Практикум решение показательных уравнений и неравенств

Практическая работа по теме: «Решение показательных уравнений и неравенств»

Просмотр содержимого документа
«Практическая работа по теме: «Решение показательных уравнений и неравенств»»

Практическая работа №3

Тема: «Решение показательных уравнений и неравенств»

Цель: научиться применять свойства показательной функции для решения показательных уравнений и неравенств, закрепить знания и умения по применению методов решения показательных уравнений и неравенств для решения практических задач.

Основные теоретические положения

Определение. Уравнение вида , где , называется показательным.

Если

Способы решения показательных уравнений.

1. Уединить слагаемое, содержащее переменную;
2. Привести степени к одному основанию;
3. Приравнять показатели;
4. Решить полученное уравнение;
5. Записать ответ.

Вынесение общего множителя за скобки.

Примечание: выносим за скобки множитель с меньшим показателем.

Введение новой переменной

Как правило, уравнения, решаемые этим способом, сводятся к квадратным.

Пример:

Пусть 4 x = а тогда уравнение можно записать в виде:

Сделаем обратную замену:

4 x = 4 или 4 x = 1;
х = 1 или х = 0

Ответ: х = 1 или х = 0

Определение Показательные уравнения вида называются однородными.

Суть метода: Так как показательная функция не может принимать значение, равное нулю, и обе части уравнения можно делить на одно и то же не равное нулю число, разделим обе части уравнения, например, на .

Разделим обе части уравнения на

Определение. Показательным неравенством называется неравенство, в котором переменная содержится в показателе степени.

Решение простейших показательных неравенств.

Простейшими считаются показательные неравенства вида: a x y , a x a y . (a x ≤a y , a x ≥a y ).

Так же, как и при решении простейших показательных уравнений, одинаковые основания степеней опускают, но знак нового неравенства сохраняют, если функция у=а х является возрастающей (а1); eсли же показательная функция у=а х убывает (0), то знак нового неравенства меняют на противоположный:

a x a y → x y, если a1; знак сохранен, так как функция возрастает;

a x a y → x y, если 0; функция убывает – знак поменялся;

a x a y → x y, если a1; знак сохранен, так как функция возрастает

a x a y → x y, если 0; функция убывает – знак поменялся.

Представим правую часть в виде: 0,25=( 25 /₁₀₀)=( 1 /₄)=4 -1 ;

4 5-2x -1 ; функция у=4 х с основанием 41 возрастает на R, поэтому, опуская основания степеней, знак неравенства сохраним:

Представим число 0,16 в виде степени числа 0,4. Получаем:

0,4 2х+1 ≥0,4 2 ; основание степеней – число 0,4 — удовлетворяет условию: 0; поэтому, опускаем основания степеней, а знак неравенства меняем на противоположный:

2 х≤2-1;

1)

2)

6)

3)

4)

7)

Решите систему уравнений

5)

8)

9)

1)

2)

6)

3)

4)

7)

Решите систему уравнений

5)

8)

9)

1)

2)

6)

3)

4)

7)

Решите систему уравнений

5)

8)

9)

1)

2)

6)

3)

4)

7)

Решите систему уравнений

5)

8)

9)

Сделайте вывод по проделанной работе

От чего зависит возрастание или убывание показательной функции?

Дайте определение показательного неравенства.

Какие условия должны выполняться при решении показательных неравенств?

Урок- практикум по теме: » Решение показательных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

МБОУ Алексеево-Лозовская СОШ Учитель математики высшей категории Шконда Ирина Андреевна

« Решение показательных уравнений

ШКОНДА ИРИНА АНДРЕЕВНА

по теме « Решение показательных уравнений и неравенств».

Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний по теме: «Показательные уравнения».

-закрепить решение простейших показательных уравнений;

-показать дополнительные методы решения показательных уравнений;

-обобщить и систематизировать методы решения показательных уравнений;

б) развивающие: продолжить работу по развитию умений работать с дополнительной литературой;

-организация совместных действий, ведущих к активизации учебного процесса;

-стимулирование учеников к самооценке образовательной деятельности;

-учащиеся работают над решением проблемы, поставленной учителем;

Оборудование урока: проектор, компьютер, презентация к уроку.

Устная работа по теме урока..

Основная часть .Выступление учеников-практиков по теме.

а) Определение показательного уравнения.

б) Решение показательных уравнений методом уравнивания показателей.

в) Решение показательных уравнений методом вынесения общего множителя за скобки.

г) Решение показательных уравнений способом подстановки.

д) Метод почленного деления.

е) Способ группировки.

ж) Использование графического метода решения уравнений.

з) Решение показательных уравнений методом подбора.

I .Организационный момент. (3 мин)

Учитель формулирует тему и цели урока. Ученики всего класса записывают число и тему урока в тетрадях. Учитель проверяет состав групп, на которые класс был разбит на предыдущем уроке.

II.Устный работа. (5-7минут). Работа в группах.

1.Среди заданных функций укажите те, которые являются показательными: Какие из показательных функций возрастающие, какие, убывающие?

2. Решите уравнения.

; ; ; ; ; ; ;

; ; ; ; ; ; ; .

3.Решите неравенства: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

; ; ; ; ; ; ; ;

; ; ; ;

4. Решите квадратные уравнения по теореме, обратной теореме Виета.

; ; ; ; ; ; ; ;; ; ; ; ; ; .

Основная часть урока. Работа по теме урока:

Ученики -практики с помощью презентации домашнего задания показывают теоретические и практические знания решения простейших показательных уравнений. Остальные учащиеся записывают решения в тетрадях.

Задание 1 : Определение показательного уравнения.

Показательное уравнение-это уравнение, содержащее неизвестное в показателе степени.

Основные методы решения показательных уравнений.

Простейшие показательные уравнения вида

При b 0 уравнение не имеет решений.

При b >0 данное уравнение решается логарифмированием обеих частей по основанию a ; ; .

Пример1. Решите уравнение:

Данное уравнение решений не имеет, т.к. , показательная функция принимает только положительные значения.

Пример 2. Решите уравнение:

; ; .

Задание 2: Решение показательных уравнений методом уравнивания показателей,

т.е. преобразование данного уравнения к виду а, затем к виду f ( x )= g ( x ).

Пример3. Решите уравнение.

Решение. Приведем все степени к одному основанию 0,2. Получим уравнение ;

; ; .

Ответ: .

Задание 3: .Решение показательных уравнений методом вынесения общего множителя за скобки.

Пример1. Решите уравнение ;

Решение:

; ; ; .

Ответ:

Задание 4: Решение показательных уравнений способом подстановки.

С помощью удачной замены переменных некоторые показательные уравнения удается свести к алгебраическому виду, чаще всего к квадратному уравнению.

Пример1. Решите уравнение ;Решение. ; Пусть , t >0; Тогда ; ; ; ; ; ; .

Ответ: ; .

Задание 5: Метод почленного деления.

Данный метод заключается в том, чтобы разделить каждый член уравнения, содержащий степени с одинаковыми показателями, но разными основаниями, на одну из степеней. Этот метод применяется для решения однородных показательных уравнений.

Пример1.Решите уравнение

Решение: (:)

; Пусть (, где y >0; Тогда

; y ; ; .

Далее имеем: ; , ; .

Ответ: , .

Задание 6: Способ группировки.

Способ группировки заключается в том, чтобы собрать степени с разными основаниями в разных частях уравнения, а затем разделить обе части уравнения на одну из степеней.

Пример1. Решить уравнение.

Решение. Сгруппируем слагаемые следующим образом:

разделим на , получим ; ;

Ответ:

Задание 7: Использование графического метода решения уравнений.

Решить уравнение. ; Построим таблицы значений.

1). .

2). .

Построим графики и найдем абсциссу точки пересечения. Ответ:

Задание 8: Решение показательных уравнений методом подбора.

При решении показательных уравнений этим методом вначале находят путем подбора корень исходного уравнения, а затем доказывают, что этот корень единственный, с использованием свойства монотонности показательной функции.

Решить уравнение:

Решение: подбором находим, что — корень исходного уравнения. Покажем, что других корней нет. Разделив исходное уравнение на 10, получаем равносильное уравнение:

;;

А) Покажем, что среди чисел х.

> при х. 2 корней исходного уравнения также нет. Если, то

( 2 исходное уравнение корней не имеет.

Ответ:

Закрепление изученного материала.

Каждой группе учащихся в конвертах даются задания. Консультант раздает каждому ученику по одной задаче и через 10 минут решения собираются и сдаются учителю. Затем продолжается обсуждение и решение в группе остальных уравнений.

Решить графическим способом (решают самостоятельно).

Решение: 2 Строим в координатной плоскости графики функций. Находим абсциссу точки пересечения. Ответ:

2.Решить уравнение: (решают в группах).

.

Решение: поскольку 16=4, 9=3, то исходное уравнение можно записать в виде

Делим обе части исходного уравнения на 4

Получаем: ; ; Пусть >0;

; ; ; .

– посторонний корень.

Отсюда . Ответ: .

Проверка и обсуждение заданий:

(10-12 минут) . Готовые решения одного из трех оставшихся заданий записываются на доске каждой группой. Выдвинутый группой ученик объясняет решение, основываясь на теории, выдвигает алгоритм действий. Объяснения длятся около 4 минут. Другие группы могут задать вопросы по решению уравнения.

1)Учитель задает вопросы классу: Какими методами можно решать показательные уравнения?

2) Оценка знаний учащихся : Учитель оценивает деятельность каждой группы. Для выставления отметок за урок раздаются оценочные листы. Предпоследняя колонка заполняется учеником (см. условные обозначения). Консультант заполняет вторую и третью колонки. Учитель ставит итоговые отметки, оценив деятельность всей группы.

Условные знаки для оценивания учеником самого себя :

«+»– отлично изучил тему;

«+;-»– есть проблемы, но я их решил самостоятельно;

«^» – были проблемы, но я их решил с помощью группы;

«-» – проблемы не решены.

5. Домашнее задание:

стр299, №163(б); №164(а);№165(а);№166(а;г); Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. Под редакцией А.Н. Колмогорова. 13-е издание. Москва «Просвещение»,2003.

Источни ки информации.

Алгебра и начала анализа.10-11 классы: рабочие программы по учебникам Ю.М. Колягина, М.В. Ткачевой, Н.Е. Федоровой, М.И. Шабунина: базовый и профильный уровни/авт.-сост. Н.А. Ким.- Волгоград: Учитель, 2011.

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : учебник для общеобразоват. учреждений : базовый и профильный уровни / Ю. М. Колягин [и др.] ; под ред. А. В. Жижченко. — М. : Просвещение, 2011.

Изучение алгебры и начал математического анализа в 10 классе : книга для учителя / Н. Е. Федорова, М. В. Ткачева. — М.: Просвещение, 2008.

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : дидактические материалы. Углубленный уровень / М. И. Шабунин [и др.]. — М. : Просвещение, 2008.

Тематические тесты. 10 класс : дидактические материалы. Углубленный уровень / М.В. Ткачева [и др.]. — М.: Просвещение, 2009.

Григорьева Г.И. Поурочное планирование по алгебре и началам анализа к учебнику Ш.А. Алимова «Алгебра и начала анализа 10-11 классы». – Волгоград: Учитель, 2009.

Семенов Ф.Л. Ященко И.В.ЕГЭ 3000 задач с ответами Математика с теорией вероятностей и статистикой МИОО 2012-2013 г.

Сборники тестовых заданий ЕГЭ, 2011-2013 Изд. Легион-М, АСТ-Астрель, «Экзамен» и др.

2. Какие из заданных функций являются возрастающими (убывающими)?

А) Б) В); Г)

3. Решите уравнения.

А); Б); В); Г). 4. 4. Решите показательное уравнение способом подстановки .

5. Решите показательное уравнение методом вынесения общего множителя за скобки.

6. Решить графическим способом

1.Среди заданных функций укажите те, которые являются показательными:

2. Какие из заданных функций являются возрастающими (убывающими)?

А) Б) В); Г)

3. Решите уравнения.

А); Б); В); Г).

4. Решите показательное уравнение способом подстановки

5. Решите показательное уравнение методом вынесения общего множителя за скобки. .

6. Решить графическим способом

1.Среди заданных функций укажите те, которые являются показательными:

2. Какие из заданных функций являются возрастающими (убывающими)?

А) Б) В); Г)

3. Решите уравнения.

А); Б); В); Г).

4. Решите показательное уравнение способом подстановки .

5. Решите показательное уравнение методом вынесения общего множителя за скобки.

6. Решить графическим способом

1.Среди заданных функций укажите те, которые являются показательными:

2. Какие из заданных функций являются возрастающими (убывающими)?

А) Б) В); Г)

3. Решите уравнения.

А); Б); В); Г).

4. Решите показательное уравнение способом подстановки .

5. Решите показательное уравнение методом вынесения общего множителя за скобки. .

6. Решить графическим способом

Практикум «Решение показательных уравнений»
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) по теме

Урок оргдеятельностного типа с групповой работой.

На уроке используется взаимопроверка, самопроверка.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Практикум «Решение показательных уравнений».

Урок оргдеятельностного типа с групповой работой.

• закрепление и совершенствование умения решать показательные уравнения;
• воспитание внимания, трудолюбия, самостоятельности и самоконтроля;
• развитие мыслительной деятельности, умение анализировать, обобщать, классифицировать.

Методы работы: частично -поисковый, исследовательский.

Класс делится на группы: по 4-5 человек.

1. Формулировка целей и задач урока учащимися
2. Актуализация знаний.

На доске написано 7 уравнений. Вам предлагается их решить. К доске выходят 7 учеников, остальные работают в тетрадях.

1. (0,8) х+2 = 1,25 -4
2. 7 х-7 = 49
3. =
4. 7 х + 5 ∙ 7 х-2 = 378
5. 2 х-2 – 3 4-2х = 0
6. = 105 ∙ 15 -х
7. 49 х+1 + 55 ∙ 7 х+1 – 56 = 0.

Правильные решения сохраняются на доске весь урок.

1. Оперирование полученными знаниями, овладение способами деятельности.

На каждом столе лежат дидактические материалы: «тренажер №2», «тренажер №3» и «тренажер №4» по пять уравнений в каждом. Ученики работают в группах – кто лучше понял, помогает остальным. При затруднении можно получить консультацию учителя. Обязательна самопроверка при обсуждении решения каждого из тренажеров.

1. 7 х-1 – 6 2-2х = 0
2. 5 3х – 7 -2х = 0
3. 8 ∙ 3 х = 243 ∙ 2 х-2
4. 2,5 ∙ 4 х = 8 ∙ 5 х-1
5. 9 х – 75 ∙ 3 х-1 – 54 = 0

5. Самостоятельная работа.

Составляется в стольких вариантах, сколько человек в группе. Содержит пять уравнений, например:

1. =
2. 2 х-1 = 2
3. =
4. 7 ∙ 6 х – 6 х+1 = 6 -2
5. 100 х – 70 ∙ 10 х-1 – 30 = 0

6. Обобщение и систематизация знаний, полученных на уроке.

7. Анализ и оценка итогов работы. Рефлексия.

На протяжении всего урока тренинга-минимума наблюдается работа каждой группы – одни приглашаются к доске, другие проверяют свои решения по готовым решениям.

Проводится итог по работе каждой группы. Результаты самостоятельной работы заносятся в таблицу «Мониторинг успешности».

8. Разъяснение домашнего задания.

№462, 463в)г), 464в)г), 468а)г), 469а)в).

Творческое задание: 1. 8∙ — 7∙ =0

1. Найти сумму корней уравнения х 3 ∙ 3 х-1 + 125 = 125 ∙ 3 х-1 + х 3