Практическая работа решение уравнений 10 класс

Практические работы по алгебре и началам анализа (10–11-е классы)

Разделы: Математика

В настоящее время каждый учитель математики ставит перед собой задачу не только сообщить школьникам определенную сумму знаний, наполнить их память некоторым набором фактов и теорем, но и научить учащихся думать, развить их мысль, творческую инициативу, самостоятельность.

Изучению функций и их свойств посвящена значительная часть курса алгебры. И это не случайно. Умения, приобретаемые школьниками при изучении функций, имеют прикладной и практический характер. Они широко используются при изучении, как курса математики, так и других школьных предметов — физики, химии, географии, биологии, находят широкое применение в практической деятельности человека. От того, как усвоены учащимися соответствующие умения, зависит успешность усвоения многих разделов школьного курса математики. Анализ теоретического и задачного материала позволяет выделить две группы умений, за формированием которых следует тщательно следить при изучении всех видов конкретных функций,— умения работать с формулой, задающей функцию, и умения работать с графиком этой функции. Важнейшее значение в функциональной подготовке учащихся – имеет формирование графических умений.

График — это средство наглядности, широко используемое при изучении многих вопросов в школе. График функции выступает основным опорным образом при формировании целого ряда понятий — возрастания и убывания функции, четности и нечетности, обратимости функции, понятия экстремума. Без четких и сознательных представлений учащихся о графике невозможно привлечение геометрической наглядности при формировании таких центральных понятий курса алгебры и начал анализа, как непрерывность, производная, интеграл. У учащихся должны быть выработаны прочные умения как в построении, так и в чтении графиков функций.

Необходимой базой последующего применения функционального материала являются прочные самостоятельные умения учащихся в чтении графиков функций. Они должны уметь уверенно и свободно отвечать с помощью графика на целый ряд вопросов:

• по заданному значению одной из переменных х или у определить значение другой;
• определять промежутки возрастания и убывания функции;
• определять промежутки знакопостоянства;
• указывать значение аргумента, при котором функция принимает наибольшее (наименьшее) значение, а также определять это значение.

Учащиеся должны применять графики изученных перечисленных выше функций для графического решения уравнений, систем уравнений, неравенств.

Сформировать прочные умения в построении и чтении графиков функций, добиться, чтобы каждый ученик мог выполнять основные виды заданий самостоятельно, можно только при условии выполнения учащимися достаточного числа тренировочных упражнений.

Данный материал позволяет вспомнить графики элементарных функций школьного курса выпускникам при подготовке к экзаменам или использоваться при объяснении данной темы. Наглядно показаны приёмы преобразования графиков.

Реализация преемственности в обучении заключается в установлении необходимых связей и правильных соотношений между частями учебного предмета на разных ступенях его изучения. Прочный фундамент для изучения математики закладывается в курсе алгебры и геометрии основной школы. От того, какие знания получат учащиеся в основной школе, какие умения и навыки у них будут вырабатываться, зависит успех изучения курса математики в старших классах, а следовательно, и сознательное применение полученных знаний в решении конкретных задач. Этот вопрос является сложной педагогической задачей, его решение, как показывает опыт, необходимо рассматривать и через совершенствование всего процесса обучения, и через стабилизацию содержания курса математики, и через ориентацию преподавания по линии прикладной направленности курса математики, и, в частности, через совершенствование преемственных связей поэтапного изучения математики.

Изучению функций и их свойств посвящена значительная часть курса алгебры основной школы. И это не случайно. Понятие функции имеет огромное прикладное значение. Многие из физических, химических, биологических процессов, без которых немыслима жизнь, являются функциями времени. Экономические процессы также представляют собой функциональные зависимости. Функции играют важную роль в программировании и криптографии, в проектировании различных механизмов, в страховании, в расчётах на прочность и т.д.

В курсе алгебры и начале математического анализа в 10-11 классах предусматривается дальнейшее изучение элементарных функций и их свойств. Формирование функциональных представлений является основным стержнем программы и учебных пособий для этих классов.

Практические работы учащихся по алгебре – разновидность их творческой деятельности. Они позволяют осознанно изучить вводимые понятия и утверждения, лучше их запомнить, включают в процесс все виды памяти и способствуют повышению интереса к предмету.

1. Показательная функция. ПРИЛОЖЕНИЕ 1
2. Логарифмическая функция. ПРИЛОЖЕНИЕ 2
3. Тригонометрические функции. ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Содержание практических работ.

Программы общеобразовательных учреждений. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Сост. Бурмистрова Т.А.

М.: Просвещение, 2009. – 159 с

Алгебра и начала анализа.

Учебник для 10-11 классов. Алимов А.Ш, Колягин Ю.М. и др.

15-е изд. – М.: Просвещение, 2007. – 384 с.

Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений.

Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. Крамор В.С.

М.: Просвещение, 1990.—416с

Наглядный справочник по алгебре и началам анализа для 7-11 кл. Генденштейн Л.Э., Ершова А.П., Ершова А.С.

М.: 1997. – 96с.

Диск, используемый для построения графиков функций

Решение нестандартных уравнений 10-11 класс
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

Этот элективный курс можно использовать для подготовки к ЕГЭ.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное образовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №5 г. Михайловки»

Способы решения нестандартных уравнений

Программа элективного курса по математике для профильной подготовки

Авторы: Соломатина Татьяна Александровна,

учитель математики I категории,

Воронина Наталья Владимировна,

учитель математики I категории

Элективный курс «Способы решения нестандартных уравнений» разработан для обеспечения старшеклассников занятиями по выбору из вариативного компонента базисного учебного плана в старшей профильной школе. Предлагаемый элективный курс позволяет осуществлять задачи профильной подготовки старшеклассников. Курс рассчитан на 34 часа и ориентирован на учащихся 10-11 классов.

Данный элективный курс направлен, прежде всего, на удовлетворение индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника в математике, способствует удовлетворению познавательных потребностей школьников в методах и приемах решения нестандартных задач. Содержание курса углубляет линию уравнений в школьном курсе математике и не дублирует программу базового и профильного изучения алгебры и начал анализа. Именно поэтому при изучении данного элективного курса у старшеклассников повысится возможность намного полнее удовлетворить свои интересы и запросы в математическом образовании. Этот курс займет значимое место в образовании старшеклассников, так как может научить их применять свои знания в нестандартных ситуациях, дать возможность поучиться не для аттестата, а для реализации дальнейших жизненных планов. С другой стороны, курс позволяет выпускнику средней школы приобрести необходимый набор умений по решению уравнений и лучше подготовиться к обучению в высших учебных заведениях, где математика является профилирующим предметом.

Целесообразность введения данного курса состоит в том, что содержание курса, форма его организации помогут школьнику через практические занятия оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы и предоставят ему возможность работать на уровне повышенных возможностей. Данный элективный курс позитивно влияет на мотивацию старшеклассника к учению, развивает его учебную мотивацию по предметам естественно-математического цикла.

Задания, предлагаемые программой данного курса, носят исследовательский характер и способствуют развитию навыков рационального мышления, способности прогнозирования результатов деятельности.

Материал курса разбит на 8 модулей, каждый из которых посвящен специальному виду нестандартных уравнений. Каждый из модулей имеет законченный вид, что позволяет старшекласснику, который ошибочно выбрал курс, пойти в следующей четверти или полугодии на занятия по изучению другого элективного курса.

Углубление знаний учащихся о различных методах решения уравнений и базовых математических понятий, используемых при обосновании того или иного метода решения; формирование у школьников компетенций, направленных на выработку навыков самостоятельной и групповой исследовательской деятельности.

• классификация способов решения нестандартных уравнений, углубление теоретических основ школьной математики для решения каждого вида уравнений.
• интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для полноценной жизни в обществе. Развитие мыслительных способностей учащихся: умение анализировать, сопоставлять, сравнивать, систематизировать и обобщать.
• воспитание личности в процессе освоения математики и математической деятельности, развитие у учащихся самостоятельности и способности к самореализации.

Формы учебных занятий

Лекции, семинары, практикум.

Основой проведения занятий может служить технология деятельностного метода, которая обеспечивает системное включение ребенка в процесс самостоятельного построения им нового знания и позволяет учителю проводить разноуровневое обучение. Занятия должны носить проблемный характер. Ученики самостоятельно, в микрогруппах, в сотрудничестве с учителем выполняют задания, предполагающие исследовательскую деятельность, на занятиях организуется обсуждение результатов этой работы.

Оперативную коррекцию в овладении учебной деятельностью можно провести на уроках-практикумах. Урок-практикум – это своеобразная самостоятельная работа, вариант, объем заданий учащиеся выбирают сами, исходя из уровня усвоения материала, мотивации развития норм оценок. Каждому ученику предоставляется право проверить правильность решения каждого задания, получить консультацию учителя. Учитель выступает как субъект педагогической деятельности, помощник, а не контролер. Ученик управляет своей деятельностью, своим развитием, формируя качества субъекта учения и самовоспитания.

Требования к уровню освоения курса

В результате изучения курса учащиеся должны овладеть следующими знаниями, умениями и способами деятельности:

• иметь представление о математике как форме описания и методе познания действительности;
• уметь анализировать, сопоставлять, сравнивать, систематизировать и обобщать;
• уметь самостоятельно работать с методической литературой;
• знать основные приемы решения нестандартных уравнений, понимать теоретические основы способов решения уравнений;
• уметь решать нестандартные уравнения различными методами;
• уметь представлять результат своей деятельности, участвовать в дискуссиях;
• уметь проводить самоанализ деятельности и самооценку ее результата.

Смысл профильного курса заключается в предоставлении каждому ученику индивидуальной зоны потенциального развития, поэтому нельзя требовать от каждого ученика твердого усвоения каждого нестандартного приема. Специальный зачет или экзамен по курсу не предусмотрен, но предлагаются некоторые варианты выполнения учениками зачетных заданий:

1. Решение учеником в качестве индивидуального домашнего задания предложенных учителем задач из того списка, что завершает каждый модуль и называется «Упражнения для самостоятельной работы», т.к. осознание и присвоение учащимися достигаемых результатов происходит с помощью рефлексивных знаний. Подбор индивидуальных заданий осуществляется с учетом уровневой дифференциации, причем выбор делают сами ученики, оценивая свои возможности и планируя перспективы развития.
2. Решение группой учащихся в качестве домашнего задания предложенных учителем задач из того же раздела. Работа в группе способствует проявлению интереса к учению как к деятельности.
3. Учащимся, ориентированным на выполнение заданий более высокого уровня сложности, предлагается:

• Самостоятельное изучение некоторых вопросов курса с последующей презентацией.
• Самостоятельное решение предложенных задач с последующим разбором вариантов решений.
• Самостоятельное построение метода, позволяющего решить предложенную задачу.
• Самостоятельный подбор задач на изучаемую тему курса из дополнительной методической литературы.

Итоговое занятие предлагается провести в форме круглого стола с презентациями каждого модуля курса.

Методические рекомендации к практической работе по математике на тему «Решение уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Практическое занятие №20

Тема: Основные приемы решения уравнений.

Цель: формирование умения применять различные методы решения иррациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений.

Норма времени: (1час)

1.Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными. Основной метод решения иррациональных уравнений – возведение обеих частей уравнения в степень. При решении иррациональных уравнений, полученные корни требую проверки.

Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня. К простейшим иррациональным уравнениям относятся уравнения вида:

Метод решения иррационального уравнения состоит в сведении его к рациональному алгебраическому уравнению, которое либо равносильно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием.

Главный способ избавиться от корня и получить рациональное уравнение – возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень, которую имеет корень, содержащий неизвестное, и последующее «освобождение» от радикалов по формуле .

Если обе части иррационального уравнения возвести в одну и ту же степень и освободиться от радикалов, то получится уравнение, равносильное исходному.

Пример 1 . Решить уравнение .

Возведем обе части этого уравнения в квадрат

откуда следует, что .

: ⇔ . Это неверное числовое равенство, значит, число не является корнем данного уравнения.

: ⇔ . Это верное числовое равенство, значит, число является корнем данного уравнения.

2.Показательные уравнения – это уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Для решения показательных уравнений и необходимо, в первую очередь, пользоваться свойствами показательной функции.

Методы решения показательных уравнений:

Сведение обеих частей уравнения к одному основанию.

Вынесение за скобки общего множителя.

Замена переменной (приведение показательного уравнения к квадратному).

Пример 2 . Решите уравнение 3 5 x +2 =81 x  1 .

Решение . Данное уравнение равносильно уравнению

3 5 x +2 =3 4 x  4  5 x +2=4 x  4  x =  6.

3.Логарифмические уравнения – это уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма.

Решение большинства логарифмических уравнений после некоторых преобразований сводится к решению логарифмического уравнения вида log _{h ( x )} f ( x ) = log _{h ( x )} g ( x ) или совокупности таких уравнений. Приведем соответствующее равносильное преобразование:

Второе неравенство системы можно заменить неравенством g ( x ) > 0 (какое из двух неравенств выбрать, зависит от того, какая из функций

f ( x ) или g ( x ) имеет более простой вид).

Методы решения логарифмических уравнений:

Используя определение логарифма.

Необходимо помнить, что переход от уравнения log _a f ( x )= log _a g ( x ) к уравнению f ( x )= g ( x ) может привести к появлению посторонних корней. Выявить эти корни можно либо с помощью нахождения области определения исходного уравнения, которая задается системой неравенств, либо с помощью подстановки их в исходное уравнение.

Пример 3 . Решите уравнение

Решение . Данное уравнение равносильно уравнению

1). Простейшие тригонометрические уравнения (вида f(x) = a ) .

Решение более сложных тригонометрических уравнений требует знания формул, выражающих свойства тригонометрических функций.

2). Способ замены .

Этот способ следует применять в том случае, когда после преобразований получаем некое алгебраическое уравнения относительно тригонометрической функции.

Уравнение вида a (sin x + cos x ) + b sin 2 x = c решаем, используя замену sin x + cos x = t . Тогда 1 + sin 2 x = t 2 , а уравнение после замены приобретает вид:

Пример 4 . Решите уравнение

3). Разложение на множители.

Некоторые уравнения можно преобразовать так, что слева будет произведение, а справа — ноль. После чего необходимо каждый множитель приравнять к нулю и найти всевозможные корни уравнения.

4). Однородные тригонометрические уравнения вида

Для его решения необходимо поделить уравнение на (sin x ) n ≠ 0

(т.к. sin x , cos x одновременно не равны 0). После чего вводим замену ctg x = z и получаем алгебраическое уравнение

Пример 5 . Решите уравнение

Выполните индивидуальные задания

Решите показательные уравнения:

2 3х ۰ 3 х = 576

5 х — 2· 5 х-2 = 23

4 2 x +1 +3·4 2 x  1  5·4 2 x =  64

36 х -4· 6 х -12 = 0

Решите логарифмические уравнения:

Решите тригонометрические уравнения:

sin 2 х — 4 sin х + 3 = 0

cos 2 х + 5 cos х — 6=0

sin 2 х + 3 sin х + 2 = 0

2 cos 2 х + 5 cos х + 3 = 0

1.Дайте определение и ррационального уравнения.

2.Какой основной способ решения и ррациональных уравнений?

3. Какие уравнения называются показательными? Назовите методы их решения.

4.Перечислите методы решения логарифмических уравнений.

Краткое описание документа:

Тема: Основные приемы решения уравнений.

Приведены примеры и задания по решению иррациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений.

Методические указания.

1.Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными. Основной метод решения иррациональных уравнений – возведение обеих частей уравнения в степень. При решении иррациональных уравнений, полученные корни требую проверки.

Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня. К простейшим иррациональным уравнениям относятся уравнения вида:

Метод решения иррационального уравнения состоит в сведении его к рациональному алгебраическому уравнению, которое либо равносильно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием.

Главный способ избавиться от корня и получить рациональное уравнение – возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень, которую имеет корень, содержащий неизвестное, и последующее «освобождение» от радикалов по формуле .

Если обе части иррационального уравнения возвести в одну и ту же степень и освободиться от радикалов, то получится уравнение, равносильное исходному.

2.Показательные уравнения – это уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Для решения показательных уравнений и необходимо, в первую очередь, пользоваться свойствами показательной функции.

Методы решения показательных уравнений:

• Сведение обеих частей уравнения к одному основанию.
• Вынесение за скобки общего множителя.
• Замена переменной (приведение показательного уравнения к квадратному).
• 3.Логарифмические уравнения – это уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма.

Решение большинства логарифмических уравнений после некоторых преобразований сводится к решению логарифмического уравнения вида log_h(x)f(x) = log_h(x)g(x) или совокупности таких уравнений. Приведем соответствующее равносильное преобразование: