Практическая работа решение уравнений методом крамера

Практическая работа № 7 по учебной дисциплине ЕН.01 Математика
учебно-методический материал на тему

Практическая работа № 7 Решение систем линейных алгебраических уравнений

задания к работе

1 Методом Крамера найти решение системы линейных алгебраических уравнений.

2. Установить, что система уравнений имеет единственное решение, и найти его с помощью обратной матрицы.

3. Методом Гаусса (или методом исключения неизвестных) найти решение системы линейных алгебраических уравнений.

4. Найти общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений.

В работе имеется Образец решения варианта.

Скачать:

Вложение	Размер
prakticheskaya_rabota_7_sistemy_lineynykh_algebraicheskikh_uravneniy.doc	443.5 КБ

Предварительный просмотр:

Практическая работа № 7

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Задание к работе

1. Методом Крамера найти решение системы линейных алгебраических уравнений.

2. Установить, что система уравнений имеет единственное решение, и найти его с помощью обратной матрицы.

4. Найти общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений.

Образец решения варианта.

1. Методом Крамера найти решение системы линейных алгебраических уравнений

Решение системы находим по формулам Крамера

Вычислим определитель системы

Последовательно заменив в , первый, второй и третий столбцы столбцом свободных членов, получим соответственно

2. Дана система из трех уравнений с тремя неизвестными. Установить, что система уравнений имеет единственное решение и найти его с помощью обратной матрицы

Если определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение (теорема Крамера).

Вычислим определитель данной системы :

следовательно, система имеет единственное решение.

Данную систему можно записать в матричной форме :

, где , , .

Так как , то для матрицы существует обратная матрица . Умножив матричное уравнение слева на , получим , откуда , или .

Найдем обратную матрицу по формуле

где алгебраическое дополнение элемента .

3. Методом Гаусса (или методом исключения неизвестных) найти решение системы линейных алгебраических уравнений

Выпишем расширенную матрицу данной системы и приведем ее к ступенчатому виду

Последовательно умножим первую строку на (–2) и прибавим ее ко второй строке, затем умножим на (–3) и прибавим к третьей строке, умножим на (–2) и прибавим к четвертой строке, получим

Ко второй строке полученной матрицы прибавим третью строку, умноженную на , затем во вновь полученной матрице умножим третью строку на , четвертую – на (–1), затем последовательно умножим вторую строку на 2 и прибавим ее к третьей строке, умножим на 7 и прибавим к четвертой строке, получим

Третью строку полученной матрицы умножим на , четвертую – на , затем третью строку умножим на (–1) и прибавим к четвертой строке, получим

Найденная матрица имеет треугольный вид; по этой матрице запишем систему уравнений, эквивалентную исходной системе,

Последовательно находим неизвестные, начиная с последнего уравнения, ; подставим в третье уравнение найденное , вычислим , ; затем из второго уравнения находим , ; из первого уравнения получим , .

4. Найти общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .

Элементарными преобразованиями строк приведем матрицу системы к эквивалентной матрице , которой соответствует уравнение , эквивалентное исходной системе. Таким образом, общее решение может быть записано в форме , или , . Решений бесчисленное множество – любая пара, связанная указанной зависимостью, обращает левые части уравнений данной системы в нуль. В системе — число неизвестных и число уравнений. , матрица системы, расширенная матрица системы. В силу теоремы Кронекера-Капелли система имеет бесчисленное множество решений, зависящих от одного параметра . Иногда общее решение удобнее использовать в форме

Практическая работа № 7

Решение систем линейных алгебраических уравнений

1. Методом Крамера найти решение системы линейных алгебраических уравнений.

2. Установить, что система уравнений имеет единственное решение, и найти его с помощью обратной матрицы.

4. Найти общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений

3.3 3.4

Практическая работа № 7

Решение систем линейных алгебраических уравнений

1. Методом Крамера найти решение системы линейных алгебраических уравнений.

2. Установить, что система уравнений имеет единственное решение, и найти его с помощью обратной матрицы.

4. Найти общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений

5.1 5.2

Практическая работа «Решение систем линейных уравнений третьего порядка методом Крамера»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Решение систем линейных уравнений третьего порядка методом Крамера»

расширить представление о методах решения СЛУ и отработать алгоритм решения СЛУ методом Крамора;

развивать логическое мышление студентов, умение находить рациональное решение задачи;

воспитывать у студентов аккуратность и культуру письменной математической речи при оформлении ими своего решения.

Основной теоретический материал.

Метод Крамера . Применение для систем линейных уравнений.

Задана система N линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с неизвестными, коэффициентами при которых являются элементы матрицы , а свободными членами — числа

Первый индекс возле коэффициентов указывает в каком уравнении находится коэффициент, а второй — при котором из неизвестным он находится.

Если определитель матрицы не равен нулю

то система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение. Решением системы линейных алгебраических уравнений называется такая упорядоченная совокупность чисел , которая при превращает каждое из уравнений системы в правильную равенство. Если правые части всех уравнений системы равны нулю, то систему уравнений называют однородной. В случае, когда некоторые из них отличны от нуля – неоднородной Если система линейных алгебраических уравнений имеет хоть одно решение, то она называется совместной, в противном случае — несовместимой. Если решение системы единственное, то система линейных уравнений называется определенной. В случае, когда решение совместной системы не единственное, систему уравнений называют неопределенной. Две системы линейных уравнений называются эквивалентными (или равносильными), если все решения одной системы является решениями второй, и наоборот. Эквивалентны (или равносильны) системы получаем с помощью эквивалентных преобразований.

Эквивалентные преобразования СЛАУ

1) перестановка местами уравнений;

2) умножение (или деление) уравнений на отличное от нуля число;

3) добавление к некоторого уравнения другого уравнения, умноженного на произвольное, отличное от нуля число.

Решение СЛАУ можно найти разными способами, например , по формулам Крамера (метод Крамера)

Теорема Крамера. Если определитель системы линейных алгебраических уравнений с неизвестными отличен от нуля то эта система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера: — определители, образованные с заменой -го столбца, столбцом из свободных членов.

Если , а хотя бы один из отличен от нуля, то СЛАУ решений не имеет. Если же , то СЛАУ имеет множество решений.

Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решить систему методом Крамера

Решение.

Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных

Так как , то заданная система уравнений совместная и имеет единственное решение. Вычислим определители:

По формулам Крамера находим неизвестные

Итак единственное решение системы.

Дана система четырех линейных алгебраических уравнений. Решить систему методом Крамера.

Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных. Для этого разложим его по первой строке.

Найдем составляющие определителя:

Подставим найденные значения в определитель

Детерминант , следовательно система уравнений совместная и имеет единственное решение. Вычислим определители по формулам Крамера:

Разложим каждый из определителей по столбцу в котором есть больше нулей.

По формулам Крамера находим

Решение системы

Задания для самостоятельного решения:

ВАРИАНТ 1 Решите систему уравнений по формулам Крамера

₃₎

Работа оценивается на «3»,если: самостоятельно полностью и верно решена одна из систем.

Работа оценивается на «4»,если: самостоятельно полностью и верно решены любые две системы.

Работа оценивается на «5»,если: самостоятельно полностью и верно решены три системы.

Практическая работа Метод Крамера

Группа: Тв-21, Тв-22

ФИО преподавателя: Никонова Н. С.

Дата проведения занятия (занятий): 15 апреля 2020

Дата выполнения задания: 16 апреля 2020

Вид занятия — Практическая работа – 2 часа

Тема занятия: «Решение систем линейных уравнений третьего порядка методом Крамера»

— расширить представление о методах решения СЛАУ (система линейных алгебраических уравнений) и отработать алгоритм решения СЛАУ методом Крамера, закреплять точность вычислений;

— развивать логическое мышление, умение находить рациональное решение задачи;

— воспитывать внимательность, аккуратность и культуру письменной математической речи при оформлении ими своего решения.

1. Ознакомиться с теоретическим материалом и оформить краткий конспект теории и разобранных примеров в тетради

2. Выполнить самостоятельную работу – 1 вариант – аудиторная работа, 2 – вариант – домашнее задание.

1. Отчет оформить в текстовом документе (Word): в документ вставить фотоотчет из тетради по плану:

2. Отчет отправить не позднее 10 апреля по ссылке https://vk.com/topic-193207144_40458583.

Выполнен конспект в тетради

Выполнена практическая работа

Выполнено домашнее задание

Если набрано 5 баллов – оценка 5 (отлично)

4 балла – оценка 4 (хорошо)

3 балла – оценка 3 (удовлетворительно)

2 балла – оценка 2 (неудовлетворительно)

Задана система N линейных алгебраических уравнений с неизвестными, коэффициентами при которых являются элементы матрицы , а свободными членами — числа

Если определитель матрицы не равен нулю, то система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение.

Решением системы линейных алгебраических уравнений называется такая упорядоченная совокупность чисел , которая при превращает каждое из уравнений системы в правильную равенство.

Если правые части всех уравнений системы равны нулю, то систему уравнений называют однородной.

В случае, когда некоторые из них отличны от нуля – неоднородной

Если система линейных алгебраических уравнений имеет хоть одно решение, то она называется совместной, в противном случае — несовместимой.

Если решение системы единственное, то система линейных уравнений называется определенной.

В случае, когда решение совместной системы не единственное, систему уравнений называют неопределенной.

Две системы линейных уравнений называются эквивалентными (или равносильными), если все решения одной системы является решениями второй, и наоборот.

Эквивалентны (или равносильны) системы получаем с помощью эквивалентных преобразований.

Эквивалентные преобразования СЛАУ

1) перестановка местами уравнений;

2) умножение (или деление) уравнений на отличное от нуля число;

3) добавление к некоторого уравнения другого уравнения, умноженного на произвольное, отличное от нуля число.

Если определитель системы линейных алгебраических уравнений с неизвестными отличен от нуля то эта система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера: — определители, образованные с заменой -го столбца, столбцом из свободных членов.