О решении уравнений в 5–6-х классах
Разделы: Математика
Сухие строки уравнений —
В них сила разума влилась.
В них объяснение явлений,
Вещей разгаданная связь.
Л.М.Фридман
Уравнения в школьном курсе математики занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники. Обучение детей умению решать уравнения начинается уже в начальной школе. У учеников формируется понятие уравнения, как равенства с неизвестным числом, которое требуется найти. Используя правила нахождения неизвестных компонентов, дети учатся находить корни простейших уравнений. Свое дальнейшее развитие содержательно-методическая линия уравнений получает в 5-6 классах, причем на этом этапе уже есть возможность и необходимость показать детям прикладную ценность уравнений. Однако, по моему мнению, чрезмерное стремление некоторых педагогов к использованию уравнений для решения текстовых задач в 5 классе, является необоснованным и в некоторой степени вредным. Оно не способствует в полной мере развитию мыслительных навыков детей. В пятом классе со своими учениками я рассматриваю арифметические подходы к решению задач разных типов. Учебные пособия “Математика-5” , “Математика-6” И.И. Зубаревой, А.Г. Мордковича нацеливают педагога на постепенное введение буквенных выражений, уравнений. Учащиеся учатся использовать их для перевода предложений, сформулированных на русском языке, на математический язык. Дети осознанно подходят к составлению уравнения по условию задачи, постепенно овладевают умением выделять величины, устанавливать связи и зависимости между ними. Но для того, чтобы ребенок мог полноценно решить задачу с помощью уравнения, ему необходимо уметь решать уравнения. Обучению приемам решения уравнений уделяю достаточно много времени. В пятом классе закрепляю и довожу до автоматизма умение решать уравнения “по компонентам”, ввожу прием “форточка” для решения двухшаговых уравнений, этот же приемом использую для решения более сложных уравнений. Дети часто затрудняются при выборе действия для нахождения неизвестного компонента. Чтобы избежать ошибки, использую прием “маленький пример”, который позволяет ребенку на однозначных числах выяснить, как найти неизвестное число и по аналогии выполнить действие. Например, надо решить уравнение (123х+ 34):18 = — 45. ребенок будет действовать следующим образом:
маленький пример”: 6:2=3 6=3*2
Таким образом, оставляя одно действие, заключая все остальное в “форточку”, ребенок придет к простейшему уравнению. Прием “форточка” вызывает интерес детей, привлекает их внимание, надолго запоминается. Кроме того, его использую как пропедевтику способа замены переменных.
Уже в шестом классе начинаю вводить способ решения уравнений, сводящихся к линейным, основанный на переносе слагаемых. Дети умеют раскрывать скобки, приводить подобные. Но при этом обязательно показываю, что, например, уравнение
2х-34= -56 можно решить двумя способами: использовать “форточку” или перенести слагаемые. Это делаю для того, чтобы дети привыкали к поиску разных способов выполнения одной и той же задачи, выбору наиболее рационального. Такая система работы дает положительный результат: даже самые слабые дети успешно решают уравнения. Этот подход к обучению умению решать уравнения был мной апробирован в классе компенсирующего обучения.
Далее предлагаю проекты уроков в 6 классе, на котором ввожу способ решения уравнений с переносом слагаемых. На уроках используются презентации, выполненные в программе PowerPoint. Более эффективно использовать интерактивную доску.
Тема урока: Решение уравнений
Цели урока:Повторение способов решения простейших и двухшаговых уравнений.
Оборудование: интерактивная доска, сканер, учебник “Математика-6”, И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович.
Этап урока | Цель этапа урока | Содержание | Методический комментарий |
1. Проверка домашней работы | Закрепление навыка самопроверки, умения находить свои и чужие ошибки, объяснять их причину; |
Актуализация знаний по теме урока.
2. Решите уравнение:
б) 36: (12+х) = -6.
Какие рассуждения вы проводили при решении первого уравнения из домашней работы? Второго уравнения?
1) Попробуйте провести аналогичные рассуждения для решения уравнения
Как надо изменить уравнение, чтобы можно было применить имеющиеся знания по решению уравнений?
3) При переезде через государственную границу человек меняет свой паспорт, а слагаемое меняет свой знак.
4) Ребята! Как бы вы поступили при решении уравнения
5) А такого уравнения
6) Хорошо, а теперь давайте попробуем составить алгоритм решения уравнений, похожих на уравнение 7(2+у)-3у=5у-6.
1) Учитель создает проблемную ситуацию.
Учащиеся делают вывод о том, что известные им приемы не работают.
2) Дети говорят о том, что было бы хорошо, если бы все переменные были в одной стороне уравнения.
3) Далее учитель показывает, как перенести слагаемые из одной части уравнения в другую.
4) Перенесли бы слагаемые 14 и 5у, затем привели подобные и нашли значение переменной.
5) Сначала бы раскрыли скобки, затем выполнили перенос слагаемых, приведение подобных и нашли значение переменной.
6) Формулируют последовательность действий и вклеивают в свои справочники алгоритм решения уравнения, в котором есть скобки и переменная может находиться в разных частях уравнения.
е)-3(5а-1)+4а = 2а+7(5-3а)
Самопроверка по образцу, который дает учитель.
Синим цветом выделены уравнения повышенной для этого урока сложности, их выполняют те ученики, которые быстрее других справляются с работой.
Как вы думаете, это всегда будет так?
Давайте наше предположение проверим.
Предлагаю в группах обсудить решение следующих уравнений:
1 группа – решите уравнение 3х-12=0;
2 группа – решите уравнение
3 группа – решите уравнение
Сколько корней получилось у ваших уравнений?
Вывод: Уравнение вида ax = b может иметь один корень, может не иметь корней, может иметь бесконечно много корней.
Учащиеся работают в группах.
Учитель оказывает помощь группам при необходимости.
Организует обсуждение полученных результатов, помогает сделать выводы.
Таблица с выводами (заранее распечатанная) вклеивается в справочник
Тема урока: Решение уравнений.
Цели урока:
- Закрепление навыка решения простейших и двухшаговых уравнений.
- Формирование умения решать уравнения, используя перенос слагаемых из одной части в другую.
- Развитие коммуникативных навыков учащихся.
- Первичный контроль знаний и умений учеников по данной теме.
Оборудование: интерактивная доска, компьютерный класс, учебник “Математика-6”, И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович.
Этап урока | Цель этапа урока | Содержание | Методический комментарий |
1. Проверка домашней работы | Закрепление навыка самопроверки, умения находить свои и чужие ошибки, объяснять их причину; |
Актуализация знаний по теме урока.
в) 17+3(15-с)=(4-с)-2(с-5).
Учитель оказывает помощь слабоуспевающим ученикам.
2) Повторение алгоритма решения уравнений. Дети обсуждают в парах , а один ученик на компьютере в режиме “пауза” перетаскивает фигуры в нужном порядке.
3) Решение уравнений (проектор переводится в режим “пауза”), один ребенок работает на компьютере, а затем работа проверяется детьми.
9 человек проходят тестирование на компьютерах, остальные самостоятельно работают на местах.
Раскрытие скобок
О чем эта статья:
Понятие раскрытия скобок
В задачах по математике постоянно встречаются числовые и буквенные выражения, а также выражения с переменными, которые составлены с использованием скобок.
Основная функция скобок — менять порядок действий при вычислениях значений числовых выражений.
Часто можно перейти от одного выражения со скобками к тождественно равному выражению без скобок. Например:
Такой переход от выражения со скобками к тождественно равному выражению без скобок несет в себе основную идею о раскрытии скобок.
Начальное выражение со скобками и результат, полученный после раскрытия скобок, удобно записывать в виде равенства, как мы это сделали в предыдущем примере.
В школе тему раскрытия скобок обычно подходят в 6 классе. На этом этапе раскрытие скобок воспринимают, как избавление от скобок, которые указывают порядок выполнения действий. И изучают раскрытие скобок на примерах выражений, которые содержат:
- знаки плюс или минус перед скобками, которые заключают сумму или разность, например, (a + 7) и -(-3 + 2a — 12 — b);
- произведение числа, одной или нескольких букв и суммы или разности в скобках, например, 3(2 — 7), (3 — a + 8c)(-b) или -2a(b + 2c — 3m).
Раскрытие скобок также можно рассматривать шире.
Раскрытием скобок можно назвать переход от выражения, которое содержит отрицательные числа в скобках, к выражению без скобок. Например:
Или, если в описанных выше выражениях вместо чисел и переменных могут быть любые выражения. В полученных таким способом выражениях тоже можно проводить раскрытие скобок. Например:
Раскрытие скобок — это избавление от скобок, которые указывают порядок выполнения действий, а также избавление от скобок, в которые заключены отдельные числа и выражения.
Важно отметить еще один момент, который касается особенностей записи решения при раскрытии скобок. При раскрытии скобок в громоздких выражениях можно прописывать промежуточные результаты в виде цепочки равенств. Например, вот так:
- 5 — (3 — (2 — 1)) = 5 — (3 — 2 + 1) = 5 — 3 + 2 — 1
Первое правило раскрытия скобок
Это выражение равно двум. А теперь раскроем скобки, то есть избавимся от них. Мы ожидаем, что после избавления от скобок значение выражения 8 + (−9 + 3) также должно быть равно 2.
Первое правило раскрытия скобок
Если перед скобками стоит знак плюс — все числа, которые стоят внутри скобок, сохраняют свой знак.
Формула раскрытия скобок
Мы видим что в выражении 8 + (−9 + 3) перед скобками стоит плюс. Значит плюс нужно опустить вместе со скобками. То, что было в скобках — запишем без изменений, вот так:
Так мы получили выражение без скобок 8 − 9 + 3. Снова получаем в результате вычисления два.
Поэтому между выражениями 8 + (−9 + 3) и 8 − 9 + 3 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:
Потренируемся применять правило на примерах.
Пример 1. Раскрыть скобки в выражении 8 + (−3 − 1)
Перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опустим вместе со скобками. А то, что было в скобках оставим без изменений:
Пример 2. Раскрыть скобки в выражении 6 + (−2)
Перед скобками стоит плюс, значит применим то же правило:
Раскрытие скобок в предыдущих пример выглядит, как обратная операция замены вычитания сложением.
В выражении 6 − 2 происходит вычитание, но его можно заменить сложением. Тогда получится выражение 6 + (−2). Но если в выражении 6 + (−2) раскрыть скобки, то получится снова 6 − 2.
Поэтому первое правило раскрытия скобок можно использовать для упрощения выражений после любых других преобразований.
Идем дальше. Теперь упростим выражение 2a + a − 5b + b.
Чтобы упростить такое выражение, нужно привести подобные слагаемые. Для этого нужно сложить коэффициенты подобных слагаемых и результат умножить на общую буквенную часть:
- 2a + a — 5b + b = 2a + a + (-5b) + b = (2 + 1) * a + (-5 + 1) * b = 3a + (-4b)
Получили выражение 3a + (−4b). Раскроем скобки. Перед скобками стоит плюс, поэтому используем первое правило раскрытия скобок: опустим скобки вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками.
Таким образом, выражение 2a + a − 5b + b упрощается до 3a − 4b.
После открытия одних скобок, по пути можно найти другие. К ним применяем те же правила, что и к первым. Например, раскроем скобки в таком выражении:
Здесь нужно раскрыть скобки в двух местах. Снова применяем первое правило раскрытия скобок, а именно опускаем скобки вместе с плюсом, который стоит перед:
- 2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6
Пример 3. Раскрыть скобки 6 + (−3) + (−2)
В обоих местах перед скобками стоит плюс. Применяем первое правило раскрытия скобок:
Можно встретить такой пример, когда первое слагаемое в скобках записано без знака. Например, в выражении 1 + (2 + 3 − 4) первое слагаемое в скобках 2 записано без знака. Какой знак будет стоять перед двойкой после того, как скобки и плюс, стоящий перед скобками опустятся? Ответ интуитивно понятен — перед двойкой будет стоять плюс.
Дело в том, что даже в скобках перед двойкой стоит плюс, просто мы его не видим так как плюс не принято записывать. Полная запись положительных чисел выглядит так: +1, +2, +3, но плюсы по традиции не записывают, поэтому положительные числа мы всегда видим в таком виде: 1, 2, 3.
Поэтому, чтобы раскрыть скобки в выражении 1 + (2 + 3 − 4), нужно как обычно опустить скобки вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками, но первое слагаемое которое было в скобках записать со знаком плюс:
- 1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4
Пример 4. Раскрыть скобки в выражении (−7)
Перед скобками стоит плюс, но мы его не видим так как до него нет других чисел или выражений. Убираем скобки, применив первое правило раскрытия скобок:
Пример 5. Раскрыть скобки 9a + (−5b + 6c) + 2a + (−2d)
Видим два места, где нужно раскрыть скобки. В обоих участках перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках запишем без изменений:
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Второе правило раскрытия скобок
Здесь рассмотрим второе правило раскрытия скобок. Звучит так:
Второе правило раскрытия скобок
Если перед скобками стоит знак минус — все числа, которые стоят внутри скобок, меняют свой знак на противоположный.
Формула раскрытия скобок
Например, раскроем скобки в выражении 5 − (−2 − 3)
Видим, что перед скобками стоит минус. Значит нужно применить второе правило раскрытия, а именно опустить скобки вместе с минусом, который стоит перед этими скобками. При этом слагаемые, которые были в скобках, поменяют свой знак на противоположный:
Так мы получили выражение без скобок 5 + 2 + 3. Это выражение равно десяти, как и предыдущее выражение со скобками было равно 10.
Поэтому между выражениями 5 − (−2 − 3) и 5 + 2 + 3 можно поставить знак равенства так как они равны одному и тому же значению:
Пример 1. Раскрыть скобки в выражении 18 − (−1 − 5)
Перед скобками стоит минус, поэтому применим второе правило раскрытия скобок:
18 − (−1 − 5) = 18 + 1 + 5
Пример 2. Раскрыть скобки −(−6 + 7)
Перед скобками стоит минус, поэтому применим второе правило раскрытия скобок:
Пример 3. Раскрыть скобки −(−7 − 4) + 15 + (−6 − 2)
Здесь мы видим два места, где нужно раскрыть скобки. В первом случае применим второе правило раскрытия скобок, а во втором — первое правило:
−(−7 − 4) + 15 + (−6 − 2) = 7 + 4 + 15 − 6 − 2
Пример 4. Раскрыть скобки в выражении a − (3b + 3) + 10
Перед скобками стоит минус, поэтому применим второе правило раскрытия скобок:
a − (3b + 3) + 10 = a − 3b − 3 + 10
Другие правила раскрытия скобок
Правило раскрытия скобок при делении
Если после скобок стоит знак деления — каждое число внутри скобок делится на делитель, который стоит после скобок.
Формула раскрытия скобок
(a + b) : c = a/c + b/c.
Деление скобки на число предполагает, что необходимо разделить на число все заключенные в скобки слагаемые.
Деление можно предварительно заменить умножением, после чего можно воспользоваться подходящим правилом раскрытия скобок в произведении. Это же правило применимо и при делении скобки на скобку.
Например, нам необходимо раскрыть скобки в выражении (x + 2) : 2/3. Для этого сначала заменим деление умножением на обратное число:
Далее умножим скобку на число:
- (x + 2) * 3/2 = x * 3/2 + 2 * 3/2.