Практическое применение уравнения бернулли для расчета напорных трубопроводов

Курс лекций для специальности 140104 «Промышленная теплоэнергетика» москва 2011

Главная > Контрольные вопросы

Сумма в каждом сечении является пьезометрическим на­пором .

Линия, соединяющая отметки показаний пьезометров, назы­ва­ется пьезометрической линией.

Величина называется скоростным напором

Сумма пьезометрического и скоростного напоров называется гидродинамическим, или полным напором, который можно выразить зависимостью

.

Линия, соединяющая отметки гидродинамических напоров вдоль движения, называется напорной линией, а ее уклон – гидрав­ли­ческим уклоном I.

Величина в уравнении Бернулли представляет потери на­по­ра. Если потери напора отнести к единице длины потока, то полу­чим гидравлический уклон.

В горизонтальных напорных трубках потери напора возникают при уменьшении давления:

– пьезометрический уклон;

– гидравлический уклон.

3.11. Практическое применение уравнения Бернулли

На основе уравнения Бернулли сконструирован ряд приборов, таких, как водомер Вентури, водоструйный насос, эжектор, карбю­ра­торы поршневых двигателей и др.

Примеры

Пример 1 . Водомер Вентури представляет собой короткий от­резок трубы с сужением посредине (рис. 3.13). В широкой части и гор­ловине устанавливаются либо пьезометры, либо дифференциаль­ный манометр.

Применим уравнение Бернулли для сечений 1–1 и 2–2 без учета потерь и при

.

Преобразуем уравнение следующем образом:

.

Согласно (рис. 3.13) разность в левой части равна h .

;

;

.

Используя уравнение расхода , преобразуем формулу к виду

.

Обозначим постоянные величины через – по­стоянная Водомера, тогда – теоретический расход. Дейст­вительный расход водомера определяется по формуле

,

где  – коэффициент расхода водомера.

Пример 2 . Карбюратор поршневых двигателей внутреннего сго­рания служит для осуществления подачи бензина и смешения его с потоком воздуха (рис. 3.14). Поток воздуха, засасываемый в дви­гатель, сужается там, где установлен распылитель бензина.

Скорость воздуха в этом сечении возрастает, а давление по уравнению Бернулли падает.

Найдем соотношение между весовым расходом бензина G б и воздуха G в при заданных размерах D и d и коэффициентах со­про­тив­ления воздушного канала (до сечения 2-2)  в и жиклера ж .

Запишем уравнение Бернулли для потока воздуха (сечения 0–0 и 2–2), а затем для потока бензина (сечения 1–1 и 2–2) и получим при и  = 1.

;

.

.

С учетом весовых расходов

и

.

Пример 3 . Трубка Пито широко применяется для измерения скорости воды и газа. Составим уравнение Бернулли для сечений 1–1 и 2–2. Го­ризонтальная плоскость сравнения 0–0 проходит через носок трубки (рис. 3.15)

.

Так как ; то, обозначив за­пи­шем:

.

.

Контрольные вопросы

1. Напишите уравнение Бернулли для элементарной струйки невязкой жидкости и поясните величины, входящие в него.

2. Чем отличается уравнение Бернулли для потока реальной жидкости от уравнения Бернулли для элементарной струйки?

3. Что называется полной удельной энергией потока?

4. Поясните физический смысл коэффициента Кориолиса в уравнении Бернулли.

5. Поясните энергетический смысл уравнения Бернулли.

6. Что называется пьезометрическим и гидравлическим уклонами?

7. Приведите примеры практического применения уравнения Бер­нулли.

8. На основе какой модели получен вывод уравнения Бернулли для потока реальной жидкости.

9. Что такое пьезометрический и скоростной напор?

Что называется полным напором?

3.12. Гидравлические сопротивления.
Режимы движения жидкости

При движении реальных жидкостей в различных гидросистемах требуется точная оценка потерь напора на преодоление гидрав­ли­ческих сопротивлений. Точный учёт этих потерь во многом оп­ре­деляет надёжность технических расчётов. Кроме того, это позволяет найти экономически целесообразное инженерное решение, об­ладаю­щее достаточной степенью совершенства. Для этого необхо­ди­мо иметь ясное представление о механизме движения жидкости.

В процессе исследований известный физик Рейнольдс в 1883 го­ду подтвердил теорию о существовании двух режимов движения жид­кости. Это прежде всего ламинарный режим движения жид­кости, соответствующий малым скоростям. Ламинарное движение можно рассматривать как движение отдельных слоёв жидкости, происходящее без перемешивания частиц.

При более высоких скоростях движения жидкости наблюдается турбулентный режим («турбулентус» по-латыни – вихревой). Та­кое движение называют беспорядочным.

Для оценки режима движения жидкости Рейнольдс ввёл без­размерный критерий Re, который учитывает влияние скорости v , диаметра (характерного размера) , плотности , а также ди­на­ми­ческой вязкости :

или ,

где  = – кинематическая вязкость.

Граница существования того или иного режима движения жид­кости определяется двумя критическими значениями числа Re: ниж­ним и верхним .

Так, при > Re возможен только ламинарный режим, а при b и h

.

Тогда .

Критерий Рейнольдса является как бы мерой отношения кине­ма­тической энергии жидкости к работе сил вязкого трения. От кри­терия Рейнольдса в общем случае зависят все безразмерные коэф­фи­циенты, входящие в расчётные зависимости, которые приме­ня­ются в практике гидравлических расчётов.

3.13. Потери напора при равномерном движении

Рассмотрим равномерное движение в трубопроводе при следую­щих условиях:

1. Ускорение потока равно нулю, следовательно, силы инерции отсутствуют.

2. Средние скорости во всех поперечных сечениях одинаковы.

3. Местные сопротивления отсутствуют. Существуют сопротив­ле­ния по длине, вызывающие соответствующие потери напора на трение (рис. 3.16).

4. Закон распределения давления между сечениями 1–1 и 2–2 подчиняется гидростатическому, т.е.

.

5. На объём жидкости между сечениями 1–1 и 2–2 действуют силы внешнего давления Р 1 и Р 2 ( Р = р  ), сила тяжести и сила сопротивления движению .

Пользуясь принципом Д’Аламбера, напишем уравнение дина­ми­ческого равновесия для массы жидкости, заключённой между сече­ниями 1–1 и 2–2 на оси х :

. (3.29)

В состав активных сил входят:

1. Сила земного притяжения , проекция которой на ось х равна:

.

Так как , то получаем

. (3.30)

2. С учётом допущения п. 4, равнодействующие сил давления Р 1 и Р 2 приложены в центрах тяжести сечений 1–1 и 2–2 и равны:

и .

Тогда сумма проекций на ось х

. (3.31  )

3. Нормальные силы к оси х равны и противоположно направ-ле­ны, поэтому проекции сил N . N равны нулю.

Очевидно, что левая часть уравнения (3.30) составляет две силы, а именно:

. (3.32)

Силы сопротивления F сопр определяются по касательным напря­жениям на стенке канала. Эти силы направлены параллельно оси потока в сторону, обратную движению жидкости.

Обозначим силу сопротивления на элементарную площадку d  через dF , тогда для участка трубы имеем:

. (3.33)

После интегрирования, принимая ( может изме-няться по периметру) в выражении (3.33), получим

, (3.34)

среднее значение касательного напряжения на стенке.

С учётом уравнений (3.32) и (3.34) запишем уравнение динами­чес­кого равновесия в виде

. (3.35)

Разделив члены уравнения (3.35) на , получим

. (3.36)

Обозначим отношение , после преобразования выражения (3.36), имеем

. (3.37)

Сравним уравнение Бернулли, записанное для сечений 1–1 и 2–2:

. (3.38)

Так как при равномерном движении , то из сопоставления уравнений (3.37) и (3.38) находим

. (3.39)

Учитывая, что (где i – гидравлический уклон), преоб­ра­зуем выражение (3.39) к виду

или . (3.40)

Это уравнение академик Н.Н. Павловский назвал основным урав­нением равномерного движения.

Опытным путём Шези установлено, что величина пропор­цио­нальна квадрату скорости, т.е.

, (3.41)

коэффициент пропорциональности, в общем случае вели­чи­на переменная.

Подставим равенство (3.41) в выражение (3.39), получим фор­мулу Вейсбаха

.

Учитывая, что , преобразуем формулу Вейсбаха к виду

.

Обозначим , получим

, (3.42)

коэффициент гидравлического трения.

Формула (3.42) именуется формулой Дарси-Вейсбаха. Она ис­поль­зуется для расчёта трубопроводов.

Учитывая, что и , получим

.

.

Обозначив , м/с, получим формулу Шези

,

где С – коэффициент Шези.

Формула Шези получила широкое применение в расчётах от­крытых потоков.

Анализ формулы (3.42) показывает, что потери пропор­цио­наль­ны квадрату скорости, а закон сопротивления называется законом квадратичного сопротивления.

В то же время установлено, что потери напора, помимо скорос­ти, зависят от характера режима, формы и размеров сечения, вяз­кос­ти жидкости, материала и состояния стенок.

Это не учитывается формулами Шези и Дарси-Вейсбаха.

На графике (рис. 3.18) показана зависимость потерь на трение в зависимости от скорости движения жидкости . Однако квад­ратичные формулы Шези и Дарси-Вейсбаха очень удобны для практических целей и обычно применяются как для турбулентного, как и для ламинарного режимов течения жидкости.

Отклонения от квадратичного закона учитываются тем, что коэффициенты  и С ставятся в косвенную зависимость от скорости. Поэтому основная задача при определении потерь на трение при равномерном движении жидкости сводится к определению коэф­фи­циентов  и С при известной скорости движения жидкости.

3.14. Способы определения потерь напора
при равномерном движении жидкости

Основной формулой при расчёте напорных трубопроводов явля­е­т­ся формула Дарси-Вейсбаха:

,

а при расчёте течений в открытых руслах – формула Шези:

.

Применение этих формул связано с определением коэффициен­тов  и С .

При ламинарном движении жидкости коэффициент  для труб определяется по формуле

. (3.43)

Впервые наиболее исчерпывающие данные о значении  были получены Никурадзе. Результаты показаны на рис. 3.19.

В пределах прямой 1 коэффициент  зависит не от шерохо­ва­тости стенок трубы, а от числа Re (см. формулу 3.43). Прямая 2 представляет зависимость для гидравлических гладких труб, у которых шероховатость меньше толщины ламинарного при­стенного слоя.

Коэффициент  для гидравлических гладких труб определяется по формуле Блазиуса (прямая 2):

(3.44)

Между линиями 2 и линией 3 слева располагается зона А , в ко­то­рой  зависит как от числа Рейнольдса, так и от шероховатости по­верхности стенок труб.

Для определения  в этой области может применяться формула А. Д. Альтшуля:

, (3.45)

где k э – эквивалентная равномерно зернистая шероховатость, опре­де­ляемая опытным путем.

В области Б коэффициент  зависит только от шероховатости.

Для определения  в этой области рекомендуется формула Никурадзе

, (3.46)

абсолютная шероховатость стенок трубы.

Сущеструют формулы Ф. А. Шевелёва, Н. З. Френкеля, Л. А. Тепакса, Б. Н. Шифринсона, Н. Ф. Фёдорова и других.

3.15. Местные гидравлические сопротивления

Местные сопротивления вызываются фасонными частями, ар­ма­турой и другими элементами трубопровода. При движении жид­кости на местных сопротивлениях изменяется величина и направ­ле­ние скорости.

Потери, связанные с преодолением местных сопротивлений, про­пор­циональны кинетической энергии потока:

, (3.47)

где  м – коэффициент местных сопротивлений зависит не только от вязкости и скорости движения основного потока, но главным образом от геометрической формы и размеров сопротивления.

При турбулентном режиме движения жидкости потери h м зависят только от геометрических характеристик сопротивления.

Рассмотрим вопрос о потере напора при внезапном расширении трубопровода (рис. 3.20). Часть энергии в этом случае расходуется на сложное циркуляционное движение жидкости в кольцевом про­странстве между струёй и стенками трубы за сечением 1–1.

Вследствие отрыва потока и связанного с ним вихреобразования на участке трубы между сечениями 1–1 и 2–2 наблюдаются зна­чи­тельные потери напора.

Учитывая, что давление на торцевой стенке АВ практически равно давлению на выходе из узкой части трубы р 1 , найдём вели­чи­ну потерь по уравнению Бернулли:

(3.48)

Из теоремы импульсов для сечений 1–1 и 2–2 можно записать:

. (3.49)

Пренебрегая силами трения на участке 1–2 и учитывая, что , после деления на обеих частей уравнения (3.49) получим:

. (3.50)

Подставляя выражение (3.50) в уравнение (3.48), найдём:

. (3.51)

То есть, потери напора при внезапном расширении равны ско­рост­ному напору от потерянной скорости. Выражение (3.51) назы­вается теоремой, или формулой Борда.

Формулу (3.51) можно привести к виду:

.

С учётом того, что 1  1 = 2  2 и , получим:

– относится к скорости 1 ;

– относится к скорости 2 .

Суммарные потери напора в трубопроводе постоянного диаметра

.

Примеры

Пример 1 . Определить режим движения жидкости в лотке пря­моугольной формы высотой 0,2 м и шириной 0,5 м при уровне воды 0,15 м и скорости = 1,2 м/c (рис. 3.21).

Практическое применение уравнения бернулли для расчета напорных трубопроводов

При расчетах напорных трубопроводов основной задачей является либо определение пропускной способности (расхода), либо потери напора на том или ином участке, равно как и на всей длине, либо диаметра трубопровода на заданных расходе и потерях напора.

В практике трубопроводы делятся на короткие и длинные. К первым относятся все трубопроводы, в которых местные потери напора превышают 5…10% потерь напора по длине. При расчетах таких трубопроводов обязательно учитывают потери напора в местных сопротивлениях. К ним относят, к примеру, маслопроводы объемных передач.

Ко вторым относятся трубопроводы, в которых местные потери меньше 5…10% потерь напора по длине. Их расчет ведется без учета местных потерь. К таким трубопроводам относятся, например, магистральные водоводы, нефтепроводы.

Учитывая гидравлическую схему работы длинных трубопроводов, их можно разделить также на простые исложные. Простыми называются последовательно соединенные трубопроводы одного или различных сечений, не имеющих никаких ответвлений. К сложным трубопроводам относятся системы труб с одним или несколькими ответвлениями, параллельными ветвями и т.д. К сложным относятся и так называемые кольцевые трубопроводы.

Жидкость по трубопроводу движется благодаря тому, что ее энергия в начале трубопровода больше, чем в конце. Этот перепад уровней энергии может создаваться несколькими способами: работой насоса, разностью уровней жидкости, давлением газа.

Рассмотрим простой трубопровод постоянного сечения, который расположен произвольно в пространстве (рис. 6.1), имеет общую длину l и диаметр d, а также содержит ряд местных сопротивлений (вентиль, фильтр и обратный клапан). В начальном сечении трубопровода 1-1 геометрическая высота равна z₁ и избыточное давление Р₁, а в конечном сечении 2-2 — соответственно z₂ и Р₂. Скорость потока в этих сечениях вследствие постоянства диаметра трубы одинакова и равна ν.

Запишем уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2. Поскольку скорость в обоих сечениях одинакова и α₁ = α₂, то скоростной напор можно не учитывать. При этом получим

Пьезометрическую высоту, стоящую в левой части уравнения, назовем потребным напором Н_потр. Если же эта пьезометрическая высота задана, то ее называют располагаемым напором Н_расп. Такой напор складывается из геометрической высоты H_потр, на которую поднимается жидкость, пьезометрической высоты в конце трубопровода и суммы всех потерь напора в трубопроводе.

Назовем сумму первых двух слагаемых статическим напором, который представим как некоторую эквивалентную геометрическую высоту

а последнее слагаемое Σh — как степенную функцию расхода

где K — величина, называемая сопротивлением трубопровода;
Q — расход жидкости;
m — показатель степени, который имеет разные значения в зависимости от режима течения.

Для ламинарного течения при замене местных сопротивлений эквивалентными длинами сопротивление трубопровода равно

Численные значения эквивалентных длин l_экв для различных местных сопротивлений обычно находят опытным путем.

Для турбулентного течения, используя формулу Вейсбаха-Дарси, и выражая в ней скорость через расход, получаем

По этим формулам можно построить кривую потребного напора в зависимости от расхода. Чем больше расход Q, который необходимо обеспечить в трубопроводе, тем больше требуется потребный напор Н_потр. При ламинарном течении эта кривая изображается прямой линией (рис.6.2, а), при турбулентном — параболой с показателем степени равном двум (рис.6.2, б).

Крутизна кривых потребного напора зависит от сопротивления трубопровода K и возрастает с увеличением длины трубопровода и уменьшением диаметра, а также с увеличением местных гидравлических сопротивлений.

Величина статического напора Н_ст положительна в том случае, когда жидкость движется вверх или в полость с повышенным давлением, и отрицательна при опускании жидкости или движении в полость с пониженным давлением. Точка пересечения кривой потребного напора с осью абсцисс (точка А) определяет расход при движении жидкости самотеком. Потребный напор в этом случае равен нулю.

Иногда вместо кривых потребного напора удобнее пользоваться характеристиками трубопровода.Характеристикой трубопровода называется зависимость суммарной потери напора (или давления) в трубопроводе от расхода:

Простые трубопроводы могут соединяться между собой, при этом их соединение может бытьпоследовательным или параллельным.

Последовательное соединение. Возьмем несколько труб различной длины, разного диаметра и содержащих разные местные сопротивления, и соединим их последовательно (рис. 6.3, а).

При подаче жидкости по такому составному трубопроводу от точки М к точке N расход жидкости Q во всех последовательно соединенных трубах 1, 2 и 3 будет одинаков, а полная потеря напора между точками М и Nравна сумме потерь напора во всех последовательно соединенных трубах. Таким образом, для последовательного соединения имеем следующие основные уравнения:

Эти уравнения определяют правила построения характеристик последовательного соединения труб (рис. 6.3, б). Если известны характеристики каждого трубопровода, то по ним можно построить характеристику всего последовательного соединения M-N. Для этого нужно сложить ординаты всех трех кривых.

Параллельное соединение. Такое соединение показано на рис. 6.4, а. Трубопроводы 1, 2 и 3 расположены горизонтально.

Обозначим полные напоры в точках М и N соответственно H_M и H_N , расход в основной магистрали (т.е. до разветвления и после слияния) — через Q, а в параллельных трубопроводах через Q₁, Q₂ и Q₃; суммарные потери в этих трубопроводах через Σ₁ , Σ₂ и Σ₃.

Очевидно, что расход жидкости в основной магистрали

Выразим потери напора в каждом из трубопроводов через полные напоры в точках М и N :

Отсюда делаем вывод, что

т.е. потери напора в параллельных трубопроводах равны между собой. Их можно выразить в общем виде через соответствующие расходы следующим образом

где K и m — определяются в зависимости от режима течения.

Из двух последних уравнений вытекает следующее правило: для построения характеристики параллельного соединения нескольких трубопроводов следует сложить абсциссы (расходы) характеристик этих трубопроводов при одинаковых ординатах ( Σ h). Пример такого построения дан на рис. 6.3, б.

Разветвленное соединение. Разветвленным соединением называется совокупность нескольких простых трубопроводов, имеющих одно общее сечение — место разветвления (или смыкания) труб.

Пусть основной трубопровод имеет разветвление в сечении М-М, от которого отходят, например, три трубы1, 2 и 3 разных диаметров, содержащие различные местные сопротивления (рис. 6.5, а). Геометрические высоты z₁, z₂ и z₃ конечных сечений и давления P₁, P₂ и P₃ в них будут также различны.

Так же как и для параллельных трубопроводов, общий расход в основном трубопроводе будет равен сумме расходов в каждом трубопроводе:

Записав уравнение Бернулли для сечения М-М и конечного сечения, например первого трубопровода, получим (пренебрегая разностью скоростных высот)

Обозначив сумму первых двух членов через H_ст и выражая третий член через расход (как это делалось в п.6.1), получаем

Аналогично для двух других трубопроводов можно записать

Таким образом, получаем систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными: Q₁, Q₂ и Q₃ и H_M.

Построение кривой потребного напора для разветвленного трубопровода выполняется сложением кривых потребных напоров для ветвей по правилу сложения характеристик параллельных трубопроводов (рис. 6.5, б) — сложением абсцисс (Q) при одинаковых ординатах (H_M). Кривые потребных напоров для ветвей отмечены цифрами 1, 2 и 3 , а суммарная кривая потребного напора для всего разветвления обозначена буквами ABCD. Из графика видно, что условием подачи жидкости во все ветви является неравенство H_M > H_ст1.

Сложный трубопровод в общем случае составлен из простых трубопроводов с последовательным и параллельным их соединением (рис. 6.6, а) или с разветвлениями (рис. 6.6, б).

Рассмотрим разомкнутый сложный трубопровод (рис. 6.6, б). магистральный трубопровод разветвляется в точках А и С. Жидкость подается к точкам (сечениям) B, D и E с расходами Q _B и Q_D и Q_E .

Пусть известны размеры магистралей и всех ветвей (простых трубопроводов), заданы все местные сопротивления, а также геометрические высоты конечных точек, отсчитываемые от плоскости M — N и избыточные давления в конечных точках P_B и P_D и P_E.

Для этого случая возможны два вида задач:

Задача 1. Дан расход Q в основной магистрали M_A. Необходимо определить расходы Q_B и Q_D и Q_E, а также потребный напор в точке М.

Задача 2. Дан напор в точке М. Определить расход в магистрали Q и расходы в каждой ветви.

Обе задачи решают на основе одной и той же системы уравнений, число которых на единицу больше числа конечных ветвей, а именно:

уравнение равенства потребных напоров для ветвей CD и CE

уравнение равенства потребных напоров для ветви АВ и сложного трубопровода АСЕD

выражение для потребного напора в точке М

Расчет сложных трубопроводов часто выполняют графоаналитическим способом, т.е. с применением кривых потребного напора и характеристик трубопроводов. Кривую потребного напора для сложного трубопровода следует строить следующим образом:
1) сложный трубопровод разбивают на ряд простых;
2) строят кривые потребных напоров для каждого из простых трубопроводов;
3) складывают кривые потребных напоров для ветвей (и параллельных линий, если они имеются) по правилу сложения характеристик параллельных трубопроводов;
4) полученную кривую складывают с характеристикой последовательно присоединенного трубопровода по соответствующему правилу (см. п.6.2).

Таким образом, при расчете идут от конечных точек трубопровода к начальной точке, т.е. против течения жидкости.

Сложный кольцевой трубопровод. Представляет собой систему смежных замкнутых контуров, с отбором жидкости в узловых точках или с непрерывной раздачей жидкости на отдельных участках (рис. 6.7).

Задачи для таких трубопроводов решают аналогичным методом с применением электроаналогий (закон Кирхгофа). При этом основываются на двух обязательных условиях. Первое условие — баланс расходов, т.е. равенство притока и оттока жидкости для каждой узловой точки. Второе условие — баланс напоров, т.е. равенство нулю алгебраической суммы потерь напора для каждого кольца (контура) при подсчете по направлению движения часовой стрелки или против нее.

Для расчета таких трубопроводов типичной является следующая задача. Дан максимальный напор в начальной точке, т.е. в точке 0, минимальный напор в наиболее удаленной точке Е, расходы во всех шести узлах и длины семи участков. Требуется определить диаметры трубопроводов на всех участках.

Как уже отмечалось выше, перепад уровней энергии, за счет которого жидкость течет по трубопроводу, может создаваться работой насоса, что широко применяется в машиностроении. Рассмотрим совместную работу трубопровода с насосом и принцип расчета трубопровода с насосной подачей жидкости.

Трубопровод с насосной подачей жидкости может быть разомкнутым, т.е. по которому жидкость перекачивается из одной емкости в другую (рис. 6.8, а), или замкнутым (кольцевым), в котором циркулирует одно и то же количество жидкости (рис. 6.8, б).

Рассмотрим трубопровод, по которому перекачивают жидкость из нижнего резервуара с давлением P ₀ в другой резервуар с давлением P₃ (рис. 6.8, а). Высота расположения оси насоса H₁ называетсягеометрической высотой всасывания, а трубопровод, по которому жидкость поступает к насосу,всасывающим трубопроводом или линией всасывания. Высота расположения конечного сечения трубопровода H₂ называется геометрической высотой нагнетания, а трубопровод, по которому жидкость движется от насоса, напорным или линией нагнетания.

Составим уравнением Бернулли для потока рабочей жидкости во всасывающем трубопроводе, т.е. для сечений 0-0 и 1-1 (принимая α = 1):

Это уравнение является основным для расчета всасывающих трубопроводов.

Теперь рассмотрим напорный трубопровод, для которого запишем уравнение Бернулли, т.е. для сечений 2-2и 3-3:

Левая часть этого уравнения представляет собой энергию жидкости на выходе из насоса. А на входе насоса энергию жидкости можно будет аналогично выразить из уравнения:

Таким образом, можно подсчитать приращение энергии жидкости, проходящей через насос. Эта энергия сообщается жидкости насосом и поэтому обозначается обычно H_нас.

Для нахождения напора H_нас вычислим уравнение :

где Δz — полная геометрическая высота подъема жидкости, Δz = H ₁ + H₂;
КQ m — сумма гидравлических потерь,
P₃ и Р₀ — давление в верхней и нижней емкости соответственно.

Если к действительной разности уровней Δz добавить разность пьезометрических высот ( P₃ — Р₀ ) ( ρg ), то можно рассматривать увеличенную разность уровней

и формулу можно переписать так:

Из этой формулы делаем вывод, что

Отсюда вытекает следующее правило устойчивой работы насоса: при установившемся течении жидкости в трубопроводе насос развивает напор, равный потребному.

На этом равенстве основывается метод расчета трубопроводов с насосной подачей, который заключается в совместном построении в одном и том же масштабе и на одном графике двух кривых: напора H_потр = f₁(Q)и характеристики насоса H_нас = f₂(Q) и в нахождении их точки пересечения (рис. 6.9).

Характеристикой насоса называется зависимость напора, создаваемого насосом, от его подачи (расхода жидкости) при постоянной частоте вращения вала насоса. На рис. 6.9 дано два варианта графика: а — для турбулентного режима; б — для ламинарного режима. Точка пересечения кривой потребного напора с характеристикой насоса называется рабочей точкой. Чтобы получить другую рабочую точку, необходимо изменить открытие регулировочного крана (изменить характеристику трубопровода) или изменить частоту вращения вала насоса.

Гидравлическим ударом называется резкое повышение давления, возникающее в напорном трубопроводе при внезапном торможении потока рабочей жидкости. Этот процесс является очень быстротечным и характеризуется чередованием резких повышений и понижений давления, которое связано с упругими деформациями жидкости и стенок трубопровода. Гидравлический удар чаще всего возникает при резком открытии или закрытии крана или другого устройства, управляемого потоком.

Пусть в конце трубы, по которой движется жидкость со скоростью υ₀, произведено мгновенное закрытие крана (рис. 6.10, а).

При этом скорость частиц, натолкнувшихся на кран, будет погашена, а их кинетическая энергия перейдет в работу деформации стенок трубы и жидкости. При этом стенки трубы растягиваются, а жидкость сжимается в соответствии с увеличением давления на величину ΔP_уд, которое называется ударным. Область (сечение n — n), в которой происходит увеличение давления, называется ударной волной. Ударная волна распространяется вправо со скоростью c, называемой скоростью ударной волны.

Когда ударная волна переместится до резервуара, жидкость окажется остановленной и сжатой во всей трубе, а стенки трубы — растянутыми. Ударное повышение давления распространится на всю длину трубы (рис. 6.10, б).

Далее под действием перепада давления ΔP_уд частицы жидкости устремятся из трубы в резервуар, причем это течение начнется с сечения, непосредственно прилегающего к резервуару. Теперь сечение n-nперемещается обратно к крану с той же скоростью c, оставляя за собой выровненное давление P₀ (рис. 6.10, в).

Жидкость и стенки трубы предполагаются упругими, поэтому они возвращаются к прежнему состоянию, соответствующему давлению P₀. Работа деформации полностью переходит в кинетическую энергию, и жидкость в трубе приобретает первоначальную скорость υ₀, но направленную теперь в противоположную теперь сторону.

С этой скоростью весь объем жидкости стремится оторваться от крана, в результате возникает отрицательная ударная волна под давлением P₀ — ΔP_уд, которая направляется от крана к резервуару со скоростью c, оставляя за собой сжавшиеся стенки трубы и расширившуюся жидкость, что обусловлено снижением давления (рис. 6.10, д). Кинетическая энергия жидкости вновь переходит в работу деформаций, но противоположного знака.

Состояние трубы в момент прихода отрицательной ударной волны к резервуару показано на рис. 6.10, е. Так же как и для случая, изображенного на рис. 6.10, б, оно не является равновесным. На рис. 6.10, ж, показан процесс выравнивания давления в трубе и резервуаре, сопровождающийся возникновением движения жидкости со скоростью υ₀.

Очевидно, что как только отраженная от резервуара ударная волна под давлением ΔP _уд достигнет крана, возникнет ситуация, уже имевшая место в момент закрытия крана. Весь цикл гидравлического удара повторится.

Протекание гидравлического удара во времени иллюстрируется диаграммой, представленной на рис. 6.11, а и б.

Штриховыми линиями показано теоретическое изменение давления у крана в точке А, а сплошной действительный вид картины изменения давления по времени (рис. 6.11, а). При этом затухание колебаний давления происходит за счет потерь энергии жидкости на преодоление сил трения и ухода энергии в резервуар.

Повышение давления при гидравлическом ударе можно определить по формуле

Данное выражение носит название формулы Жуковского. В нем скорость распространения ударной волны c определится по формуле:

где r — радиус трубопровода;
E — модуль упругости материала трубы;
δ — толщина стенки трубопровода;
K — объемный модуль упругости (см. п.1.3)

Если предположить, что труба имеет абсолютно жесткие стенки, т.е. E = , то скорость ударной волны определится из выражения

Для воды эта скорость равна 1435 м/с, для бензина 1116 м/с, для масла 1200 — 1400 м/с.

При проектировании напорных трубопроводов следует учитывать, что их пропускная способность в период эксплуатации снижается (например, для водопроводных труб до 50% и даже ниже). Вследствие коррозии и образования отложений в трубах (инкрустации), шероховатость труб увеличивается. Это можно оценить по формуле:

где k₀ — абсолютная шероховатость для новых труб, (мм),
k_t — шероховатость через t лет эксплуатации,
α — коэффициент характеризующий быстроту возрастания шероховатости (мм/год).

Методика применения уравнения Бернулли.

Саратовский государственный технический университет

Имени Гагарина Ю.А.

ОБЩАЯ Г И Д Р А В Л И К А

практикум для студентов направления «Строительство»

имени Гагарина Ю.А.

Саратов 2015

Все права на размножение и распространение в любой форме остаются за разработчиком.

Нелегальное копирование и использование данного продукта запрещено.

Составили: КАЛЯКИН Александр Михайлович

САУТКИНА Татьяна Николаевна

ЧЕСНОКОВА Елена Вадимовна

Рецензент Н.Н.Береда

Редактор К.А. Кулагина

Компьютерная верстка О.А. Духовникова

410054 г.Саратов, ул. Политехническая, 77

Научно-техническая библиотека СГТУ

Тел. 99-86-65, 9986-561

Технический университет, 2012-02-15

ВВЕДЕНИЕ

Практикум предназначен для выполнения основных лабораторных работ студентами направления «Строительство» всех форм обучения.

Перед выполнением лабораторного практикума все студенты проходят инструктаж по технике безопасности в соответствии с ГОСТ 12.001 ЕСТБ.

Лабораторные работы выполняются небольшими группами по 2- 4 студента.

При подготовке к выполнению лабораторных работ студент обязан:

а) изучить соответствующие разделы теоретического курса (они указаны

в конце каждой работы) или лекций;

б) изучить методику проведения эксперимента;

в) выполнить и уметь формулировать задачи исследования;

г) уметь отвечать на контрольные вопросы (они приведены в методических указаниях в конце описания каждой работы).

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ЛАБОРАТОРНОГО ПРАКТИКУМА

И ОФОРМЛЕНИЯ ОТЧЕТОВ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ

Студент обязан самостоятельно изучить соответствующие теоретические разделы курса по учебникам или лекциям и уметь отвечать на контрольные вопросы.

В начале занятия у студентов проверяют подготовленность конспектов, и проводится контроль знаний по системе «Допуск», то есть проверяется, в какой степени студент готов к выполнению лабораторной работы. Студенты, не прошедшие контроль по системе «Допуск», к выполнению работ не допускаются.

План и методика проведения лабораторной работы, а также исходные данные и задание уточняются преподавателем.

Лабораторные работы оформляются в тетради или на отдельных листах. Результаты всех измерений и вычислений, выполненных в работе, заносят в отчетный лист, оформленный в виде таблицы.

ПОРЯДОК ОФОРМЛЕНИЯ (КОНСПЕКТИРОВАНИЯ) РАБОТ

Все перечисленные ниже пункты необходимо выполнить, и они должны в обязательном порядке присутствовать в конспекте. Все остальное содержание методических указаний (описание методики, формулы и т.д.) конспектируется по желанию студента.

1. Название работы.

2. Схема установки.

3. Цели исследования.

4. Отчетный лист (примерный вид его приведен ниже).

Выводы и заключения делаются в произвольной форме. При выполнении вычислений необходимо все физические величины, участвующие в расчетах, привести к одной системе единиц.

На всех стадиях подготовки к выполнению работы студенту необходимо проявить инициативу, творческий подход и стремиться к полному пониманию целей работы и средств их достижения.

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Расходомназывается объем жидкости, проходящий через сечения трубопровода в единицу времени.

При выполнении лабораторных работ для определения расхода применяется объемный способ.

Суть объемного способа в том, что измеряется промежуток времени t, в течение которого жидкость заполняет некоторый известный объем W.

Имеется в виду объемный расход Q , который при установившемся движении определяется по формуле:

, (1)

где W – объем жидкости, поступивший из трубопровода в мерную емкость за время t.

Обычно, если какая-либо величина сравнивается с эталоном или с единицей измерения, то говорят, что она измеряется; например, с помощью линейки возможно измерить длину трубы, с помощью секундомера – время, мерным сосудом (с делениями) измеряют объем воды и т.д.

Если же какая – либо величина получается с помощью вычислений (сложения, вычитания, деления и т.д.), то принято говорить, что она вычисляется или определяется.

Пример 1. В емкость, подставленную под струю из открытого крана некоторое количество воды набралось за 25 секунд (время измерено с помощью секундомера). Набранный объем воды слили в мерную емкость с делениями и оказалось, что объем равен 5375 см 3 или 5,375 л. Таким образом, измерены объем W и время t. Для определения расхода Q вычисляется дробь

Q= = 215 см 3 /с.

Средняя скорость определяется по формуле:

, (2)

где S — площадь поперечного сечения трубопровода.

Пример 2. Найти среднюю скорость течения в трубе диаметром d=15 мм, если при измерении расхода Q объемным способом в мерный бак поступил объем W=1080 см 3 воды за t=21 с.

Расход Q определяем по формуле:

Q= = = 51 см 3 /с.

Площадь сечения круглой трубы диаметра определяется с помощью известной зависимости:

S= .

Окончательно среднюю скорость определяем так:

V= = = = 29 см/с.

Установившимся движением называется такой вид движения, при котором параметры потока не изменяются со временем. Для создания установившегося движения воды в лабораторной установке уровень воды в напорном (верхнем) баке поддерживается постоянным автоматически.

Абсолютное давление р в любом из сечений потока жидкости может быть записано в виде

где р_атм – атмосферное давление; р_изб – избыточное давление (давление столба жидкости высотой h).

Для измерения избыточного давления в лабораторных установках применяют пьезометры. Пьезометр (рисунок 1) представляет собой вертикальную трубку (чаще стеклянную) с открытым в атмосферу верхним концом. Нижний конец присоединен к трубе в том сечении, в котором измеряется давление.

Величина избыточного пьезометрического давления определяется по формуле:

где ρ – плотность жидкости; g – ускорение свободного падения; h –пьезометрический напор (пьезометрическая высота).

Таким образом, давление в некотором сечении прямо пропорционально высоте подъема жидкости в пьезометре, установленном в данном сечении. Эта высота обычно измеряется по шкале. На рисунке 1 видно, что давление уменьшается вдоль потока.

Пьезометрическая высота определяется по формуле:

. (3)

При установившемся движении через любое поперечное сечение потока в единицу времени проходит одинаковый объем жидкости, то есть

где V_n и S_n – средняя скорость и площадь живого сечения.

Поэтому для любых двух сечений, можно записать:

. (6)

Основным уравнением, определяющим связь между давлением и скоростью в потоке жидкости, является уравнение Д. Бернулли.

Записанное для двух сечений 1 и 2, оно имеет вид:

, (7)

где величина α для турбулентных потоков обычно принимает значение 1,04 – 1,13; z – удельная энергия положения (удельная энергия – это энергия, отнесенная к весу жидкости, проходящей через сечение потока за единицу времени); p/ρg – удельная энергия давления; αV 2 /2g – удельная кинетическая энергия, V – средняя скорость в сечении.

С геометрической точки зрения z – геометрический напор (расстояние от плоскости отсчета 0–0, рис. 1 до оси потока), p/ρg – пьезометрическая высота; αV 2 /2g – скоростной напор.

Вязкость жидкости зависит от температуры; в частности для величины кинематического коэффициента вязкости чистой пресной воды применяются формула:

ν = , см 2 /с,

где t 0 – температура в градусах по шкале Цельсия.

Пример 3. При температуре воды t 0 = 18,2ºС

ν = см 2 /с.

Замечание 1. Часто размерность физической величины отождествляют с ее единицей в соответствующей системе единиц. Так, например, говорят, что скорость имеет размерность см/с (сантиметр в секунду). Хотя это и не логично, но грубой ошибки в этом нет. В данном случае см/с – это наименованиеединицы (точно так же, как км/ч, м/с и т.д.). Размерность физической величины имеет более общий смысл, чем наименование ее в какой-либо системе единиц. Например, размерность ускорения всегда одна L/t 2 , где L – длина, t – время, но наименования ускорения могут быть разными – в системе СИ м/с 2 , в системе CGS – см/с 2 и т.д. Размерность расхода единственная L 3 /t (отношение объема ко времени), а наименование его могут быть различными, например м 3 /час, см 3 /с и т. д.

Замечание 2. При выполнении работы, всегда необходимо выяснить – какие величины измеряютсянепосредственно, а какие определяются с помощью вычислений.

Если допускается ошибка при измерении, то она может быть исправлена только при повторном выполнении работы, поэтому процессу выполнения работ придается особое значение. До выполнения лабораторной работы следует продумать последовательность действий и подготовить измерительные инструменты.

Величины, которые определяются, могут быть после выполнения работы многократно проверены и обычно ошибки при этом легко исправляются.

Например, при выполнении работы № 1 «Исследование режимов движения жидкости» измеряются:

1. Температура t 0 .

2. Диаметр трубки d.

3. Объем жидкости W.

4. Время t, в течение которого через прибор прошёл и был набран в ёмкость объём W.

Затем, после выполнения всех измерений определяются:

1. Расход ,

2. Кинематический коэффициент вязкости по формуле Пуазейля.

3. Площадь сечения трубки ,

4. Средняя скорость ,

5. Число Рейнольдса .

Методика применения уравнения Бернулли.

Уравнение Бернулли является одним из основных в гидравлике и поэтому техника и методика его использования так важны; перечислим основные условия его применения.

1. Выбираются сечения потока, в которых движение является плавно изменяющимся.

2. Назначается положение плоскости сравнения – плоскости отсчета геометрических высот z.

3. При написании уравнения Бернулли для сечений, где движение плавно изменяющееся (где z + p/ρg = const), выбираются точки, для которых записываются высоты положения z и давление p в любом месте назначенных сечений на дне, на свободной поверхности, в центре живого сечения, на оси трубы и т.д. Лучше всего выбирать эти точки или на свободной поверхности (в этом случае чаще всего p₁=p₂=p_ат), или в центре тяжести живых сечений тогда может быть сокращен объем вычислений.

4. Имея в виду самый общий вид уравнения Бернулли для потока реальной жидкости, записывают все ее члены применительно к выбранной плоскости отсчета и двум сечениям. В случае успешного применения (совместно с уравнением неразрывности) должно остаться одно неизвестное.

Пример 4.Применить уравнение Бернулли к участку горизонтальной трубы одинакового диаметра, по которой течет вязкая жидкость.

Решение.Действуем непосредственно по только что изложенной методике. В данном случае в любом сечении движение является плавно изменяющимся и поэтому произвольно выберем два сечения, как показано на рисунке.

Высоты z₁ и z₂ отсчитывали от центров сечений и давления в сечениях принимали p₁ и p₂ . Расход жидкости в сечениях 1 и 2 одинаковый и в силу постоянства диаметра скорости в сечениях также равны, т.е. V₁=V₂ .

Уравнение Бернулли в общем виде:

.

Величины пьезометрических высот p₁/ρg и p₂/ρg представляют высоты столбов жидкости в пьезометрах трубках с открытыми концами, установленных в первом и во втором сечениях. Потери всегда положительны, т.е. h_W>0, поэтому высота жидкости в левом пьезометре больше, а разность ∆h точно равна потерям удельной механической энергии. При движении вязкой жидкости из-за трения происходит переход механической энергии в тепло. В силу уравнения неразрывности скорость остается постоянной, а давление убывает вдоль трубы (т.е. давление уменьшается из-за перехода механической энергии в тепло).

Пример 5.На рисунке 3 изображен участок круглой трубы с внезапным расширением от диаметра d₁ до диаметра d₂=4d₁.

Подсчитаем, где больше скорость и во сколько раз. На основании уравнения неразрывности можно записать:

, окончательно, .

Таким образом, скорость в трубе больше там, где сечение меньше, а отношение этих скоростей обратно пропорционально квадратам диаметров.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К РАЗДЕЛУ «ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ»

1. Что называется расходом?

2. Какую размерность имеют члены уравнения Бернулли?

3. Какое движение называется установившимся?

4. В чем состоит объемный способ определения расхода?

5. Как изменяется кинематический коэффициент вязкости с увеличением температуры?

6. Указать размерность расхода и его наименование в системе СИ.

7. Как изменяется кинематический коэффициент вязкости при понижении температуры?

8. Указать размерность средней скорости потока.

9. Что называется жидкостью?

10. Что называется плотностью?

11. По каким признакам установившееся движение жидкости отличается от неустановившегося, равномерное от неравномерного, напорное от безнапорного?

Задание 1. Измерить расход воды в бытовом водопроводе при полном открытии крана.