Практическая работа уравнение прямой и плоскости в пространстве

Практическая работа по математике для обучающихся 1 курса СПО по теме «Уравнение сферы, плоскости, прямой»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 10

Составление уравнений сферы, плоскости, прямой.

Цели: формировать умение обучающихся решать задачи на данную тему; развивать логическое мышление, пространственное воображение; умение сравнивать, проводить аналогию, воспитание трудолюбия, усердия в достижении цели, формировать общие компетенции ОК.2, ОК.3, ОК.4, ОК.5, ОК.6.

Справочный материал и примеры.

Теоретический материал для самостоятельного изучения:

Общее уравнение прямой имеет вид: Ax + By + C , где А, В, С – некоторые числа. При этом коэффициенты одновременно не равны нулю, так как уравнение теряет смысл.

Вектор нормали — это вектор, перпендикулярный искомой прямой. Вектор нормали чаще всего записывается так: ( n _1; n ₂ ) Координаты точки ( х ₀ ; у ₀ ) .

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору: Если известна некоторая точка, принадлежащая прямой, и направляющий вектор этой прямой, то уравнение данной прямой можно составить по формуле: n ₁ ( x -х ₀ )+ n ₂ ( y -у ₀ )=0

Общее уравнение плоскости:

Общее уравнение плоскости имеет вид Ax + By + Cz + D =0 , где коэффициенты A , B , C , D одновременно не равны нулю.

Уравнение плоскости по точке и направляющему вектору: Если известна некоторая точка, принадлежащая плоскости, и вектор n, перпендикулярный этой плоскости (который называют вектором нормали к плоскости), то уравнение данной плоскости можно составить по формуле:

Уравнение поверхности сферы:

Сфера радиуса R с центром в начале координат представлена уравнением второй степени. x 2 + y 2 + z 2 = R 2 ( R – радиус сферы)

Сфера радиуса R центр которой не совпадает с началом координат представлена другим уравнением второй степени.

( x − a ) 2 +( y − b ) 2 +( z − c ) 2 = R 2 ( R — радиус сферы; a , b , c — смещение центра сферы относительно центра координат)

Задания для практической работы:

Составить уравнение сферы радиуса R = 5 с центром в начале координат.

Найти центр и радиус сферы (х+ 4) 2 + ( y —3) 2 + z 2 =100.

Написать уравнение сферы с центром в точке С (2; —3; 5) и радиусом, равным 6.

Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору М (4, -2), n (3,2)

Составить уравнение плоскости по точке Р (4, -2; -1) и вектору нормали, n (-5;3,-2)

Доказать, что уравнение х 2 + у 2 + z 2 —2х+ 4у—6 z + 5 = 0, является уравнением сферы.

Найти уравнение прямой, проходящей через две точки: (-1, 2) и (2, 1).

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А и перпендикулярной вектору ВС, если А(-4; 2; -1), В(1; 2;-1), С(-2; 0; 1).

Какой вид имеет общее уравнение плоскости?

Какой вид имеет уравнение плоскости по точке и вектору нормали?

Какой вид имеет уравнение прямой по точке и направляющему вектору?

Уравнение прямой, плоскости и сферы

306 гр. Математика. Дистанционное обучение. Тема 1-3.

Просмотр содержимого документа
«Уравнение прямой, плоскости и сферы»

Тема 1: Уравнение прямой в пространстве.

З адание: записать конспект и выполнить самостоятельную работу.

Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:

Подставив в уравнение прямой соответствующие координаты, получим:

Упростим:

Ответ:

Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:

Подставив в уравнение прямой соответствующие координаты, получим:

Упростим:

Ответ: Самостоятельная работа

Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:

Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:

Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:

Тема 2: Уравнение плоскости в пространстве

Задание: записать конспект и выполнить самостоятельную работу

П ример 1: Принадлежит, ли точка В (-1; 2; 7) плоскости, заданной уравнением 2х+3у-z+3=0

Решение: Подставим координаты точки в уравнение и проверим верно ли равенство.

Ответ: точка В (-1; 2; 7) принадлежит плоскости.

Пример 2: Принадлежит, ли точка Е(0; 4; -6) плоскости, заданной уравнением х-5у-4z+2=0

Решение: Подставим координаты точки в уравнение и проверим верно ли равенство. х-5у-4z+2=0

0-5·4-4·(-6)+2=0-20+24+2=6≠0 не верно

Ответ: точка Е(0; 4; -6) не принадлежит плоскости.

Пример 3: При каком D точка А(1; 5;-2) принадлежит плоскости -3х+2у-z+D=0

Решение: Подставим координаты точки в уравнение и найдем D.

Пример 1: Принадлежит, ли точка В (-2; 3; 8) плоскости, заданной уравнением

Пример 2: Принадлежит, ли точка Е(3; 4; -2) плоскости, заданной уравнением

Пример 3: При каком D точка А(2; 4;-1) принадлежит плоскости -2х+5у-z+D=0

Решить задания №1, №2

О пределение. Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии R от данной точки О.

R – радиус сферы, т. О – центр сферы.

Написать уравнение сферы с центром в точке О(1; 2; -5) и радиусом R=3.

Подставим в уравнение сферы: (х-1) 2 +(у-2) 2 +(z-(-5)) 2 =3 2 .

Упростим: (х-1) 2 +(у-2) 2 +(z+5) 2 =9.

Ответ: (х-1) 2 +(у-2) 2 +(z+5) 2 =9.

Пример 2. Дано уравнение сферы: (х-6) 2 +(у+3) 2 +(z-4) 2 =64. Найти координаты центра и радиус сферы.

1)найдем координаты центра: (х-6) 2 +(у-(-3)) 2 +(z-4) 2 =64

2)найдем радиус: R 2 =64, R=√64=8,

Ответ: О(6, -3, 4), R = 8.

Задание 1. Написать уравнение сферы с центром в точке О(5; -2; 3) и радиусом R= 6

Задание 2. Дано уравнение сферы (х-3) 2 +(у+7) 2 +(z-8) 2 =25. Найти координаты центра и радиус сферы.

Методические рекомендации по практическим работам на уроках математики

Министерство образования Оренбургской области

Государственное автономное профессиональное

«Бугурусланский нефтяной колледж»

г. Бугуруслана Оренбургской области

на заседании методической комиссии

преподавателей общеобразовательных дисциплин

Протокол №___ от __________201 г.

Председатель _________ Р.А. Субханкулова

Заместитель директора по ООД

_______________ Т.Б. Ронжина

«___»___________ 2015 г.

по выполнению практических работ

программы подготовки квалифицированных рабочих, служащих

ОДП. 14 Математика

15.01.19 «Наладчик контрольно-измерительных приборов и автоматики»

15.01.05 «Сварщик (электросварочные и газосварочные работы)»

21.01.02 «Оператор по ремонту скважин»

Требования к знаниям и умениям при выполнении практических заданий

Правила выполнения практических заданий

Перечень практических работ

Задания для практических занятий

Сборник заданий содержит основные задачи курса геометрии и алгебры (по учебникам А.Г Мордкович «Математика» и Л.С. Атанасяна «Геометрия»). Сборник заданий составлен в соответствии с программой курса математики ГАПОУ «БНК» (профильный уровень) на изучение которой отведено 156 часов (на 1 курсе). Концептуальную основу сборника составили решения задач, составление кроссвордов, тестов, сканвордов, а также собственное составление задач.

В каждом задании проверяется знание теоретического материала. Весь материал на уроках рассмотреть невозможно, поэтому большинство заданий вы выполняете самостоятельно.

В каждом занятии приводятся разноуровневые задания. Задания повышенной сложности отмечены *.

Для каждого задания используется своя система оценивания, которая будет предоставляться преподавателем перед практическим занятием.

Составитель: О.Р.Шаляпина, преподаватель общеобразовательных дисциплин, классный руководитель

ГАПОУ «БНК» г. Бугуруслана Оренбургской области (отделение ППКРС).

Методические рекомендации по выполнению практических работ по дисциплине ОДП. 14 «Математика» являются частью программы ГАПОУ «БНК» г. Бугуруслана Оренбургской области по подготовке квалифицированных рабочих, служащих по профессиям: 15.01.19 «Наладчик контрольно-измерительных приборов и автоматики», 43.01.02 «Парикмахер», 15.01.05 «Сварщик (электросварочные и газосварочные работы)», 21.01.02 «Оператор по ремонту скважин» разработанной в соответствии с требованиями ФГОС СПО третьего поколения.

Методические рекомендации являются частью учебно-методического комплекта по дисциплине.

В ходе изучения дисциплины студенты выполняют 150 практических работ (70 на первом курсе и 80 на втором), которые позволяют получить профильные знания по дисциплине.

Методические указания содержат задания, теоретический обзор, указания по выполнению работы, что позволяет повторить тему, по которой выполняется работа, эффективно организовать работу студентов. Указан перечень оборудования и материалов для получения заданных результатов. В разработке имеются необходимые схемы, справочные сведения. В конце приведены контрольные вопросы, позволяющие студентам провести самоконтроль.

По окончанию работы оформляется отчет, в котором указывается то, чего студент не смог выполнить и отметку, которую заслужил.

Внимание! Если во время проведения практической работы по дисциплине, вы пропустили занятия без уважительной причины вы можете отработать пропущенное занятие на консультациях, которые проводятся согласно графику. Время проведения консультаций Вы сможете узнать у преподавателя, а также познакомившись с графиком их проведения, размещенном на двери кабинета преподавателя.

Содержание этого учебного блока направлено на достижение следующихцелей математического образования:

— формирование представлений об идеях и методах математики; о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов;

— овладение языком математики в устной и письменной форме, математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения школьных естественнонаучных дисциплин, продолжения образования и освоения избранной специальности на современном уровне;

— развитие логического мышления, алгоритмической культуры, пространственного воображения, математического мышления и интуиции, творческих способностей, необходимых для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области математики и ее приложений в будущей профессиональной деятельности;

— воспитание средствами математики культуры личности через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей; понимания значимости математики для научно-технического прогресса.

Требования к знаниям и умениям при выполнении

лабораторных работ и практических занятий

При выполнении лабораторных работ и практических занятий студент должен:
знать/понимать :

Помимо указанных в данном разделе знаний, в требования к уровню подготовки включаются также знания, необходимые для освоения перечисленных ниже умений.

— значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;

— значение практики и вопросов, возникающих в самой математике, для формирования и развития математической науки;

— идеи расширения числовых множеств как способа построения нового математического аппарата для решения практических задач и внутренних задач математики;

— значение идей, методов и результатов алгебры и математического анализа для построения моделей реальных процессов и ситуаций;

— возможности геометрии для описания свойств реальных предметов и их взаимного расположения;

— универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость в различных областях человеческой деятельности;

— различие требований, предъявляемых к доказательствам в математике, естественных, социально-экономических и гуманитарных науках, на практике;

— роль аксиоматики в математике; возможность построения математических теорий на аксиоматической основе; значение аксиоматики для других областей знания и для практики;

— вероятностный характер различных процессов и закономерностей окружающего мира.

Числовые и буквенные выражения

— выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств; находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства; пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах;

— применять понятия, связанные с делимостью целых чисел, при решении математических задач;

— находить корни многочленов с одной переменной, раскладывать многочлены на множители;

— выполнять действия с комплексными числами, пользоваться геометрической интерпретацией комплексных чисел, в простейших случаях находить комплексные корни уравнений с действительными коэффициентами;

— проводить преобразования числовых и буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

— практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, используя при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства;

— приобретения практического опыта деятельности, предшествующей профессиональной, в основе которой лежит данный учебный предмет.

(абзац введен Приказом Минобрнауки России от 10.11.2011 N 2643)

Функции и графики

— определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции;

— строить графики изученных функций, выполнять преобразования графиков;

— описывать по графику и по формуле поведение и свойства функций;

— решать уравнения, системы уравнений, неравенства, используя свойства функций и их графические представления;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

— описания и исследования с помощью функций реальных зависимостей, представления их графически; интерпретации графиков реальных процессов;

(абзац введен Приказом Минобрнауки России от 10.11.2011 N 2643)

Начала математического анализа

— находить сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии;

— вычислять производные и первообразные элементарных функций, применяя правила вычисления производных и первообразных, используя справочные материалы;

— исследовать функции и строить их графики с помощью производной;

— решать задачи с применением уравнения касательной к графику функции;

— решать задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке;

— вычислять площадь криволинейной трапеции;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

— решения геометрических, физических, экономических и других прикладных задач, в том числе задач на наибольшие и наименьшие значения с применением аппарата математического анализа;

(абзац введен Приказом Минобрнауки России от 10.11.2011 N 2643)

Уравнения и неравенства

— решать рациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства, иррациональные и тригонометрические уравнения, их системы;

— доказывать несложные неравенства;

— решать текстовые задачи с помощью составления уравнений и неравенств, интерпретируя результат с учетом ограничений условия задачи;

— изображать на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем;

— находить приближенные решения уравнений и их систем, используя графический метод;

— решать уравнения, неравенства и системы с применением графических представлений, свойств функций, производной;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

— построения и исследования простейших математических моделей;

(абзац введен Приказом Минобрнауки России от 10.11.2011 N 2643)

Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей

— решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул, треугольника Паскаля; вычислять коэффициенты бинома Ньютона по формуле и с использованием треугольника Паскаля;

— вычислять вероятности событий на основе подсчета числа исходов (простейшие случаи);

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

— анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков; для анализа информации статистического характера;

(абзац введен Приказом Минобрнауки России от 10.11.2011 N 2643)

— соотносить плоские геометрические фигуры и трехмерные объекты с их описаниями, чертежами, изображениями; различать и анализировать взаимное расположение фигур;

— изображать геометрические фигуры и тела, выполнять чертеж по условию задачи;

— решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства планиметрических и стереометрических фигур и отношений между ними, применяя алгебраический и тригонометрический аппарат;

— проводить доказательные рассуждения при решении задач, доказывать основные теоремы курса;

— вычислять линейные элементы и углы в пространственных конфигурациях, объемы и площади поверхностей пространственных тел и их простейших комбинаций;

— применять координатно-векторный метод для вычисления отношений, расстояний и углов;

— строить сечения многогранников и изображать сечения тел вращения;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

— исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур;

— вычисления длин, площадей и объемов реальных объектов при решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства;

ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

1. Студент должен прийти на лабораторное занятие подготовленным по данной теме.
3. После проведения работы студент представляет письменный отчет и оценивает себя.

4. До выполнения практической работы у студента проверяют знания по выявлению уровня его теоретической подготовки по данной теме.

5. Отчет о проделанной работе следует выполнять в рабочей тетради в клетку. Содержание отчета указано в описании практического занятия.

6. Таблицы и рисунки следует выполнять карандашом, записи – синим или чёрным цветом пасты или чернил. Рисунки выполняются в левой половине листа, выводы в правой части листа.

7. Зачет по данному практическому занятию студент получает при положительных оценках за теоретические знания и отчет по практическому занятию, общий зачет – при наличии зачетов по всем практическим занятиям.

Отчет должен содержать следующие сведения:

1. Название работы или занятия.

2. Цель работы или занятия.

3. Ответа на контрольные вопросы

4. Номер и название практической работы.

5. Краткое описание хода работы.

6. Рисунки и схемы.

8. Расчеты, таблицы, графики.

Не забывайте, что за этим же столом с этими же заданиями будут работать студенты других групп, — не создавайте им дополнительных трудностей, оставив свое рабочее место в беспорядке.

Желаем Вам успехов.

ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

Практическая работа № 1Решение задач на параллельность прямых в пространстве

Практическая работа № 2 Решение задач на использование признака параллельности двух плоскостей

Практическая работа № 3 Решение задач на тему: «Угол между прямыми в пространстве»

Практическая работа № 4 Решение задач на перпендикулярность прямой и плоскости

Практическая работа № 5 Решение задач на тему: «Перпендикуляр и наклонная»

Практическая работа № 6 Решение задач на теорему о трех перпендикулярах

Практическая работа № 7 Решение задач на тему: «Угол между прямой и плоскостью»

Практическая работа № 8 Решение задач на перпендикулярность двух плоскостей

Практическая работа № 9 Решение задач на признак перпендикулярности двух плоскостей.

Практическая работа № 10 Решение задач на перпендикулярность в пространстве

Практическая работа № 11 Решение задач на декартовые координаты в пространстве

Практическая работа № 12 Решение задач на применение формулы расстояния между двумя точками.

Практическая работа № 13 Решение задач на тему: «Векторы в пространстве»

Практическая работа № 14 Решение задач на координаты вектора.

Практическое занятие № 15 Решение задач на координаты вектора

Практическая работа № 16 Решение задач на скалярное произведение векторов.

Практическая работа № 17 Решение задач на скалярное произведение векторов.

Практическая работа № 18 Решение задач на скалярное произведение векторов.

Практическая работа № 19 Решение задач на коллинеарные векторы.

Практическая работа № 20 Решение задач на компланарные векторы.

Практическая работа № 21 Решение задач на уравнение плоскости в пространстве.

Практическая работа №22 Решение задач по теме:«Координаты и векторы»

Практическая работа № 23 Решение упражнений на преобразование графиков

Практическая работа № 24 Решение упражнений на числовую окружность на координатной плоскости.

Практическая работа № 25 Решение упражнений на синус, косинус, тангенс и котангенс.

Практическая работа № 26 Решение упражнений на свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Практическая работа № 27 Решение упражнений на тригонометрические функции числового аргумента.

Практическая работа № 28 Решение упражнений на тригонометрические функции углового аргумента.

Практическая работа № 29 Решение упражнений на формулы приведения.

Практическая работа № 30 Решение упражнений на функцию у = sinx

Практическая работа № 31 Решение упражнений на функции у = cosx , ее свойства и график.

Практическая работа № 32 Преобразование графиков тригонометрических функций

Практическая работа № 33 Решение упражнений на преобразование графиков тригонометрических функций

Практическая работа № 34 Решение упражнений на тригонометрические функции

Практическая работа № 35 Решение простейших тригонометрических уравнений

Практическая работа № 36 Решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной

Практическая работа № 37 Решение тригонометрических уравнений разложением на множители

Практическая работа № 38 Решение однородных тригонометрических уравнений

Практическая работа № 39 Решение однородных тригонометрических уравнений

Практическая работа № 40 Решение упражнений по теме: «Тригонометрические уравнения»

Практическая работа № 41 Решение упражнений на формулы синуса и косинуса суммы и разности аргументов

Практическая работа № 42 Решение упражнений на формулы синуса и косинуса суммы и разности аргументов

Практическая работа № 43 Решение упражнений на тангенс суммы и разности аргументов

Практическая работа № 44 Решение упражнений на применение формул двойного угла

Практическая работа № 45 Решение упражнений на применение формул двойного угла

Практическая работа № 46 Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение

Практическая работа № 47 Решение упражнений на преобразование сумм тригонометрических функций в произведение

Практическая работа № 48 Решение упражнений на преобразование сумм тригонометрических функций в произведение

Практическая работа № 49 Решение выражений на преобразование тригонометрических выражений

Практическая работа № 50 Решение упражнений на предел последовательности

Практическая работа № 51 Сумма бесконечной геометрической прогрессии

Практическая работа № 52 Решение упражнений на вычисление приращения аргумента и приращение функции

Практическая работа № 53 Решение упражнений на определение производной функции

Практическая работа № 54 Решение упражнений на нахождение производных

Практическая работа № 55 Решение упражнений на нахождение производных

Практическая работа № 56 Решение упражнений на правила дифференцирования

Практическая работа № 57 Решение упражнений на правила дифференцирования

Практическая работа № 58 Решение упражнений на нахождение производной сложной функции

Практическая работа № 59 Решение упражнений по теме: «Производная»

Практическая работа № 60 Решение упражнений на уравнение касательной к графику функции

Практическая работа № 61 Решение упражнений на уравнение касательной к графику функции

Практическая работа № 62 Решение упражнений на применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы

Практическая работа № 63 Решение упражнений на применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы

Практическая работа № 64 Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы

Практическая работа № 65 Применение производной к исследованию функций и построению их графиков

Практическая работа № 66 Решение упражнений на исследование функций и построению их графиков

Практическая работа № 67 Решение упражнений на нахождения наибольших и наименьших значений величин

Практическая работа № 68 Вторая производная и ее физический смысл

Практическая работа № 69 Применение производной

Практическая работа № 70 Применение производной

Практическая работа № 71 Решение задач на тему: Призма»

Практическая работа № 72 Решение задач на тему: «Призма»

Практическая работа № 73 Решение задач на тему: «Параллелепипед. Куб»

Практическая работа № 74 Решение задач на тему: «Параллелепипед. Куб»

Практическая работа № 75 Решение задач на тему: «Пирамида»

Практическая работа № 76 Решение задач на тему: «Пирамида»

Практическая работа № 77 Решение задач на тему: «Усеченная пирамида»

Практическая работа № 78 Сечения куба, призмы, пирамиды.

Практическая работа № 79 Решение задач на построение сечений многогранников.

Практическая работа № 80 Многогранники

Практическая работа № 81 Решение задач на сечения цилиндра

Практическая работа № 82 Решение задач на тему: « Цилиндр»

Практическая работа № 83 Решение задач на сечение конуса

Практическая работа № 84 Решение задач на тему: «Конус»

Практическая работа № 85 Решение задач на тела и поверхности вращения

Практическая работа № 86 Решение задач на объем прямоугольного параллелепипеда

Практическая работа № 87 Решение задач на объем призмы

Практическая работа № 88 Решение задач на объем пирамиды

Практическая работа № 89 Решение задач на объем цилиндра

Практическая работа № 90 Решение задач на объем конуса

Практическая работа № 91 Решение задач на объем шара

Практическая работа № 92 Решение задач на площадь поверхности цилиндра

Практическая работа № 93 Решение задач на объемы тел и площади их поверхности

Практическая работа № 94 Решение упражнений на тему: «Понятие корня n -степени из действительного числа»

Практическая работа № 95 Решение упражнений на тему: «Понятие корня n -степени из действительного числа»

Практическая работа № 96 Решение иррациональных уравнений

Практическая работа № 97 Решение иррациональных уравнений

Практическая работа № 98 Решение иррациональных уравнений

Практическая работа № 99 Решение упражнений на тему : «Функции у=, их свойства и графики»

Практическая работа № 100 Преобразование выражений, содержащих радикалы

Практическая работа № 101 Преобразование выражений, содержащих радикалы

Практическая работа № 102 Решение упражнений на обобщение понятия о показателе степени

Практическая работа № 103 Решение упражнений на степенные функции, их свойства и графики

Практическая работа № 104 Решение упражнений на применение производной степенной функции

Практическая работа № 105 Решение упражнений на корни и степени

Практическая работа № 106 Решение показательных уравнений и неравенств функционально-графическим методом

Практическая работа № 107 Решение показательных уравнений методом уравнивания оснований

Практическая работа № 108 Решение показательных уравнений методом введения новой переменной

Практическая работа № 109 Решение показательных неравенств методом уравнивания оснований

Практическая работа № 110 Решение показательных неравенств методом введения новой переменной

Практическая работа № 111 Показательная функция

Практическая работа № 112 Решение упражнений по теме: «Понятие логарифма»

Практическая работа № 113 Решение логарифмических уравнений методом введения новой переменной

Практическая работа № 114 Решение логарифмических неравенств методом потенцирования

Практическая работа № 115 Решение логарифмических неравенств методом введения новой переменной

Практическая работа № 116 Логарифм. Логарифмическая функция

Практическая работа № 117 Решение упражнений на первообразную

Практическая работа № 118 Решение упражнений на первообразную

Практическая работа № 119 Решение упражнений на применение формулы Лейбница-Ньютона.

Практическая работа № 121 Решение упражнений на применение формулы Ньютона-Лейбница.

Практическая работа № 122 Решение упражнений на применение интеграла в геометрии и физике

Практическая работа № 123 Решение упражнений на применение интеграла в геометрии и физике

Практическая работа № 124 Решение упражнений на первообразную и интеграл

Практическая работа № 125 Решение упражнений на первообразную и интеграл

Практическая работа № 126 Решение комбинаторных задач

Практическая работа № 127 Решение упражнений на формулу бинома Ньютона.

Практическая работа № 128 Решение упражнений по теме: «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей»

Практическая работа № 129 Решение уравнений

Практическая работа № 130 Метод разложения на множители

Практическая работа № 131 Метод введения новой переменной

Практическая работа №132 Общие методы решения уравнений

Практическая работа №133 Системы и совокупности неравенств

Практическая работа № 134 Решение неравенств методом введения новой переменной

Практическая работа № 135 Решение неравенств функционально-графическим методом

Практическая работа № 136 Нахождение фигуры, заданной системой неравенств

Практическая работа № 137 Решение систем уравнений методом подстановки

Практическая работа № 138 Решение систем уравнений методом алгебраического сложения

Практическая работа № 139 Решение систем уравнений методом введения новой переменной

Практическая работа № 140 Решение систем уравнений графическим методом

Практическая работа № 141 Решение системы трех уравнений с тремя переменными

Практическая работа № 142 Применение математических методов для решения содержательных задач

Практическая работа № 143 Прямые и плоскости в пространстве

Практическая работа № 144 Объемы и поверхности многогранников и тел вращения

Практическая работа № 145 Применение производной для нахождения уравнения касательной

Практическая работа № 146 Применение производной для исследования функции на монотонность

Практическая работа № 147 Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции

Практическая работа № 148 Первообразная и интеграл

Практическая работа № 149 Сочетания и размещения

Практическая работа № 150 Теория вероятности

Практическая работа №1

Тема: Решение задач на параллельность прямых в пространстве

Цель : получить навыки решения задач на параллельность прямых в пространстве

Две прямые в пространстве называются параллельными, если лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Параллельность прямых и обозначается так: или .

Teорема 1. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, и при том только одну.

Теорема 2. Через любую точку пространства вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной прямой, и при том только одну.

Теорема 3. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Теорема 4. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

Всё множество прямых в пространстве, которые параллельны данной прямой, называется пучком параллельных прямых.

1) Любые две прямые пучка параллельных прямых параллельны между собой.

2) Параллельности прямых в пространстве присуща транзитивность: если и , то .

Приведем пример решения задачи:

Дано: М — середина BD ; N — середина CD ; Q — середина АС; Р — середина АВ; AD = 12 см; ВС = 14 см (рис. 5).

1. MN || BC по составу средней линии ⇒ MN || PQ ; PQ || BC .

2. РМ || AD по составу средней линии ⇒ PM || QN ; NQ || DA .

3. По определению MNQP — параллелограмм.

4. PQ = 7; РМ = 6 ⇒ Р MNQP = 2(7 + 6) = 26.

Ответ: 26 см
Порядок выполнения работы:

Запишите условие задачи

Приступайте к расчетам

Сделайте вывод о проделанной работе и оцените себя

Задание 1. Указаны условие и рисунок к задаче. Запишите решение. (1 балл)

Задание 2. Сторона АС треугольника АВС параллельна плоскости a , а стороны АВ и ВС пересекаются с этой плоскостью в точках М и N. Докажите, что треугольники АВС и МВN подобны. (1 балл)

Задание 3. На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты соответственно точки D и E так, что ОE = 5 см и ВD = 2/3. Плоскость a проходит через точки B и С и параллельна отрезку ОE. Найдите длину отрезка ВС. (1 балл)

Задание 4. Найдите АА₁,если ВВ₁=12см, ММ₁=8см. Через конец А отрезка АВ проведена плоскость α. Через точку М (середину АВ) и точку В проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках М₁ и В₁ соответственно. 1) Докажите, что точки А,В₁,М₁ лежат на одной прямой.

Сделайте вывод о проделанной практической работе и оцените себя по шкале от 1 до 5.

Литература:Атанасян Л.С., В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. Геометрия 10-11 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений — Издательство: М.: Просвещение, 2009 год.

Практическая работа №2

Тема:Решение задач на использование признака параллельности двух плоскостей

Цель работы: Научиться решать задачи на признак параллельности двух плоскостей.

Определение: Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Параллельность плоскостей обозначается так: α ∥β

Рассмотрим признак параллельности двух плоскостей.

Теорема: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Свойства параллельных плоскостей

1 0 Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

2 0 Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Если α∥β и AB∥CD, то АВ = CD.

Пример решения задачи:

Через точку О, лежащую между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые l и m. Прямая l пересекает плоскость A и B в точках А1и А2 соответственно, прямая m — в точках В1 и В2. Найти длину отрезка А2В2, если А1В1 = 12см, В1О:ОВ2 = 3:4

Дано: α и β – параллельные плоскости, А1В1 = 12см, В1О:ОВ2 = 3:4

Решение . Через прямые А1А2 и В1В2 можно повести плоскость, которая пересечёт параллельные плоскости по параллельным прямым А1В1 и А2В2.
У образовавшихся треугольников ОА1В1 и ОА2В2 соответствующие углы равны. Углы при вершине О равны как вертикальные, а остальные — как внутренние накрест лежащие у параллельных прямых. Следовательно треугольники ОА1В1 и ОА2В2 подобны.
У подобных треугольников соответствующие стороны соотностятся через коэффициент подобия.
Откуда:
ОВ1:ОВ2 = А1В1:А2В2,
Следовательно:
А2В2 = 4 * 12 / 3 = 16
Ответ : 16 см.

Порядок выполнения работы:

Запишите условие задачи

Приступайте к расчетам

Сделайте вывод о проделанной работе и оцените себя

Задание 1. Через точку К, не лежащую между параллельными плоскостями альфа и бета, проведены прямые а и b. Прямая а пересекает плоскость альфа в точке А1 а плоскость бета в точке А2, и прямая b пересекает эти плоскости в точках B1 и B2 соответственно. Найти KB2 если A2B2 относится к A1B1 как 4:3, а KB1 = 14 см. (2 балла) .

Задание 2. Луч KM пересекает параллельные плоскости α и β в точках M ₁ и М ₂ , а луч КР- в точках Р ₁ и Р ₂ соответственно. Вычислите длину отрезка М ₁ М ₂ , если КМ ₁ = 8см, а М ₁ Р ₁ : М ₂ Р ₂ = 4 : 9 (2 балла)

Задание 3. Стороны ∡N пересекают параллельные плоскости α и β в точках A,B и C,D. Вычисли длину отрезка AB, если NA=13 см, NC=20 см и CD=56 см. (2 балла)

Сделайте вывод о проделанной практической работе и оцените себя по шкале от 1 до 5.

Практическая работа №3

Тема:Решение задач на тему: «Угол между прямыми в пространстве»

Цель : с помощью определения углов между прямыми научиться находить данные углы и их градусную меру в пространстве.

Оборудование:карточки с заданиями

Углом в пространстве называется фигура, образованная двумя лучами с общей вершиной и одной из частей плоскости, ограниченной этими лучами.

Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых с вершиной в точке их пересечения.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным.

Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними прямой.

Пример решения задачи:

В правильной 6-й призме A … F ₁, ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB ₁ и BC ₁.

Дано: A … F _{1 – правильная шестиугольная призма, АА1 = 1.}

Порядок выполнения работы:

Запишите условие задачи

Приступайте к расчетам

Сделайте вывод о проделанной работе и оцените себя

Задача 1. В правильной 6-й призме A … F ₁, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB ₁ и DE ₁. (1 балл)

Задача 2. В правильной 6-й призме A … F ₁, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми: AA ₁ и DE ₁. (1 балл)

Задача 3. В правильной треугольной призме ABCA ₁ B ₁ C ₁, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми: AB ₁ и BC ₁.(2 балла)

Задача 4. Составить свою задачу по теме и решить ее. (1 балл)

Сделайте вывод о проделанной практической работе и оцените себя по шкале от 1 до 5.

Практическая работа №4

Тема: Решение задач на перпендикулярность прямой и плоскости

Цель:научиться решать задачи на перпендикулярность прямой и плоскости.

Оборудование: карточки с заданиями.

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 o .

Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости.
Говорят также, что плоскость перпендикулярна к прямой а.

Если прямая а перпендикулярна к плоскости , то она, очевидно, пересекает эту плоскость. В самом деле, если бы прямая а не пересекала плоскость , то она лежала бы в этой плоскости или была бы параллельна ей.

Но в том и в другом случае в плоскости имелись бы прямые, не перпендикулярные к прямой а, например прямые, параллельные ей, что невозможно. Значит, прямая а пересекает плоскость .

Связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Теорема. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой, и притом единственная.

Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Если две плоскости перпендикулярны к прямой, то они параллельны.

Пример решения задачи:

Через вершины А и В ромба АВСD проведены параллельные прямые AA₁ и BB₁, не лежащие в плоскости ромба. Известно, что BB₁ ⊥ BC, BB₁ ⊥AB. Найдите A₁A, если A₁C = 13 см, BD = 16 см, AB= 10 см.

1) BB₁ ⊥ AB, BB₁ ⊥ BC, а AB ⋂ BC = B ⇒ BB₁ ⋂ (ABC) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), а т.к. BB₁ ∥ AA₁, то AA₁ ⊥ (ABC) ⇒ AA₁⊥ AC;
2) Используя свойство диагоналей ромба, имеем в ∆AOB: ∠AOB = 90°, BO = ½ BD = 8 см. По теореме Пифагора:

AO = ½ AC ⇒ AC = 12 см;
3) ∆ A₁AC – прямоугольный. По теореме Пифагора:

Задания (за каждый правильный ответ теста дается 0,5 балла и за правильно решенную задачу дается 2 балла):

1.Если угол между двумя прямыми равен 90°, то эти прямые:

а) пересекаются, б) параллельны, в) скрещиваются, г) перпендикулярны, д) совпадают.

2. Какое из следующих утверждений неверно:

а) если прямая перпендикулярна к двум прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и к этой плоскости, б) если прямая перпендикулярна к плоскости, то она ее пересекает, в) если две плоскости перпендикулярны к прямой, то они параллельны, г) если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны, д) если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

3.Если одна из двух скрещивающихся прямых перпендикулярна к плоскости, то будет ли перпендикулярна к этой плоскости вторая прямая?

а) да, б) да, но при определенных условиях, в) определить нельзя, г) нет, д) другой ответ.

4. Прямая аперпендикулярна к прямым с и в, лежащим в плоскости , прямая а перпендикулярна к плоскости . Каково взаимное расположение прямых с и в?

а) параллельны, б) пересекаются, в) параллельны или пересекаются, г) совпадают, д) определить нельзя.

5.Одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна прямой, тогда:

а) другая плоскость параллельна прямой, б) прямая лежит в другой плоскости, в) другая плоскость перпендикулярна прямой, г) прямая не пересекает другую плоскость, д) выполняются все случаи, указанные в пунктах а — г.

6.Точка Е не принадлежит плоскости прямоугольника АВСD, ВЕ АВ, ВЕ ВС. Тогда прямая и плоскость ВСЕ:

а) параллельны, б) перпендикулярны, в) скрещиваются, г) прямая лежит в плоскости, д) перпендикулярны, но не пересекаются.

7.Какое из следующих утверждений неверно?

а) перпендикуляр и наклонная, выходящие из одной точки, имеют равные длины, б) проекцией прямой на плоскость является точка или прямая, в) наклонные разной длины, проведенные к плоскости из одной точки, имеют проекции разных длин, г) прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна к ее проекции, д) расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями.

8.Расстояния от точки М до сторон прямоугольного треугольника АВС (угол С равен 90°) равны. Какое из следующих утверждений верно?

а) плоскости МАВ и АВС перпендикулярны, б) плоскости МВС и АВС перпендикулярны, в) плоскости МАС и АВС перпендикулярны, г) плоскости МАС и МВС перпендикулярны, д) условия в пунктах а — г неверны.

9.Угол между двумя плоскостями равен 80°. Какое из следующих утверждений неверно?

а) плоскости пересекаются, б) в одной из плоскостей найдется прямая, перпендикулярная другой плоскости, в) в одной из плоскостей все прямые не перпендикулярны другой плоскости, г) в одной из плоскостей найдется прямая, параллельная другой плоскости, д) плоскости не перпендикулярны.

10.Какое из следующих утверждений верно?

а) градусная мера двугранного угла не превосходит 90°, б) двугранным углом называется плоский угол, образованный прямой а и двумя полуплоскостями с общей границейа, в) если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны, г) угол между плоскостями всегда тупой, д) все линейные углы двугранного угла различны.

11.Какое из следующих утверждений верно?

а) в прямоугольном параллелепипеде все шесть граней — произвольные параллелограммы, б) все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда — острые, в) прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом, г) квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме трех его измерений, д) параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию.

12.Длины трех ребер, имеющих общую вершину, называются:

а) высотами прямоугольного параллелепипеда, б) диагоналями прямоугольного параллелепипеда, в) измерениями прямоугольного параллелепипеда, г) диагоналями основания прямоугольного параллелепипеда, д) смежными ребрами прямоугольного параллелепипеда.

13. Решите задачу:

Через вершины А и В прямоугольника АВСD проведены параллельные прямые AA₁ и BB₁, не лежащие в плоскости прямоугольника. Известно, что AA₁ ⊥ AB, AA₁⊥ AD. Найдите B₁B, если B₁D = 25 см, AB = 12 см, AD = 16 см.

Сделайте вывод о проделанной практической работе и оцените себя по шкале от 1 до 5.

Практическая работа №5

Тема:Решение задач на тему: «Перпендикуляр и наклонная»

Цель : научиться на основании темы составлять тесты и кроссворды.

Оборудование:тетрадь для практических работ

Перпендикулярные прямые

Определение. Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

Перпендикулярность прямых обозначается знаком ⊥ Запись а ⊥ b читается: Прямая а перпендикулярна прямой b.

Теорема. Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.

Наклонная прямая — это плоская поверхность, установленная под углом, отличным от прямого или нулевого, к горизонтальной поверхности.

Перпендикуляром, опущенным из данной точки данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.

Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

AB – перпендикуляр к плоскости α.
AC – наклонная, CB – проекция наклонной АС на плоскость α.
С – основание наклонной, B — основание перпендикуляра.

источники:

http://multiurok.ru/files/uravnenie-priamoi-ploskosti-i-sfery.html

http://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/202216-metodicheskie-rekomendacii-po-prakticheskim-r

Практическая работа уравнение прямой и плоскости в пространстве

Практическая работа по математике для обучающихся 1 курса СПО по теме «Уравнение сферы, плоскости, прямой»

Уравнение прямой, плоскости и сферы

Просмотр содержимого документа «Уравнение прямой, плоскости и сферы»

Методические рекомендации по практическим работам на уроках математики

Перпендикулярные прямые

Просмотр содержимого документа
«Уравнение прямой, плоскости и сферы»