Решить уравнение tg x=1

Исторический материал (сообщение)

Учащиеся, которые изучают свойства тригонометрических функций, решают уравнения, неравенства, пользуются функциями тригонометрии, должны помнить имя этого ученого.

Леонард Эйлер – крупнейший математик 18-го столетия. Родился в Швейцарии. Долгие годы жил и работал в России, член Петербургской академии.

Почему же мы должны знать и помнить имя этого ученого?

К началу 18 века тригонометрия была еще недостаточно разработана: не было условных обозначений, формулы записывались словами, усваивать их было трудно, неясным был и вопрос о знаках тригонометрических функций в разных четвертях круга, под аргументом тригонометрической функции понимали только углы или дуги. Только в трудах Эйлера тригонометрия получила современный вид. Именно он стал рассматривать тригонометрическую функцию числа, т.е. под аргументом стали понимать не только дуги или градусы, но и числа. Эйлер вывел все тригонометрические формулы из нескольких основных, упорядочил вопрос о знаках тригонометрической функции в разных четвертях круга. Для обозначения тригонометрических функций он ввел символику: sin x, cos x, tg x, ctg x.

На пороге 18-го века в развитии тригонометрии появилось новое направление – аналитическое. Если до этого главной целью тригонометрии считалось решение треугольников, то Эйлер рассматривал тригонометрию как науку о тригонометрических функциях. Первая часть: учение о функции – часть общего учения о функциях, которое изучается в математическом анализе. Вторая часть: решение треугольников – глава геометрии. Такие вот нововведения были сделаны Эйлером.

Задание 5. (профильный уровень ЕГЭ)

ЕГЭ. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся, стр.79, 5. Задачи повышенной сложности 5.1.13. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

• Определите тип уравнения
• Наметьте план решения
• Выберите подходящий способ отбора корней тригонометрического уравнения:

— с помощью оси ОХ,

— с помощью единичной окружности,

— с помощью двойного неравенства,

— с помощью последовательного перебора целых значений n

а) Решите уравнение

Решением данного уравнения является решение системы, состоящей из области определения логарифмической функции и решения тригонометрического уравнения.

Учитывая множество значений функций y= sin x и y=sin 2x, которыми являются отрезки , сумма может быть в промежутке (-2;2), а множество значений функции заключено в промежутке (14; 18). Поэтому, неравенство выполняется при любых значениях х. Значит,

Таким образом, получаем систему

Значит, решением уравнения является

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку