Методические рекомендации для преподавателей математики и студентов средних специальных учебных заведений по теме «Дифференциальные уравнения»
Разделы: Математика
I. Обыкновенные дифференциальные уравнения
1.1. Основные понятия и определения
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x, искомую функцию y и её производные или дифференциалы.
Символически дифференциальное уравнение записывается так:
Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.
Решением дифференциального уравнения называется такая функция 
, которая обращает это уравнение в тождество.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение
1. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка
Решением этого уравнения является функция y = 5 ln x. Действительно, 
, подставляя y’ в уравнение, получим 
– тождество.
А это и значит, что функция y = 5 ln x– есть решение этого дифференциального уравнения.
2. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка y» — 5y’ +6y = 0. Функция 
– решение этого уравнения.
Действительно, 
.
Подставляя эти выражения в уравнение, получим: 
, 
– тождество.
А это и значит, что функция 
– есть решение этого дифференциального уравнения.
Интегрированием дифференциальных уравнений называется процесс нахождения решений дифференциальных уравнений.
Общим решением дифференциального уравнения называется функция вида 
,в которую входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.
Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего решения при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находится при определённых начальных значениях аргумента и функции.
График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
1.Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка
xdx + ydy = 0, если y = 4 при x = 3.
Решение. Интегрируя обе части уравнения, получим 
Замечание. Произвольную постоянную С, полученную в результате интегрирования, можно представлять в любой форме, удобной для дальнейших преобразований. В данном случае, с учётом канонического уравнения окружности произвольную постоянную С удобно представить в виде 
.
— общее решение дифференциального уравнения.
Частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 4 при x = 3 находится из общего подстановкой начальных условий в общее решение: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.
Подставляя С=5 в общее решение, получим x 2 +y 2 = 5 2 .
Это есть частное решение дифференциального уравнения, полученное из общего решения при заданных начальных условиях.
2. Найти общее решение дифференциального уравнения 
Решением этого уравнения является всякая функция вида 
, где С – произвольная постоянная. Действительно, подставляя в уравнения , получим: 
, 
.
Следовательно, данное дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, так как при различных значениях постоянной С равенство определяет различные решения уравнения 
.
Например, непосредственной подстановкой можно убедиться, что функции 
являются решениями уравнения 
.
Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y’ = f(x,y) удовлетворяющее начальному условию y(x0) = y0, называется задачей Коши.
Решение уравнения y’ = f(x,y), удовлетворяющее начальному условию, y(x0) = y0, называется решением задачи Коши.
Решение задачи Коши имеет простой геометрический смысл. Действительно, согласно данным определениям, решить задачу Коши y’ = f(x,y) при условии y(x0) = y0,, означает найти интегральную кривую уравнения y’ = f(x,y) которая проходит через заданную точку M0(x0,y0).
II. Дифференциальные уравнения первого порядка
2.1. Основные понятия
Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x,y,y’) = 0.
В дифференциальное уравнение первого порядка входит первая производная и не входят производные более высокого порядка.
Уравнение y’ = f(x,y) называется уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной.
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция вида 
, которая содержит одну произвольную постоянную.
Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка 
.
Решением этого уравнения является функция 
.
Действительно, заменив в данном уравнении, 
его значением, получим
то есть 3x=3x
Следовательно, функция является общим решением уравнения при любом постоянном С.
Найти частное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(1)=1 Подставляя начальные условия x = 1, y =1 в общее решение уравнения , получим 
откуда C = 0.
Таким образом, частное решение получим из общего подставив в это уравнение, полученное значение C = 0 
– частное решение.
2.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида: y’=f(x)g(y) или через дифференциалы 
, где f(x) и g(y)– заданные функции.
Для тех y, для которых 
, уравнение y’=f(x)g(y) равносильно уравнению, 
в котором переменная y присутствует лишь в левой части, а переменная x- лишь в правой части. Говорят, «в уравнении y’=f(x)g(y разделим переменные».
Уравнение вида называется уравнением с разделёнными переменными.
Проинтегрировав обе части уравнения по x, получим G(y) = F(x) + C– общее решение уравнения, где G(y) и F(x) – некоторые первообразные соответственно функций 
и f(x), C произвольная постоянная.
Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
- Производную функции переписать через её дифференциалы
- Разделить переменные.
- Проинтегрировать обе части равенства, найти общее решение.
- Если заданы начальные условия, найти частное решение.
Решить уравнение y’ = xy
Решение. Производную функции y’ заменим на 
разделим переменные 
проинтегрируем обе части равенства:
Ответ: 
Найти частное решение уравнения
Это—уравнение с разделенными переменными. Представим его в дифференциалах. Для этого перепишем данное уравнение в виде 
Отсюда 
Интегрируя обе части последнего равенства, найдем 
Подставив начальные значения x0 = 1, y0 = 3 найдем С 9=1-1+C, т.е. С = 9.
Следовательно, искомый частный интеграл будет 
или 
Составить уравнение кривой, проходящей через точку M(2;-3) и имеющей касательную с угловым коэффициентом 
Решение. Согласно условию 
Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные, получим: 
Проинтегрировав обе части уравнения, получим: 
Используя начальные условия, x = 2 и y = — 3 найдем C:
Следовательно, искомое уравнение имеет вид 
2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида y’ = f(x)y + g(x)
где f(x) и g(x) — некоторые заданные функции.
Если g(x)=0 то линейное дифференциальное уравнение называется однородным и имеет вид: y’ = f(x)y
Если 
то уравнение y’ = f(x)y + g(x) называется неоднородным.
Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y’ = f(x)y задается формулой: 
где С – произвольная постоянная.
В частности, если С =0, то решением является y = 0 Если линейное однородное уравнение имеет вид y’ = ky где k — некоторая постоянная, то его общее решение имеет вид: 
.
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y’ = f(x)y + g(x) задается формулой 
,
т.е. равно сумме общего решения соответствующего линейного однородного уравнения и частного решения 
данного уравнения.
Для линейного неоднородного уравнения вида 
y’ = kx + b,
где k и b— некоторые числа и 
частным решением будет являться постоянная функция 
. Поэтому общее решение имеет вид 
.
Пример. Решить уравнение y’ + 2y +3 = 0
Решение. Представим уравнение в виде y’ = -2y — 3 где k = -2, b= -3 Общее решение задается формулой .
Следовательно, 
где С – произвольная постоянная.
Ответ: 
2.4. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли
Нахождение общего решения линейного дифференциального уравнения первого порядка y’ = f(x)y + g(x) сводится к решению двух дифференциальных уравнений с разделенными переменными с помощью подстановки y=uv, где u и v — неизвестные функции от x. Этот метод решения называется методом Бернулли.
Алгоритм решения линейного дифференциального уравнения первого порядка
1. Ввести подстановку y=uv.
2. Продифференцировать это равенство y’ = u’v + uv’
3. Подставить y и y’ в данное уравнение: u’v + uv’ = f(x)uv + g(x) или u’v + uv’ + f(x)uv = g(x).
4. Сгруппировать члены уравнения так, чтобы u вынести за скобки: 
5. Из скобки, приравняв ее к нулю, найти функцию 
Это уравнение с разделяющимися переменными: 
Разделим переменные и получим: 
Откуда 
. 
.
6. Подставить полученное значение v в уравнение 
(из п.4):
и найти функцию 
Это уравнение с разделяющимися переменными: 
7. Записать общее решение в виде: 
, т.е. 
.
Найти частное решение уравнения y’ = -2y +3 = 0 если y =1 при x = 0
Решение. Решим его с помощью подстановки y=uv, .y’ = u’v + uv’
Подставляя y и y’ в данное уравнение, получим 
Сгруппировав второе и третье слагаемое левой части уравнения, вынесем общий множитель u за скобки
Выражение в скобках приравниваем к нулю и, решив полученное уравнение, найдем функцию v = v(x)
Получили уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части этого уравнения: 
Найдем функцию v: 
Подставим полученное значение v в уравнение 
Получим: 
Это уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части уравнения: 
Найдем функцию u = u(x,c) 
Найдем общее решение: 
Найдем частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 1 при x = 0: 
Ответ: 
III. Дифференциальные уравнения высших порядков
3.1. Основные понятия и определения
Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, содержащее производные не выше второго порядка. В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка записывается в виде: F(x,y,y’,y») = 0
Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция вида 
, в которую входят две произвольные постоянные C1 и C2.
Частным решением дифференциального уравнения второго порядка называется решение, полученное из общего при некоторых значениях произвольных постоянных C1 и C2.
3.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида y» + py’ +qy = 0, где pи q— постоянные величины.
Алгоритм решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
1. Записать дифференциальное уравнение в виде: y» + py’ +qy = 0.
2. Составить его характеристическое уравнение, обозначив y» через r 2 , y’ через r, yчерез 1: r 2 + pr +q = 0
3.Вычислить дискриминант D = p 2 -4q и найти корни характеристического уравнения; при этом если:
а) D > 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня 
. Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде 
, где C1 и C2 — произвольные постоянные.
б) D = 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет равные действительные корни 
. Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде 
Общее решение 
Дифференцируя общее решение, получим 
Составим систему из двух уравнений 
Подставим вместо 
,
и 
заданные начальные условия:
Таким образом, искомым частным решением является функция
.
2. Найти частное решение уравнения
| Раздел | Математика |
| Класс | — |
| Тип | Другие методич. материалы |
| Автор | Дорожкина Н.В. |
| Дата | 12.04.2015 |
| Формат | doc |
| Изображения | Есть |
Практическая работа № 5.
Тема: Решение дифференциальных уравнений I-го и II-го порядка.
Цель: Проверить на практике знание понятия дифференциального уравнения, виды дифференциальных уравнений, умение решать дифференциальные уравнения I и II -го порядков, находить общее и частное решение.
Обеспечение практической работы:
Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.
Практические задания по вариантам.
Теоретический материал и примеры решения дифференциальных уравнений.
1. Дифференциальное уравнение первого порядка, содержит:
1) независимую переменную 
;
2) зависимую переменную 
(функцию);
3) первую производную функции: 
.
Решить дифференциальное уравнение — это значит, найти множество функций 
, которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций называется общим решением дифференциального уравнения.
Решить дифференциальное уравнение 
.
В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции:
Переменные разделены. В левой части — только «игреки», в правой части — только «иксы».
Следующий этап — интегрирование дифференциального уравнения. Интегрируем обе части:
Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения. То есть, — это общий интеграл.
Вместо записи обычно пишут 
.
В данном случае:
Функция представлена в явном виде. Это и есть общее решение.
Множество функций 
является общим решением дифференциального уравнения .
Придавая константе 
различные значения, можно получить бесконечно много частных решений дифференциального уравнения.
Найти частное решение дифференциального уравнения 
, удовлетворяющее начальному условию 
По условию требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию. Такая постановка вопроса также называется задачей Коши.
Сначала находим общее решение.
Интегрируем уравнение:
Итак, общее решение: 
. На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию .
Необходимо подобрать такое значение константы , чтобы выполнялось заданное начальное условие .
В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» двойку:
В общее решение 
подставляем найденное значение константы 
:
— это и есть нужное нам частное решение.
Решить дифференциальное уравнение 
Решение: Переписываем производную в нужном нам виде:
Переносим второе слагаемое в правую часть со сменой знака:
Переменные разделены, интегрируем обе части:
Решение распишу очень подробно:
Ответ: общий интеграл: 
Примечание: общий интеграл любого уравнения можно записать не единственным способом. Таким образом, если у вас не совпал результат с заранее известным ответом, то это еще не значит, что вы неправильно решили уравнение.
Найти частное решение дифференциального уравнения 
, удовлетворяющее начальному условию 
. Выполнить проверку.
Решение: Сначала найдем общее решение. Данное уравнение уже содержит готовые дифференциалы 
и 
, а значит, решение упрощается. Разделяем переменные:
Интегрируем уравнение:
общее решение:
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию
Подставляем найденное значение константы 
в общее решение.
Ответ: частное решение: 
2.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами
В теории и практике различают два типа таких уравнений — однородное уравнение и неоднородное уравнение.
Однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет следующий вид:
, где 
и 
— константы (числа), а в правой части — строго ноль.
Неоднородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
, где и — константы, а 
— функция, зависящая только от «икс». В простейшем случае функция может быть числом, отличным от нуля.
Какая мысль приходит в голову после беглого взгляда? Неоднородное уравнение кажется сложнее. На этот раз первое впечатление не подводит!
Кроме того, чтобы научиться решать неоднородные уравнения необходимо уметь решать однородные уравнения. По этой причине сначала рассмотрим алгоритм решения линейного однородного уравнения второго порядка:
Для того чтобы решить данное ДУ, нужно составить так называемое характеристическое уравнение:
По какому принципу составлено характеристическое уравнение, отчётливо видно:
вместо второй производной записываем 
;
вместо первой производной записываем просто «лямбду»;
вместо функции ничего не записываем.
— это обычное квадратное уравнение, которое предстоит решить.
Существуют три варианта развития событий.
Они доказаны в курсе математического анализа, и на практике мы будет использовать готовые формулы.
Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня
Если характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня 
, 
(т.е., если дискриминант 
), то общее решение однородного уравнения выглядит так:
, где 
— константы.
В случае если один из корней равен нулю, решение очевидным образом упрощается; пусть, например, 
, тогда общее решение: 
Решить дифференциальное уравнение 
Решение: составим и решим характеристическое уравнение:
, 
Ответ: общее решение: 
Характеристическое уравнение имеет два кратных действительных корня
Если характеристическое уравнение имеет два кратных (совпавших) действительных корня 
(дискриминант 
), то общее решение однородного уравнения принимает вид:
, где — константы.
Вместо в формуле можно было нарисовать , корни всё равно одинаковы.
Если оба корня равны нулю 
, то общее решение опять же упрощается: 
. Кстати, 
является общим решением того самого примитивного уравнения 
, о котором я упоминал в начале урока. Почему? Составим характеристическое уравнение: 
— действительно, данное уравнение как раз и имеет совпавшие нулевые корни .
Решить дифференциальное уравнение 
Решение: составим и решим характеристическое уравнение:
Здесь можно вычислить дискриминант, получить ноль и найти кратные корни. Но можно невозбранно применить известную школьную формулу сокращенного умножения:
Получены два кратных действительных корня 
Ответ: общее решение: 
Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни
Если характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни 
, 
(дискриминант 
), то общее решение однородного уравнения принимает вид:
, где — константы.
Примечание: Сопряженные комплексные корни почти всегда записывают кратко следующим образом: 
Если получаются чисто мнимые сопряженные комплексные корни: 
, то общее решение упрощается:
Решить однородное дифференциальное уравнение второго порядка
Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:
— получены сопряженные комплексные корни
Ответ: общее решение: 
Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям 
, 
Решение: составим и решим характеристическое уравнение:
, 
Получены два различных действительных корня, поэтому общее решение:
Алгоритм нахождения частного решения следующий:
Сначала используем начальное условие :
Согласно начальному условию, получаем первое уравнение: 
или просто 
Далее берём наше общее решение 
и находим производную:
Используем второе начальное условие :
Согласно второму начальному условию, получаем второе уравнение: 
или просто 
Составим и решим систему из двух найденных уравнений:
Подставим найденные значения констант 
в общее решение :
Ответ: частное решение: 
Практическое задание:
Вариант 1
1. Найти общее решение дифференциального уравнения к разделяющимися переменными.
2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.
4. Найти общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка.
5. Найти частное решение дифференциального уравнения 2-го порядка.
1. Найти общее решение дифференциального уравнения c разделяющимися переменными.
2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.
4. Найти общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка.
5. Найти частное решение дифференциального уравнения 2-го порядка.
1. Найти общее решение дифференциального уравнения c разделяющимися переменными.
2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.
4. Найти общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка.
5. Найти частное решение дифференциального уравнения 2-го порядка.
1. Найти общее решение дифференциального уравнения c разделяющимися переменными.
2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.
4. Найти общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка.
5. Найти частное решение дифференциального уравнения 2-го порядка.
1. Найти общее решение дифференциального уравнения к разделяющимися переменными.
2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.
4. Найти общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка.
5. Найти частное решение дифференциального уравнения 2-го порядка.
1. Найти общее решение дифференциального уравнения к разделяющимися переменными.
2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.
4. Найти общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка.
5. Найти частное решение дифференциального уравнения 2-го порядка.
Критерии оценки практической работы обучающихся
работа выполнена полностью;
в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;
в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).
работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);
допущена одна ошибка или два-три недочета в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом проверки).
Оценка «3» ставится, если:
допущены более одной ошибки или более двух-трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.
Оценка «2» ставится, если:
допущены существенные ошибки, показавшие, что учащийся не владеет
обязательными умениями по данной теме в полной мере
Оценка «1» ставится, если:
работа показала полное отсутствие у учащегося обязательных знаний и умений по проверяемой теме или значительная часть работы выполнена не самостоятельно.
http://for-teacher.ru/edu/matematika/doc-nvyrc9t.html