Повторение тригонометрические уравнения и неравенства

Повторение. Тригонометрические формулы и функции. Тригонометрические уравнения и неравенства.

Урок №11. СКАЧИВАЙТЕ файл на устройства, чтобы все знаки и формулы были видны и распознаны. Во время чтения файла онлайн происходит потеря формул.

Просмотр содержимого документа
«Повторение. Тригонометрические формулы и функции. Тригонометрические уравнения и неравенства.»

Тема урока: Повторение. Тригонометрические формулы и функции. Тригонометрические уравнения и неравенства.

Цели: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме.

Вспомним основные формулы

Откройте тетради и запишите сегодняшнее число и тему урока. Выполняем письменно предложенные примеры.

Пример 1. Найти значение выражения .

Решение. Чтобы воспользоваться формулой суммы тригонометрических функций, преобразуем выражение с помощью формулы приведения:

.

Ответ:

Пример 2. Найти значение выражения

Решение. Воспользуемся формулами приведения:

Подставим в выражение:

Пример 3. Упростите выражения:

а) ;

б) .

а) .

б)

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Перепишем уравнение в виде

Воспользуемся формулой корней общего вида, получим:

Применим нечетность функции arcsin x:

Вычислим значение и перенесем в правую часть:

Чтобы найти значения х умножим обе части уравнения на 2, получим:

Пример 5. Решить уравнение

Решим в общем виде, применив частный случай:

Разделим обе части уравнения на 3, получим:

Пример 6. Решить уравнение

Решение. Данное уравнение является квадратным относительно функции и решается с помощью замены.

Замена: . При введении замены помним про ограничения для функции косинус, не может быть больше 1 и меньше -1.

Получим и решим уравнение

Его корни . Возвращаемся к замене:

Вспоминаем про ограничения на переменную и понимаем, что корень не подходит, т.е. уравнение не имеет решений.

Остается решить . Снова применим частный случай, получим:

Пример 7. Решить уравнение:

Решение. Применим формулу синуса двойного угла , получим:

Вынесем общий множитель за скобку:

Решим распадающееся уравнение, запишем в виде совокупности:

Пример 8. Решить уравнение:

Решение. Используем формулу приведения для , чтобы уравнение было относительно одной функции:

Перепишем уравнение в виде:

Далее применим формулу суммы косинусов, получим:

Снова пришли к распадающемуся уравнению, решим его:

Пример 9. Решить уравнение:

Решение. Применим формулу синуса двойного угла, получим:

Уравнение пока еще зависит от двух функций, поэтому применим к косинусу основное тригонометрическое тождество, получим:

Тогда исходное уравнение примет вид:

Раскроем скобку, приведем подобные и умножим на « -1 »:

Получили квадратное уравнение относительно . Выполним замену:

Урок-повторение по теме «Тригонометрические уравнения и неравенства» (11-й класс)

Разделы: Математика

Класс: 11

Цели:

• Образовательные – систематизировать знания и создать разноуровневые условия контроля (самоконтроля, взаимоконтроля) усвоения знаний и умений.
• Развивающие – способствовать формированию умений применять полученные знания в новой ситуации, развивать математическое мышление, речь.
• Воспитательные – содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, умения общаться.

Ход урока

1. Оргмомент
2. Математическая эстафета
3. Конкурс капитанов
4. Самостоятельная работа
5. Угадай слово
6. Подведение итогов. Домашнее задание

I. Оргмомент

Сегодня на уроке мы повторим тему «Тригонометрические уравнения и неравенства». Тем самым систематизируем знания и создадим разноуровневые условия контроля (самоконтроля, взаимоконтроля) усвоения знаний и умений. Данная тема важна еще и тем, что тригонометрические уравнения встречаются в заданиях ЕГЭ во всех частях.

Рассадить учащихся по группам (их две), выбрать капитанов. Четырех учеников посадить за компьютеры для решения тестов. Одному ученику дать индивидуальное задание: решить уравнение, входящее в часть В тестов ЕГЭ.

II. Математическая эстафета (Приложение 3)

Данный этап позволит нам отработать все формулы тригонометрических уравнений.

Члены команды по очереди подходят к доске и решают очередное уравнение.

Задания для 1 команды (Приложение 2)

Задания для 2 команды

III. Конкурс капитанов

Пока капитаны у доски решают свои задания, проверим ученика с индивидуальным заданием: решить уравнение, входящее в часть В тестов ЕГЭ.

1 капитану решить уравнение (1 — cos2x)(tgx — √3) = 0

2 капитану решить уравнение (1 — 2sinx)(ctgx — 1) = 0

IV. Самостоятельная работа

Каждая группа получает карточку, в которой не только задания работы, но и карточка со вспомогательной консультацией по решению каждого задания.

Задание группе №1

1. Решите уравнение:

2. Решите неравенство:

3. Решите уравнение:

Группа №1

Консультация первого уровня.

1. а) Решите уравнение относительно cos х по общей формуле для корней квадратного уравнения, после чего получившееся уравнение решите относительно х.

б) Разложите левую часть уравнения на множители и примените условие равенства произведения нулю.

2. Запишите решение неравенства относительно аргумента “3х”, а дальше относительно “х”.

3. Решите систему способом подстановки.

4. Исследуйте знак выражения, стоящего под знаком модуля.

Консультация второго уровня.

1. а) Решите уравнение как квадратное относительно cos x, придете к совокупности уравнений cos x= -(1/2) и cos x= -1. Решая каждое из уравнений, учтите, что arсcos(-1/2) = 2π/3, а второе уравнение можно решать используя частный случай.

б) Имеем: sin x (sin x +√3cos x) = 0. Перейдем к совокупности уравнений sin x = 0; sin x+√3cos x= 0. Решаем как однородное уравнение I степени (деление обеих частей уравнения на cos x≠ 0 или на sin x≠ 0).

Консультации для дополнительных заданий второго уровня.

1. Заметим, что √3/2 = cos(π/6); 1/2 = sin(π/6). Имеем формулу sin(π/6 + x) в левой части уравнения. Решаем уравнение: sin(π/6 + x) = -(1/2)

2. Имеем: 2y 2 + y – 1 ≤ 0

Решаем графически на единичной окружности.

5 sin x — 6 cos x — 6 = 0

Вынесем общий множитель за скобки. Будем решать совокупность уравнений:

(имеем однородное уравнение I степени)

Задание группе № 2

1. Решите уравнение:

б) 2 sin 2 x + 5 sinx ∙ cosx — 7cos 2 x = 0.

2. Решите неравенство:

Дополнительно:

1. Решите уравнение:

2. Решите уравнение:

2 cos 2 x+ cos x — 1 ≤ 0.

3. Решите неравенство:

Группа №2

Консультация первого уровня.

1. а) Воспользуйтесь тождеством ctgx = 1/(tgx). Решается уравнение заменой переменной. При решении дробного уравнения вспомните алгоритм его решения.

б) Имеем однородное уравнение второй степени, решаем его деление обеих частей уравнения на cos x (или sin x). Затем сведем к решению квадратного уравнения.

2. Запишем решение неравенства для (π/2 + x), затем относительно “x”.

3. Решите систему способом подстановки, для этого из 1-го уравнения выразите одну переменную через другую и подставьте во второе уравнение. Решение тригонометрического уравнения записывается точками единичной окружности.

4. Помним, что верно равенство x 2 =│x│ 2 для любого x. Введите замену │sinx│= y. Решение сведется к решению квадратного (неполного) уравнения.

Консультация второго уровня.

1. а) Получив дробное уравнение y + (1/y) = 2. Умножив обе части уравнения на общий знаменатель y ≠ 0. Решаем квадратное уравнение y 2 — 2y+ 1 = 0. Проверьте корни уравнения. Сделайте обратную подстановку.

б) Введем новую переменную tg x= y, получаем 2y 2 + 5y— 7 = 0, решив его будем иметь tg x= 1, или tg x= -3,5. Решим каждое из уравнений.

Решаем

Решаем каждое из полученных уравнений относительно x.

Консультации для дополнительных заданий первого уровня.

1. Умножьте обе части уравнения на 1/2.

2. Введите замену: cos x = y и решите квадратное неравенство.

3. Воспользуйтесь формулами sin x = 2 sin(x/2)cos(x/2)

Консультации для дополнительных заданий второго уровня.

1. Заметим, что (√3/2)= cos(π/6); 1/2 = sin(π/6). Имеем формулу sin(π/6 + x) в левой части уравнения. Решаем уравнение: sin(π/6 + x) = -(1/2)

Решаем графически на единичной окружности.

5 sin x — 6 cos x — 6 = 0

Вынесем общий множитель за скобки. Будем решать совокупность уравнений:

(имеем однородное уравнение I степени)

Ответы для группы №1

Ответы к дополнительной части.

Ответы для группы №2

Ответы к дополнительной части.

В это время группа более сильных учащихся на доске должна решить следующее задание

Решите уравнение:

V. Угадай слово (Приложение 4)

И на последок еще такое задание, в котором всего одно слово, но какое?! Решив задания вы его и отгадаете. На доске находите карточку со своим ответом и переворачиваете ее.

V. Подведение итогов. Домашнее задание.

К работе прилагается тест в MS Excel (Приложение 5).

Урок разноуровневого обобщающего повторения по теме: «Решение тригонометрических уравнений».
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Обобщение теоретических знаний по теме «Решение тригонометрических уравнений», рассмотреть методы решения тригонометрических уравнений базового и повышенного уровня сложности. Дается разноуровневая самостоятельная работы.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Урок разноуровневого обобщающего повторения по теме:

«Решение тригонометрических уравнений».

(длительность урока – 45 мин)

Урок разработан для учащихся 10 класса, проходил в начале января 2008г. в школе №30 г. Крыловского района. Тема урока выбрана на основании анализа результатов краевой диагностической работы в данном классе, которая выявила, что учащиеся класса еще не в полной мере усвоили тему «Решение тригонометрических уравнений ». В классе 17 учащихся.

По результатам краевой диагностической работы выявлено, что:

• 4 (23,5%) учащихся класса справляются с заданиями по данной теме на базовом уровне от 90 до 100 %;
• 9 (53%) учащихся справились с заданиями на эту тему на 50% – 80 % (на базовом уровне);
• 4(23,5%) учащихся с заданиями на указанную тему справились менее чем на 50 % .

Перед началом урока учащиеся рассаживаются в соответствии с тремя уровнями подготовки на определенные ряды. При этом учащиеся знают, что по мере усвоения материала они могу переходить в следующую по уровню подготовки группу.

Цель урока. Обобщить теоретические знания по теме: «Решение тригонометрических уравнений», рассмотреть методы решения тригонометрических уравнений базового и повышенного уровня сложности, развивать качества мышления: гибкость, целенаправленность, рациональность. Организовать работу учащихся по указанной теме на уровне, соответствующем уровню уже сформированных знаний.

I этап урока – организационный (1 минута)

Учитель сообщает учащимся тему урока, цель и поясняет, что во время урока постепенно будет использоваться тот раздаточный материал, который находится на партах.

II этап урока (12 минут)

Повторение теоретического материала по теме

Учитель обращается к учащимся с вопросом: «Какие уравнения называются тригонометрическими? »

Определение. Тригонометрическими называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций.

Какие виды тригонометрических уравнений вы знаете?

— простейшие тригонометрические уравнения,

— однородные (1 и 2 степеней)

— квадратные уравнения относительно одной из тригонометрических

Какие уравнения называются простейшими тригонометрическими уравнениями?

Определение. Простейшими тригонометрическими уравнениями называются уравнения вида sin x =a, (где |a| ≤ 1), cos x =a,( где |a| ≤ 1),

Какие уравнения называются однородными?

Определение. Уравнения вида asinx + bcosx =0 — называется однородным тригонометрическим уравнением первой степени,

asin 2 x + bsinx cosx + ccos 2 x =0 – тригонометрическим уравнением второй степени.

Какие уравнения называются квадратными?

Определение. Уравнения вида asin 2 x + bsinx = с (acos 2 x + bcosx = c,

atg 2 x + btg x = c) является квадратным уравнением относительно sinx, (cosx, tgx).

Какие уравнения называются не однородными?

Определение. Уравнения вида asinx + bcosx =c, где a≠0, b≠0, c≠0 называется неоднородным тригонометрическим уравнением.

Какие способы решения тригонометрических уравнений вы знаете?

— введение новой переменной,

— разложение на множители,

— с помощью формул понижения степени,

— введение вспомогательного угла,

— использование универсальной подстановки и др.

После ответа учащихся на экран проектируются некоторые способы решения тригонометрических уравнений.

Способы решения некоторых тригонометрических уравнений.

1. Введение новой переменной:

№1. 2sin²x – 5sinx + 2 = 0. №2. tg + 3ctg = 4.

Пусть sinx = t, |t|≤1, Пусть tg = z,

Имеем: 2t² – 5t + 2 = 0. Имеем: z + = 4.

2. Разложение на множители :

2sinx cos5x – cos5x = 0; cos5x (2sinx – 1) = 0.

Имеем: cos5x = 0,

3. Однородные тригонометрические уравнения:

I степени II степени

a sinx + b cosx = 0, (a,b ≠ 0). a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0.

Разделим на cosx ≠ 0. 1) если а ≠ 0, разделим на cos²x ≠0

Имеем: a tgx + b = 0; … имеем: a tg²x + b tgx + c = 0.

имеем: b sinx cosx + c cos²x =0;…

4.Не однородные тригонометрические уравнения:

Уравнения вида: asinx + bcosx = c

4sinx + 3cosx = 5.

Показать два способа:

1)применение универсальной подстановки:

sinx = (2tg x/2) / (1 +tg 2 x/2);

cosx = (1- tg 2 x/2) / (1+tg 2 x/2);

2)введение вспомогательного аргумента:

Разделим обе части на 5:

Т. к. (4/5) 2 +(3/5) 2 = 1, то пусть

4/5 = sinφ; 3/5=cosφ, где 0

sinφsinx + cosφcosx = 1

φ = arccos3/5, значит, x = arcos 3/5 +2πn, n € Z/

Ответ: arccos3/5 + 2πn, n € Z

3)Решение уравнений с применением формул понижения степени: 6sin 2 x + 2sin 2 2x = 5

4)Применение формул двойного и тройного аргументов.

a) 2 sin4xcos2x = 4cos 3 2x – 3cos2x

cos6x +cos2x = cos6x

III этап урока (4 минут)

Выполнение тестового задания

Учитель предлагает учащимся применить только что сформулированные теоретические факты к решению задач.

После ответа учащихся на экран проектируются задание. Задание проводится в виде теста. Учащимися заполняется бланк ответов, находящийся у них на партах.

Задание на проекторе.

Предложите способ решения данного тригонометрического уравнения:

1)приведение к квадратному;

2)приведение к однородному;

3)разложение на множители;

5)преобразование суммы тригонометрических функций в произведение.

3 sin²x + cos²x = 1 — sinx cosx

4 соs²x — cosx – 1 = 0

2 sin² x / 2 + cosx = 1

2 sinx cos5x – cos5x = 0

2sinxcosx – sinx = 0

3 cos²x — cos2x = 1

6 sin²x + 4 sinx cosx = 1

4 sin²x + 11sin²x = 3

Вариант I Вариант II

IV этап урока (5 минут)

Повторение формул для решения уравнений

Проговорите формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.

Формулы корней тригонометрических уравнений.

x = (-1) n arcsin a + πk,

x = ±arccos a + 2πk,

x = arctg a + πk, k є Z

x = arcctg a + πk,k є Z

x = π + 2πk, k є Z

V этап урока (5 минут)

Устная работа по решению простейших задач на тему «Тригонометрические уравнения»

Учитель предлагает учащимся применить только что сформулированные теоретические факты к решению уравнений. На экран проектируется тренажёр для устной работы по теме: «Тригонометрические уравнения»

sin x = 0 cos x = 1 tg x = 0 ctg x = 1 sin x = — 1 / 2 sin x = 1 cos x = 1 / 2 sin x = — √3 / 2 cos x = √2 / 2 sin x = √2 / 2 cos x = √3 / 2 tg x = √3 sin x = 1 / 2 sin x = -1 cos x = — 1 / 2 sin x = √3 / 2 tg x = -√3 ctg x = √3 / 3 tg x = — √3 / 3 ctg x = -√3 cos x – 1 =0 2 sin x – 1 =0 2ctg x + √3 = 0

VI этап урока (15 минут)

Разноуровневая самостоятельная работа

Учитель выдает задания для самостоятельной работы, сообщая учащимся, что на ее выполнение отводится 15 минут. Учителем подготовлены карточки трех цветов для удобства ориентации по уровням сложности.

Учащимся 1-й группы учитель выдал зеленые карточки с задачами повышенного уровня сложности в 4-х вариантах.

Для учащихся 2-й группы учитель выдал розовые карточки в 4-х вариантах с разнообразными заданиями базового уровня сложности.

Для учащихся 3-й группы учителем составлены желтые карточки в 4-х вариантах с заданиями базового уровня сложности. Учащиеся 3-й группы — это, как правило, учащиеся со слабой математической подготовкой,

они будут выполнять задания под контролем учителя.

Все варианты содержат два вычислительных задания и четыре задания на рассмотренную на уроке тему.

Вместе с заданиями учащиеся получают бланки для выполнения заданий.

Желтая карточка № 1

1. Найдите значение выражения , при .

3. Решите уравнение .

4. Решите уравнение .

5. Решите уравнение .

Желтая карточка № 2

1. Упростите выражение .

3. Решите уравнение .

4. Решите уравнение .

5. Решите уравнение .

Желтая карточка № 3

3. Решите уравнение .

4. Решите уравнение .

5. Решите уравнение .

Желтая карточка № 4

3. Решите уравнение .

4. Решите уравнение .

5. Решите уравнение .

Розовая карточка № 1

2. Найдите значение выражения , при .

3. Решите уравнение .

4. Решите уравнение .

5. Решите уравнение .

Розовая карточка № 2

2. Найдите значение выражения , при .

3. Решите уравнение .

4. Решите уравнение .

5. Решите уравнение .

Розовая карточка № 3

2. Найдите значение выражения , при .

3. Решите уравнение .

4. Решите уравнение .

5. Решите уравнение .

Розовая карточка № 4

2. Найдите значение выражения , при .

3. Решите уравнение .

4. Решите уравнение .

5. Решите уравнение .

Зеленая карточка №1

1. Решите уравнение

2. Решите уравнение .

Зеленая карточка №2

1 . Решите уравнение .

2. Решите уравнение .

Зеленая карточка №3

1. Решите уравнение .

2. Решить уравнение .

Зеленая карточка №4

1. Решите уравнение .

2. Решить уравнение .

Зеленая карточка №1

№ 1 Решите уравнение .

1) Преобразуем уравнение: , при условии, что Из уравнения имеем или

2) Из равенства имеем или .

Из равенства имеем или .

№ 2. Решите уравнение .

Зеленая карточка №2

№ 1 . Решите уравнение .

1) Преобразуем уравнение: , . Из уравнения имеем или

2) Из равенства имеем .

Из равенства имеем .

№ 2 Решите уравнение .

1) Преобразуем уравнение: , которое равносильно уравнению , при условии, что .

2) Решим полученное квадратное уравнение:

а) , отсюда , что противоречит условию .

Зеленая карточка №3

№1 Решите уравнение .

1) Преобразуем уравнение: , при условии, что Из уравнения имеем или

2) Из равенства имеем или .

Равенство не имеет смысла т.к. .

№ 2. Решите уравнение .

Зеленая карточка №4

№ 1 . Решите уравнение .

1) Преобразуем уравнение: , при условии, что Из уравнения имеем или

2) Из равенства имеем или .

Равенство не имеет смысла т.к. .

№ 2 Решите уравнение .

1) Преобразуем уравнение: , которое равносильно уравнению , при условии, что .

2) Решим полученное квадратное уравнение:

а) , отсюда , что противоречит условию .

VII этап урока (3 минуты)

Подведение итогов урока, комментарии по домашнему заданию

Учитель еще раз обращает внимание, на те типы уравнений и те теоретические факты, которые вспоминали на уроке, говорит о необходимости выучить их. Отмечает наиболее успешную работу на уроке отдельных учащихся, при необходимости выставляет отметки.

В качестве домашнего задания учащиеся получают по варианту из предыдущей краевой контрольной работы.

1. А.Н. Колмогоров «Алгебра и начала анализа 10-11».- М.: Просвещение , 2003г.
2. А.Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа».Учебник — М.: Мнемозина, 2003г.
3. А.Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа». Задачник – М.: Мнемозина,2003г.
4. Е.А. Семенко, М.В.Фоменко, Е.Н. Белая, Г.Н.Ларкин «Тестовые задания по алгебре и началам анализа. Базовый уровень». Под редакцией Е.А. Семенко.

— Краснодар: «Просвещение – Юг» 2005г.

1. Е.А. Семенко, С.Л.Крупецкий, М.В.Фоменко, Г.Н.Ларкин «Тестовые задания для подготовки к ЕГЭ- 2008 по математике». Под редакцией Е.А. Семенко. — Краснодар: «Просвещение – Юг» 2008г.
2. Е.А. Семенко, М.В.Фоменко, «Обобщающее повторение курса алгебры и начала анализа, Готовимся к ЕГЭ по математике». Под редакцией Е.А. Семенко. — Краснодар: «Мир Кубани», 2007г. Часть 2.
3. Е.А. Семенко, М.В.Фоменко, Е.С.Янушпольская, Г.Н.Ларкин «Обобщающее повторение курса алгебры и начала анализа, Готовимся к ЕГЭ по математике». Под редакцией Е.А. Семенко. — Краснодар: «Мир Кубани», 2006г. Часть 3.
4. Е.А. Семенко, И.В.Васильева и др.«Обобщающее повторение курса алгебры и начала анализа, Готовимся к ЕГЭ по математике». Под редакцией Е.А. Семенко. — Краснодар: «Просвещение – Юг» 2006г. Часть 1.
5. М.И. Сканави «Сборник задач по математике для поступающих в ВТУЗы», М.:Высшая школа 1997г.