Практические следствия из уравнения бернулли

Тема 5.

Гидродинамика — раздел физики, в котором изучается движение несжимаемых жидкостей. Законы гидродинамики позволяют описать движение крови по сосудам.

Идеальная жидкость — жидкость несжимаемая и не имеющая внутреннего трения или вязкости.

Стационарное или установившееся течение — течение, при котором скорости частиц жидкости в каждой точке потока со временем не изменяются.

Установившееся течение характеризуют линиями тока.

Линии тока — это воображаемые линии, совпадающие с траекториями движения частиц.

Трубка тока — часть потока жидкости, ограниченная со всех сторон линиями тока.

Уравнение неразрывности струи

В общем потоке жидкости выделяют трубку тока настолько узкую, что скорость частиц в любом её сечении, перпендикулярном оси трубки, можно считать постоянной: в сечении скорость — , в сечении скорость — (рис.5.1).

Рис. 5.1.

При стационарном течении частицы движутся только по линиям тока, поэтому боковую поверхность они не пересекают. Если за время в трубку тока вошел объём жидкости , то такой же объём жидкости должен и выйти из неё. поэтому

, т.е. —

уравнение неразрывности струи: при установившемся течении по трубе переменного сечения количество жидкости, протекающее в единицу времени через любое поперечное сечение трубы, остается постоянным.

Рассмотрим течение идеальной жидкости по трубе переменного сечения. Выделим в потоке идеальной жидкости трубку тока, а в ней достаточно малый объем жидкости , массой , который при течении жидкости перемещается из положения 1 в положение 2 (рис. 5.2.).

Жидкость, находящаяся под давлением, обладает внутренней потенциальной энергией ,

где – давление.

При перемещении жидкости совершается работа:

Эта работа расходуется на преодоление действия сил тяжести: работа , и на изменение кинетической энергии жидкости: работа :

Уравнение Бернулли: ,

где статическое давление, гидростатическое давление, — гидродинамическое давление. Уравнение Бернулли: полное давление жидкости, равное сумме статического, гидростатического и гидродинамического давлений, остается постоянным в любом сечении трубы.

Практические следствия из уравнения Бернулли.

Рис. 5.3.

Определение гидростатического давления. Рассматривают трубу тока постоянного сечения площадью (рис. 5.3.), высота сечений над нулевым уровнем энергии различна и равна и , соответственно. Т.к. площадь сечений одинакова, то скорость течения жидкости и гидродинамическое давление остается величиной постоянной. Уравнение Бернулли принимает вид

Следовательно . измеряют манометром и определяют перепад гидростатического давления на данном участке трубы.

Правило Бернулли. Выбирают горизонтальную трубу, имеющую различные сечения и (рис. 5.4.), следовательно, скорости и также разные ( ), гидростатическое давление остается постоянным. Уравнение Бернулли принимает вид

, или

Правило Бернулли: статическое давление невязкой жидкости при течении по горизонтальной трубе возрастает там, где скорость ее уменьшается, и наоборот.

Рис. 5.5.

Определение гидродинамического давления и скорости течения жидкости.Выберем горизонтальную трубку тока постоянного сечения, уравнение Бернулли запишется в виде

, где — полное давление, тогда . Статическое давление жидкости измеряют при помощи манометрической трубки, плоскость отверстия которой расположена параллельно движению жидкости. Для измерения полного давления применяют манометрическую трубку, изогнутую под прямым углом навстречу движения жидкости. Зная можно определить скорость течения жидкости: .

При течении реальной жидкости между молекулами действуют силы взаимного притяжения, в результате чего возникает внутреннее трение (вязкость).

Формула Ньютона: , где — сила внутреннего трения между двумя слоями жидкости, она ускоряет медленно текущие слои и замедляет быстротекущие слои, направлена сила трения по касательной к поверхности соприкасающихся слоев; коэффициент внутреннего трения (коэффициент вязкости), площадь соприкосновения слоёв, — градиент скорости — показывает на сколько изменяется скорость при изменении толщины слоя на единицу.

Физический смысл коэффициента внутреннего трения: -коэффициент внутреннего трения показывает, какая сила трения возникает при соприкосновении слоев на площади, равной 1 м 2 , при градиенте скорости между ними, равном 1 с -1 .

Внесистемной единицей является 1 Пуаз; 1 П = 0,1 Па ·с

Ламинарное и турбулентное течение

Ламинарное течение – течение, при котором слои жидкости движутся параллельно друг другу не смешиваясь между собой. Ламинарное течение наблюдается при небольших скоростях течения в трубках с гладкими стенками, без резких изменений площади сечения и без разветвлений.

Турбулентное течение – течение, при котором слои жидкости перемешиваются, образуя вихри. Скорости молекул жидкости беспорядочно меняются, молекулы жидкости переходят из слоя в слой, за счет этого происходит перемешивание жидкости. Турбулентное течение сопровождается шумами.

Характер течения жидкости определяется числом Рейнольдса

где — скорость течения жидкости, — плотность жидкости, — диаметр трубы, — вязкость жидкости.

Существует критическое число Рейнольдса ( ). Если возможно только ламинарное течение, если возможно только турбулентное течение. Для однородной жидкости критическое число Рейнольдса

, для крови — (в зависимости от диаметра сосуда).

Распределение скорости и градиента по сечению

трубы при ламинарном течении.

Рассмотрим ламинарное течение вязкой жидкости по горизонтальной трубе постоянного сечения (рис. 5.6.). Распределение скорости по сечению трубы носит параболический характер:

где — радиус трубы, радиус рассматриваемого слоя, длина трубы, и – давление в начале и конце трубы, соответственно.

Скорость имеет наибольшее значение в центре трубы:

, .

Градиент скорости максимален в пристеночной части трубы:

Течение реальной жидкости по горизонтальной трубе постоянного сечения. Закон Гагена — Пуазейля.

При течении жидкости по горизонтальной трубе постоянного сечения (рис. 5.7.) потенциальная энергия её частиц расходуется на работу по преодолению внутреннего трения. Поэтому статическое давление вдоль трубы постепенно падает. Высота соответствует начальному статическому давлению, а высота – гидродинамическому давлению, обеспечивающему скорость течения жидкости. Крутизна этой кривой (тангенс угла наклона) характеризует продольный градиент давления: .

Рис.5.7. Пуазейль определил среднюю скорость течения жидкости по горизонтальной трубе постоянного сечения: – закон Пуазейля. Количество жидкости, протекающей через поперечное сечение за единицу времени

— закон Гагена-Пуазейля.

Течение жидкости по горизонтальной трубе переменного сечения

Средняя скорость течения зависит от радиуса трубы . Поэтому на участках трубы различного сечения скорости различны. По правилу Бернулли статическое давление невязкой жидкости при течении по горизонтальной трубе увеличивается там, где скорость её уменьшается, и наоборот. Кроме того, в местах изменения сечения трубы течение становится турбулентным, что вызывает потери энергии. Кроме того, поскольку количество жидкости, протекающее через поперечное сечение, не меняется, то меняется градиент давлений: при переходе от меньшего сечения к большему давление падает меньше, а при переходе от большего сечения к меньшему давление падает больше.

Течение жидкости по разветвленной трубе

В разветвленной трубе градиент давлений зависит:

1) от общего сечения разветвленной части, т.к. от этого зависит средняя скорость течения жидкости, и, следовательно, общие потери энергии.

2) от числа труб в разветвленной части, т.к. в разветвленной части площадь пристеночных слоев велика, то и потери энергии большие.

Чем больше трубок, тем больше потери энергии, тем больше падает давление.

Течение жидкости по трубе с эластичными стенками

Если жидкость течет по эластичной трубе, то упругие свойства материала стенок влияют на характер течения жидкости. При поступлении жидкости в трубу труба растягивается, а затем, сжимаясь, проталкивает жидкость силой обратной деформации.

Контрольные вопросы

•Основные понятия: свойства и особенности молекулярного строения жидкостей. Идеальная жидкость. Стационарное течение, линии тока, трубка тока. •Уравнение неразрывности струи. Уравнение Бернулли. •Практические следствия из уравнения Бернулли. •Внутреннее трение. Формула Ньютона. Смысл градиента скорости. Коэффициент внутреннего трения. Относительная и кинематическая вязкости. •Ламинарное и турбулентное течение жидкости. Число Рейнольдса. •Течение жидкости по горизонтальной трубе постоянного сечения. Закон Гагена-Пуазейля. •Течение жидкости по горизонтальной трубе переменного сечения, по разветвленной и по трубе с эластичными стенками.

Биореология — раздел физики, изучающий течение биологических жидкостей, обладающих вязкостью и пластичных.

У некоторых жидкостей, преимущественно высокомолекулярных, коэффициент вязкости зависит не только от температуры и природы жидкости, но и от режима течения, градиента скорости, давления и др. факторов. Такие жидкости называются неньютоновскими к которым относится и кровь. В качестве примера неньютоновских жидкостей кровь. В биореологии формула Ньютона записывается в форме:

где — напряжение сдвига, — скорость сдвига.

Кривые течения – графики зависимости напряжения сдвига от скорости сдвига.

Рис. 6.1.

На рис. 6.1. кривая 1 соответствует ньютоновской жидкости. Кривая 2 соответствует неньютоновской жидкости, т.е. вязко-пластичной жидкости. Здесь жидкость начинает течь только при , где предел текучести.

Зависимость коэффициента вязкости крови

от различных физических факторов.

Зависимость вязкости крови от градиента скорости.

С увеличением скорости сдвига (рис. 6.2.), т.е. с увеличением , эффективная вязкость крови резко падает и при γ > 100 с -1 вязкость крови становится равной некоторому предельному значению, остающемуся далее неизменным как у ньютоновской жидкости. Это происходит оттого, что агрегаты эритроцитов с увеличением градиента скорости распадаются, следовательно, кровь находится под напряжением . 1 –эффективная вязкость, 2 – коэффициент вязкости ньютоновской жидкости.

Зависимость вязкости крови от гематокритного показателя ,

т.е. от концентрации эритроцитов в крови. С увеличением гематокритного показателя вязкость крови возрастает (рис. 6.3.), т.к. увеличивается число комплексов и увеличиваются их размеры.

Зависимость вязкости крови от температуры

С увеличением температуры вязкость уменьшается, т.к. уменьшаются силы взаимодействия между молекулами эритроцитов, уменьшаются размеры агрегатов. В пределах температур от 10 0 С до 38 0 С вязкость крови имеет экспоненциальную зависимость от температуры

При температурах меньше 10 0 С и выше 38 0 С зависимость очень сложная, что связано с процессами, приводящими к изменению свойств крови.

Зависимость вязкости крови от диаметра сосуда, по которому течет кровь (рис.6.4.).

С увеличением диаметра сосуда вязкость крови увеличивается. В сосудах диаметром меньше 50 мкм этот эффект проявляется столь сильно, что может маскировать зависимость вязкости крови от скорости сдвига

Рис. 6.4.

Физические модели кровообращения.

а)

б)

в)

Модель представлена в виде замкнутой системы трубок с эластичными стенками (рис.6.5.). Эта система заполнена жидкостью. Движение жидкости в ней происходит под действием ритмично работающего насоса в виде груши. Широкие трубки – аналог аорты и артерий, резкие разветвления – аналог периферической системы – капилляров.

Электрическая модель. На рис. 6.6: — источник переменного несинусоидального переменного напряжения, который служит аналогом сердца. Выпрямитель (диод) , пропускающий ток только в одном направлении, служит аналогом клапана. Конденсатор служит аналогом упругого резервуара (аорты и артерий).

Конденсатор служит для накопления заряда. Участки упругих резервуаров (аорта, артерии), обладающие эластичностью, можно рассматривать как емкость для крови. Вязкостное сопротивление, большее у периферических сосудов, можно представить в виде резистора .

Закономерности выброса и распространения крови

в большом круге кровообращения.

При каждом сокращении левого желудочка сердца в аорту, уже заполненную кровью под соответствующим давлением, выталкиваться некоторый объем крови, называемый ударным объёмом ( 65 – 70 мл). Затем сердечный клапан закрывается.

Волна повышенного давления, называемого систолическим, вызывает колебания сосудистых стенок. Волна повышенного давления, вызванная выбросом крови из левого желудочка во время систолы, называется пульсовой волной. Скорость пульсовой волны 5 – 10 м/c.

Сопротивление току крови и падение давления на разных участках сосудистой системы различны (рис. 6.7.). Оно зависит от общего сечения (общего просвета) и от числа сосудов в разветвлении. Наибольшее падение происходит в артериолах (до 50 % от начального). Это связано с тем, что число артериол в сотни раз больше, чем крупных артерий при сравнительно небольшом увеличении общего просвета сосудов. Поэтому потери давления от пристеночного трения достаточно большие. Общее число капилляров ещё больше, поэтому даже при небольшой их длине их падение давления в них значительно, но меньше, чем в артериолах.

В венах падение давления незначительно. Это связано с тем, что площадь сечения венозных сосудов в среднем в 2 раза больше, чем в артериях. Имеется участок, в котором давление оказывается ниже атмосферного. Этот участок соответствует движению крови под влиянием присасывающего действия грудной клетки при вдохе.

На рис.6.7. представлен также график изменения скорости крови при прохождении её по разным сосудам. Как видим из рисунка в артериях скорость крови постоянна. В артериолах она падает и в капиллярах становится равной нулю. В венах скорость крови повышается.

Работа и мощность сердца.

Работа, совершаемая сердцем, складывается в основном из работы при сокращении желудочков сердца, главным образом левого желудочка. Работа правого желудочка равна 0,15 –0,2 А_Л.Ж..

Работа сердечной мышцы при каждом сокращении левого желудочка затрачивается на сообщение объёму выталкиваемой крови энергии, необходимой для его продвижения по всему кругу кровообращения. Эта энергия состоит из потенциальной энергии давления и кинетической энергии для сообщения массе крови необходимой скорости движения:

где среднее давление, под которым кровь проталкивается в аорту ( ); ударный объём крови ( 70 мл); плотность крови (1,05·10 3 кг/м 3 ); скорость крови в аорте ( 0,5 м/с в состоянии покоя)

Работа левого желудочка: а работа сердца

Время сокращения желудочков Тогда мощность сердца, развиваемая за одно сокращение

•Ньютоновские и неньютоновские жидкости. •Аналогия внутреннего трения с деформацией сдвига. Формула Ньютона в биореологии. Кривые течения. •Зависимость вязкости крови от различных факторов (градиента скорости, гематокритного показателя, температуры, диаметра сосуда). Эффективная и кажущаяся вязкости. •Модели кровообращения (гидродинамическая и электрическая). •Закономерности выброса и распространения крови в большом круге кровообращения. Ударный объем крови, пульсовая волна. Распределение давления и скорости кровотока в большом круге кровообращения.• Работа и мощность сердца.

Значение и функции биологических мембран. Строение мембран.

Структурной и функциональной единицей живого организма является клетка, которой присущи все основные жизненные функции. Мембраны окружают всю цитоплазму и отграничивают её от окружающей среды. Проникновение веществ в клетку и из клетки в большей степени зависит от свойств мембран. Мембраны находятся и внутри клетки, образуя оболочки всех органоидов и включений клетки.

Согласно модели Даниэлли и Давсона основу мембраны составляют два слоя фосфолипидов. Молекула фосфолипида имеет полярную “головку” и неполярный “хвост”. Два слоя молекул фосфолипидов расположены перпендикулярно поверхности мембраны (рис. 7.1). Гидрофильные концы молекул (полярные головки)

способны взаимодействовать с дипольными молекулами воды и формировать гидратные оболочки. Поэтому гидрофильные концы молекул липидов направлены наружу мембраны. Гидрофобные (неполярные) концы молекул направлены вглубь мембраны.

В настоящее время наибольшее распространение получила жидкомозаичная модель, предложенная в 1972 году Синджером и Никольсоном. В основе этой модели лежит также двухслойная липидная мембрана (рис. 7.2). Эта фосфолипидная основа представляет собой как бы двумерный растворитель, в котором плавают более или менее погруженные белки

Физиологические функции мембран.

•Делят клетку на отдельные участки, в которых протекают различные биохимические реакции. •Принимают участие во всех процессах обмена веществ, которые обусловливают жизнедеятельность клетки. •Координируют и регулируют биохимические и биофизические процессы в клетках. •Клеточные мембраны обеспечивают адгезию (сцепление) клеток друг с другом, что обеспечивает существование ткани.

Физические свойства мембран.

1. Фосфолипиды в мембране находятся в жидкокристаллическом состоянии.

2. Вязкость липидного слоя мембраны на 2 порядка (в 100 раз) выше, чем у воды.

3. Коэффициент поверхностного натяжения липидного слоя на 2-3 порядка (100-1000 раз) меньше, чем у воды. Значит, поверхностная энергия липидного слоя незначительна, что облегчает диффузию веществ через мембрану.

4. При изменении температуры в мембране наблюдаются фазовые переходы.

5. Двойной фосфолипидный слой уподобляет мембрану конденсатору. Электроёмкость участка мембраны площадью в 1 мм 2 составляет 5-13 нФ.

Модели искусственных мембран для изучения свойств мембран.

1. Частокол Ленгмюра (рис 7.3) – монослой фосфолипидов. На поверхность воды наносят каплю растворенных в каком-либо растворителе фосфолипидов или жирных кислот. После распределения их молекул на поверхности воды и испарения растворителя на поверхности воды остается пленка. Адсорбированные молекулы липидов располагаются перпендикулярноповерхности воды.

2. Липосомы (рис. 7.4)– широко распространенная модель. Это мельчайшие пузырьки, состоящие из билипидной мембраны. Получаются при обработке смеси воды и фосфолипидов ультразвуком.

Билипидная мембрана. Берут два водных раствора, разделенных тефлоновой перегородкой с отверстием. Отверстие заполняют фосфолипидом, растворенным в гексане. Когда растворитель и излишек

липида растекаются по тефлону, в отверстии образуется бислой толщиной в несколько нанометров.

Методы исследования мембран

Изучаются фазовые переходы на каком-либо участке мембраны и оценивают число молекул, участвующем в фазовом переходе. Энтропия возрастает с ростом длины углеводородной цепи жирных кислот, причем на каждую метиленовую группу приходится примерно постоянное увеличение энтропии при фазовом переходе. Таким образом, можно судить о длине углеводородной цепи липидов.

2. ИК — спектроскопия.

Этот метод основан на том, что молекулы каждого вещества имеют индивидуальные, специфические спектры поглощения. Молекулярные спектры позволяют исследовать состав мембран, строение молекул в мембране и характер межмолекулярных взаимодействий.

3. Люминесцентный анализ.

Для исследования мембран к мембранным системам добавляют флюоресцирующие молекулы: флуоресцентные зонды, если молекула образует нековалентную связь с мембраной, или флюоресцентные метки, если молекула образует химическую связь с мембраной.

4. Рентгеноструктурный анализ.

В основе этого метода лежит дифракция рентгеновского излучения на структуре мембран. Т.к. липиды мембраны есть жидкий кристалл, то дифракционная картина непосредственно связана с внутренней структурой кристалла. Рентгеноструктурный анализ позволяет определить строение и параметры липидных молекул.

5.Электронный парамагнитный резонанс (ЭПР).

Если атом находится в постоянном магнитном поле, то переходы между подуровнями одного и того же уровня маловероятны. Но если на атом подействовать внешним переменным магнитным полем таким, что частота этого поля совпадет с частотой фотона, энергия которого равна , переходы становятся возможными. При этом происходит поглощение или излучение электронным парамагнитным резонансом (ЭПР).

В медико-биологических исследованиях с помощью метода ЭПР обнаруживают и исследуют свободные радикалы. По спектрам ЭПР объяснили механизм образования свободных радикалов при радиационном поражении; изучают канцерогенную активность некоторых веществ; изучают фотосинтез.

Для изучения биологических молекул используют метод спин-меток, при котором в различные части молекул исследуемого вещества вводится спин-метка – парамагнитная молекула с хорошо изученной структурой, которая образует ковалентную связь с исследуемым веществом. По изменению спектра спин-метки можно установить расположение различных групп атомов, их взаимодействия, изучать природу и ориентацию химических связей, обнаруживать молекулярное движение.

Дата добавления: 2015-04-19 ; просмотров: 2403 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Тема 3. Кинематика и динамика жидкостей и газов, Лекция 11. Уравнение Бернулли и следствия из него

Тема 3. Кинематика и динамика жидкостей и газов

Лекция 11. Уравнение Бернулли и следствия из него

1. Основные положения гидродинамики. Уравнение неразрывности струи.

2. Уравнение Бернулли.

3. Истечение жидкости из отверстия. Принцип реактивного движения.

ОТВОДИМОЕ ВРЕМЯ: 2 часа.

1. Суханов курс физики. — М.: 1996.

2. Савельев общей физики. Том 1. — M: — Наука, 1996. § 72,73,74.

3. Трофимова физики. – М.: Высшая школа, 1999. § 28,29,30.

4. , Детлаф по физике. — М.: Наука, 1996. Отдел III.

Современные летательные аппараты способны выполнять саше разнообразные задачи и осуществлять полет в различных физических условиях. Физическими условиями полета называется совокупность физических свойств атмосферы и физических явлений, возникающих во время полета летательных аппаратов. Физические условия полета определяются, в первую очередь, назначением летательного аппарата и могут значительно, а порой и быстро, изменяться в процессе полета. Ярким примером являются пилотируемые космические корабли многоразового использования, способные осуществлять полет как в околоземном космическом пространстве, т. е. в практически безвоздушном пространстве, так и в нижних плотных слоях атмосферы.

В безвоздушном пространстве полет летательных аппаратов основан на реактивном принципе движения, т. е. на законах движения тел с переменной массой, вытекающих из основных законов динамики поступательного движения твердых тел.

Полет летательных аппаратов в воздушной среде подчиняется законам аэродинамики, начало которой положено трудами русского ученого () и его ученика . В основе аэродинамики, как науки, лежит гидродинамика — физическая теория движения несжимаемых жидкостей с твердыми телами.

Основные положения и выводы гидродинамики применимы не только к жидкостям, но и к газам в том случае, когда сжимаемостью их можно пренебречь. Соответствующие расчеты показывают, что при движении жидкостей и газов со скоростями меньшими скорости звука, их с достаточной степенью точности можно считать несжимаемыми. Следовательно, движение твердых тел, в том числе летательных аппаратов, в воздушной среде при указанных Скоростях подчиняется законам гидродинамики.

Для выяснения физической сущности процессов, определяющих полет летательных аппаратов, необходимо уяснить основные положения гидродинамики.

1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ СТРУИ

Движение жидкостей называется течением, а совокупность частиц движущейся жидкости потоком. Графически движение жидкостей изображается с помощью линий, которые проводятся так, что касательные к ним совпадают по направлению с вектором скорости жидкости в соответствующих точках пространства (рис. 1).

Линии тока проводятся так, чтобы густота их, характеризуемая отношением числа линий к площади перпендикулярной им площадки, через которую они проходят, была больше там, где больше скорость течения жидкости, и меньше там, где жидкость течет медленнее. Таким образом, по картине линий тока можно судить о направлении и модуле скорости в разных точках пространства, т. е. можно определить состояние движения жидкости. Линии тока в жидкости можно «проявить», например, подмешав в нее какие-либо заметные взвешенные частицы.

Часть жидкости, ограниченную линиями тока, называют трубкой тока.

Течение жидкости называется установившимся (или стационарным), если форма и расположение линий тока, а также значения скоростей в каждой ее точке со временем не изменяются.

Рассмотрим какую-либо трубку тока. Выберем два ее сечения S1 и S2, перпендикулярные направлению скорости (рис. 2).

За время Δt через сечение S проходит объем жидкости SvΔt; следовательно, за 1с через S1 пройдет объем жидкости S1v1, где v1 — скорость течения жидкости в месте сечения S1. Через сечение S2 за 1с пройдет объем жидкости S2v2, где v2 — скорость жидкости в месте сечения S2. Здесь предполагается, что скорость жидкости в сечении постоянна. Если жидкость несжимаема (ρ=const), то через сечение S2 пройдет такой же объем жидкости, как и через сечение S1, т. е.

Следовательно, произведение скорости течения несжимаемой жидкости на поперечное сечение трубки тока есть величина постоянная для данной трубки тока. Соотношение 1 называется уравнением неразрывности для несжимаемой жидкости.

2. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ

Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости (физическая абстракция, т. е. воображаемая жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения) трубку тока, ограниченную сечениями S1 и S2, по которой слева направо течет жидкость (рис. 3).

Пусть в месте сечения S1 скорость течения v1 давление Р1 и высота, на которой это сечение расположено, h1. Аналогично, в месте сечения S2 скорость течения v2, давление Р2 и высота сечения h2. За малый промежуток времени Δt жидкость перемещается от сечения S1 к сечению S’1, от S2 к S’2.

Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии E2-E1 идеальной несжимаемой жидкости должно быть равно работе А внешних сил по перемещению массы жидкости:

где E1 и Е2 — полные энергии жидкости массой m в местах сечений S1 и S2 соответственно.

С другой стороны, А — это работа, совершаемая при перемещении всей жидкости, заключенной между сечениями S1 и S2, за рассматриваемый малый промежуток времени Δt. Для перенесения массы m от S1 до S’1 жидкость должна переместиться на расстояние l1 =v1 Δt и от S2 до S’2 — на расстояние l2 =v2 Δt. Отметим, что 11 и 12 настолько малы, что всем точкам объемов, закрашенных на рис. 3, приписывают постоянные значения скорости v, давления Р и высоты h. Следовательно,

где F1=P1S1 и F2=-P2S2 (отрицательна, так как направлена в сторону, противоположную течению жидкости; рис. 3).

Полные энергии Е1 и Е2 будут складываться из кинетической и потенциальной энергий массы m жидкости:

(4)

(5)

Подставляя (4) и (5) в (2) и приравнивая (2) и (3), получим

(6)

Согласно уравнению неразрывности струи для несжимаемой жидкости (1), объем, занимаемый жидкостью, остается постоянным, т. е.

Разделив выражение (6) на , получим

где ρ — плотность жидкости. Но так как сечения выбирались произвольно, то можем записать

=const. (7)

Выражение (7) выведено швейцарским физиком Д. Бернулли (1700—1782; опубликовано в 1738 г.) и называется уравнением Бернулли. Как видно из его вывода, уравнение Бернулли — выражение закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости. Оно хорошо выполняется и для реальныхжидкостей, внутреннее трение которых не очень велико.

Величина Р в формуле (7) называется статическим давлением (давление жидкости поверхность обтекаемого ею тела), величина — динамическим давлением. Величина представляет собой гидростатическое давление.

Для горизонтальной трубки тока (h1=h2) выражение (7) принимает вид

=const, (8)

— называется полным давлением.

Из уравнения Бернулли (8) для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности (1) следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а статическое давление больше в более широких местах, т. е. там, где скорость меньше. Это можно продемонстрировать, установив вдоль трубы ряд манометров (рис. 4).

В соответствии с уравнением Бернулли опыт показывает, что в манометрической трубке В, прикрепленной к узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в манометрических трубках А и С, прикрепленных к широкой части трубы.

Прибор состоит из двух изогнутых под прямым углом трубок, противоположные концы которых присоединены к манометру. I помощью одной из трубок измеряется полное давление (Р0), с помощью другой — статическое (Р). Манометром измеряют разность давлений:

, (9)

где — плотность жидкости в манометре. С другой стороны, согласно уравнению Бернулли, разность полного и статического давлений равна динамическому давлению:

(10)

Из формул (9) и (10) получаем искомую скорость потока жидкости:

Уменьшение статического давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу работы водоструйного насоса (рис. 6).

Струя воды подается в трубку, открытую в атмосферу, так что давление на выходе из трубки равно атмосферному. В трубке имеется сужение, по которому вода течет с большей скоростью. В этом месте давление меньше атмосферного. Это давление устанавливается и в откачанном сосуде, который связан с трубкой через разрыв, имеющийся в ее узкой части. Воздух увлекается вытекающей с большой скоростью водой из узкого конца. Таким образом, можно откачивать воздух из сосуда до давления 100 мм рт. ст. (1 мм рт. ст.= 133,32 Па).

Уравнение Бернулли позволяет описать физические явления лежащие в основе работы целого ряда устройств и приборов: карбюратор, пульверизатор (рис. 7) и др.

3. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ИЗ ОТВЕРСТИЯ. ПРИНЦИП РЕАКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ

Уравнение Бернулли используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим цилиндрический сосуд с жидкостью, в боковой стенке которого на некоторой глубине ниже уровня жидкости имеется маленькое отверстие (рис. 8).

Рассмотрим два сечения (на уровне h1 свободной поверхности жидкости в сосуде и на уровне h2 выхода ее из отверстия) и напишем уравнение Бернулли:

Так как давления Р1 и Р2 в жидкости на уровнях первого и второго сечений равны атмосферному, т. е. Р1=Р2 , то уравнение будет иметь вид

Из уравнения неразрывности (1) следует, что v1/v2 = S1/S2, где S1 и S2 — площади поперечных сечений сосуда и отверстия. Если S1>>S2, то членом можно пренебречь и

(11)

Это выражение получило название формулы Торричелли (Э. Торричелли (1608 – 1647) – итальянский физик и математик.

Итак, скорость истечения жидкости из отверстия, расположенного на глубине h под открытой поверхностью, совпадает со скоростью, которую приобретает любое тело, падая с высоты h. Следует помнить, что этот результат получен в предположении, что жидкость идеальна. Для реальных жидкостей скорость истечения будет меньше, причем тем сильнее отличается от значения (11), чем больше вязкость жидкости.

Струя жидкости, вытекающая из отверстия в сосуде (рис. 9), уносит с собой за время Δt импульс (— плотность жидкости, S — площадь отверстия, v — скорость истечения струи).

Этот импульс сообщается вытекающей жидкости сосудом. По третьему закону Ньютона сосуд получает, от вытекающей жидкости за время Δt импульс, равный — , т. е. испытывает действие силы

(12)

Эта сила называется реакцией вытекающей струи. Если сосуд поставить на тележку, то под действием силы Fr он придет в движение в направлении, противоположном направлению струи.

Найдем значение силы Fr, воспользовавшись выражением (11) для скорости истечения жидкости из отверстия:

(13)

Если бы, как это может показаться на первый взгляд, сила Fr совпадала по величине с силой гидростатического давления, которое жидкость оказывала бы на пробку, закрывающую отверстие, то Fr была бы равна . На самом деле сила Fr оказывается в 2 раза большей. Это объясняется тем, что возникающее при вытекании струи движение жидкости в сосуде приводит к перераспределению давления, причем давление вблизи стенки, лежащей против отверстия, оказывается несколько большим, чем вблизи стенки, в которой сделано отверстие.

На реакции вытекающей струи газа основано действие реактивных двигателей и ракет. Реактивное движение, не нуждаясь для своего осуществления в наличии атмосферы, используется для полетов в космическом пространстве.

Основоположником теории межпланетных сообщений является выдающийся русский ученый и изобретатель (1857—1935). Он дал теорию полета ракеты и обосновал возможность применения реактивных аппаратов для межпланетных сообщений. В частности, Циолковским была разработана теория движения составных ракет, в которых каждая последующая ступень вступает в действие после того, как предыдущая ступень, израсходовав полностью топливо, отделится от ракеты. Идеи Циолковского получили дальнейшее развитие и были осуществлены учеными и инженерами для освоения космического пространства.

Уравнение Бернулли и следствия из него

Глава 6

Элементы механики жидкостей

Давление в жидкости и газе

Молекулы газа, совершая беспорядочное, хаотическое движение, не связаны или весьма слабо связаны силами взаимодействия, поэтому они движутся свободно и в результате соударений стремятся разлететься во все стороны, заполняя весь предоставленный им объем, т. е. объем газа определяется объемом того сосуда, который газ занимает.

Как и газ, жидкость принимает форму того сосуда, в который она заключена. Но в жидкостях в отличие от газов среднее расстояние между молекулами остается практически постоянным, поэтому жидкость обладает практически неизменным объемом.

Хотя свойства жидкостей и газов во многом отличаются, в ряде механических явлений их поведение определяется одинаковыми параметрами и идентичными уравнениями. Поэтому гидроаэромеханика —раздел механики, изучающий равновесие и движение жидкостей и газов, их взаимодействие между собой и обтекаемыми ими твердыми телами,— использует единый подход к изучению жидкостей и газов.

В механике с большой степенью точности жидкости и газы рассматриваются как сплошные,непрерывно распределенные в занятой ими части пространства. Плотность жидкости мало зависит от давления. Плотность же газов от давления зависит существенно. Из опыта известно, что сжимаемостью жидкости и газа во многих задачах можно пренебречь и пользоваться единым понятием несжимаемой жидкости — жидкости, плотность которой всюду одинакова и не изменяется со временем.

Если в покоящуюся жидкость поместить тонкую пластинку, то части жидкости, находящиеся по разные стороны от нее, будут действовать на каждый ее элемент DS с силами DF, которые независимо от того, как пластинка ориентирована, будут равны по модулю и направлены перпендикулярно площадке DS, так как наличие касательных сил привело бы частицы жидкости в движение (рис. 44).

Физическая величина, определяемая нормальной силой, действующей со стороны жидкости на единицу площади, называется давлениемр жидкости:

Единица давления—паскаль(Па): 1 Па равен давлению, создаваемому силой 1 Н, равномерно распределенной по нормальной к ней поверхности площадью 1 м 2 (1 Па=1 Н/м 2 ).

Давление при равновесии жидкостей (газов) подчиняется закону Паскаля: давление в любом месте покоящейся жидкости одинаково по всем направлениям, причем давление одинаково передается по всему объему, занятому покоящейся жидкостью.

Рассмотрим, как влияет вес жидкости на распределение давления внутри покоящейся несжимаемой жидкости. При равновесии жидкости давление по горизонтали всегда одинаково, иначе не было бы равновесия. Поэтому свободная поверхность покоящейся жидкости всегда горизонтальна вдали от стенок сосуда. Если жидкость несжимаема, то ее плотность не зависит от давления. Тогда при поперечном сечении S столба жидкости, его высоте h и плотности r вес P = rgSh, а давление на нижнее основание

т. е. давление изменяется линейно с высотой. Давление rgh называется гидростатическим давлением.

Согласно формуле (28.1), сила давления на нижние слои жидкости будет больше, чем на верхние, поэтому на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, определяемая законом Архимеда:на тело, погруженное в жидкость (газ), действует со стороны этой жидкости направленная вверх выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости (газа):

где r — плотность жидкости, V — объем погруженного в жидкость тела.

Уравнение неразрывности

Движение жидкостей называется течением,а совокупность частиц движущейся жидкости — потоком.Графически движение жидкостей изображается с помощью линий тока,которые проводятся так, что касательные к ним совпадают по направлению с вектором скорости жидкости в соответствующих точках пространства (рис. 45). Линии тока проводятся так, чтобы густота их, характеризуемая отношением числа линий к площади перпендикулярной им площадки, через которую они проходят, была больше там, где больше скорость течения жидкости, и меньше там, где жидкость течет медленнее. Таким образом, по картине линий тока можно судить о направлении и модуле скорости в разных точках пространства, т. е. можно определить состояние движения жидкости. Линии тока в жидкости можно «проявить», например, подмешав в нее какие-либо заметные взвешенные частицы.

Часть жидкости, ограниченную линиями тока, называют трубкой тока.Течение жидкости называется установившимся(или стационарным),если форма и расположение линий тока, а также значения скоростей в каждой ее точке со временем не изменяются.

Рассмотрим какую-либо трубку тока. Выберем два ее сечения S₁ и S₂, перпендикулярные направлению скорости (рис. 46).

За время Dt через сечение S проходит объем жидкости SvDt; следовательно, за 1 с через S₁ пройдет объем жидкости S₁v₁, где v₁ — скорость течения жидкости в месте сечения S₁. Через сечение S₂ за 1 с пройдет объем жидкости S₂v₂, где v₂ — скорость течения жидкости в месте сечения S₂. Здесь предполагается, что скорость жидкости в сечении постоянна. Если жидкость несжимаема (r=const), то через сечение S₂пройдет такой же объем жидкости, как и через сечение S₁, т. е.

Следовательно, произведение скорости течения несжимаемой жидкости на поперечное сечение трубки тока есть величина постоянная для данной трубки тока. Соотношение (29.1) называется уравнением неразрывностидля несжимаемой жидкости.

Уравнение Бернулли и следствия из него

Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости (физическая абстракция, т. е. воображаемая жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения) трубку тока, ограниченную сечениями S₁ и S₂, по которой слева направо течет жидкость (рис. 47). Пусть в месте сечения S₁ скорость течения v₁, давление р₁и высота, на которой это сечение расположено, h₁. Аналогично, в месте сечения S₂ скорость тече-

ния v₂, давление р₂ и высота сечения h₂. За малый промежуток времени Dt жидкость перемещается от сечений S₁ и S₂ к сечениям S’₁и S‘₂.

Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии E₂—Е₁идеальной несжимаемой жидкости должно быть равно работе А внешних сил по перемещению массы от жидкости:

где E₁ и Е₂ — полные энергии жидкости массой m в местах сечений S₁и S₂ соответственно.

С другой стороны, А — это работа, совершаемая при перемещении всей жидкости, заключенной между сечениями S₁ и S₂, за рассматриваемый малый промежуток времени Dt. Для перенесения массы т от S₁ до S’₁жидкость должна переместиться на расстояние l1= v₁Dt и от S₂ до S’₂ — на расстояние l₂= v₂Dt. Отметим, что l₁ и l₂ настолько малы, что всем точкам объемов, закрашенных на рис. 47, приписывают постоянные значения скорости v, давления р и высоты h. Следовательно,

Полные энергии Е₁и e₂будут складываться из кинетической и потенциальной энергий массы m жидкости:

Подставляя (30.3) и (30.4) в (30.1) и приравнивая (30.1) и (30.2), получим

Согласно уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости (29.1), объем, занимаемый жидкостью, остается постоянным, т. е.

Разделив выражение (30.5) на DV, получим

где r — плотность жидкости. Но так как сечения выбирались произвольно, то можем записать

Выражение (30.6) выведено швейцарским физиком Д. Бернулли (1700—1782; опубликовано в 1738 г.) и называется уравнением Бернулли.Как видно из его вывода, уравнение Бернулли — выражение закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости. Оно хорошо выполняется и для реальных жидкостей, внутреннее трение которых не очень велико.

Величина р в формуле (30.6) называется статическим давлением(давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела), величина rv 2 /2 — динамическим давлением.Как уже указывалось выше (см. § 28), величина rgh представляет собой гидростатическое давление.

Для горизонтальной трубки тока (h₁=h₂) выражение (30.6) принимает вид

где р+rv 2 /2 называется полным давлением.

Из уравнения Бернулли (30.7) для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности (29.1) следует, что при те-

чении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а статическое давление больше в более широких местах, т. е. там, где скорость меньше. Это можно продемонстрировать, установив вдоль трубы ряд манометров(рис.48). В соответствии с уравнением Бернулли опыт показывает, что в манометрической трубке В, прикрепленной к узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в манометрических трубках А и С, прикрепленных к широкой части трубы.

Так как динамическое давление связано со скоростью движения жидкости (газа), то уравнение Бернулли позволяет измерять скорость потока жидкости. Для этого применяется трубка Пито — Прандтля (рис.49). Прибор состоит из двух изогнутых под прямым углом трубок, противоположные концы которых присоединены к манометру. С помощью одной из трубок измеряется полное давление (р₀), с помощью другой — статическое (р). Манометром измеряется разность давлений:

где r — плотность жидкости в манометре. С другой стороны, согласно уравнению Бернулли, разность полного и статического давлений равна динамическому давлению:

Из формул (30.8) и (30.9) получаем искомую скорость потока жидкости:

Уменьшение статического давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу работы водоструйного насоса(рис. 50). Струя воды подается в трубку, открытую в атмосферу, так что давление на выходе из трубки равно атмосферному. В трубке имеется сужение, по которому вода течет с большей скоростью. В этом месте давление меньше атмосферного. Это давление устанавливается и в откачанном сосуде, который связан с трубкой через разрыв, имеющийся в ее узкой части. Воздух увлекается вытекающей с большой скоростью водой из узкого конца. Таким образом можно откачивать воздух из сосуда до давления 100 мм рт. ст. (1 мм рт. ст. = 133,32 Па).

Рассмотрим два сечения (на уровне h₁ свободной поверхности жидкости в сосуде и на уровне h₂выхода ее из отверстия). Напишем для них уравнение Бернулли:

Так как давления р₁и р₂в жидкости на уровнях первого и второго сечений равны

атмосферному, т. е. p₁=p₂, то уравнение будет иметь вид

Из уравнения неразрывности (29.1) следует, что v₂/v₁=S₁/S₂, где S₁ и S₂ — площади поперечных сечений сосуда и отверстия. Если S₁>>S₂, то членом v 2 ₁/2 можно пренебречь и

Это выражение получило название формулы Торричелли.

источники:

http://pandia.ru/text/77/441/80135.php

http://megapredmet.ru/2-495.html