Практические задания по решению тригонометрических уравнений

Практические задания по решению тригонометрических уравнений

1. Решить уравнение cos2x = 1/2.

Используем метод решения простейших тригонометрических уравнений и получаем:

2x = ±arccos(1/2) + 2πn = ±π/3 + 2πn (здесь и далее, n ∈ Z).

Откуда x = ±π/6 + πn.

Ответ: x = ±π/6 + πn.

2. Решить уравнение sin(3 — 2x) = -1/2.

Используем формулу из методов решений, имеем:

3 — 2x = (-1)n(arcsin(-1/2)) + πn = (-1)n(-π/6) + πn (здесь и далее n ∈ Z).

Делаем преобразование и получаем x = 3/2 + π/12(-1)n — πn/2.

Ответ: x = 3/2 + π/12(-1)n — πn/2.

3. Решить уравнение cos2x — 3sinx = 2.

Воспользуемся формулой удвоенного угла косинуса (cos2a = 1 — 2sin2a) и получим:

1 — 2sin2x — 3sinx = 2.

Воспользуемся методом замены, обозначим sinx = y. Уравнение примет вид:

Находим его корни: y1 = -1, y2 = -1/2.

Возвращаемся к исходной переменной и получаем совокупность sinx = -1 и sinx = -1/2.

Из первого получаем решение — x = -π/2 + 2πn, из второго — x = (-1)m(-π/6) + πm (m, n ∈ Z).

Ответ: x = -π/2 + 2πn или x = (-1)m(-π/6) + πm.

4. Решить уравнение 2tgx — 3ctgx = 1.

Так как ctgx = 1/tgx при x ≠ πn/2 (n ∈ Z) получаем уравнение

2tgx — 3/tgx = 1 или 2tg2x — tgx — 3 = 0.

Вводим новую переменную tgx = y и решаем квадратное уравнение 2y2 — y — 3 = 0 относительно y.

Оно имеет два решения y1 = 3/2, y2 = -1.

Возвращаемся к исходной переменной и решаем два уравнения:

tgx = 3/2, откуда x = arctg(3/2) + πn, n ∈ Z.

tgx = -1, откуда x = arctg(-1) + πm = -π/4 + πm, m ∈ Z.

Ответ: x = arctg(3/2) + πn или x = -π/4 + πm.

5. Решить уравнение 3cosx — sin2x = 1 — sin3x.

Сделаем следующее преобразование 3(cosx + sinx) = 1 + sin2x.

Замена cosx + sinx = t приведет к уравнению 3t = t2. Оно имеет корни t1 = 0, t2 = 3.

Берем первый корень, возвращаем замену и получаем cosx + sinx = 0, делим на cosx ≠ 0, откуда tgx = -1, x = -π/4 + πn (n ∈ Z).

Второй корень t2 дает уравнение cosx + sinx = 3. Это уравнение не имеет решений, т.к. и cosx, и cosx меньше равны 1, в сумме меньше равны 2.

Ответ: x = -π/4 + πn.

6. Решить уравнение cos2x + cos4x + cos6x = 0.

Проделаем следующие преобразования

(cos2x + cos6x) + cos4x = 0;

2cos4xcos2x + cos4x = 0;

cos 4 x (2 cos 2 x + 1) = 0.

Имеем два случая:

cos4x = 0, откуда 4x = π/2 + πn, x = π/8 + πn/4 (n ∈ Z).

2cos2x + 1 = 0 или cos2x = -1/2, откуда 2x = ±2π/3 + 2πm, x = ±π/3 + πm (m ∈ Z).

Ответ: x = π/8 + πn/4 или x = ±π/3 + πm.

7. Решить уравнение cos5x = cos2x.

Переносим в одну сторону и применяем формулу разницы косинусов:

sin (7 x /2) sin (3 x /2) = 0;

Откуда либо sin(7x/2) = 0, либо sin(3x/2) = 0.

Из первого: 7x/2 = πn или x = 2πn/7 (n ∈ Z).

Из второго: 3x/2 = πn или x = 2πm/3 (m ∈ Z).

Ответ: x = 2πn/7 или x = 2πm/3.

8. Решить уравнение sin3x — 2cos2xsinx = 0.

Для начала отметим, что можно вынести sinx за скобки:

sinx(sin2x — 2cos2x) = 0.

Уравнение распадается на два случая:

sinx = 0, откуда x = πn (n ∈ Z).

sin2x — 2cos2x = 0. Заметим, что данное уравнение однородное. Делим его на cos2x ≠ 0 и получаем:

Ответ: x = πn или x = ±arctg√2 + πm

9. Решить уравнение 4sin2x — 3sinxcosx + 5cos2x = 3.

Заметим, что если бы в правой части был ноль, данное уравнение было бы однородным и мы знали как его решить. Проведем преобразование и сделаем его таковым:

sin2x — 3sinxcosx + 2cos2 + 3(sin2x + cos2x) = 3;

sin2x — 3sinxcosx + 2cos2x = 0.

А вот это уравнение является однородным, потому делим обе его части на sin2x ≠ 0 (ведь, если sinx = 0, то и cosx = 0, что одновременно невозможно).

1 — 3ctgx + 2ctg2x = 0;

2ctg2x — 3ctgx + 1 = 0.

Теперь мы можем использовать замену переменной, а именно ctgx = t и решать квадратное уравнение относительно t:

Уравнение имеет корни t1 = 1, t2 = 1/2.

Возвращаемся к неизвестному x и получаем

из t1: ctgx = 1, откуда x = π/4 + πn (n ∈ Z);

из t2: ctgx = 1/2, откуда x = arcctg(1/2) + πm (m ∈ Z).

Ответ: x = π/4 + πn или x = arcctg(1/2) + πm.

10. Решить уравнение sinx + tg(x/2) = 2.

Заметим, что числа π + 2πn (n ∈ Z) не являются корнями данного уравнения, потому можно воспользоваться универсальной заменой tg(x/2) = t. Тогда уравнение примет вид:

t3 — 2t2 + 3t — 2 = 0;

t2(t — 1) — (t2 — 3t + 2) = 0;

t2(t — 1) — (t — 2)(t — 1) = 0;

(t — 1)(t2 — t + 2) = 0;

Так как второй множитель всегда положителен, то решение одно t = 1. Возвращаясь к исходному неизвестному получаем:

x = π/2 + 2πn, n ∈ Z.

Ответ: x = π/2 + 2πn.

11. Решить уравнение 4sinx — 3cosx = 3.

Применим универсальную замену tg(x/2) = y. Отметим, что числа π + 2πn (n ∈ Z) являются корнями указанного уравнения, потому добавляем их к ответу.

Замена же приводит к следующему уравнению:

Делая преобразования получаем 8y = 6;

Возвращаемся к исходной переменной tg(x/2) = 3/4, откуда

x = 2arctg(3/4) + 2 π n (n ∈ Z).

Ответ : x = 2arctg(3/4) + 2 π n или x = π + 2 π n.

12. Решить уравнение sin3x cos8x = 1.

Используем формулу произведения синуса и косинуса:

(sin(3x + 8x) + sin(3x — 8x))/2 = 1;

sin11x — sin5x = 2.

Отметим, что |sin11x| ≤ 1 и |sin5x| ≤ 1, а потому левая часть может равняться 2 лишь в случае, когда sin11x = 1 и sin5x = -1.

Решая первое уравнение sin11x = 1 приходим к ответу x = π/22 + 2πn/11 (n ∈ Z).

Решая второе уравнение sin5x = -1 приходим к ответу x = -π/10 + 2πm/5 (m ∈ Z).

Найдем те случаи, когда оба условия выполняются, т.е.

π/22 + 2πn/11 = -π/10 + 2πm/5;

(4n + 1)π/22 = (4m — 1)π/10;

5n = 11m — 4 (n, m ∈ Z).

Данное уравнение называется диофантовым и имеет следующие решения: m = 4 + 5t, n = 8 + 11t (n, t, m ∈ Z).

Откуда x = -π/10 + 2πm/5 = -π/10 + 2π(4 + 5t)/5 = 3π/2 + 2πt (t ∈ Z).

Ответ: x = 3π/2 + 2πt.

13. Решить уравнение ctg2x = cos22x — 1.

Сделаем преобразование cos22x — 1 = -sin22x и получим:

Отметим, что ctg2x ≥ 0, а -sin22x ≤ 0. Равенство выполняется, когда ctg2x = 0 и sin22x = 0.

Первое уравнение ctg2x = 0 имеет решение x = π/2 + πn (n ∈ Z).

Второе уравнение sin22x = 0 имеет решение x = πm/2 (m ∈ Z).

Найдем общее решение:

n = 3 + 2t, m = 1 + t (m, n, t ∈ Z).

Откуда x = π m/2 = (1 + t) π /2 = 3 π /2 + π t (t ∈ Z).

Ответ: x = 3π/2 + πt.

14. Решить уравнение sin3x cos5x = 1.

Используем формулу произведения синуса и косинуса:

(sin8x — sin2x)/2 = 1;

sin8x — sin2x = 2.

Уравнение будет иметь решения лишь тогда, когда sin8x = 1, а sin2x = -1.

Первое уравнение sin8x = 1 имеет решения x = π/16 + πn/4 (n ∈ Z) (*).

Второе уравнение sin2x = -1 имеет решения x = -π/4 + πm (m ∈ Z) (**).

Найдем решения, удовлетворяющие оба случая:

π/16 + πn/4 = -π/4 + πm;

Левая часть уравнения делится на 4, правая — нет. Потому данное уравнение не имеет решения в целых числах. А значит и общих решений у (*) и (**) нет.

Практическая занятие по теме: «Решение простейших тригонометрических уравнений»

Цели:

Образовательная: добиться понимания решения простейших тригонометрических уравнений.

Воспитательная: воспитывать внимательность и самостоятельность.

Развивающая: развитие самостоятельности в решении тригонометрических уравнений приводимых к простейшим.

Оборудование: доска, компьютер, проектор, экран, индивидуальные карточки задания.

Использование элементов педагогических технологий:

Результативность:

формирование компетенций: учебно-познавательной, личного самосовершенствования.

Просмотр содержимого документа
«Практическая занятие по теме: «Решение простейших тригонометрических уравнений»»

Тема: Решение простейших тригонометрических уравнений

Образовательная: добиться понимания решения простейших тригонометрических уравнений.

Воспитательная: воспитывать внимательность и самостоятельность.

Развивающая: развитие самостоятельности в решении тригонометрических уравнений приводимых к простейшим.

Оборудование: доска, компьютер, проектор, экран, индивидуальные карточки задания.

Использование элементов педагогических технологий:

формирование компетенций: учебно-познавательной, личного самосовершенствования.

Повторение опорных знаний:

1.Определение тригонометрических уравнений
.Формулы решения простейших тригонометрических уравнений вида:

3.Частные случаи решения тригонометрических уравнений:

4.Свойства обратных тригонометрических функций, используемых при решении тригонометрических уравнений:

Применение умений и знаний при решении типовых заданий.

2.Решить простейшие тригонометрические уравнения:

3. решить тригонометрических уравнений, приводимых к простейшим.

3. Практический этап.

Самостоятельное применение умений и знаний.

Провести самостоятельную работу в 15 вариантах. (Приложение 1)

1. Алимов Ш.А .и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа(базовый и углубленный уровни).10-11 классы. – М., 2014г

2.Богомолов Н.В. Математика: учебник для прикладного бакалавриата / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко.-5е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство Юрайт, 2014

Варианты для самостоятельной работы.

Практические задания по теме «Тригонометрические уравнения»

Данная практическая работа может быть использована для проверки или отработки навыков умения решать простейшие тригонометрические уравнения.

Целевая аудитория: для 10 класса

Автор: Мурзагалиева Акмоншак Хасеновна
Место работы: МБОУ СОШ с.Камышки
Добавил: grafika2010

Физкультминутки обеспечивают кратковременный отдых детей на уроке, а также способствуют переключению внимания с одного вида деятельности на другой.

Уважаемые коллеги! Добавьте свою презентацию на Учительский портал и получите бесплатное свидетельство о публикации методического материала в международном СМИ.

Диплом и справка о публикации каждому участнику!

© 2007 — 2022 Сообщество учителей-предметников «Учительский портал»
Свидетельство о регистрации СМИ: Эл № ФС77-64383 выдано 31.12.2015 г. Роскомнадзором.
Территория распространения: Российская Федерация, зарубежные страны.
Учредитель: Никитенко Евгений Игоревич

Сайт является информационным посредником и предоставляет возможность пользователям размещать свои материалы на его страницах.
Публикуя материалы на сайте, пользователи берут на себя всю ответственность за содержание материалов и разрешение любых спорных вопросов с третьими лицами.
При этом администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта.
Если вы обнаружили, что на сайте незаконно используются материалы, сообщите администратору через форму обратной связи — материалы будут удалены.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы пользователями сайта и представлены исключительно в ознакомительных целях. Использование материалов сайта возможно только с разрешения администрации портала.

Фотографии предоставлены