Урок по теме «Решение дробных рациональных уравнений». 8-й класс
Разделы: Математика
Класс: 8
Цели урока:
- формирование понятия дробных рационального уравнения;
- рассмотреть различные способы решения дробных рациональных уравнений;
- рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений, включающий условие равенства дроби нулю;
- обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму;
- проверка уровня усвоения темы путем проведения тестовой работы.
- развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;
- развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций — анализ, синтез, сравнение и обобщение;
- развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом;
- развитие критического мышления;
- развитие навыков исследовательской работы.
- воспитание познавательного интереса к предмету;
- воспитание самостоятельности при решении учебных задач;
- воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.
Тип урока: урок – объяснение нового материала.
Ход урока
1. Организационный момент.
Здравствуйте, ребята! На доске написаны уравнения посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений вы сможете решить? Какие нет и почему?
Уравнения, в которых левая и правя часть, являются дробно-рациональными выражениями, называются дробные рациональные уравнения. Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке? Сформулируйте тему урока. Итак, открываем тетради и записываем тему урока «Решение дробных рациональных уравнений».
2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.
А сейчас мы повторим основной теоретический материл, который понадобиться нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:
- Что такое уравнение? (Равенство с переменной или переменными.)
- Как называется уравнение №1? (Линейное.) Способ решения линейных уравнений. (Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа — в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель).
- Как называется уравнение №3? (Квадратное.) Способы решения квадратных уравнений. (Выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему Виета и ее следствия.)
- Что такое пропорция? (Равенство двух отношений.) Основное свойство пропорции. (Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов.)
- Какие свойства используются при решении уравнений? (1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.)
- Когда дробь равна нулю? (Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.)
3. Объяснение нового материала.
Решить в тетрадях и на доске уравнение №2.
Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, используя основное свойство пропорции? (№5).
х 2 -4х-2х+8 = х 2 +3х+2х+6
х 2 -6х-х 2 -5х = 6-8
Решить в тетрадях и на доске уравнение №4.
Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, умножая обе части уравнения на знаменатель? (№6).
Теперь попытайтесь решить уравнение №7 одним из способов.
Серия уроков по теме: «Решение квадратных и дробно-рациональных уравнений»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Решение квадратных и дробно-рацио нальных уравнений, содержащих парамет ры — один из труднейших разделов школь ного курса математики. Здесь, кроме ис пользования определенных алгоритмов ре шения уравнений, приходится думать об удачной классификации, следить за тем, чтобы не пропустить много тонкостей. Квадратные и дробо-рациональные уравне ния с параметрами — это тема, на которой проверяется не натасканность ученика, а подлинное понимание им материала. Обу чать этому надо всех учащихся, и особен но этой темой надо заниматься с сильными учениками, ведь задачи с параметрами д ают прекрасный материал для настоящей учебно-исследовательской работы.
Наряду с такими традиционными содер жательно-методическими линиями школь ного курса математики как функциональ ная, числовая, геометрическая, линия урав нения и линия тождественных преобразований должна занять определенное место и линия параметров. В этой работе предлагается серия уроков на тему «Решение квадратных и дробно-рацио нальных уравнений, содержащих параметры». Все упражнения подобраны так, чтобы облег чить учащимся изучение этой непростой темы.
Блок уроков завершается контрольной работой, которая позволит проверить уро вень усвоения материала. Предлагается также подборка упражнений, которые можно включить в домашнюю контрольную ра боту или просто использовать на уроках как дополнительный материал.
Тема урока: «Решение квадратных уравнений, содержащих параметры».
формировать умение решать квадратные уравнения с пара метрами;
развивать исследовательскую и познавательную деятельность учащихся.
Учитель. Сегодня мы будем учиться решать квадратные уравнения, содержащие параметр, но предварительно от ветьте мне на следующий вопрос.
Сколько корней имеет уравнение:
D = 4 — 4 • 3 • (- 1) = 16, два корня;
б) 7 x 2 — 4х + 1 = 0,
D =16-4-7-1 действительных корней нет;
в) 16 x 2 — 8х + 1 = 0,
D = 64 — 64 = 0, один корень.
Пример 1 . Линейным или квадратным является урав нение 56( b — 2)х 2 + (5 b — 2)х — 16 = 0 относительно х при:
а) b = 1; 6) b = 2; в) b = 0,4; г) b = О?
а) 6 = 1; 5 x 2 + 3 x -16 = 0- квадратное уравнение;
б) 6 = 2; 0 • х 2 + 8х — 16 = 0, 8 x — 16 = 0 – линейное уравнение;
в) 6 — 0,4; 2 • (- 1,6) x 2 + 0 • х — 16 = 0, — 3,8 x 2 — 16 = 0 — неполное квадратное уравнение;
г) 6 = 0; 0 • х 2 — 2х — 16 = 0, — 2х — 16 = 0 – линейное уравнение.
Пример 2 . При каких значениях параметра а уравне ние ах(ах + 3) + 6 = х(ах — 6) является:
а) квадратным; б) неполным квадратным; в) линейным?
ах(ах + 3) + 6 = x (а x — 6),
а 2 x 2 + За x + 6 = а x 2 — 6х,
x 2 (а 2 — а) + Зх(а + 2) + 6 = 0.
а) Уравнение является полным квадратным, если
если а Є (-∞ ; — 2) U (- 2; 0) U (0; 1) U (1; + ∞), то исход ное уравнение является квадратным.
б) Уравнение является неполным квадратным, если
если а = — 2, то исходное уравнение является неполным квадратным.
в) Уравнение является линейным, если
если а = 0 или а = 1, то исходное уравнение является линейным.
Пример 3 . При каких значениях параметра b уравне ние bx 2 — b х + b = 0:
а) имеет корни; б) не имеет корней?
D = b 2 – 4 b • b , О = — 3 b 2 .
а) -3 b 2 ≥ 0 | : (- 3) | b 2 ≤ 0, но b 2 ≥ 0, следовательно, b = 0; если 6 = 0, то уравнение корни имеет.
б) — 3 b 2 b 2 > 0 — при любых значениях b , кроме 0; если b Є (-∞ ; 0) U (0; + ∞), то исходное уравне ние корней не имеет.
Пример 4. Зная, что п Є N , выясните, имеет ли урав нение (х + п) 2 — (х- n ) 2 = 56 целые корни, и если имеет, то при каких n ?
2 n 2х = 56, х = 14/ n ; n = 2; n = 7; n = 1; n = 14.
Линейным или квадратным является уравнение b ( b — 5)х + (6 b — 3)х — 18 = 0 относительно х при: а) b = 6; б) b = 0; в) b = 0,5; г) b =5
Линейным или квадратным является уравнение а(а + 3)х + (4а — 20) x + 7 = 0 относительно х при: а) а = — 4; б) а = 0; в) а=5; г)а=-3?
1. Дано уравнение с параметром ах=3а+8. Напишите уравнение, которое получается при:
а) а=10; б) а=-2; в) а=0,25; г) а=0
2. Выясните вид уравнения 2ах(х-1) + х(ах-12) = 3х+8 относительно х при::
а) а=1; б) а=-6; в) а=-2; г) а=0
1. а) 10х=38; б) -2х=2; в) 0,25х=8 ¾; г) уравнение не существует
2. а) линейное уравнение: х= — 4/7 ; б) квадратное уравнение – корней нет;
в) квадратное уравнение – х 1 =х 2 = — 2/3 г) квадратное уравнение –
Тема урока: «Решение квадратных уравнений, содержащих параметры».
формировать прочные навыки решения квадратных уравнений, содержащих параметры;
обеспечить условия для самостоятельной творческой работы учащихся;4
сознательное усвоение школьниками алгебраических понятий и связей между ними.
Проверка домашнего задания.
Пример 1. Решите относительно х уравнение х 2 — 2х + с = 0.
2) 4 -4с = 0, с = 1, x =1.
Исходное уравнение корней не имеет.
Ответ. Если с Є (-∞; 1), то
если с = 1, то х = 1;
если с Є (1; +∞), то корней нет.
Пример 2 . Решите относительно х уравнение х 2 — ах = 0.
х г — ах = 0, х(х — а) = 0,
Ответ. Если а = 0, то х = 0;
если то х 1 = 0, x 2 = а.
Пример 3 . Решите относительно х уравнение тх 2 — 6х + 1 = 0.
1) Если т = 0, то — 6х + 1 = 0, х = 1/6.
в) 36 — 4т m > 9, исходное уравнение корней не имеет
Решите относительно х уравнение 6х 2 – 5 b х + b 2 = 0.
При каком значении параметра а уравнение имеет положительные корни?
Решите относительно х уравнение 12х 2 -7сх + с 2 = 0.
При каком значении параметра а уравнение 1/3 (5х-а) = ¼ (6х-1) имеет отрицательные корни?
После того, как учащиеся выполнят самостоятельную работу, обязательно сделайте проверку.
В-2. 1. Если с = 0, то х = 0; если с ≠ 0, то x 1 = — c /3, x 2 = — c /4 2. При а
Решите относительно у уравнения:
в) y 2 — З y = а 2 + За;
г) а y 2 + 6 y + а = 3(2 y — а).
Ответы: а) Если с = 2, то y — любое число; если с ≠2, то у 1 = — 2, y 2 = 2;
г) при а = 0 у — любое число, при а ≠ 0 корней нет.
Тема урока: «Решение квадратных уравнений, содержащих параметры».
ввести алгоритм решения квадратных уравнений, содержа щих параметры;
использовать полученные навыки для решения нестандарт ных задач.
На доску вывешивается плакат:
Алгоритм решения уравнения
Условия поиска значений параметра а
Характеристика множества корней
x – любое число из R
Пример 1. Решите уравнение с x 2 — 3(2с — I ) x — (15 — 5с) = 0.
Следуя алгоритму, рассмотрим следующие случаи:
Пример 2 . При каких значениях параметра b уравнение ( b — I ) x 2 – 2 b х + b + 1 = О имеет: а) два положительных корня; б) два отрицатель ных корня; в) единственный корень? . Решение.
а) Согласно теореме Виета
b Є (- ∞ ; -1)U (1;+ ∞ )
решении нет;
в) если b = 1, то — 2х + 2 = 0, х = 1;
b ≠ 1; D = 4 b 2 — 4( b 2 — 1) = 4 b 2 -4 b 2 +4=4≠0
Ответ: а) b Є(- ∞; -1) U (1;+ ∞) ; б) таких b не существует; в) b = 1.
При каких значениях параметра а уравнение х’ 2 — (2а + 1)х + а 2 + а — 6 = 0 имеет:
а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; в) корни разных знаков?
При каких значениях параметра b уравнение у 2 — (2 b — 1)у + b 2 — b — 2 = О имеет:
а) два положительных корня; б) два отрицатель ных корня; в) корни разных знаков?
1. При каких значениях параметра с уравнение x 2 — cx +16=0 имеет:
а) два положительных корня; б) два отрицатель ных корня; в) единственный корень?
2. При каких значениях параметра с уравнение (х + Зс + 2) 2 — ( x — Зс — 2) 2 = 40 имеет:
а) корни; б) нет корней; в) поло жительный корень; г) отрицательный корень?
3. При каких значениях параметра а уравнение (х + а) 3 — (х — а) 3 = х(3х 2 + а 2 )(а — 1)
имеет: а) положительный корень; б) отрицательный ко рень; в) корень, равный нулю?
Ответы: 1. а) При с- > 8; б) при с = -8 пли с=8
2.
3..а)а Є (-∞ ; о) U (1;+ ∞); б) а Є (0; 1); в) а = 0.
Тема урока:: «Решение дробно-рациональных уравнений, со держащих параметры».
• формировать умение решать дробно- рациональные уравнения, содержащие параметры.
(Устно.) Решите уравнения:
Найдем недопустимые значения параметра а:
10 — а = 5, а = 5; 10 — а = а, а = 5.
Ответ. Если а = 5, то уравнение теряет смысл; если а ≠ 5, то х = 10 — а.
Исключая недопустимые значения параметра b , полу чаем, что уравнение имеет два корня, если b ≠ — 2, b ≠ — 1, b ≠0, b ≠ 1, b ≠ 2.
б) 4Ь 2 = 0, b = О, но это недопустимое значение параметра b ; если б 2 — 1 = О,
т. е. b = 1 или b = — 1, то — 2х + 1 = 0, х = ½ .
Ответ: а) если b ≠ — 2, b ≠ — 1, b ≠0, b ≠ 1, b ≠ 2 , то два корня; б) если b =1 или b = — 1, то единственный корень.
Задание на дом. Решите уравнения:
Тема урока : «Решение дробно-рациональных уравнений, со держащих параметры».
обучение решению уравнений с нестандартным условием;
сознательное усвоение учащимися алгебраических понятий и связей между ними.
Проверка домашнего задания
Пример 1. Решите уравнение а) относительно х; б) относительно у.
а) Найдем недопустимые значения у:
у = 0, х = у, у 2 = у 2 — 2у,
у = 0 — недопустимое значение параметра у.
Если у ≠ 0, то х = у — 2;
если у = 0, то уравнение теряет смысл.
б) Найдем недопустимые значения параметра х:
у = х, 2х — х 2 + х г = О,
х = 0 — недопустимое значение параметра х;
у(2 + х — у) = 0, у = 0 или у = 2 + х;
у = 0 не удовлетворяет условию у(у — х) ≠ 0.
Ответ: а) если у = 0, то уравнение теряет смысл; если у ≠ 0, то х = у — 2;
б) если х = 0, то уравнение теряет смысл; если х ≠ 0, то у = 2 + х.
Пример 2 . При каких целых значениях параметра а корн и уравнения
принадлежат промежутку
Ответ: 5
Пример 3. Найдите относительно х целые решения уравнения
Ответ. Если у = 0, то уравнение не имеет смысла; если у = — 1, то х — любое целое число, кроме нуля; если у ≠ 0, у ≠ — 1, то решений нет.
Пример 4 . Решите уравнение с параметрами а и b /
Ответ. Если а = 0 или b = 0, то уравнение теряет смысл; если а ≠ О, b ≠ 0, а = — Ь, то x — любое число, кроме нуля; если а ≠ О, b ≠ 0, а ≠ — Ь, то х = — а, х = — Ь.
Пример 5 . Докажите, что при любом значении пара метра n , отличном от нуля, уравнение имеет единственный корень, равный – n .
Т.е. х=- n , что и требовалось доказать.
Найдите целые решения уравнения
При каких значениях параметра с уравнение имеет: а) два корня;
б) единственный корень?
3. Найдите все целые корни уравнения если а Є N.
4. Решите уравнение Зху – 5х + 5у = 7: а) относительно у; б) относительно х.
1. Определите тип уравнения 7с(с + 3)х 2 + (с — 2)х — 8 = 0 при: а) с = — 3; б) с — 2; в) с = 4.
2. Решите уравнения:
а)х 2 — b х = 0; б) cx : 2 – 6 x + 1=0 в)
Решите уравнение З x — ху — 2у = 1: а) относительно х; б) относительно y /
Найдите целые корни уравнения n х г — 26х + п = О, зная, что параметр n принимает только целые значения.
При каких значениях b уравнение имеет: а) два корня;
б) единственный корень?
1. Определите тип уравнения 5с(с + 4)х 2 + (с- 7)х + 7 = 0 при: а) с = — 4; б) = 7; в) с = 1.
2. Решите уравнения:
а) у 2 + су = 0; б) n у 2 — 8у + 2 = 0; в)
3. Решите уравнение 6 x — ху + 2у = 5: а) относительно x ; б) относительно у.
4. Найдите целые корни уравнения n х 2 – 22 x + 2 n = О, зная, что параметр га принимает только целые значения.
5. При каких значениях параметра а уравнение имеет: а) два корня;
Дробно-рациональные уравнения
Что такое дробно-рациональные уравнения
Дробно-рациональными уравнениями называют такие выражения, которые представляется возможным записать, как:
при P ( x ) и Q ( x ) в виде выражений, содержащих переменную.
Таким образом, дробно-рациональные уравнения обязательно содержат как минимум одну дробь с переменной в знаменателе с любым модулем.
9 x 2 — 1 3 x = 0
1 2 x + x x + 1 = 1 2
6 x + 1 = x 2 — 5 x x + 1
Уравнения, которые не являются дробно-рациональными:
Как решаются дробно-рациональные уравнения
В процессе решения дробно-рациональных уравнений обязательным действием является определение области допустимых значений. Найденные корни следует проверить на допустимость, чтобы исключить посторонние решения.
Алгоритм действий при стандартном способе решения:
- Выписать и определить ОДЗ.
- Найти общий знаменатель для дробей.
- Умножить каждый из членов выражения на полученный общий параметр (знаменатель), сократить дроби, которые получились в результате, чтобы исключить знаменатели.
- Записать уравнение со скобками.
- Раскрыть скобки для приведения подобных слагаемых.
- Найти корни полученного уравнения.
- Выполним проверку корней в соответствии с ОДЗ.
- Записать ответ.
Пример 1
Разберем предложенный алгоритм на практическом примере. Предположим, что имеется дробно-рациональное уравнение, которое требуется решить:
x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4
Начать следует с области допустимых значений:
x 2 — 4 ≠ 0 ⇔ x ≠ ± 2
Воспользуемся правилом сокращенного умножения:
x 2 — 4 = ( x — 2 ) ( x + 2 )
В результате общим знаменателем дробей является:
Выполним умножение каждого из членов выражения на общий знаменатель:
x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4
x ( x — 2 ) ( x + 2 ) x — 2 — 7 ( x — 2 ) ( x + 2 ) x + 2 = 8 ( x — 2 ) ( x + 2 ) ( x — 2 ) ( x + 2 )
После сокращения избавимся от скобок и приведем подобные слагаемые:
x ( x + 2 ) — 7 ( x — 2 ) = 8
x 2 + 2 x — 7 x + 14 = 8
Осталось решить квадратное уравнение:
Согласно ОДЗ, первый корень является лишним, так как не удовлетворяет условию, по которому корень не равен 2. Тогда в ответе можно записать:
Примеры задач с ответами для 9 класса
Требуется решить дробно-рациональное уравнение:
x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x x 2 + 7 x + 10 = 0
x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x x 2 + 7 x + 10 = 0
Определим область допустимых значений:
О Д З : x + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ — 2
x 2 + 7 x + 10 ≠ 0
D = 49 — 4 · 10 = 9
x 1 ≠ — 7 + 3 2 = — 2
x 2 ≠ — 7 — 3 2 = — 5
Квадратный трехчлен x 2 + 7 x + 10 следует разложить на множители, руководствуясь формулой:
a x 2 + b x + c = a ( x — x 1 ) ( x — x 2 )
x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0
Заметим, что общим знаменателем для дробей является: ( x + 2 ) ( x + 5 ) . Умножим на этот знаменатель уравнение:
x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0
Сократим дроби, избавимся от скобок, приведем подобные слагаемые:
x ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 2 + ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 5 —
— ( 7 — x ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0
x ( x + 5 ) + ( x + 1 ) ( x + 2 ) — 7 + x = 0
x 2 + 5 x + x 2 + 3 x + 2 — 7 + x = 0
2 x 2 + 9 x — 5 = 0
Потребуется решить квадратное уравнение:
2 x 2 + 9 x — 5 = 0
Первый корень не удовлетворяет условиям ОДЗ, поэтому в ответ нужно записать только второй корень.
Дано дробно-рациональное уравнение, корни которого требуется найти:
4 x — 2 — 3 x + 4 = 1
В первую очередь следует переместить все слагаемые влево и привести дроби к минимальному единому знаменателю:
4 \ ( x + 4 ) x — 2 — 3 \ ( x — 2 ) x + 4 — 1 \ ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0
4 ( x + 4 ) — 3 ( x — 2 ) — ( x — 2 ) ( x + 4 ) ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0
4 x + 16 — 3 x + 6 — ( x 2 + 4 x — 2 x — 8 ) ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0
x + 22 — x 2 — 4 x + 2 x + 8 ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0
Заметим, что получилось нулевое значение для дроби. Известно, что дробь может равняться нулю, если в числителе нуль, а знаменатель не равен нулю. На основании этого можно составить систему:
— x 2 — x + 30 ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0 ⇔ — x 2 — x + 30 = 0 ( x — 2 ) ( x + 4 ) ≠ 0
Следует определить такие значения для переменной, при которых в дроби знаменатель будет обращаться в нуль. Такие значения необходимо удалить из ОДЗ:
( x — 2 ) ( x + 4 ) ≠ 0
Далее можно определить значения для переменных, которые при подстановке в уравнение обращают числитель в нуль:
— x 2 — x + 30 = 0 _ _ _ · ( — 1 )
Получилось квадратное уравнение, которое можно решить:
Сравнив корни с условиями области допустимых значений, можно сделать вывод, что оба корня являются решениями данного уравнения.
Нужно решить дробно-рациональное уравнение:
x + 2 x 2 — 2 x — x x — 2 = 3 x
На первом шаге следует перенести все слагаемые в одну сторону и привести дроби к минимальному единому знаменателю:
x + 2 \ 1 x ( x — 2 ) — x \ x x — 2 — 3 \ ( x — 2 ) x = 0
x + 2 — x 2 — 3 ( x — 2 ) x ( x — 2 ) = 0
x + 2 — x 2 — 3 x + 6 x ( x — 2 ) = 0
— x 2 — 2 x + 8 x ( x — 2 ) = 0 ⇔ — x 2 — 2 x + 8 = 0 x ( x — 2 ) ≠ 0
Перечисленные значения переменной обращают знаменатель в нуль. По этой причине их необходимо удалить из области допустимых значений.
— x 2 — 2 x + 8 = 0 _ _ _ · ( — 1 )
Корни квадратного уравнения:
x 1 = — 4 ; x 2 = 2
Заметим, что второй корень не соответствует ОДЗ. Таким образом, в ответе остается только первый корень.
Найти корни уравнения:
x 2 — x — 6 x — 3 = x + 2
Согласно стандартному алгоритму решения дробно-рациональных уравнений, выполним перенос всех слагаемых в одну сторону. Далее необходимо привести к дроби к наименьшему общему знаменателю:
x 2 — x — 6 \ 1 x — 3 — x \ ( x — 3 ) — 2 \ ( x — 3 ) = 0
x 2 — x — 6 — x ( x — 3 ) — 2 ( x — 3 ) x — 3 = 0
x 2 — x — 6 — x 2 + 3 x — 2 x + 6 x — 3 = 0
0 x x — 3 = 0 ⇔ 0 x = 0 x — 3 ≠ 0
Такое значение переменной, при котором знаменатель становится равным нулю, нужно исключить из области допустимых значений:
Заметим, что это частный случай линейного уравнения, которое обладает бесконечным множеством корней. При подстановке какого-либо числа на место переменной х в любом случае числовое равенство будет справедливым. Единственным недопустимым значением для х в данном задании является число 3, которое не входит в ОДЗ.
Ответ: х — любое число, за исключением 3.
Требуется вычислить корни дробно-рационального уравнения:
5 x — 2 — 3 x + 2 = 20 x 2 — 4
На первом этапе необходимо выполнить перенос всех слагаемых влево, привести дроби к минимальному единому знаменателю:
5 \ ( x + 2 ) x — 2 — 3 \ ( x — 2 ) x + 2 — 20 \ 1 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0
5 ( x + 2 ) — 3 ( x — 2 ) — 20 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0
5 x + 10 — 3 x + 6 — 20 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0
2 x — 4 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ 2 x — 4 = 0 ( x — 2 ) ( x + 2 ) ≠ 0
( x — 2 ) ( x + 2 ) ≠ 0
Данные значения переменной х являются недопустимыми, так как в этом случае теряется смысл дроби в связи с тем, что знаменатель принимает нулевое значение.
Заметим, что 2 не входит в область допустимых значений. В связи с этим, можно заключить, что у уравнения отсутствуют корни.
Ответ: корни отсутствуют
Нужно найти корни уравнения:
x — 3 x — 5 + 1 x = x + 5 x ( x — 5 )
Начнем с определения ОДЗ:
— 5 ≠ 0 x ≠ 0 x ( x — 5 ) ≠ 0 x ≠ 5 x ≠ 0
При умножении обеих частей уравнения на единый знаменатель всех дробей и сокращении аналогичных выражений, которые записаны в числителе и знаменателе, получим:
x — 3 x — 5 + 1 x = x + 5 x ( x — 5 ) · x ( x — 5 )
( x — 3 ) x ( x — 5 ) x — 5 + x ( x — 5 ) x = ( x + 5 ) x ( x — 5 ) x ( x — 5 )
( x — 3 ) x + x = x + 5
Прибегая к арифметическим преобразованиям, можно записать уравнение в упрощенной форме:
x 2 — 3 x + x — 5 = x + 5 → x 2 — 2 x — 5 — x — 5 = 0 → x 2 — 3 x — 10 = 0
Для дальнейших действий следует определить, к какому виду относится полученное уравнение. В нашем случае уравнение является квадратным с коэффициентом при x 2 , который равен 1. Таким образом, целесообразно воспользоваться теоремой Виета:
x 1 · x 2 = — 10 x 1 + x 2 = 3
В этом случае подходящими являются числа: -2 и 5.
Второе значение не соответствует области допустимых значений.
http://infourok.ru/seriya-urokov-po-teme-reshenie-kvadratnih-i-drobnoracionalnih-uravneniy-1960921.html
http://wika.tutoronline.ru/algebra/class/9/drobnoraczionalnye-uravneniya