Поясните вывод дифференциального уравнения затухающих колебаний

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний

Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. В наиболее часто встречающемся случае сила сопротивления F пропорциональна величине скорости.

. (20.1)

гдеr — коэффициент сопротивления среды. Знак минус обусловлен тем, что сила трения и скорость имеют противоположные направления.

При наличии сил сопротивления второй закон Ньютона, имеет вид:

. (20.2)

Применив обозначения: , и получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний:

, (20.3)

где δ –коэффициент затухания, он определяет, как быстро амплитуда колебаний уменьшается до нуля, ω₀– собственная частота колебаний – частота, с которой совершались бы свободные колебания системы при отсутствии сопротивления среды.

Свободные затухающие колебания – колебания, амплитуда которых уменьшается с течением времени из-за потерь энергии реальной колебательной системы.

Решением уравнения (20.3) является выражение

, (20.4)

ω–циклическая частота затухающих колебаний, которая связана с собственной частотой соотношением

. (20.5)

При подстановке значения коэффициента затухания в формулу (20.5) получим

. (20.6)

Из уравнения (20.3) видно, что амплитуда А изменяется по экспоненциальному закону:

, (20.7)

где А₀— начальная амплитуда,А — амплитуда затухающих колебаний.

Зависимость (20.4).показана на рис.20.1 сплошной линией. А пунктирными линиями показаны пределы, в которых находятся смещения колебаний точки х. или функция изменения амплитуды описанная уравнением (20.7).

Промежуток времени t= 1/d— в течение, которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в ераз, называется – временем релаксации.

Рис.20.1

Затухающие колебания не являются периодическими, и строго говоря, к ним не применимо понятие периода или частоты. Однако, при малых затуханиях можно условно пользоваться понятием периода как промежутка времени между двумя последующими максимумами колеблющейся физической величины, тогда период затухающих колебаний с учетом формулы (20.6) определяется как:

. (20.8)

Если амплитуды двух последовательных колебаний A(t) и A(t+T) отличаются на период, то их отношение называется декрементом затухания.

(20.9)

логарифм данного выражения называется – логарифмическим декрементом затухания θ

, (20.10)

N_e-—число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз.

Для данной колебательной системы логарифмический декремент затухания величина постоянная.

Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротности Q, которая при малых значениях логарифмического декремента равна:

. (20.11)

Из формулы (20.12) следует, что добротность пропорциональна числу колебаний N_e совершаемых системой за время релаксации.

Например, добротность пружинного маятника

. (20.12)

При увеличении коэффициента затухания период затухающих колебаний растет и при δ = ω₀ превращается в бесконечность, т.е. движение перестает быть периодическим. Колеблющаяся величина стремится к нулю, процесс не будет колебательным. Такой процесс называется апериодическим.

При условии (т.е. выполняется соотношение ω₀

δ) колебательная система приходит в состояние равновесия за самое короткое время. Такое явление называется демпфированием. Примерами систем, в которых демпфирование оказывается полезным, являются устройства для закрывания дверей и амортизаторы автомобилей. Обычно их конструируют таким образом, чтобы затухание было критическим (демпфированным). Однако по мере износа этих устройств демпфирование ослабляется, двери начинают хлопать, автомобиль раскачивается, наезжая на неровности дороги. Явление демпфирования применяется при проектировке инерциальных ремней безопасности – в автомобилях. Эта идея также может быть внедрена в виде поясов безопасности для выполнения наружных высотных, ремонтных и строительных работ (т.к. в настоящее время возникает потребность внедрения новой строительной специальности – городской альпинизм).

За последнее десятилетие произошел сдвиг в отношении проектировщиков к учету взаимодействия сооружений с грунтовыми основаниями. Практически во всех проектах в той или иной форме принимается во внимание податливость основания.

Наиболее распространенный подход к моделированию взаимодействия сооружений с грунтом — “платформенная модель”. Суть его состоит в том, что сейсмическое воздействие подается на жесткую платформу, на которой с помощью определенного подвеса закреплена модель сооружения. Обычно этот подвес включает в себя распределенные пружины и демпферы. Преимущество “платформенной модели”- возможность проведения ее расчета с помощью тех же программ, что и расчета сооружения на жестком основании.

Для сооружений на жестких фундаментах поверхностного заложения и для вертикально распространяющихся сейсмических волн в горизонтально-слоистой среде такая модель является точной при том дополнительном условии, что жесткостные и демпфирующие свойства (способность к затуханию вынужденных колебаний) подвеса точно моделируют динамические характеристики штампа на грунтовом основании. Считается, что для основания в виде однородного полупространства динамические характеристики (жесткости) с достаточной точностью могут быть представлены пружинами, а демпфирующие — вязкими демпферами.

В общем случае свойства пружин и демпферов, моделирующих динамические жесткости основания в виде жесткого штампа с линейными свойствами как функции частоты. Однако пока в большинстве расчетов за основу берется статическая жесткость штампа (иногда она определяется достаточно изощренными методами), а демпфирование учитывается либо заданием модальных коэффициентов на уровне примерно 5 %, либо постановкой так называемых “акустических” не отражающих границ (распределенных демпферов).

Существует много способов искусственного введения трения в систему. Это может быть осуществлено, например, электрическим способом, однако возможны и чисто механические методы демпфирования. Вот некоторые из них:

1. Вязкое трение в жидкости. Простым примером является гидравлический демпфер, который состоит из поршня, перемещающегося в цилиндре; трение возникает при перетекании жидкости (часто вместо жидкости используется воздух) в тонком зазоре между поршнем и стенкой цилиндра. В некоторых других устройствах используются лопасти, движущиеся в масле или силиконовой жидкости.

2. Материалы с высоким уровнем рассеяния энергии. При ударе по «колоколу», изготовленному из специального сплава меди и марганца, вместо звона слышится глухой стук. В амортизирующих опорах часто используют резину; это отчасти связано с ее высокими демпфирующими характеристиками. Лопатки компрессоров газовых турбин иногда изготавливают из волокнистых полимерных материалов, обладающих значительным внутренним трением.

3. Демпфирующие покрытия панелей. Существуют такие вещества, что если нанести их на поверхность металлической панели, то при ударе по панели вместо характерного для металлов звука слышен глухой стук.

4. Сухое трение, возникающее при взаимном скольжении поверхностей в процессе вибрации. Этот способ используется, например, в некоторых компрессорах газовых турбин, где осуществлено шарнирное крепление лопаток к ротору. Кроме того, в некоторые пружины с целью демпфирования вставляются пучки металлической проволока.

5. Слоистые конструкции. Панели, состоящие из тонких металлических листов, разделенных тонким слоем вязкоупругого материала, обладают хорошими звукоизолирующими свойствами.

6. Пенопластовые или резиновые прокладки. Яйцо или электрическую лампочку, тщательно упакованные в подходящий материал, можно без всякого риска бросать с большой высоты на твердый пол.

Вынужденные колебания

Вынужденными называются такие колебания, которые возникают в колебательной системе под действием внешней периодически изменяющейся силы с циклической частотой ω

. (20.13)

В данном случае с учетом силы (20.13) уравнение движения (20.2) будет иметь вид:

. (20.14)

После деления на m и преобразования (20.3) получим неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка:

, (20.15)

где ω – частоты вынуждающей силы.

Решение такого неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение записывается в виде:

, (20.16)

где .

Частное решение имеет вид:

, (20.17)

где А— амплитуда вынужденных колебаний.

Для определения амплитуды вынужденных колебаний А и сдвига фазы φ в уравнение (20.15) подставим значения первой и второй производной уравнения (20.17). Для начала продифференцируем:

(20.18)

Подставляя (20.18) в (20.16) и после некоторых математических преобразований, и применяя метод векторных диаграмм, получим значение амплитуды вынужденного колебания А и сдвига фазы φ:

, (20.19)

. (20.20)

Из уравнения (20.19) видно, что амплитуда вынужденных колебания зависит от амплитуды вынуждающей силы. Подставим значения А и φ из уравнений (20.19) и (20.20) в уравнение (20.17) и запишем частное решение неоднородного уравнения для вынужденных электромагнитных колебаний:

. (20.21)

График вынужденных колебаний представлен на рис.20.2. Решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка (20.15) состоит из двух слагаемых. Слагаемое общего решения (20.16) играет заметную роль только в начальной стадии процесса при установлении колебаний. В дальнейшем этим слагаемым можно пренебречь т.к. оно содержит член е — d t . Т.о. вынужденные колебания описываются функцией гармонических колебаний (20.21) с частотой равной частоте ω вынуждающей силы F. Для данной колебательной системы с известной частотой и коэффициентом затухания амплитуда вынужденных колебаний (20.19) зависит от амплитуды и частоты вынуждающей силы.

Рис.20.2.

Одним из видов вынужденных колебаний являются вибрации, которые сопровождают нас повсюду и в большинстве случаев эти вибрации являются нежелательными. В первую очередь можно назвать вибрации и колебания авто и железнодорожного транспорта, моторов и станков, нефтяных и газовых платформ, зданий и сооружений в зоне повышенной сейсмической опасности. Во всех случаях стоит задача изоляции от источника вибраций. Несмотря на все конструкционные различия суть системы вибраций одинакова. Пассивная система состоит из пружины и демпфера. Пружина призвана смягчить вибрации и толчки, а демпфер погасить возникшие в системе колебания. Активная система использует также дополнительную пару, состоящую из акселерометра и электромагнитного привода, что позволяет достигнуть исключительную высокую степень виброизоляции.

Вывод дифференциального уравнения свободного колебания

На тело, совершающее свободные колебания, действуют две силы:

1. Сила, определяемая по второму закону Ньютона:

где m – масса тела;

а – ускорение;

х – смещение;

t – время.

2. Сила упругости, выраженная по закону Гука:

где k – коэффициент упругости. Знак минус показывает, что сила упругости F_упр всегда направлена в сторону положения равновесия.

На основании второго закона Ньютона (произведение массы тела на его ускорение равно сумме всех действующих сил) получаем:

.

Перенесем –kx в левую часть равенства, получим:

.

Введем замену: ,

где ω₀ – круговая (циклическая) частота колебаний (ω₀=2πν)

Получили дифференциальное уравнение второго порядка относительно смещения х.

Решением этого уравнения будет:

или (см. рис.1 и рис. 2).

,

где А – амплитуда колебания;

φ₀ – начальная фаза;

ω₀t+φ₀ – фаза колебания в момент времени t;

ω₀t= ∆φ – изменение фазы колебания за время t.

Выведем уравнения мгновенной скорости и мгновенного ускорения, если колебания совершаются по закону косинуса.

Затухающие колебания.

Все реальные гармонические колебания происходят при воздействии сил сопротивления, на преодоление которых тело затрачивает часть своей энергии, в результате амплитуда колебания уменьшается со временем, т.е. колебания носят затухающий характер.

Представим график затухающего колебания:

Вывод дифференциального уравнения затухающего колебания.На тело, кроме силы силы упругости действует сила сопротивления:

где r – коэффициент сопротивления.

Согласно второму закону Ньютона можно записать:

.

Разделим на массу m, получим:

.

Введем обозначения: ,

где β – коэффициент затухания.

Получили дифференциальное уравнение затухающего колебания:

.

Решение уравнения существенно зависит от знака разности ,

где ω— круговая частота затухающих колебаний, ω₀ — круговая частота собственных колебаний системы (без затухания).

При ω>0 решение дифференциального уравнения будет следующим:

.

Амплитуда затухающего колебания в любой момент времени t определяется равенством:

,

где А₀ – начальная амплитуда, указанная на графике (см. рис 3).

Период Т затухающих колебаний определяется по формуле:

.

Скорость затухания (быстрота уменьшения амплитуды) определяется величиной коэффициента затухания β: чем больше β, тем быстрее уменьшается амплитуда.

Для характеристики скорости затухания ввели понятие декремента затухания.

Декрементом затухания называется отношение двух соседних амплитуд, разделенных периодом:

На практике степень затухания характеризуется логарифмическим декрементомзатухания λ, равным:

Выведем формулу, связывающую логарифмический декремент затухания λ с коэффициентом затухания β и периодом колебания Т.

.

Выведем размерность коэффициента затухания

.

Вынужденные колебания. Вынужденными колебанияминазываются колебания, возникающие в системе при воздействии на неё внешней силы, изменяющейся по периодическому закону.

Пусть на систему действует сила:

где F₀ – максимальное значение,

ω — круговая частота колебаний внешней силы.

На систему действуют сила сила сопротивления и сила упругости .

С учетом всех четырех сил на основании второго закона Ньютона запишем:

.

Разделим обе части равенства на m, получим:

.

Получили дифференциальное уравнение вынужденного колебания:

.

Представим график вынужденных колебаний:

В начале амплитуда колебаний возрастает, а затем становится постоянной А.

Для установившихся вынужденных колебаний:

(см. рис. 4)

Резонанс.Если ω₀ и β для системы заданы, то амплитуда А вынужденных колебаний имеет максимальное значение при некоторой определенной частоте вынуждающей силы, называемой резонансной. Достижение максимальной амплитуды вынужденных колебаний для заданных ω₀ и β называется резонансом.

Резонансная круговая частота определяется формулой:

а резонансная амплитуда:

.

Если отсутствует сопротивление (β=0), то амплитуда неограниченно возрастает.

Представим на графиках зависимость амплитуды вынужденных колебаний от круговой частоты вынуждающей силы ω при различных значениях коэффициента затухания:

По виду резонансной кривой резонанс может быть острым при β→0, тупым – при β→1. (см. рис. 5).

По механизму возбуждения резонанс классифицируется на:

— механический; акустический; электромагнитный; парамагнитный; ядерномагнитный.

Возникновение резонансных явлений в организме может быть как полезным, так и вредным. Например, на акустическом резонансе основано восприятия звука, инфразвук может вызвать разрыв тканей внутренних органов.

Автоколебания.При затухающих колебаниях энергия системы расходуется на преодоление сопротивления среды. Если восполнять эту потерю энергии, то колебания станут незатухающими. Пополнять эту потерянную системой энергию можно за счет источника энергии извне, а можно сделать так, чтобы колеблющаяся система сама бы управляла внешним воздействием.

Незатухающие колебания, возникающие в системе за счет источника энергии, не обладающего колебательными свойствами, называются автоколебаниями, а сами системы – автоколебательными.

Классическим примером автоколебаний являются часы: заведенная пружина; поднятая гиря – источник энергии; анкер – регулятор поступления энергии от источника; маятник или баланс – колебательная система.

Амплитуда и частота автоколебаний зависят от свойств самой автоколебательной системы.

Автоколебания осуществляется по следующей схеме:

Через канал обратной связи регулятор, получив информацию о состоянии колебательной системы, осуществляет регулирующую подачи энергии от источника к системе.

К автоколебательным системам относятся сердце, легкие и т.д.

Автоколебательная система сердца может быть представлена в следующем виде:

Порядок выполнения работы:

1. Включить кимограф, записать положение равновесия.
2. Отклонив маятник в сторону, отпустить его, одновременно включив секундомер.
3. После записи последнего n-го колебания отключить секундомер.
4. После последнего колебания зарегистрировать положение равновесия и отключить кимограф.
5. Записать графики 3-го – 5-го колебательных процессов.
6. С помощью линейки для каждого графика определить величину начальной амплитуды (А₀) и последней амплитуды (А_n).
7. Подсчитать число полных колебаний на графике (n).
8. Определить период колебания T:

где t – время по секундомеру.

1. Определить величину коэффициента затухания по формуле:

.

1. Определить величину логарифмического декремента затухания: .
2. Полученные данные занести в таблицу.

Контрольные вопросы

1. Определения и единицы измерения основных характеристик колебательного движения.
2. Гармонические колебания. Вывод дифференциального уравнения гармонического колебания и его решение.
3. Затухающие колебания. Вывод дифференциального уравнения затухающего колебания и его решение.
4. Декремент затухания, логарифмический декремент затухания. Вывод формулы, связывающей логарифмический декремент с периодом колебания и коэффициентом затухания.
5. Вынужденные колебания. Дифференциальное уравнение вынужденного колебания и его решение.
6. Резонанс и его значение в медицине.
7. Автоколебания.

Тестовые задания

1. Циклической (круговой) частотой называется число полных колебаний за:

а) 1 с; б) 1 мин; в) 1 ч; г) 2π с.

1. Укажите формулу, связывающую циклическую частоту ω с частотой ν:

а) ; в) ;

б) ; г) .

1. Укажите формулу, по которой определяется амплитуда затухающего колебания в любой момент времени t:

а) ; в) ;

б) . г) .

1. Декрементом затухания называется отношение:

а) двух соседних амплитуд;

б) двух соседних амплитуд, разделенных периодом;

в) первой и последней амплитуд;

г) двух амплитуд, разделенных полупериодом.

1. Укажите единицу измерения коэффициента затухания β:

б) безразмерная величина; г) .

6. Укажите решение дифференциального уравнения свободного гармонического колебания:

а) ; в) ;

б) ; г) .

7. Укажите, сколько сил действует на систему, если она совершает свободные гармонические колебания:

8. Укажите дифференциальное уравнение свободного гармонического колебания:

а) ; в) ;

б) ; г) .

9. Укажите решение дифференциального уравнения затухающего колебания:

а) ; в) ;

б) ; г) .

10. Сколько полных колебаний тело должно совершить в одну минуту, чтобы частота его колебаний равнялась 1 Гц:

11. Укажите подстановку в уравнение смещения затухающего колебания:

:

а) ; в) ;

б) ; г) ;

12. Укажите, сколько сил действует на систему, если она совершает вынужденные колебания:

13. Укажите дифференциальное уравнение вынужденного колебания:

а) ; в) ;

б) ; г) .

14. Укажите блок – схему, по которой осуществляются автоколебания:

15. Укажите формулу, связывающую логарифмический декремент затухания λ с периодом колебания Т и коэффициентом затухания β:

а) ; в) ;

б) ; г) .

16. Укажите дифференциальное уравнение затухающего колебания:

а) ; в) ;

б) ; г) .

17. Укажите, по какой формуле определяется период колебания Т, если за время t тело совершило n полных колебаний:

а) ; в) ;

б) ; г) .

18. Укажите единицу измерения логарифмического декремента затухания:

б) с 2 ; г) безразмерная величина.

19. Укажите, какой параметр в уравнении смещения указывает на то, что процесс носит затухающий характер:

20. Укажите, какая сила вызывает уменьшение амплитуды при затухающих колебаниях:

а) ускоряющая сила;

б) сила упругости;

в) сила сопротивления;

г) сила давления.

21. Укажите, при каком значении декремента затухания процесс затухания будет проходить наиболее медленно:

а) ; в) ;

б) ; г) .

22. Укажите, на каком из графиков показан период колебания Т:

23. Укажите график вынужденного колебания:

24. Укажите, каков физический смысл знака «-» в формуле закона Гука

а) физический смысл отсутствует;

б) показывает, что направления силы упругости F_упр и смещения х совпадают;

в) показывает, что направления силы упругости F_упр и смещения х противоположны;

г) показывает, что направления силы упругости F_упр и смещения х взаимно перпендикулярны.

25. Частотой колебания ν называется величина, показывающая число полных колебаний:

а) за минуту; в) за час;

б) за секунду; г) за сутки.

26. Укажите, в каких единицах измеряется циклическая частота ω:

а) в секундах; в) в минутах;

б) в Гц ; г) в часах.

27. Укажите условие резонанса при β=0:

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний (механических и электромагнитных) и его решение. Автоколебания

Рассмотрим свободные затухающие коле­бания— колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебатель­ной системой с течением времени умень­шается. Простейшим механизмом умень­шения энергии колебаний является ее пре­вращение в теплоту вследствие трения в механических колебательных системах,

а также омических потерь и излучения электромагнитной энергии в электриче­ских колебательных системах.

Закон затухающих колебаний опреде­ляется свойствами колебательных систем. Обычно рассматривают линейные систе­мы— идеализированные реальные систе­мы, в которых параметры, определяющие физические свойства системы, в ходе про­цесса не изменяются. Линейными система­ми являются, например, пружинный маят­ник при малых растяжениях пружины (когда справедлив закон Гука), колеба­тельный контур, индуктивность, емкость и сопротивление которого не зависят ни от тока в контуре, ни от напряжения. Различ­ные по своей природе линейные системы описываются идентичными линейными дифференциальными уравнениями, что по­зволяет подходить к изучению колебаний различной физической природы с единой точки зрения, а также проводить их моде­лирование, в том числе и на ЭВМ.

Дифференциальное уравнение свобод­ных затухающих колебанийлинейной системы задается в виде

где s — колеблющаяся величина, описы­вающая тот или иной физический про­цесс, d=const — коэффициент затухания,w₀ — циклическая частота свободных не­затухающих колебаний той же колебатель­ной системы, т. е. при d=0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотойколебательной системы.

Решение уравнения (146.1) рассмот­рим в виде

где u=u(t). После нахождения первой и второй производных выражения (146.2) и подстановки их в (146.1) получим

Решение уравнения (146.3) зависит от знака коэффициента перед искомой вели­чиной. Рассмотрим случай, когда этот ко­эффициент положителен:

w 2 =w 2 ₀-d 2 (146.4)

(если (w 2 -d 2 )>0, то такое обозначение мы вправе сделать). Тогда получим урав­нение типа (142.1)

решением которого является функция и=А₀cos(wt+j)

Таким образом, решение уравнения (146.1) в случае малых затуханий (d 2 2 ₀)

— амплитуда затухающих колебаний,а

a₀— начальная амплитуда. Зависимость (146.5) показана на рис.208 сплошной линией, а зависимость (146.6) — штри­ховыми линиями. Промежуток времени t=1/d, в течение которого амплитуда за­тухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации.

Затухание нарушает периодичность колебаний, поэтому затухающие колеба­ния не являются периодическими и, строго говоря, к ним неприменимо понятие перио­да или частоты. Однако если затухание мало, то можно условно пользоваться по­нятием периода как промежутка времени между двумя последующими максимума­ми (или минимумами) колеблющейся фи­зической величины (рис. 208). Тогда пери­од затухающих колебаний с учетом формулы

Если A(t) и A(t+T)— амплитуды двух последовательных колебаний, соответству­ющих моментам времени, отличающимся на период, то отношение

называется декрементом затухания, а его

— логарифмическим декрементом затуха­ния;N_e — число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания — постоянная для данной колебательной системы величина.

Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротно­стиQ, которая при малых значениях лога­рифмического декремента равна

(так как затухание невелико (d 2 2 ₀), то Т принято равным Т₀).

Из формулы (146.8) следует, что до­бротность пропорциональна числу колеба­ний N_e, совершаемых системой за время релаксации.

Применим выводы, полученные для свободных затухающих колебаний линей­ных систем, для колебаний различной фи­зической природы — механических (в ка­честве примера рассмотрим пружинный маятник) и электромагнитных (в качестве примера рассмотрим электрический коле­бательный контур).

1. Свободные затухающие колебания пружинного маятника.Для пружинного маятника (см. § 142) массой т, совершаю­щего малые колебания под действием уп­ругой силы F=-kx, сила трения про­порциональна скорости, т. е.

где r — коэффициент сопротивления;знак минус указывает на противоположные на­правления силы трения и скорости.

При данных условиях закон движения маятника будет иметь вид

Используя формулу w₀=Ök/m (см. (142.2)) и принимая, что коэффици­ент затухания

получим идентичное уравнению (146.1) дифференциальное уравнение затухающих колебаний, маятника:

Из выражений (146.1) и (146.5) вытекает, что маятник колеблется по закону

х=A₀е — d t cos(wt+j) с частотой w=Ö(w 2 ₀-r2/4m 2 ) (см. (146.4)).

Добротность пружинного маятника,

согласно (146.8) и (146.10), Q=1/rÖkm.