Практикум по решению показательных уравнений и неравенств

Урок- практикум по теме: » Решение показательных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

МБОУ Алексеево-Лозовская СОШ Учитель математики высшей категории Шконда Ирина Андреевна

« Решение показательных уравнений

ШКОНДА ИРИНА АНДРЕЕВНА

по теме « Решение показательных уравнений и неравенств».

Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний по теме: «Показательные уравнения».

-закрепить решение простейших показательных уравнений;

-показать дополнительные методы решения показательных уравнений;

-обобщить и систематизировать методы решения показательных уравнений;

б) развивающие: продолжить работу по развитию умений работать с дополнительной литературой;

-организация совместных действий, ведущих к активизации учебного процесса;

-стимулирование учеников к самооценке образовательной деятельности;

-учащиеся работают над решением проблемы, поставленной учителем;

Оборудование урока: проектор, компьютер, презентация к уроку.

Устная работа по теме урока..

Основная часть .Выступление учеников-практиков по теме.

а) Определение показательного уравнения.

б) Решение показательных уравнений методом уравнивания показателей.

в) Решение показательных уравнений методом вынесения общего множителя за скобки.

г) Решение показательных уравнений способом подстановки.

д) Метод почленного деления.

е) Способ группировки.

ж) Использование графического метода решения уравнений.

з) Решение показательных уравнений методом подбора.

I .Организационный момент. (3 мин)

Учитель формулирует тему и цели урока. Ученики всего класса записывают число и тему урока в тетрадях. Учитель проверяет состав групп, на которые класс был разбит на предыдущем уроке.

II.Устный работа. (5-7минут). Работа в группах.

1.Среди заданных функций укажите те, которые являются показательными: Какие из показательных функций возрастающие, какие, убывающие?

2. Решите уравнения.

; ; ; ; ; ; ;

; ; ; ; ; ; ; .

3.Решите неравенства: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

; ; ; ; ; ; ; ;

; ; ; ;

4. Решите квадратные уравнения по теореме, обратной теореме Виета.

; ; ; ; ; ; ; ;; ; ; ; ; ; .

Основная часть урока. Работа по теме урока:

Ученики -практики с помощью презентации домашнего задания показывают теоретические и практические знания решения простейших показательных уравнений. Остальные учащиеся записывают решения в тетрадях.

Задание 1 : Определение показательного уравнения.

Показательное уравнение-это уравнение, содержащее неизвестное в показателе степени.

Основные методы решения показательных уравнений.

Простейшие показательные уравнения вида

При b 0 уравнение не имеет решений.

При b >0 данное уравнение решается логарифмированием обеих частей по основанию a ; ; .

Пример1. Решите уравнение:

Данное уравнение решений не имеет, т.к. , показательная функция принимает только положительные значения.

Пример 2. Решите уравнение:

; ; .

Задание 2: Решение показательных уравнений методом уравнивания показателей,

т.е. преобразование данного уравнения к виду а, затем к виду f ( x )= g ( x ).

Пример3. Решите уравнение.

Решение. Приведем все степени к одному основанию 0,2. Получим уравнение ;

; ; .

Ответ: .

Задание 3: .Решение показательных уравнений методом вынесения общего множителя за скобки.

Пример1. Решите уравнение ;

Решение:

; ; ; .

Ответ:

Задание 4: Решение показательных уравнений способом подстановки.

С помощью удачной замены переменных некоторые показательные уравнения удается свести к алгебраическому виду, чаще всего к квадратному уравнению.

Пример1. Решите уравнение ;Решение. ; Пусть , t >0; Тогда ; ; ; ; ; ; .

Ответ: ; .

Задание 5: Метод почленного деления.

Данный метод заключается в том, чтобы разделить каждый член уравнения, содержащий степени с одинаковыми показателями, но разными основаниями, на одну из степеней. Этот метод применяется для решения однородных показательных уравнений.

Пример1.Решите уравнение

Решение: (:)

; Пусть (, где y >0; Тогда

; y ; ; .

Далее имеем: ; , ; .

Ответ: , .

Задание 6: Способ группировки.

Способ группировки заключается в том, чтобы собрать степени с разными основаниями в разных частях уравнения, а затем разделить обе части уравнения на одну из степеней.

Пример1. Решить уравнение.

Решение. Сгруппируем слагаемые следующим образом:

разделим на , получим ; ;

Ответ:

Задание 7: Использование графического метода решения уравнений.

Решить уравнение. ; Построим таблицы значений.

1). .

2). .

Построим графики и найдем абсциссу точки пересечения. Ответ:

Задание 8: Решение показательных уравнений методом подбора.

При решении показательных уравнений этим методом вначале находят путем подбора корень исходного уравнения, а затем доказывают, что этот корень единственный, с использованием свойства монотонности показательной функции.

Решить уравнение:

Решение: подбором находим, что — корень исходного уравнения. Покажем, что других корней нет. Разделив исходное уравнение на 10, получаем равносильное уравнение:

;;

А) Покажем, что среди чисел х.

> при х. 2 корней исходного уравнения также нет. Если, то

( 2 исходное уравнение корней не имеет.

Ответ:

Закрепление изученного материала.

Каждой группе учащихся в конвертах даются задания. Консультант раздает каждому ученику по одной задаче и через 10 минут решения собираются и сдаются учителю. Затем продолжается обсуждение и решение в группе остальных уравнений.

Решить графическим способом (решают самостоятельно).

Решение: 2 Строим в координатной плоскости графики функций. Находим абсциссу точки пересечения. Ответ:

2.Решить уравнение: (решают в группах).

Решение: поскольку 16=4, 9=3, то исходное уравнение можно записать в виде

Делим обе части исходного уравнения на 4

Получаем: ; ; Пусть >0;

; ; ; .

– посторонний корень.

Отсюда . Ответ: .

Проверка и обсуждение заданий:

(10-12 минут) . Готовые решения одного из трех оставшихся заданий записываются на доске каждой группой. Выдвинутый группой ученик объясняет решение, основываясь на теории, выдвигает алгоритм действий. Объяснения длятся около 4 минут. Другие группы могут задать вопросы по решению уравнения.

1)Учитель задает вопросы классу: Какими методами можно решать показательные уравнения?

2) Оценка знаний учащихся : Учитель оценивает деятельность каждой группы. Для выставления отметок за урок раздаются оценочные листы. Предпоследняя колонка заполняется учеником (см. условные обозначения). Консультант заполняет вторую и третью колонки. Учитель ставит итоговые отметки, оценив деятельность всей группы.

Условные знаки для оценивания учеником самого себя :

«+»– отлично изучил тему;

«+;-»– есть проблемы, но я их решил самостоятельно;

«^» – были проблемы, но я их решил с помощью группы;

«-» – проблемы не решены.

5. Домашнее задание:

стр299, №163(б); №164(а);№165(а);№166(а;г); Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. Под редакцией А.Н. Колмогорова. 13-е издание. Москва «Просвещение»,2003.

Источни ки информации.

Алгебра и начала анализа.10-11 классы: рабочие программы по учебникам Ю.М. Колягина, М.В. Ткачевой, Н.Е. Федоровой, М.И. Шабунина: базовый и профильный уровни/авт.-сост. Н.А. Ким.- Волгоград: Учитель, 2011.

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : учебник для общеобразоват. учреждений : базовый и профильный уровни / Ю. М. Колягин [и др.] ; под ред. А. В. Жижченко. — М. : Просвещение, 2011.

Изучение алгебры и начал математического анализа в 10 классе : книга для учителя / Н. Е. Федорова, М. В. Ткачева. — М.: Просвещение, 2008.

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : дидактические материалы. Углубленный уровень / М. И. Шабунин [и др.]. — М. : Просвещение, 2008.

Тематические тесты. 10 класс : дидактические материалы. Углубленный уровень / М.В. Ткачева [и др.]. — М.: Просвещение, 2009.

Григорьева Г.И. Поурочное планирование по алгебре и началам анализа к учебнику Ш.А. Алимова «Алгебра и начала анализа 10-11 классы». – Волгоград: Учитель, 2009.

Семенов Ф.Л. Ященко И.В.ЕГЭ 3000 задач с ответами Математика с теорией вероятностей и статистикой МИОО 2012-2013 г.

Сборники тестовых заданий ЕГЭ, 2011-2013 Изд. Легион-М, АСТ-Астрель, «Экзамен» и др.

2. Какие из заданных функций являются возрастающими (убывающими)?

А) Б) В); Г)

3. Решите уравнения.

А); Б); В); Г). 4. 4. Решите показательное уравнение способом подстановки .

5. Решите показательное уравнение методом вынесения общего множителя за скобки.

6. Решить графическим способом

1.Среди заданных функций укажите те, которые являются показательными:

2. Какие из заданных функций являются возрастающими (убывающими)?

А) Б) В); Г)

3. Решите уравнения.

А); Б); В); Г).

4. Решите показательное уравнение способом подстановки

5. Решите показательное уравнение методом вынесения общего множителя за скобки. .

6. Решить графическим способом

1.Среди заданных функций укажите те, которые являются показательными:

2. Какие из заданных функций являются возрастающими (убывающими)?

А) Б) В); Г)

3. Решите уравнения.

А); Б); В); Г).

4. Решите показательное уравнение способом подстановки .

5. Решите показательное уравнение методом вынесения общего множителя за скобки.

6. Решить графическим способом

1.Среди заданных функций укажите те, которые являются показательными:

2. Какие из заданных функций являются возрастающими (убывающими)?

А) Б) В); Г)

3. Решите уравнения.

А); Б); В); Г).

4. Решите показательное уравнение способом подстановки .

5. Решите показательное уравнение методом вынесения общего множителя за скобки. .

6. Решить графическим способом

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Содержание:

Рассмотрим уравнения, в которых переменная (неизвестное) находится в показателе степени. Например:

Уравнения такого вида принято называть показательными.

Решении показательных уравнений

При решении показательных уравнений нам будет полезно следствие из теоремы о свойствах показательной функции.

Пусть

Каждому значению показательной функции соответствует единственный показатель s.

Пример:

Решение:

Согласно следствию из равенства двух степеней с одинаковым основанием 3 следует равенство их показателей. Таким образом, данное уравнение равносильно уравнению

Пример:

Решение:

а) Данное уравнение равносильно (поясните почему) уравнению

Если степени с основанием 3 равны, то равны и их показатели:

Решив это уравнение, получим

Ответ:

При решении каждого уравнения из примера 2 сначала обе части уравнения представили в виде степени с одним и тем же основанием, а затем записали равенство показателей этих степеней.

Пример:

Решение:

а) Данное уравнение равносильно уравнению

Решая его, получаем:

Так как две степени с одинаковым основанием 2 равны, то равны и их показатели, т. е. откуда находим

б) Разделив обе части уравнения на получим уравнение равносильное данному. Решив его, получим

Ответ:

При решении примера 3 а) левую часть уравнения разложили на множители. Причем за скобку вынесли такой множитель, что в скобках осталось числовое выражение, не содержащее переменной.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Обозначим тогда

Таким образом, из данного уравнения получаем

откуда находим:

Итак, с учетом обозначения имеем:

При решении примера 4 был использован метод введения новой переменной, который позволил свести данное уравнение к квадратному относительно этой переменной.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Можно заметить, что 2 — корень данного уравнения. Других корней уравнение не имеет, так как функция, стоящая в левой части уравнения, возрастающая, а функция, стоящая в правой части уравнения, убывающая. Поэтому уравнение имеет не более одного корня (см. теорему из п. 1.14).

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Пример:

При каком значении а корнем уравнения является число, равное 2?

Решение:

Поскольку х = 2 — корень, то верно равенство

Решив это уравнение, найдем

Ответ: при

Показательные уравнения и их системы

Показательным уравнением называется уравнение, в ко тором неизвестное входит в показатель степени. При решении показательных уравнений полезно использовать следующие тождества:

Приведем методы решения некоторых типов показательных уравнений.

1 Приведение к одному основанию.

Метод основан на следующем свойстве степеней: если две степени равны и равны их основания, то равны и их показатели, т.е. уравнения надо попытаться привести к виду . Отсюда

Пример №1

Решите уравнение

Решение:

Заметим, что и перепишем наше уравнение в виде

Применив тождество (1), получим Зх — 7 = -7х + 3, х = 1.

Пример №2

Решить уравнение

Решение:

Переходя к основанию степени 2, получим:

Согласно тождеству (2), имеем

Последнее уравнение равносильно уравнению 4х-19 = 2,5х.

2 Введение новой переменной.

Пример №3

Решить уравнение

Решение:

Применив тождество 2, перепишем уравнение как

Введем новую переменную: Получим уравнение

которое имеет корни Однако кореньне удовлетворяет условию Значит,

Пример №4

Решить уравнение

Решение:

Разделив обе части уравнения на получим:

последнее уравнение запишется так:

Решая уравнение, найдем

Значение не удовлетворяет условию Следовательно,

Пример №5

Решить уравнение

Решение:

Заметим что Значит

Перепишем уравнение в виде

Обозначим Получим

Получим

Корнями данного уравнения будут

Следовательно,

III Вынесение общего множителя за скобку.

Пример №6

Решить уравнение

Решение:

После вынесения за скобку в левой части , а в правой , получим Разделим обе части уравнения на получим

Системы простейших показательных уравнений

Пример №7

Решите систему уравнений:

Решение:

По свойству степеней система уравнений равносильна следующей

системе :Отсюда получим систему

Очевидно, что последняя система имеет решение

Пример №8

Решите систему уравнений:

Решение:

По свойству степеней система уравнений равносильна следующей системе: Последняя система, в свою очередь, равносильна системе:

Умножив второе уравнение этой системы на (-2) и сложив с первым, получим уравнение —9х=-4. Отсюда, найдем Подставив полученное значение во второе уравнение, получим

Пример №9

Решите систему уравнений:

Решение:

Сделаем замену: Тогда наша система примет вид:

Очевидно, что эта система уравнений имеет решение

Тогда получим уравнения

Приближенное решение уравнений

Пусть многочлен f(х) на концах отрезка [a,b] принимает значения разных знаков, то есть . Тогда внутри этого отрезка существует хотя бы одно решение уравнения Дх)=0. Это означает, что существует такое (читается как «кси»), что

Это утверждение проиллюстрировано на следующем чертеже.

Рассмотрим отрезок содержащий лишь один корень уравнения .

Метод последовательного деления отрезка пополам заключается в последовательном разделении отрезка [a, b] пополам до тех пор, пока длина полученного отрезка не будет меньше заданной точности

вычисляется значение f(х) выражения
отрезок делится пополам, то есть вычисляется значение
вычисляется значение выражения f(х) в точке
проверяется условие
если это условие выполняется, то в качестве левого конца нового отрезка выбирается середина предыдущего отрезка, то есть полагается, что (левый конец отрезка переходит в середину);
если это условие не выполняется, то правый конец нового отрезка переходит в середину, то есть полагается, что b=x;
для нового отрезка проверяется условие
если это условие выполняется , то вычисления заканчиваются. При этом в качестве приближенного решения выбирается последнее вычисленное значение х. Если это условие не выполняется, то, переходя к пункту 2 этого алгоритма, вычисления продолжаются.

Метод последовательного деления пополам проиллюстрирован на этом чертеже:

Для нахождения интервала, содержащего корень уравнения вычисляются значения

Оказывается, что для корня данного уравнения выполнено неравенство. Значит, данное уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий интервалу (-1 -А; 1+А). Для приближенного вычисления данного корня найдем целые и удовлетворяющие неравенству

Пример №10

Найдите интервал, содержащий корень уравнения

Решение:

Поделив обе части уравнения на 2 , получим,

Так как, для нового уравнения

Значит, в интервале, уравнение имеет хотя бы один корень. В то же время уравнение при не имеет ни одного корня, так как,

выполняется. Значит, корень уравнения лежит в (-2,5; 0). Для уточнения этого интервала положим Для проверим выполнение условия

Значит, уравнение имеет корень, принадлежащий интервалу (-1; 0).

Нахождение приближенного корня с заданной точностью

Исходя из вышесказанного, заключаем, что если выполнено неравенство корень уравнения принадлежит интервалу

ПустьЕсли приближенный

корень уравнения с точностью . Если то корень лежит в интервале если то корень лежит в интервале . Продолжим процесс до нахождения приближенного значения корня с заданной точностью.

Пример №11

Найдите приближенное значение корня уравнения с заданной точностью

Решение:

Из предыдущего примера нам известно, что корень лежит в интервале

(-1; 0). Из того, что заключаем, что корень лежит в интервале (-0,5; 0).

Так как, |(-0,25)41,5(-0,25)2+2,5(-0,25)+0,5| = |-0,046| 1. Если

Пусть

Изображения графиков показательной функции подсказывают это свойство. На рисунке 27 видно, что при а > 1 большему значению функции соответствует большее значение аргумента. А на рисунке 30 видно, что при 0

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Практическая работа «Показательные неравенства».

Практическое занятие: Показательные неравенства.

Цель: освоить решение показательных неравенств .

1. Для того, чтобы освоить решение показательных неравенств необходимо:

1) знать и уметь решать показательные уравнения;

2) знать и уметь применять признак монотонности (возрастания и убывания) показательной функции;

3) уметь решать простейшие неравенства (линейные, квадратные)

— По первому пункту вы сдали зачёт – решение показательных уравнений освоили.

— По второму пункту мы проводили исследовательскую работу: строили графики показательных функций и обобщили признаки возрастания и убывания функций по их формулам.

— Повторением способов решения простейших линейных и квадратных неравенств,; правил, связанных с решением неравенств, мы будем заниматься сегодня.

2. Познакомьтесь с материалом, вспомните или изучите решение простейших линейных неравенств, сделайте конспект и выполните самостоятельную работу,

Материал для повторения:

1) Изображение, обозначение числовых промежутков.

2) Правила преобразования неравенств, приводящие к равносильным неравенствам.

3). Запишите примеры решения линейных неравенств.

4). Решите самостоятельно неравенства:

3. Познакомьтесь с материалом, вспомните или изучите решение простейших квадратных неравенств, сделайте конспект и выполните самостоятельную работу.

Материал для повторения:

Решите самостоятельно неравенства:

4.Повторите свойство показательных функций на возрастание и убывание (монотонность).

Укажите из перечисленных показательных функций возрастающие и убывающие:

y =( х y =( х

5.Решение показательных неравенств.

Метод приведения к одному основанию.

Пример 1 . Решить неравенство:

Перепишем неравенство: ;

; . Т. к 2>1, то по свойству 1 знак остаётся прежним, т. е. ⇒ . Ребята, важно отметить, что ответ можно записать либо в виде неравенства, либо в виде промежутка. Запишем в виде промежутка.