Применение дифференциальных уравнений первого порядка для решения задач
Раздел 1. Математический анализ
Тема 1.4. Дифференциальные уравнения и их применения в медицине
1. Основные понятия и определения дифференциального уравнения.
2. Методы решения некоторых дифференциальных уравнений.
3. Применение дифференциальных уравнений первого порядка для решения задач.
Основные понятия и определения дифференциального уравнения
Опр. Равенство, связывающее независимую переменную х, неизвестную функцию у = f(x), а так же её производные y’,y”,….. y n , называется обыкновенным дифференциальным уравнением.
F(x,y.y’,y”………) = 0, где F – известная функция, заданная в некоторой фиксированной области; х – независимая переменная; у – зависимая переменная; y’,y”,….. y n – её производные.
Опр. Решением дифференциального уравнения называется функция у = f(x), которая будучи представлена в уравнении F(x,y.y’,y”………) = 0, обращает его в тождество. График этой функции называется интегральной кривой.
Пример 1.1. Дифференциальное уравнение
Представим в виде: ; возьмём интеграл от левой и правой части уравнения: Получим – общее решение дифференциального уравнения, которое включает произвольную постоянную с.
Методы решения некоторых дифференциальных уравнений
Выбор метода решения дифференциального уравнения зависит от его вида.
Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
Уравнения вида называется уравнением с разделяющимися переменными, если функция разлагаются на множители, зависящие каждый только от одной переменной:
После резделения переменных, когда каждый член будет зависеть только от одной переменной, общий интеграл уравнения находится почленным интегрированием:
Решением этого уравнения будет:
Пример 2.1. Найти решение уравнения: .
Разделим уравнение на множители, зависящие только от одной переменной:
Проинтегрируем левую и правую части:
Общее решение:
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Опр. Уравнения вида: , где – непрерывные функции, называются линейными дифференциальными уравнениями первого порядка.
При уравнение – называется линейным однородным уравнением. Общее решение:
При уравнение – называется линейным неоднородным уравнением. Общее решение:
Применение дифференциальных уравнений первого порядка для решения задач
Этапы решения задач с помощью дифференциальных уравнений:
1. Оформить условия, в которых протекают изучаемые процессы;
2. Выбрать зависимые и независимые переменные;
3. Определить функциональные зависимости между ними
4. Решение уравнения;
5. Анализ полученных решений.
В уравнениях, описывающих медико-биологические процессы, в качестве независимой переменной чаще всего используется временная компонента.
Размножение бактерий
Если бактерии обитают в благоприятной среде, то скорость размножения бактерий пропорциональна размеру популяции. Такое предположение описывается дифференциальным уравнением: где х – количество бактерий; k – коэффициент пропорциональности. Тогда, разделяя переменные и интегрируя левую и правую части уравнения получим: где N0 – начальное количество бактерий; N — количество бактерий в момент времени t.
Вычислим определённые интегралы:
Получим экспоненциальную кривую, которая зависит от времени и k. Если то количество бактерий будет возрастать по экспоненциальному закону, при , а при — оставаться на постоянном уровне.
N |
N0 |
k 0 |
t |
Для определения значения k необходимо иметь дополнительные сведения об изменении численности бактерий за определённый промежуток времени.
Внутривенное введение глюкозы
При внутривенном введении с помощью капельницы скорость поступления глюкозы в кровь постоянна и равна с. В крови глюкоза разлагается и удаляется из кровеносной системы со скоростью, пропорциональной имеющемуся количеству глюкозы. Тогда дифференциальное уравнение, описывающее этот процесс, имеет вид: где х – количество глюкозы в крови в текущий момент времени; с – скорость поступления глюкозы в кровь; — положительная постоянная. Запишем это уравнение в виде:
Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка, и его общее решение находиться по формуле:
где k- постоянная интегрирования. Чтобы найти постоянную k, необходимо знать начальное значение глюкозы в крови х (0).
Тогда .
Частное решение уравнения имеет вид:
При увеличении времени уровень глюкозы в крови приближается к .
Методическая разработка практического занятия для студента «Дифференциальные уравнения»
учебно-методический материал на тему
Методическая разработка практического занятия для студента «Дифференциальные уравнения»
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
dif_uravneniya.docx | 171.76 КБ |
Предварительный просмотр:
Краевое государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
Минусинский медицинский техникум
практического занятия по № 4
Специальность: 060101 Лечебное дело
Год обучения : 1 курс, 1 семестр
Тема : Дифференциальные уравнения
Разработчик : преподаватель дисциплины «Математика» Н.В. Новолодская
Составлена в соответствии с требованиями ФГОС
Рассмотрена на заседании цикловой методической комиссии «______________________»
Зам. директора по учебной работе
«___» ________________ 201__ г.
Тема : Дифференциальные уравнения.
Исследование многих физических и технических задач сводится к решению таких уравнений. С помощью дифференциальных уравнений описывают волновые процессы и колебания, поэтому практическое применение дифференциальных уравнений очень разнообразно.
В медицинских приложениях дифференциальные уравнения используются, например:
- для определения скорости кровотока, скорости движения клапанов и стенок сердца (эхокардиография), определения вязкости крови и других параметров гемодинамики;
- для описания медико-биологических приложений ультразвука: эхоэнцефалограмма, УЗИ, ультразвуковая физиотерапия, ультразвуковая локация и кардиография;
- для описания процессов физиологической акустики, которая изучает устройство и работу звуковоспринимающих и звуковоспроизводящих органов человека и животных
- для определения функции изменения численности популяции микроорганизмов в зависимости от времени.
Студент должен уметь:
- находить общие и частные решения ДУ с разделяющимися переменными;
- находить общие и частные решения ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами;
- составлять ДУ для решения задач прикладного характера.
Студент должен знать:
- понятие дифференциального уравнения (ДУ), порядок ДУ, общего и ча-стного решения;
- понятие ДУ с разделяющимися переменными, алгоритм их решения
- понятие ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами, алгоритм их решения;
- практическое применение ДУ в медицине.
Оснащение : таблица неопределенных интегралов, дидактический материал.
Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений.
Преподаватель математики Елена Геннадьевна Шерстнева
ЗАНЯТИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ( 2 КУРС)
Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений .
Вид занятия: Применение знаний, умений и навыков полученных при изучении дифференциальных уравнений.
Учебные: показать алгоритм решения задач на составление дифференциальных уравнений, познакомить с математическими моделями в физике, биологии, экономике. Учащиеся должны понимать сущность приложения математики к решению технических задач, которая заключается в том, что задачу переводят на язык математики, решают ее, как принято в математике, и интерпретируют на языке исходных данных.
Воспитательные. Формировать научное мировоззрение. Продолжить знакомить учащихся с понятием математического моделирования, рассказать о том, что одними и теми же дифференциальными уравнениями можно описывать совершенно разные реальные процессы, например электротехнические, механические и другие, т.е. дифференциальные уравнения как математические модели обладают большой общностью и в этом их важное философское и познавательное значение.
Межпредметные связи. Рассматриваемые на занятии математические модели в физике, биологии, экономике помогут увидеть силу межпредметных связей, важную роль математики, дающей мощный аппарат для решения многих задач, которые выдвигаются и успешно решаются в различных областях науки и практики.
Мотивация познавательной деятельности учащихся. Показать практическую значимость изучаемого материала, его широкое применение в общетехнических и специальных дисциплинах. Многие производственные процессы описываются дифференциальными уравнениями. Поэтому важно не только уметь решать сами дифференциальные уравнения, но и уметь составлять эти уравнения исходя из практической потребности.
Основные знания и умения: иметь понятие о решении несложных задач на составление дифференциальных уравнений по физике, электротехнике, экономике.
Раздаточный материал: Опорный конспект с планом занятия и набором задач для решения.
Технические средства обучения: использование фрагментов из компьютерной программы обучения «Функции и графики», компьютерная презентация конструкторской задачи.
Литература: 1. Валуцэ И.И. Математика для техникумов
2. Соловейчик И.Л. Сборник задач по математике для техникумов
3. Баврин И.И. Начала анализа и математические модели в естествознании и
4. Филимонова Е.В. Математика (среднее профессиональное образование).
Вопросы и упражнения для выполнения на занятии
Какое уравнение называется дифференциальным?
Назовите виды дифференциальных уравнений.
Решите уравнение: 2у dx = (1+ x ) dy . Найти уравнение интегральной кривой, проходящей через точку (1; 4). Задача Коши.
Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна их количеству М в рассматриваемый момент времени t . Найти зависимость количества бактерий от времени. Начальные условия М =М при t =0
Скорость распада радия пропорциональна его начальному количеству R в данный момент времени t . Найти закон радиоактивного распада. Начальные условия R = R 0 при t =0.
Скорость изменения количества населения прямо пропорциональна этому количеству А на данный период времени. Построить математическую модель прироста (убыли) населения. Начальные условия А = А при t =0.
Решить уравнение: ху ‘ + у = х (х ≠ 0).
Инженерно-конструкторская задача. Найти форму автомобильной фары так, чтобы все лучи от зеркала фары шли цилиндрическим световым пучком.
Задача «Истощение ресурсов» В 1980 году для обеспечения пищей одного человека требовалась площадь 0,1 га и на земном шаре было 4000 млн га пахотной земли. Предположим, что с 1980 г эти условия по настоящее время не изменились и не изменятся в будущем, а также не появились и не появятся новые источники пищи. Тогда население Земли должно быть ограничено количеством 40 000 млн человек. Когда будет достигнут этот предел насыщения, если в 1980 году оно составляло 3600 млн человек и непрерывно растет со скоростью 1,7 % в год.
Дополнительные задачи: Скорость прямолинейного движения точки выражается формулой V = 3 + 4 t . Найдите уравнение движения точки, если S = 10 м при t =1 c
Подумайте, какая функция может являться решением уравнения: у » = — k 2 у (уравнение гармонических колебаний). Вторая производная функции равна самой функции с точностью до постоянного множителя.
Запишите домашнее задание №10, 107 учебник И.И. Валуцэ стр.351
«Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа в данный момент времени пропорциональна его фактической стоимости ……»
Подведение итогов урока
Математическая модель, основанная на некотором упрощении, никогда не бывает тождественна рассматриваемому объекту, не передает всех его свойств и особенностей, а является его приближенным отражением. Однако, благодаря замене реального объекта соответствующей ему моделью появляется возможность математически сформулировать задачу его изучения и воспользоваться для анализа его свойств математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы данного объекта. Этот аппарат позволяет единообразно описать широкий круг фактов и наблюдений, провести их детальный количественный анализ, предсказать, как поведет себя объект в различных условиях, т.е. прогнозировать результаты будущих наблюдений.
В 1917 году Эйнштейн сделал первую попытку применить общую теорию относительности для описания пространственно временной структуры Вселенной. А основные уравнения теории относительности – это дифференциальные уравнения, имеющие множество решений. Отсюда множество моделей Вселенной.
Дифференциальные уравнения показательного роста (убывания).
Дифференциальные уравнения имеют большое прикладное значение, являясь мощным орудием исследования задач естествознания и техники, они широко используются в механике, астрономии, физике, во многих задачах химии, биологии. Это объясняется тем, что весьма часто объективные законы, которым подчиняются те или иные явления (процессы), записываются в форме дифференциальных уравнений, а сами эти уравнения являются средством для количественного выражения этих законов. Например, законы механики Ньютона позволяют механическую задачу описания движения системы материальных точек или твердого тела свести к математической задаче нахождения решений дифференциальных уравнений. Расчет радиотехнических схем и вычисление траектории спутников, исследование устойчивости самолета в полете и выяснение течения химических реакций – все это производится путем изучения и решения дифференциальных уравнений.
Мы будем рассматривать дифференциальное уравнение вида:
где k – const , причем k может быть : k > 0 или k
Зная формулу производной показательной функции, легко догадаться, что решением этого уравнения, является любая функция вида:
т.к. C – произвольная постоянная, то уравнение имеет бесконечно много решений.
Смысл дифференциального уравнения заключается в том, что скорость изменения функции в точке x пропорциональна значению самой функции в этой точке .
Приведем примеры, в которых величины изменяются по указанному закону .
Если r ‘ ( t ) скорость радиоактивного распада в момент времени t, то скорость уменьшения массы пропорциональна его количеству.
Значит, решением уравнения, является функция r ‘ ( t ) = С e — kt . Найдем из условия, что в начальный момент времени масса радиоактивного вещества была равна:
Промежуток времени T , через который масса радиоактивного вещества уменьшится в 2 раза называют “периодом полураспада”, зная Т , можно найти k :
Логарифмируя по основанию е , получаем — k T = – ln 2 ,
Например, для радия период полураспада . Поэтому, , следовательно, через 1 млн. лет от начальной массы r o останется.
Задача: Скорость размножения бактерий m ‘ (t) связана с массой m(t) бактерий в момент времени t уравнением:
где k > 0, зависящее от вида бактерий и внешних условий.
Решениями этого уравнения являются функции m ( t ) = C · e kt .
Постоянную C можно найти из условия, что в момент t = 0 масса m o бактерий известна, тогда
Задача. Два тела имеют одинаковую температуру – 100 0 . Они вынесены на воздух, его температура 0 0 . Через 10 мин. температура одного тела стала 80 0 , а второго – 64 0 . Через сколько минут после начала остывания разность их температур будет равна 25 0 .
Значит, 80 0 = 100 0 · e -10 k , e -10 k = 0,8
-10 k = ln 0,8,
2) 64 0 = 100 0 · 100 0 · e -10 k , тогда e -10 k = 0,64, следовательно -10 k = ln 0,64,
Следовательно
Ответ: t = 31,06 мин .
Задача. Задача о гармонических колебаниях.
В практике часто встречаются процессы, которые периодически повторяются например, колебательные движения маятника, струны, пружины, процессы связанные с переменным электрическим током, магнитным полем и т.д. Решение многих таких задач сводится к решению дифференциальных уравнений
где k – заданное положительное число
Инженерно-конструкторская задача. Найти форму автомобильной фары так, чтобы все лучи от зеркала фары шли цилиндрическим световым пучком. (Демонстрация презентации).
1.
2.
3.
4.
5.
Решаем квадратное уравнение относительно y’:
следовательно
Решим это уравнение, взяв + , заменяем на получаем
,умножаем обе части на dx , отсюда это однородное уравнение.
Сделаем замену y = z x и продифференцируем ее по x, получим dy = x dz + z dx , подставляем
Обе части делим на x получаем , раскрываем скобки и приводим подобные , разделяем переменные , интегрируем , решением будет функция далее , т.к , то раскрываем скобки в итоге получаем — это каноническое уравнение параболы с вершиной (; 0) и фокусом в точке (0;0).
Задача «Истощение ресурсов» В 1980 году для обеспечения пищей одного человека требовалась площадь 0,1 га и на земном шаре было 4000 млн га пахотной земли. Предположим, что с 1980 г эти условия по настоящее время не изменились и не изменятся в будущем, а так же не появились и не появятся новые источники пищи. Тогда население Земли должно быть ограничено количеством 40 000 млн человек. Когда будет достигнут этот предел насыщения, если в 1980 году оно составляло 3600 млн человек и непрерывно растет со скоростью 1,7 % в год.
Решение. А = А0 e к t
А0 = 3,6 · 10 9 , А = 40 · 10 9 , k = 0,017
40 · 10 9 = 3,6 · 10 9 · e 0,017t , t = (2 ln 10/3) /0,017 ≈ 142 г.
Ответ: В 2122 году наступит предел насыщения
Беседа о бережном отношении к природе и ее богатствам.
http://nsportal.ru/npo-spo/estestvennye-nauki/library/2013/11/02/metodicheskaya-razrabotka-prakticheskogo-zanyatiya-3
http://infourok.ru/zanyatie-po-matematike-kurs-reshenie-zadach-prikladnogo-haraktera-na-sostavlenie-differencialnih-uravneniy-718684.html