Правило обратного произведения в диф уравнениях

Правила дифференцирования: доказательство и примеры

Чтобы успешно решать задачи на дифференцирование, нужно уметь находить разные виды производных. Данная статья посвящена основным правилам дифференцирования, которые постоянно используются на практике. С помощью самого определения производной функции мы сформулируем доказательства всех этих правил и подробно рассмотрим несколько примеров, чтобы понять, как они применяются при решении задач.

Условимся заранее, что все функции f ( x ) и g ( x ) , упомянутые здесь, будем считать дифференцируемыми на промежутке x , иными словами, для любого x 0 = x ∈ X будет справедливо равенство f ‘ ( x ) = lim ∆ x → 0 ∆ f ( x ) ∆ x , g ‘ ( x ) = lim ∆ x → 0 ∆ g ( x ) ∆ x . Здесь ∆ f ( x ) = f ( x + ∆ x ) — f ( x ) , ∆ g ( x ) = g ( x + ∆ x ) — g ( x ) считаются приращениями указанных функций. Также это можно записать как f ( x + ∆ x ) = f ( x ) + ∆ f ( x ) , g ( x + ∆ x ) = g ( x ) + ∆ g ( x ) .

Сформулируем основные проблемы дифференцирования:

Как вынести постоянный множитель за знак производной.
Как вычислить производную суммы и производную разности.
Как вычислить производную произведения функций.
Как вычислить производную частного двух функций (дробного выражения с функциями).

Разберем все эти случаи по порядку.

C · f ( x ) ‘ = C · f ‘ ( x ) , C ∈ R ( f ( x ) ± g ( x ) ) ‘ = f ‘ ( x ) ± g ‘ ( x ) ( f ( x ) · g ( x ) ) ‘ = f ‘ ( x ) · g ( x ) + f ( x ) · g ‘ ( x ) f ( x ) g ( x ) ‘ = f ‘ ( x ) · g ( x ) — f ( x ) · g ‘ ( x ) g 2 ( x )

Как вынести постоянный множитель за знак производной

Для начала нам нужно доказать следующую формулу:

C · f ( x ) ‘ = C · f ‘ ( x ) , C ∈ R

Используя определение производной, запишем следующее:

C · f ( x ) ‘ = lim ∆ x → 0 ∆ ( C · f ( x ) ) ∆ x = lim ∆ x → 0 C · f ( x + ∆ x ) — C · f ( x ) ∆ x = = lim ∆ x → 0 C · f ( x + ∆ x ) — f ( x ) ∆ x = lim ∆ x → 0 C · ∆ f ( x ) ∆ x

Если в таком выражении у нас есть произвольный множитель, он может быть вынесен за знак предельного перехода (мы доказывали это утверждение, когда изучали свойства предела). Значит, C · f ( x ) ‘ = lim ∆ x → 0 C · ∆ f ( x ) ∆ x = C · lim ∆ x → 0 ∆ f ( x ) ∆ x = C · f ‘ ( x ) .

Этим мы доказали первое правило дифференцирования. Разберем задачу на его применение.

Дана функция y = 2 · cos x . Необходимо вычислить ее производную.

Решение

Обратимся к таблице производных для тригонометрических функций и выясним, что cos x ‘ = — sin x .

Вынесем множитель за знак производной и получим:

y ‘ = 2 · cos x ‘ = 2 · cos x ‘ = — 2 · sin x

Ответ: y ‘ = 2 · cos x ‘ = 2 · cos x ‘ = — 2 · sin x .

Это самый простой пример. На практике чаще всего приходится предварительно преобразовывать дифференцируемую функцию, чтобы увидеть нужное значение в таблице производных и применить соответствующее правило.

Продифференцировать функцию f ( x ) = log 3 x 2 — 1 .

Решение

Зная свойства логарифмической функции, мы можем сразу записать, что f ( x ) = log 3 x 2 — 1 = 2 — 1 · log 3 x . Теперь вспоминаем, как вычислить для нее производную, и выносим постоянный множитель:

f ( x ) = log 3 x 2 — 1 ‘ = 2 — 1 · log 3 x ‘ = = 2 — 1 · log 3 x ‘ = 2 — 1 x · ln 3

Ответ: f ( x ) = 2 — 1 x · ln 3

Дана функция y = 1 2 — x + 3 . Вычислите ее производную.

Решение

Сначала нам нужно выполнить преобразование исходной функции.

y = 1 2 — x + 3 = 1 2 — x · 2 3 = 2 x 2 3

Далее применяем изученное выше правило и берем из таблицы производных соответствующее значение:

y ‘ = 2 x 2 3 ‘ = 1 2 3 · 2 x ‘ = 1 2 3 · 2 x · ln 2 = 2 x — 3 · ln 2

Ответ: y ‘ = 2 x — 3 · ln 2

Как вычислить производную суммы и производную разности

Чтобы доказать второе правило дифференцирования f ( x ) ± g ( x ) ‘ = f ‘ ( x ) ± g ‘ ( x ) , нам нужно вспомнить определение производной, а также одно из свойств, которым обладает предел непрерывной функции.

f ( x ) ± g ( x ) ‘ = lim ∆ x → 0 ∆ ( f ( x ) ± g ( x ) ) ∆ x = = lim ∆ x → 0 f x + ∆ x ± g x + ∆ x — ( f ( x ) ± g ( x ) ) ∆ x = = lim ∆ x → 0 f ( x + ∆ x ) — f ( x ) ± ( g ( x + ∆ x ) — g ( x ) ) ∆ x = = lim ∆ x → 0 f ( x + ∆ x ) — f ( x ) ∆ x ± lim ∆ x → 0 g ( x + ∆ x ) — g ( x ) ∆ x = = lim ∆ x → 0 ∆ f ( x ) ∆ x ± lim ∆ x → 0 ∆ g ( x ) ∆ x = f ‘ ( x ) ± g ‘ ( x )

Так мы можем доказать равенство производной суммы или разности n-ного количества функций сумме или разности их производных:

f 1 ( x ) ± f 2 ( x ) ± . . . ± f n ( x ) ‘ = f 1 ‘ ( x ) ± f 2 ‘ ± . . . ± f n ‘ ( x )

Вычислить производную y = x 3 + 3 x + 1 — ln x ln 5 + 3 .

Решение

Первым делом упрощаем данную функцию.

y = x 3 + 3 x + 1 — ln x ln 5 + 3 = x 3 + 3 · 3 x — ln ( 5 + 3 ) · ln x

После этого применяем второе правило – производной суммы/разности:

y ‘ = ( x 3 ) ‘ + 3 · 3 x ‘ — ln 5 + 3 · ln x ‘

Первое правило говорит нам о том, что можно вынести постоянный множитель за знак производной, значит:

y ‘ = ( x 3 ) ‘ + 3 · 3 x ‘ — ln 5 + 3 · ln x ‘ = = ( x 3 ) ‘ + 3 · 3 x ‘ — ln ( 5 + 3 ) · ln x ‘

Нам остается только заглянуть в таблицу производных и взять оттуда соответствующее значение:

y ‘ = ( x 3 ) ‘ + 3 · 3 x ‘ — ln ( 5 + 3 ) · ln x ‘ = = 3 · x 3 — 1 + 3 · 3 x · ln 3 — ln 5 + 3 x = 3 · x 2 + 3 x + 1 · ln 3 — ln ( 5 + 3 ) x

Ответ: y ‘ = 3 · x 2 + 3 x + 1 · ln 3 — ln ( 5 + 3 ) x

Как вычислить производную произведения функций

Правило дифференцирования произведения двух функций выглядит следующим образом: f x · g ( x ) ‘ = f ‘ ( x ) · g ( x ) ‘ + f ( x ) · g ‘ ( x )

Попробуем доказать его.

Для начала вычислим предел отношения приращения произведения функций к приращению аргумента. Здесь нужно вспомнить, что f ( x + ∆ x ) = f ( x ) + ∆ f ( x ) , g ( x + ∆ x ) = g ( x ) + ∆ g ( x ) , а lim ∆ x → 0 ∆ g ( x ) = 0 , lim ∆ x → 0 ∆ f ( x ) = 0 , то есть если приращение аргумента стремится к 0 , то и приращение функции также будет к нему стремиться.

( f ( x ) · g ( x ) ) ‘ = lim ∆ x → 0 ∆ ( f ( x ) · g ( x ) ) ∆ x = lim ∆ x → 0 f ( x + ∆ x ) · g ( x + ∆ x ) — f ( x ) · g ( x ) ∆ x = = lim ∆ x → 0 ( f ( x ) + ∆ f ( x ) ) + ( g ( x ) · ∆ g ( x ) ) — f ( x ) · g ( x ) ∆ x = = lim ∆ x → 0 f ( x ) · g ( x ) + g ( x ) · ∆ f ( x ) + f ( x ) · ∆ g ( x ) + ∆ f ( x ) · ∆ g ( x ) — f ( x ) · g ( x ) ∆ x = = lim ∆ x → 0 g ( x ) · ∆ f ( x ) + f ( x ) · ∆ g ( x ) + ∆ f ( x ) · ∆ g ( x ) ∆ x = = lim ∆ x → 0 g ( x ) · ∆ f ( x ) ∆ x + lim ∆ x → 0 f ( x ) · ∆ g ∆ x + lim ∆ x → 0 ∆ f ( x ) ∆ x · lim ∆ x → 0 ∆ g ( x ) = = g ( x ) · lim ∆ x → 0 ∆ f ( x ) ∆ x + f ( x ) · lim ∆ x → 0 ∆ g ( x ) ∆ x + f ‘ ( x ) · 0 = = f ‘ ( x ) · g ( x ) + f ( x ) · g ‘ ( x )

Это и есть результат, который нам нужно было доказать.

Продифференцируйте функцию y = t g x · a r c sin x .

Решение

Здесь f ( x ) = t g x , g ( x ) = a r c sin x . Можем воспользоваться правилом производной произведения:

y ‘ = ( t g x · a r c sin x ) ‘ = ( t g x ) ‘ · a r c sin x + t g x · ( a r c sin x ) ‘

Берем нужное значение из таблицы производных основных элементарных функций и записываем ответ:

y ‘ = ( t g x · a r c sin x ) ‘ = ( t g x ) ‘ · a r c sin x + t g x · ( a r c sin x ) ‘ = = a r c sin x cos 2 x + t g x 1 — x 2

Ответ: y ‘ = a r c sin x cos 2 x + t g x 1 — x 2

Дана функция y = e x x 3 . Вычислите производную.

Решение

Здесь мы имеем f ( x ) = e x , g ( x ) = 1 x 3 = x — 1 3 . Значит,

y ‘ = e x x 3 = e x · x — 1 3 ‘ = e x ‘ · x — 1 3 + e x · x — 1 3 = = e x · x — 1 3 + e x · — 1 3 · x — 1 3 — 1 = e x x 3 — e x x 4 3 = e x x 3 · 1 — 1 x

Ответ: y ‘ = e x x 3 · 1 — 1 x

Теперь разберем, что нужно делать в случае, когда производную нужно найти для произведения трех функций. По той же схеме решаются задачи с произведениями четырех, пяти и большего количества функций.

Продифференцируйте функцию y = ( 1 + x ) · sin x · ln x .

Решение

Возьмем за основу правило для двух функций. Будем считать функцией f ( x ) произведение ( 1 + x ) · sin x , а g ( x ) – ln x .

У нас получится следующее:

y ‘ = ( ( 1 + x ) · sin x · ln x ) ‘ = 1 + x · sin x ‘ · ln x + 1 + x · sin x · ln x ‘

Чтобы найти 1 + x · sin x ‘ , нам снова потребуется правило вычисления производной произведения:

1 + x · sin x ‘ = ( 1 + x ) ‘ · sin x + 1 + x · ( sin x ) ‘

С помощью этого правила и таблицы производных получим:

1 + x · sin x ‘ = ( 1 + x ) ‘ · sin x + 1 + x · ( sin x ) ‘ = = 1 ‘ + x ‘ · sin x + ( 1 + x ) · cos x = 0 + 1 · x 1 — 1 · sin x + ( 1 + x ) · cos x = = ( 0 + 1 ) · sin x + 1 + x · cos x = sin x + cos x + x · cos x

Теперь подставим в формулу то, что у нас получилось:

y ‘ = 1 + x · sin x · ln x ‘ = 1 + x · sin x ‘ · ln x + ( 1 + x ) · sin x · ( ln x ) ‘ = = sin x + cos x + x · cos x · ln x + ( 1 + x ) · sin x x

Ответ: y ‘ = sin x + cos x + x · cos x · ln x + ( 1 + x ) · sin x x

Из этого примера видно, что иногда приходится применять несколько правил дифференцирования подряд для вычисления нужного результата. Это не так сложно, как кажется, главное – соблюдать нужную последовательность действий.

Дана функция y = 2 · s h x — 2 x · a r c t g x , вычислите ее производную.

Решение

Исходная функция является разностью выражений 2 · s h x и 2 x · a r c t g x , значит, y ‘ = 2 · s h x — 2 x · a r c t g x ‘ = 2 · s h x ‘ — 2 x · a r c t g x ‘ . Здесь можно вынести за знак производной число 2 , а в другом произведении применить подходящее для произведений правило:

y ‘ = 2 · s h x ‘ — 2 x · a r c t g x ‘ = 2 · s h x ‘ — 2 x ‘ · a r c t g x + 2 x · ( a r c t g x ) ‘ = = 2 · c h x — 2 x · ln 2 · a r c t g x + 2 x 1 + x 2 = 2 · c h x — 2 x · ln 2 · a r c t g x — 2 x 1 + x 2

Ответ: y ‘ = 2 · c h x — 2 x · ln 2 · a r c t g x — 2 x 1 + x 2

Как вычислить производную частного двух функций (дробного выражения с функциями)

Данное правило выглядит следующим образом: f ( x ) g ( x ) ‘ = f ‘ ( x ) · g ( x ) — f ( x ) · g ‘ ( x ) g 2 ( x ) .

Сразу отметим, что g ( x ) не будет обращаться в 0 ни при каких значениях x из указанного промежутка. Согласно определению производной, получим:

f ( x ) g ( x ) ‘ = = lim ∆ x → 0 ∆ f ( x ) g ( x ) ∆ x = lim ∆ x → 0 f ( x + ∆ x ) g ( x + ∆ x ) — f ( x ) g ( x ) ∆ x = lim ∆ x → 0 f ( x + ∆ x ) · g ( x ) — g ( x + ∆ x ) · f ( x ) ∆ x · g ( x + ∆ x ) · g ( x ) = = 1 g 2 ( x ) · lim ∆ x → 0 ( f ( x ) + ∆ f ( x ) ) · g ( x ) — ( g ( x ) + ∆ g ( x ) ) · f ( x ) ∆ x = = 1 g 2 ( x ) · lim ∆ x → 0 f ( x ) · g ( x ) + g ( x ) · ∆ f ( x ) — f ( x ) · g ( x ) — f ( x ) · ∆ g ( x ) ∆ x = = 1 g 2 ( x ) · lim ∆ x → 0 g x · ∆ f ( x ) — f ( x ) · ∆ g ( x ) ∆ x = = 1 g 2 ( x ) · g ( x ) · lim ∆ x → 0 ∆ f ( x ) ∆ x — f ( x ) · lim ∆ x → 0 ∆ g ( x ) ∆ x = = f ‘ ( x ) · g ( x ) — f ( x ) · g ‘ ( x ) g 2 ( x )

Продифференцируйте функцию y = sin x 2 · x + 1 .

Решение

Эта функция является отношением двух выражений 2 x + 1 и sin x . Воспользуемся приведенным выше правилом дифференцирования дробного выражения и получим:

y ‘ = sin x 2 · x + 1 ‘ = sin x ‘ · 2 · x + 1 — sin x · 2 · x + 1 ‘ 2 · x + 1 2

После этого нам потребуется правило для суммы, а также правило вынесения постоянного множителя за знак производной:

y ‘ = sin x ‘ · 2 · x + 1 — sin x · 2 · x + 1 ‘ 2 · x + 1 2 = = cos x · ( 2 · x + 1 ) — sin x · 2 x ‘ + 1 ‘ ( 2 · x + 1 ) 2 = cos x · ( 2 · x + 1 ) — sin x · ( 2 · x ‘ + 0 ) ( 2 · x + 1 ) 2 = = cos x · 2 · x + 1 — sin x · ( 2 · 1 · x 1 — 1 + 0 ) ( 2 · x + 1 ) 2 = 2 · x · cos x + cos x — 2 · sin x ( 2 · x + 1 ) 2

Ответ: y ‘ = 2 · x · cos x + cos x — 2 · sin x ( 2 · x + 1 ) 2

Возьмем задачу на применение всех изученных правил.

Дана функция y = 3 e x — x 2 · ln x — 2 · x a x + 2 sin x · a r c cos x , где значение undefined является положительным действительным числом. Вычислите производную.

Решение

y ‘ = 3 · e x ‘ — x 2 · ln x — 2 · x a x ‘ + 2 sin x · a r c cos x ‘

Поясним, как это получилось.

Первым слагаемым будет 3 · e x ‘ = 3 · e x ‘ = 3 · e x .

x 2 · ln x — 2 · x a x ‘ = x 2 · ln x — 2 · x · a x — x 2 · ln x — 2 · x · a x ‘ a x 2 = = x 2 · ln x ‘ — 2 · x ‘ · a x — x 2 · ln x — 2 · x · a x · ln a a 2 · x = = 2 · x 2 — 1 · ln x + x 2 · 1 x — 2 · 1 · x 1 — 1 · a x — x 2 · ln x — 2 · x · a x · ln a a 2 · x = = 2 · x 2 — 1 · ln x + x 2 · 1 x — 2 · 1 · x 1 — 1 · a x — x 2 · ln x — 2 · x · a x · ln a a 2 · x = = 2 · x · ln x + x — 2 · a x — x 2 · ln x — 2 · x · a x · ln a a 2 · x = = x · ln x · ( 2 — x · ln a ) + x · 1 — 2 · ln a — 2 a x

Вычисляем третье слагаемое:

2 sin x · a r c cos x ‘ = 2 · sin x · a r c cos x ‘ = = 2 · sin x ‘ · a r c cos x + sin x · a r c cos x ‘ = = 2 · cos x · a r c cos x — sin x 1 — x 2

Теперь собираем все, что у нас получилось:

y ‘ = 3 · e x ‘ — x 2 · ln x — 2 · x a x + 2 sin x · a r c cos x ‘ = = 3 · e x — x · ln x · ( 2 — x · ln a ) + x · 1 — 2 · ln a — 2 a x + + 2 · cos x · a r c cos x — sin x 1 — x 2

В задачах, которые мы разобрали в этой статье, использовались только основные элементарные функции, которые были связаны между собой знаками простых арифметических действий. Они нагляднее всего иллюстрируют правила дифференцирования. Однако возможно их применение и к более сложным функциям.

После того, как мы разберем, что такое производная сложной функции, мы сможете проводить дифференцирование выражений любой сложности.

Правила дифференцирования

Дифференцирование суммы, произведения, частного и обратной функции.

Если функции $f$ и $g$ дифференцируемы в точке $x$, то в этой точке дифференцируемы функции $f+g$, $fg$, $\frac$ (при условии, что $g(x)\neq 0$), и при этом
$$
(f(x)+g(x))’=f'(x)+g'(x),\label
$$
$$
(f(x)g(x))’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),\label
$$
$$
(\frac)’=\frac<(g(x))^<2>>,\quad g(x)\neq 0.\label
$$

$\circ $ Обозначим $\Delta f=f(x+\Delta x)-f(x)$ и $\Delta g=g(x+\Delta x)-g(x)$.
Тогда $\displaystyle \frac<\Delta f><\Delta x>\rightarrow f'(x),\;\displaystyle \frac<\Delta g><\Delta x>\rightarrow g'(x)$ при $\Delta x\rightarrow 0$, так как существуют $f'(x)$ и $g'(x)$. Кроме того, $f(x+\Delta x)=f(x)+\Delta f,\;g(x+\Delta x)=g(x)+\Delta g,$ где $\Delta f\rightarrow 0,\;\Delta g\rightarrow 0$, так как функции $f$ и $g$ непрерывны в точке $x$.

Если $y=f(x)+g(x)$, то
$$
\Delta y=f(x+\Delta x)+g(x+\Delta x)-f(x)-g(x)=\Delta f+\Delta g,\nonumber
$$
откуда
$$
\frac<\Delta y><\Delta x>=\frac<\Delta f><\Delta x>+\frac<\Delta g><\Delta x>.\nonumber
$$
Правая часть этой формулы имеет при $\Delta x \rightarrow 0$ предел, равный $f'(x)+g'(x)$. Поэтому существует предел левой части, который по определению равен $(f(x)+g(x))’$. Формула \eqref доказана.
Если $y=f(x)g(x)$, то
$$
\Delta y=f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)=\\=(f(x)+\Delta f)(g(x)+\Delta g)-f(x)g(x)=f(x)\Delta g+g(x)\Delta f+\Delta f\Delta g,\nonumber
$$
$$
\frac<\Delta y><\Delta x>=f(x)\frac<\Delta g><\Delta x>+g(x)\frac<\Delta f><\Delta x>+\frac<\Delta f><\Delta x>\Delta g.\nonumber
$$
Отсюда следует формула \eqref, так как $\displaystyle\frac<\Delta g><\Delta x>\rightarrow g'(x),\; \frac<\Delta f><\Delta x>\rightarrow f'(x),\;\Delta g\rightarrow 0$ при $\Delta x\rightarrow 0$.
Если $y= \displaystyle\frac$, то
$$
\Delta y=\displaystyle \frac-\frac=\frac-\frac,\nonumber
$$
или
$$
\Delta y=\displaystyle\frac<\Delta fg(x)-\Delta gf(x)>,\nonumber
$$
откуда
$$
\frac<\Delta y><\Delta x>=\left(\frac<\Delta f><\Delta x>g(x)-\frac<\Delta g><\Delta x>f(x)\right)\frac<1>.\nonumber
$$
Переходя к пределу в этом равенстве и учитывая, что $g(x+\Delta x)\rightarrow g(x)$ при $\Delta x\rightarrow 0$, где $g(x)\neq 0$, получаем формулу \eqref. $\bullet$

Если функция $f$ дифференцируема в точке $x$ и $C$ — постоянная, то
$$
(Cf(x))’=Cf'(x),\nonumber
$$
то есть постоянный множитель можно выносить из-под знака дифференцирования.

Если функции $f_\ (k=\overline<1,n>)$ дифференцируемы в точке $x$ и $C_k\;(k=\overline<1,n>)$ — постоянные, то
$$
\left(\sum_^C_f_(x)\right)’=\sum_^C_f_(x)’,\nonumber
$$
то есть производная линейной комбинации дифференцируемых функций равна такой же линейной комбинации производных данных функций.

Например, если $y=2e^-3x^<2>+4\cos$, то $y’=2e^x-6x-4\sin x$.