Практическое занятие решение тригонометрических уравнений

Методические указания к практическому занятию: «Решение тригонометрических уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Министерство образования и науки Самарской области

государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Самарский машиностроительный колледж»

Цикловая комиссия Математических и естественнонаучных дисциплин

к практическим работам

по дисциплине Математика

«___» ___________ 20 __ г.

Практическая работа 11

Решение тригонометрических уравнений

Обобщить изученный материал по теме.

Выработать умение решать тригонометрические уравнения.

Разделы и темы рабочей программы, которые необходимо знать при выполнении и сдаче практической работы

Разделы 5. Тригонометрические функции числового аргумента.

Краткие теоретические сведения

рис.1

Определение 1 Синусом угла называется ордината точки угла на тригонометрическом круге, соответствующей числу угла . Обозначают ;

Косинусом угла называется абсцисса точки на тригонометрическом круге, соответствующей числу . Обозначают .

Тангенсом угла называется отношение ординаты точки к ее абсциссе. Обозначают .

Котангенсом угла называется отношение абсциссы точки к ее ординате. Обозначают .

Определение 2 Арксинусом числа m называется такое угол х, для которого sin x = m , Обозначают arcsin m .

Арккосинусом числа m называется такое угол х, для которого cos x = m , Обозначают arcсо s m .

Арктангенсом числа m называется такой угол x , для которого

Арккотангенсом числа m называется такой угол x , для которого .

Тригонометрические функции связаны между собой основными тождествами:

.

.

.

.

Определение 3 Уравнение называется тригонометрическим , если неизвестная величина входит в него как аргумент тригонометрической функции. Решить тригонометрическое уравнение — это значит найти все его корни.

Простейшими тригонометрическими уравнениями называются уравнения sin x = m , cos x = m , , , где m – данное число.

Формулы корней простейших тригонометрических уравнений:

Общее решение (корни)

В формулах (1) – (4) n – любое действительное число.

Однородным тригонометрическим уравнением первой степени называется уравнение вида:

Для его решения обе части уравнения делим на . При по членном делении получим уравнение вида:

(*)

Преобразовывая уравнение (*) получаем простейшее уравнение:

, где .

Однородным тригонометрическим уравнением второй степени называется уравнение вида:

Для его решения обе части уравнения делим на . При по членном делении получим уравнение:

(**)

Уравнение (**) сводится к квадратному с помощью подстановки .

При решении тригонометрических уравнений используют основные формулы тригонометрии.

Изучить методические указания к выполнению практической работы.

Выполнить индивидуальное задание.

Оформить отчет по практической работе.

Номер и наименование практической работы.

Пример выполнения задания

Задача 1. Решите простейшие тригонометрическое уравнение: .

Решение : Согласно формуле (1) находим:

Задача 2. Решите простейшие тригонометрическое уравнение:

Решение: Функция синус нечетна. Поэтому . По формуле (2)

Так как , имеем:

Задача 3. Решите уравнение: 2 sin x + 3 cos x = 0.

2 sin x+ 3 cos x = 0 | : cos x ≠ 0

х = arctg (-1,5) + πk, k Z или х = — arctg 1,5 + πk, k Z

Ответ : — arctg 1,5 + πk, k Z.

Задача 4. Решите уравнение: 2 sin 2 х — 3 sin х cos х — 5 cos 2 х =0

Решение: 2 sin 2 х — 3 sin х cos х — 5 cos 2 х =0

2 sin 2 х — 3 sin х cos х — 5 cos 2 х =0 | : cos 2 х ≠ 0

2 tg 2 x — 3 tg x — 5 = 0

2 t 2 – 3 t – 5 =0

Решением уравнения tg х = -1 являются числа вида х = — π /2 + πk , k Z .

Решением уравнение tg х = 2,5 являются числа вида х = arctg 2,5+ πn , n Z .

Ответ: — π /2 + πk , arctg 2,5+ πn , n , k Z .

Задача 5. Решить уравнение sin x + cos x = 1

Решение: sin x + cos x = 1

Ответ:

Задача 6. Решите уравнение:

Решение: Группируя первый и последний члены и применяя формулу суммы косинусов, получим

Следовательно, Решая уравнение , находим

Задача 7. Решите уравнение: sin 2 х + 5 sin х — 6 =0.

Решение: Введем замену sin х = z , , решая квадратное уравнение

z 2 + 5 z — 6 = 0, находим z ₁ = 1; z ₂ = -6 (не удовлетворяет условию )

Решением уравнения sin х = 1 являются числа вида х = π /2 +2 π k , k Z .

Ответ: π /2 +2 π k , k Z .

Практическая занятие по теме: «Решение простейших тригонометрических уравнений»

Цели:

Образовательная: добиться понимания решения простейших тригонометрических уравнений.

Воспитательная: воспитывать внимательность и самостоятельность.

Развивающая: развитие самостоятельности в решении тригонометрических уравнений приводимых к простейшим.

Оборудование: доска, компьютер, проектор, экран, индивидуальные карточки задания.

Использование элементов педагогических технологий:

Результативность:

формирование компетенций: учебно-познавательной, личного самосовершенствования.

Просмотр содержимого документа
«Практическая занятие по теме: «Решение простейших тригонометрических уравнений»»

Тема: Решение простейших тригонометрических уравнений

Образовательная: добиться понимания решения простейших тригонометрических уравнений.

Воспитательная: воспитывать внимательность и самостоятельность.

Развивающая: развитие самостоятельности в решении тригонометрических уравнений приводимых к простейшим.

Оборудование: доска, компьютер, проектор, экран, индивидуальные карточки задания.

Использование элементов педагогических технологий:

формирование компетенций: учебно-познавательной, личного самосовершенствования.

Повторение опорных знаний:

1.Определение тригонометрических уравнений
.Формулы решения простейших тригонометрических уравнений вида:

3.Частные случаи решения тригонометрических уравнений:

4.Свойства обратных тригонометрических функций, используемых при решении тригонометрических уравнений:

Применение умений и знаний при решении типовых заданий.

2.Решить простейшие тригонометрические уравнения:

3. решить тригонометрических уравнений, приводимых к простейшим.

3. Практический этап.

Самостоятельное применение умений и знаний.

Провести самостоятельную работу в 15 вариантах. (Приложение 1)

1. Алимов Ш.А .и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа(базовый и углубленный уровни).10-11 классы. – М., 2014г

2.Богомолов Н.В. Математика: учебник для прикладного бакалавриата / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко.-5е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство Юрайт, 2014

Варианты для самостоятельной работы.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ — Тема: Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ В СПО

Разработал преподаватель: Игнатьева Елена Сергеевна

Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств.

— применить умения по владению стандартными приемами решения тригонометрических уравнений и неравенств.

1. Рабочая тетрадь в клетку

2. Раздаточные материалы: карточки-задания, инструкционные карты – 20 штук.

3. Калькулятор простой.

I Вариант II Вариант

а)

а)

б)

б)

в)

в)

2.Найти нули функции:

3 . Решить уравнение и найти

его наименьший положительный корень

его наибольший отрицательный корень

4. Решить неравенства:

а) а)

б) б)

в) в)

5. Найти значение x при которых график функции

лежит ниже оси x

лежит выше оси x

1. Внимательно прочитать тему и цель практической работы .

2. Изучить учебный материал по теме.

3. Ответить на вопросы.

4. Выполнить задания.

5. Подготовить отчет.

Пояснения к работе (учебный материал):

1. Из определения косинуса следует, что . Поэтому, если а >1, то уравнение cosx = a не имеет решения. Например, уравнение cosx =-1,5 не имеет корней.

Если cosx =0, .

Если cosx =-1, то х = π+2π n , n Є z .

Если cosx =1 , то x =2 πn , n Є z .

Если cosx = a , где ,то x = arccos a + 2 πn , n Є z .

2.Из определения синуса следует, что

sin α Є [ -1; 1] . Поэтому уравнение

sin x = 3 не имеет корней.

Если sin x = 0 , то x = π n , n Є z .

Если sin x = 1 , то .

Если sin x = -1 ,то

sin x = a , 1

x = (1) k arcsin a +πk , k Є z

3. Из определения тангенса следует , что tg x может принимать любое действительное значение. Поэтому уравнение tg x = a имеет корни при любом значении a .

x = arctg a + πn , n Є z

tg x = 0 , x = πn , n Є z

tg x = 1 , x = + πn , n Є z

tg x = -1 , x = — + πn , n Є z

4. Из определения котангенса следует, что ctgx может принимать любое значение. Поэтому уравнение ctgx = a имеет корни при любом значении а.

x = arcctg a + πn, n Є z.

5. Решения простейших тригонометрических неравенств выполняем с помощью единичной окружности.

При выполнении практической работы рассмотрите следующие примеры:

Ответ:

–наименьший положительный корень

Найти нули функции

Ответ:

–наименьший положительный корень

x Є , n Є z

2 cosx ;

cosx

x Є

в) sinx >

x Є

x Є

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Сформулируйте определение косинуса.

Запишите общую формулу решения уравнения cosx = a .

2. Сформулируйте определение синуса.

Запишите общую формулу решения уравнения sinx = a .

3. Запишите формулу решения уравнения tgx = a .

4. Перечислите алгоритм решения простейшего тригонометрического уравнения.

Название практической работы.

Решение заданий практической работы.

Ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

1. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала математического анализа: Учебник 10—11 классы. — М.И., 2016.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С.Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа. Геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни). 10—11 классы. — М., 2016.

3. Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учебник для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

4. Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

5. Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: Задачник: учеб. пособие для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

6. Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: Электронный учеб.- метод. комплекс для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

7. Башмаков М.И. Математика: Учебник. — М., 2016.