Практическая работа решение тригонометрических уравнений 10 класс

Семинар-практикум в 10-м классе по теме «Решение тригонометрических уравнений»

Разделы: Математика

Цель:

• обобщение и систематизация знаний по теме «Решение тригонометрических уравнений»;
• воспитание у учащихся умения работать в группе, отстаивать своё мнение, формирование интереса к математике;
• индивидуальный подход к учащимся, включение каждого в осознанную учебную деятельность, формирование навыка самообучения и самоорганизации.

К этому семинару — практикуму учащиеся готовятся заранее. Они с помощью учителя делятся на группы, каждая из которых получает индивидуальное задание, которое заключается в использовании одного из методов решения тригонометрических уравнений.

Обучающиеся представляют метод решения тригонометрических уравнений, демонстрируя его на конкретных примерах.

Ход урока

1. Разминка

Записаны шесть формул. Определите, какие из них записаны неверно.

1. sin 2 x + cos 2 x = 1

2. cos x = а, x = arccos a + 2n, n z

3. sin2x = 2sin x * cos x

4. tg x = a, x = arctg a + 2n, n z

5. cos x = sin 2 x — cos 2 x

6. sin x = a, x = arcsin a + 2n, n z

Параллельно с неправильными формулами на доске после ответа учащиеся записывают правильные.

2. Реши уравнения и из букв, соответствующих правильным ответам составь фамилию известного математика.

1. sin x = 0.

x = n, n z — Д

x = 2n, n z — В

x = (-1) n /2 + n, n z — Г

2. cos x = 0.

x = /2 + n, n z — Е

x = 2n, n z — С

x = (-1) n /2 + 2n, n z — М

3. tg x = v3.

x = /6 + n, n z — Л

x = /8 + n, n z -У

x = /3 + n, n z — К

4. tg x = 1.

x = /2 + n, n z — Ф

x = /4 + n, n z — А

x = + /4 + 2n, n z -Б

5. sin x = v3/2.

X= /3 + n, n z — З

x = /3 + 2n, n z — Х

x = (-1) n /3 + n, n z — Р

6. ctg x = 0.

x = /3 + n, n z — Ц

x = /2 + n, n z — Т

x = + /3 + 2n, n z -Ю

Получилось слово ДЕКАРТ — фамилия известного математика.

3. Сообщение ученика.

РЕНЕ ДЕКАРТ добровольцем вступил в армию, сражавшуюся против испанцев. Но, как говорят историки, ему вряд ли довелось «понюхать пороху» и участвовать в сражениях. Декарт больше интересовался вопросами науки, чем войной. Развлекаясь, молодые офицеры писали на городских стенах всевозможные трудные загадки, предлагая прохожим их решать. Декарт был горячим участником всех затей и вскоре познакомился с местными учеными:.

4. Основной этап — представление группами метода решения тригонометрических уравнений.

I группа представляет тригонометрические уравнения:

• с усложнённым (линейным) аргументом (1-3);
• с исключением из одной серии корней уравнения другую — постороннюю (4-6);
• с объединением двух серий корней и записи их в виде одной серии (7);
• с серией ответов, содержащихся в другой, и выбор в этом случае для записи правильного ответа нужной серии (8).

II группа представляет тригонометрические уравнения, решаемые методом сведения его к квадратному.

III группа представляет тригонометрические уравнения, решаемые методом разложения на множители.

IV группа представляет тригонометрические уравнения, решаемые методом разложения на множители.

V группа представляет тригонометрические уравнения, решаемые методом введения вспомогательного аргумента.

5. Самостоятельная работа (решение тригонометрических уравнений, самостоятельно выбирая метод ).

Домашнее задание: подготовиться к контрольной работе, решив предложенные уравнения.

методический материал «Система заданий по теме решние тригонометрических уравнений», 10 класс
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

Дидактический материал «Система заданий по теме «решение тригонометрических уравнений» составлен по 3-м урвням.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тригонометрия традиционно является одной из важнейших составных частей курса элементарной математики. Она представляет собой раздел математики, посвященный изучению особого класса функций, называемых тригонометрическими.

Основной моделью, позволяющей наглядно проиллюстрировать понятие тригонометрической функции, является единичная окружность на плоскости с фиксированной системой координат, начало которой совпадает с центром окружности. Она же представляет некий инструмент для решения простейших тригонометрических уравнений, неравенств и их систем. С помощью единичной окружности можно корректно записать ответ при решении тригонометрических уравнений, неравенств и их систем, учтя область определения уравнения (неравенства), а также исключив повторяющиеся решения. Так, если в результате решения уравнения мы получим две серии решений: x=π4k,k∈Ζ,

x=πn,n∈Ζ, то легко видеть, что числа x=πn,n∈Ζ, содержатся среди множества чисел x=π4k,k∈Ζ. Поэтому ответом будет x=π4k,k∈Ζ.

Единичная окружность позволяет проанализировать тригонометрические формулы, сравнив области определений функций, стоящих в левой и правой частях каждой из них, и выделить «опасные формулы». Назовем формулу «опасной», если области определений функций, стоящих в левой и правой ее частях, не совпадают. Бездумное применение такими формулами может привести к потере корней (или приобретению посторонних корней) уравнения.

Рассмотрим, например, формулу: tg 2 x = 2tgx1-tg2x. Найдем область определения функции у = tg 2 x : 2x≠π2+πk,k∈Ζ. Отметим точки, соответствующие недопустимым значениям х , на единичной окружности (рис 1).

1. Область определения функции у=2tgx1-tg2x : tg 2 x ≠ 0, x≠π4+π2m,m∈Z,

Решим уравнение ctg x + tg 2 x = 0 (1). В лучшем случае ученик решает так: ОЗД x≠πn,n∈Z,

x≠π4+π2k,k∈Z. Переходим к уравнению (2): 1tgx+2tgx1-tg2x=0.

Далее: 1-tg2x+2tg2x1-tg2x∙tgx=0; 1+ tg 2 x = 0. Ответ: действительных корней нет.

Да, действительно, действительных корней у уравнения (2) нет, но не у данного уравнения (1). Легко видеть, что числа вида x=π2+πk,k∈Z , удовлетворяют уравнению (1). Дело в том, что при замене tg 2 x выражением 2tgx1-tg2x происходит сужение области определения функции у = tg 2 x на множество π2+πk,k∈Z .

Пользоваться «опасными» формулами, конечно, можно, но каждый раз следить за изменением области допустимых значений уравнения (неравенства) при этом.

Учащиеся нередко сталкиваются и с такой проблемой, когда полученный ими ответ при решении тригонометрического уравнения не совпадает с ответом учебника или других учеников класса.

Кто прав в этой ситуации? И здесь нам поможет единичная окружность.

В качестве примера рассмотрим различные способы записи чисел, соответствующих точкам А, В, С окружности (рис. 4) B

1) x=π3+2π3k,k∈Z 5) x=π+2πn,n∈Z x

2) x = π+2 π l , l ∈Z x=π3+2πm,m∈Z C

x=±π3+2πm,m∈Z x=- π3+2πr,r∈Z Рис.4

3) x=-π3+2π3t,t∈Z 6) x=-π+2πn,n∈Z 4) x= π+2π3r,r∈Z x=±π3+2πm,m∈Z

Можно спорить, какой из перечисленных способов лучше, но ясно одно, что все они правильно указывают числа, соответствующие трем заданным точкам единичной окружности.

Опыт показывает, что учащиеся часто пренебрегают единичной окружностью, делая упор на заучивание формул для решения простейших тригонометрических уравнений, а потому решают фактически вслепую. В результате допускают ошибки.

Непреодолимым барьером для значительной части учащихся являются задачи с параметром, в том числе тригонометрические уравнения и их системы с параметром. При решении просто необходимо использовать не только единичную окружность, но и координатную прямую.

ТАБЛИЦА «ОПАСНЫХ» ФОРМУЛ.

Известны различные типы и методы решения тригонометрических уравнений: простейшие; решаемые разложением левой части на множители; приводимые к одной функции одного аргумента; однородные относительно sin x , cos x ; решаемые введением вспомогательного аргумента; используя свойство ограниченности выражения А sin x +В cos x и т.д. При решении любого уравнения я рекомендую учащимся использовать единичную окружность, а при необходимости и координатную прямую. Найдя область допустимых значений уравнения, желательно исключить на единичной окружности те точки (если такие есть), числа соответствующие которым не могут являться корнями данного уравнения. Затем надо постараться привести данное уравнение к одному или нескольким простейшим уравнениям. Решение полученных уравнений отметить на единичной окружности соответствующими точками. Окончательный ответ записывается наиболее рационально.

Особенно важно применение единичной окружности при решении уравнений:

1. с переменной в знаменателе;
2. содержащих функции тангенс и котангенс;
3. корни которых должны удовлетворять определенным условиям;
4. методом оценок.

Но при решении других типов не стоит игнорировать окружность, т.к. на заключительном этапе она поможет при отборе корней, при записи ответа. Решая уравнение, необходимо следить за изменением области допустимых значений уравнения. Она может меняться в результате тождественных преобразований, возведении обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, при применении тригонометрических тождеств и т.д. При применении одних тригонометрических тождеств область допустимых значений уравнения может остаться неизменной, а при других – может расшириться или сузиться. Использование предлагаемой таблицы «опасных» формул, на мой взгляд, может помочь решить вопрос о потере или приобретении посторонних корней при применении различных тригонометрических тождеств.

Область допустимых значений левой части тождества

Область допустимых значений правой части тождества

Практические задания по теме «Тригонометрические уравнения»

Данная практическая работа может быть использована для проверки или отработки навыков умения решать простейшие тригонометрические уравнения.

Целевая аудитория: для 10 класса

Автор: Мурзагалиева Акмоншак Хасеновна
Место работы: МБОУ СОШ с.Камышки
Добавил: grafika2010

Физкультминутки обеспечивают кратковременный отдых детей на уроке, а также способствуют переключению внимания с одного вида деятельности на другой.

Уважаемые коллеги! Добавьте свою презентацию на Учительский портал и получите бесплатное свидетельство о публикации методического материала в международном СМИ.

Диплом и справка о публикации каждому участнику!

© 2007 — 2022 Сообщество учителей-предметников «Учительский портал»
Свидетельство о регистрации СМИ: Эл № ФС77-64383 выдано 31.12.2015 г. Роскомнадзором.
Территория распространения: Российская Федерация, зарубежные страны.
Учредитель: Никитенко Евгений Игоревич

Сайт является информационным посредником и предоставляет возможность пользователям размещать свои материалы на его страницах.
Публикуя материалы на сайте, пользователи берут на себя всю ответственность за содержание материалов и разрешение любых спорных вопросов с третьими лицами.
При этом администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта.
Если вы обнаружили, что на сайте незаконно используются материалы, сообщите администратору через форму обратной связи — материалы будут удалены.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы пользователями сайта и представлены исключительно в ознакомительных целях. Использование материалов сайта возможно только с разрешения администрации портала.

Фотографии предоставлены