Правило по математике 6 класс виленкин уравнения

42. Решение уравнений

Пример 1. Решим уравнение 4 • (х + 5) = 12.

Решение. По правилу отыскания неизвестного множителя имеем х + 5 = 12 : 4, т. е. х + 5 = 3. Это же уравнение можно получить, разделив обе части данного уравнения на 4 или умножив обе части на -1. Теперь легко найти значение х. Имеем х = 3 — 5, или х = -2.

Число -2 является корнем уравнения х + 5 = 3 и уравнения 4 • (х + 5) = 12, так как -2 + 5 = 3 и 4 • (-2 + 5) = 12.

Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Пример 2. Решим уравнение 2х + 5 = 17.

Решение. По правилу отыскания неизвестного слагаемого имеем 2х = 17 — 5, т. е. 2х = 12. Уравнения 2х + 5 = 17 и 2x = 17 — 5 имеют один и тот же корень 6, так как 2 • 6 + 5 = 17 и 2 — 6 = 17 — 5.

Уравнение 2х = 17 — 5 можно записать так: 2х = 17 + (-5). Видим, что корень уравнения 2х + 5 = 17 не изменяется, если перенести слагаемое 5 из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный.

Пример 3. Решим уравнение 5х = 2х + 6 (рис. 93).

Решение. Вычтем из обеих частей уравнения по 2х (снимем с обеих чашек весов по две буханки хлеба). Получим 5x — 2х = 2х — 2х + 6. Но 2х — 2х = О, значит, 5х — 2х = 6. Это уравнение можно получить из данного, если слагаемое 2х перенести из правой части в левую, изменив его знак на противоположный. Решая дальше уравнение 5х — 2х = 6, получим Зх = 6 и х = 2.

Число 2 есть корень уравнения 5х — 2х = 6 и уравнения 5х = 2х + 6, так как 5 • 2 — 2 • 2 = 6 и 5 • 2 = 2 • 2 + 6.

Корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак.

Пример 4. Решим уравнение х + 12 = х.

Решение. Умножим левую и правую части уравнения на 3 для того, чтобы освободиться от дробного коэффициента. Получим х + 36 = Зх. Перенесём с противоположными знаками слагаемое 36 из левой части в правую, а слагаемое Зх из правой части в левую: х — Зх = -36. Упростим левую часть уравнения: -2х = -36. Теперь разделим обе части уравнения на -2, получим х = 18.

Число 18 является корнем данного уравнения х + 12 = х, так как верно равенство • 18 + 12 = 18.

Во всех рассмотренных примерах мы приводили данные уравнения к виду ах = b, где а ≠ 0.

Уравнение, которое можно привести к такому виду с помощью переноса слагаемых и приведения подобных слагаемых, называют линейным уравнением с одним неизвестным.

Вопросы для самопроверки

• Обе части уравнения умножили на число, не равное 0. Изменились ли корни я данного уравнения?
• Обе части уравнения разделили на одно и то же число, отличное от нуля. Изменились ли корни данного уравнения?
• Сформулируйте правило переноса слагаемых из одной части уравнения в другую.
• Какие уравнения называют линейными?

Выполните упражнения

1314. Перенесите из левой части уравнения в правую то слагаемое, которое не содержит неизвестного:

• а) 8x + 5,9 = 7x + 20;
• б) бх — 8 = -5x — 1,6.

1315. Соберите в левой части уравнения все слагаемые, содержащие неизвестное, а в правой — не содержащие неизвестное:

• а) 15у — 8 = -6у + 4,6;
• б) -16z + 1,7 = 2z — 1.

1316. Решите уравнение:

• а) 6x — 12 = 5x + 4;
• б) -9а + 8 = -10а — 2;
• в) 7m + 1 = 8m + 9;
• г) -12n — 3 = 11n — 3;
• д) 4 + 25у = 6 + 24у;
• е) 11 — 5z = 12 — 6z;
• ж) 4k + 7 = -3 + 5k;
• з) 6 — 2с = 8 — Зс.

Уравнение -7у + 9 = -8у — 3 читают так:

— сумма минус семи игрек и девяти равна сумме минус восьми игрек и минус трёх. Корень этого уравнения — число минус двенадцать.

1317. С помощью умножения обеих частей уравнения на одно и то же число освободитесь от дробных чисел и решите уравнение:

1318. Решите уравнение и выполните проверку:

• а) -40-(-7х + 5) = -1600;
• б) (-20x — 50) • 2 = 100;
• в) 2,1 • (4 — 6у) = -42;
• г) -3 • (2 — 15x) = -6.

1319. Найдите корень уравнения:

1320. Решите уравнение, используя основное свойство пропорции:

1321. В первом бидоне в 3 раза больше молока, чем во втором. Если из первого перелить 20 л во второй, то молока в бидонах будет поровну. Сколько молока в каждом бидоне?

1322. Длина отрезка АВ на 2 см больше, чем длина отрезка CD. Если длину отрезка АВ увеличить на 10 см, а длину отрезка CD увеличить в 3 раза, то получатся равные результаты. Найдите длину отрезка АВ.

1323. Автобус проходит расстояние от города до села за 1,8 ч, а легковая автомашина — за 0,8 ч. Найдите скорость автобуса, если известно, что она меньше скорости легковой автомашины на 50 км/ч.

1324. На первую автомашину погрузили на 0,6 т зерна больше, чем на вторую. Если бы на первую автомашину погрузили в 1,2 раза больше, а на вторую в 1,4 раза больше, то груза на обеих автомашинах было бы поровну. Сколько тонн груза погрузили на каждую автомашину?

1325. В спортивном лагере прибывших туристов разместили в гостинице, — в летних домиках, а остальных 75 туристов — в палатках. Сколько туристов прибыло в спортивный лагерь?

1326. В школьной библиотеке есть художественная, научно-популярная и справочная литература. Число книг с художественными произведениями составляет всех книг библиотеки, число научно-популярных книг составляет от числа художественных, а остальные 160 книг — справочники. Сколько всего книг в библиотеке?

1327. Три завода получили заказ на изготовление моторов. Первый завод выполнил 0,56 всего заказа, второй — того, что выполнил первый завод, а третий завод изготовил остальные 240 моторов. Сколько всего моторов изготовили все три завода?

1328. Верёвку длиной 63 м разрезали на два куска так, что 0,4 длины первого куска были равны 0,3 длины второго куска. Найдите длину каждого куска верёвки.

1329. На отливку блока объёмом 2,5 м 3 требуется 5,5 т бетона. На сколько увеличится расход бетона при отливке блока объёмом 2,9 м 3 ?

1330. В растворе содержится 40% соли. Если добавить 120 г соли, то в растворе будет содержаться 70% соли. Сколько граммов соли было в растворе первоначально?

1331. Вычислите устно:

1332. При каких значениях а верно неравенство:

• а) а а?

1333. Приведите подобные слагаемые:

1334. Упростите выражение:

• а) 2х — (х + 1);
• б) n + 2(3n — 1).

1335. Расфасовочная машина может всю привезённую продукцию обработать за 20 ч. Определите:

• а) какую часть всей продукции она обработает за 1 ч;
• б) сколько процентов всей продукции она обработает за 1 ч;
• в) какую часть всей продукции она обработает за 8 ч;
• г) сколько процентов всей продукции она обработает за 9 ч.

1336. За какое время всё свекловичное поле уберёт уборочная машина, если известно, что она за 1 ч убирает: а) 5 % всего поля; б) всего поля; в) 0,4 всего поля?

1337. За какое время двигатель израсходует весь бензин из бака, если он:

• а) за 3 ч расходует 12% всего бензина;
• б) за 3 ч расходует всего бензина;
• в) за 6 ч расходует 0,24 всего бензина?

1338. Докажите, что при любом значении буквы значение выражения:

1. 5 • (7у — 2) — 7 • (5у + 2) равно -24;
2. 4 • (8а + 3) — 8 • (4а — 3) равно 36.

1339. Найдите значение выражения:

1. (503,44 : 12,4 — 225,36 : 7,2) • (1,6905 : 0,49);
2. (971,1 : 23,4 — 211,14 : 6,9) • (6,5704 : 0,86).

1340. Старинная задача.

— Скажи мне, учитель, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы.

— Вот сколько, — ответил учитель. — Половина изучает математику, четверть — природу, седьмая часть проводит время в размышлении, и, кроме того, есть ещё три женщины.

1341. Решите уравнение и выполните проверку:

1342. Решите уравнение:

1343. Одно число больше другого в 4,5 раза. Если от большего числа отнять 54, а к меньшему прибавить 72, то получатся равные результаты. Чему равны эти числа?

1344. Бутылка с кефиром в 2 раза тяжелее пустой бутылки (рис. 94). Галя выпила половину бутылки кефира. Сколько граммов кефира выпила Галя?

1345. У Миши и Коли в коллекциях было одинаковое число марок. Когда Миша подарил часть своих марок младшему брату, а Коля в 1,4 раза меньшее число своих марок отдал на выставку, у Миши осталось 20 марок, а у Коли — 40 марок. Сколько марок было у каждого мальчика первоначально, сколько марок Коли на выставке и сколько марок Миша подарил брату?

1346. На одной полке было в 3 раза больше книг, чем на другой. Когда с одной полки сняли 8 книг, а на другую положили 32 книги, то на полках стало книг поровну. Сколько книг было на каждой полке первоначально?

1347. В двух бочках 725 л бензина. Когда из первой бочки взяли , а из второй бочки бензина, то в обеих бочках бензина стало поровну. Сколько литров бензина было в каждой бочке первоначально?

1348. Решите уравнение, используя основное свойство пропорции:

1349. Смешали индийский и грузинский чай. Индийский чай составил 30% всей смеси. Если в эту смесь добавить ещё 120 г индийского чая, то он будет составлять 45% смеси. Сколько граммов индийского чая было в смеси первоначально?

1350. Поезд шёл 3,5 ч со скоростью 64,4 км/ч. На сколько надо увеличить скорость поезда, чтобы пройти это расстояние за 2,8 ч?

1351. Одна поливочная машина может полить всю улицу за 15 мин, а другая — за 12 мин. Какую часть улицы польют обе машины за 1 мин? за 3 мин?

Рассказы об истории возникновения и развития математики

Среди задач, которые с давних времён приходилось решать людям, много было похожих, однотипных: вычисление площадей участков, нахождение объёмов фигур определённой формы, деление доходов, вычисление стоимости товара, измерение массы с помощью различных единиц и другие.

Для однотипных задач в разное время, в разных странах пытались отыскать общие способы, правила решения, в этих правилах раскрывалось, как найти неизвестную величину через данные числа для группы похожих задач. Так возникла алгебра — один из разделов математики, в котором вначале в основном рассматривалось решение различных уравнений.

Некоторые алгебраические понятия и общие приёмы решения задач знали уже в Древнем Вавилоне и Египте более 4000 лет назад. Большой вклад в создание алгебры внёс выдающийся древнегреческий математик Диофант (III в.), которого по праву считают «отцом алгебры». Диофант умел решать очень сложные уравнения, применял для неизвестных буквенные обозначения, ввёл специальный символ для вычитания, использовал сокращения слов.

В начале нашей эры греческая наука и культура пришли в упадок. Но к тому времени больших успехов в развитии математики достигли индийские учёные. С V по XII в. ими было сделано много открытий, значительно обогатились начала алгебры. Культуру древних индийцев усвоили их соседи — арабы, узбеки, персы, таджики и другие народы. И в IX—XV вв. мировым центром наук становится Средняя Азия, подарившая миру много учёных-математиков. Их труды в дальнейшем оказали большое влияние на развитие науки в Европе.

В 825 г. арабский учёный аль-Хорезми написал книгу «Китаб аль-джебр валь-мукабала», что означает «Книга о восстановлении и противопоставлении». Это был первый в мире учебник алгебры. С этого времени алгебра становится самостоятельной наукой. Само слово «алгебра» произошло от слова «аль-джебр» — восполнение: так аль-Хорезми называл перенос отрицательных слагаемых из одной части уравнения в другую с переменой знака, в дальнейшем большой вклад в развитие алгебры внесли европейские учёные Франсуа Виёт (1540—1603) и Рене Декарт, которые ввели в алгебру буквы и разработали правила действий с буквенными выражениями.

Решение линейных уравнений. 6-й класс

Разделы: Математика

Класс: 6

Цели урока:

• повторить правила раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых;
• ввести определение линейного уравнения с одним неизвестным;
• познакомить учащихся со свойствами равенств;
• научить решать линейные уравнения;
• научить решать задачи на «было − стало».

Оборудование: компьютер, проектор.

Ход урока

I. Проверка предыдущего домашнего задания.

II. Повторение теоретического материала.

1. Как найти неизвестное слагаемое? [От суммы отнять известное слагаемое]
2. Как найти неизвестное уменьшаемое? [К вычитаемому прибавить разность]
3. Как найти неизвестное вычитаемое? [От уменьшаемого отнять разность]
4. Как найти неизвестный множитель? [Произведение разделить на известный множитель]
5. Как найти неизвестное делимое? [Делитель умножить на частное]
6. Как найти неизвестный делитель? [Делимое разделить на частное]
7. Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак плюс? [Опустить скобки и этот знак плюс, переписать слагаемые с теми же знаками]
8. Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак минус? [Опустить скобки и этот знак минус, переписать слагаемые с противоположными знаками]
9. Как выглядит распределительное свойство умножения? [(a+b)∙c=ac+bc]

III. Устные задания по слайдам.

(слайд 2, слайд 3).

1) Раскройте скобки:

3+(х+2); 3-(х+2); 3+(х-7); 3-(х-7); 3+(-х+5); 3-(-х+5); -4(-5-х); 9(; 9(; 2(7+9х); 4(2-3х); -6(9-5х); -3(1+4х).

2) Приведите подобные слагаемые:

6b-b; 9,5m+3m; a —a; m-m; -4x-x+3; 7x-6y-3x+8y.

3) Упростите выражение:

IV. Новая тема. Решение линейных уравнений.

До сегодняшнего урока мы не умели решать уравнения, в которых неизвестное находилось слева и справа от знака равенства: 3x+7=x+15. Некоторые из нас постоянно забывают правила нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого. Сегодня мы постараемся разрешить все эти затруднения.

Уравнение, которое можно привести к виду ax=b, где a и b − некоторые числа (a0), называется линейным уравнением с одним неизвестным.

Линейные уравнения обладают свойствами:

1. Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю (стр. 229 учебника).
2. Корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак (стр. 230 учебника).

Рассмотрим план решения линейного уравнения:

Какими из свойств равенств мы воспользовались для решения уравнения? (вторым)

Рассмотрим примеры уравнений, при решении которых будет удобно воспользоваться и первым свойством.

х+3=х+5 │∙9 Удобно умножить на наименьшее общее кратное знаменателей дробей.

(х+3)∙9=(х+5)∙9 Далее − по плану.

Теоретический материал по математике 6 класс, Виленкин Н.Я.
материал для подготовки к егэ (гиа) по математике (6 класс)

В данной папке содержится теоретический материал по математике за 6 класс, учебник Виленкин Н.Я. для учеников.

Скачать:

Предварительный просмотр:

1. Делителем натурального числа «а» называют натуральное число , на которое «а» делится без остатка.
2. Кратным натурального числа «а» называют натуральное число , которое делится без остатка на «а» .
3. Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных.

Признаки делимости на 10 , на 5 и на 2.

1. Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 , то это число делится без остатка на 10. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой , то оно не делится без остатка на 10.
2. Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5 , то это число делится без остатка на 5. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой , то оно не делится без остатка на 5.
3. Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой , то это число делится без остатка на 2. Если запись натурального числа оканчивается нечетной цифрой , то это число нечетно.

Признаки делимости на 3 на 9.

1. Если сумма цифр числа делится на 9 , то и число делится на 9 ; если сумма цифр числа не делится на 9 , то и число не делится на 9 ;
2. Если сумма цифр числа делится на 3 , то и число делится на 3 ; если сумма цифр числа не делится на 3 , то и число не делится на 3 ;

Простые и составные числа

1. Натуральное число называют простым , если оно имеет только два делителя : единицу и само это число.
2. Натуральное число называют составным , если оно имеет более двух делителей.
3. Число 1 имеет только один делитель : само это число .Поэтому его не относят ни к составным , ни простым.
4. Всякое составное число можно разложить на множители. При любом способе получается одно и то же разложение , если не учитывать порядка записи множителей.

Наибольший общий делитель . Взаимно простые числа.

1. Наибольшее натуральное число , на которое делятся без остатка числа а и б , называют наибольшим общим делителем этих чисел.
2. Натуральные числа называют взаимно простыми , если их наибольший общий делитель равен 1.
3. Чтобы найти НОД нескольких натуральных чисел, надо: 1) состав разложения одного из этих чисел, вычеркнуть те , которые не входят в разложение других чисел; 3) найти произведение оставшихся множителей.

Наименьшее общее кратное (НОК)

1. Наименьшим общим кратным натуральных чисел а и б называют наименьшее натуральное число, которое кратно и а и б.
2. Чтобы найти НОК нескольких натуральных чисел , надо: 1) разложить их на простые множители; 2) выписать множители , входящие в разложение одного из чисел; 3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел; 4) найти произведение получившихся множителей.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

1. Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число , то получится равная ей дробь.
2. Деление числителя и знаменателя на их обший делитель , отличный от единицы , называют сокращение дроби.
3. Наибольшее число , на которое можно сократить дробь , — это НОД ее числителя и знаменателя.
4. Дробь называется несократимой – если числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами.
5. Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю , надо: 1) найти НОК знаменателей этих дробей, оно и будет их наименьшим общим знаменателем; 2) разделить НОЗ на знаменатели данных дробей , т.е. найти для каждой дроби дополнительный множитель; 3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
6. Чтобы сравнить ( сложить , вычесть) дроби с разными знаменателями , надо: 1) привести данные дроби к НОЗ; 2) сравнить ( сложить , вычесть ) полученные дроби.
7. Чтобы сложить смешанные числа , надо: 1) привести дробные части этих чисел к НОЗ; 2) отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно дробных частей. Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть из этой дроби и прибавить ее к полученной целой части.
8. Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел , надо: 1) привести дробные части этих чисел к НОЗ; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превратить ее в неправильную дробь , уменьшив на единицу целую часть;2) отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей.

Умножение и деление обыкновенных дробей.

1. Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо ее числитель умножить на это число , а знаменатель оставить без изменения.
2. Чтобы умножить смешанное число на натуральное число , можно: 1) умножить целую часть на натуральное число; 2) умножить дробную часть на это натуральное число; 3) сложить полученные результаты.
3. Чтобы умножить дробь на дробь ,надо: 1) найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей; 2) первое произведение записать числителем , а второе – знаменателем.
4. Для того чтобы выполнить умножение смешанных чисел , надо их записать в виде неправильных дробей , а затем воспользоваться правилом умножения дробей.

Нахождение дроби от числа.

1. Чтобы найти дробь от числа , нужно умножить число на эту дробь.

Нахождение числа по его дроби.

1. Чтобы найти число по данному значению его дроби , надо это значение разделить на дробь.

Взаимно обратные числа.

1. Два числа , произведение которых равно единице , называют взаимно обратными.

1. Чтобы разделить одну дробь на другую , надо делимое умножить на число , обратное делителю.

1. Частное двух чисел или выражений , в котором знак деления обозначен чертой , называют дробным выражением. Выражение , стоящее над чертой , называют числителем , а выражение стоящее под чертой – знаменателем дробного выражения.

Отношения и пропорции.

1. Частное двух чисел называют отношением этих чисел. Отношение показывает , во сколько раз первое число больше второго , или какую часть первое число составляет от второго.
2. Равенство двух отношений называют пропорцией.
3. В пропорции а/в=с/д числа а и д называют крайними членами пропорции , числа в и с –средними членами пропорции.
4. В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних .
5. Если произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов пропорции , то пропорция верна. Это свойство называют основным свойством пропорции.
6. Две величины называют прямо пропорциональными , если при увеличении ( уменьшении ) одной из них в несколько раз другая увеличивается ( уменьшается ) во столько же раз.
7. Две величины называют обратно пропорциональными , если при увеличении ( уменьшении ) одной из них в несколько раз другая уменьшается ( увеличивается ) во столько же раз.
8. Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называют масштабом карты.

Длина окружности и площадь круга.

1. Замкнутая линия все точки которой лежат на одинаковом расстоянии от одной точки «О»,называется окружностью.
2. Ту часть плоскости , которая лежит внутри окружности ( вместе с самой окружностью), называют кругом.
3. Точку «О» называют центром окружности и круга.
4. Отрезок соединяющий точку окружности с центром называют радиусом. Все радиусы одной окружности равны.
5. Отрезок соединяющий две точки окружности и проходящий через центр окружности называется диаметром. Диаметр состоит из двух радиусов , поэтому диаметр окружности в 2 раза длиннее ее радиуса.
6. Диаметр делит круг на 2 полукруга , а окружность – на 2 полуокружности.
7. Часть окружности между двумя точками называют дугой окружности.
8. Длина окружности прямо пропорциональна длине её диаметра. Поэтому для всех окружностей отношение длины окружности к длине её диаметра является одним и тем же числом. Его обозначают греческой буквой П — пи . Формула длины окружности: С=п d или C=2пr. П = 3,1416…..
9. Все точки поверхности шара одинаково удалены от центра шара.
10. Отрезок, соединяющий точку поверхности шара с центром ,называют радиусом шара.
11. Отрезок , соединяющий две точки поверхности шара и проходящий через центр шара, называют диаметром шара.
12. Диаметр шара равен двум радиусам.
13. Поверхность шара называют сферой.

Положительные и отрицательные числа.

1. Числа со знаком + называют положительными.
2. Числа со знаком – называют отрицательными.
3. Прямую с выбранными на ней началом отсчета , единичным отрезком и направлением называют координатной прямой.
4. Число, показывающее положение точки на прямой , называют координатой этой точки.
5. Два числа , отличающиеся друг от друга только знаками, называют противоположными числами.
6. Натуральные числа , противоположные числа и нуль называют целыми числами.
7. Модулем числа а называют расстояние ( в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а).
8. Модуль числа не может быть отрицательным. Для положительного числа и нуля он равен самому числу, а для отрицательного – противоположному числу.
9. Противоположные числа имеют равные модули.

1. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.
2. Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше.
3. Нуль больше любого отрицательного числа , но меньше любого положительного числа.
4. На горизонтальной координатной прямой точка с большей координатой лежит правее точки с меньшей координатой.

Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел.

1. Любое число от прибавления положительного числа увеличивается , а от прибавления отрицательного числа уменьшается.
2. Сумма двух противоположных чисел равна нулю.
3. Чтобы сложить два отрицательных числа , надо: а)сложить их модули; б) поставить перед полученным числом знак — .
4. Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо: а) из большего модуля слагаемых вычесть меньший; б) поставить перед полученным числом знак того слагаемого , модуль которого больше.
5. Чтобы из данного вычесть другое ,надо к уменьшаемому прибавить число , противоположное вычитаемому: а-б=а+(-б)
6. Любое выражение содержащее лишь знаки сложения и вычитания , можно рассматривать как сумму.
7. Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой ,надо из координаты его правого конца вычесть координату его левого конца.

Умножение и деление положительных и отрицательных чисел.

1. Чтобы перемножить два числа с разными знаками , надо перемножить модули этих чисел и поставить перед полученным числом знак — .
2. Чтобы перемножить два отрицательных числа , надо перемножить их модули.
3. Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное , надо разделить модуль делимого на модуль делителя.
4. При делении чисел с разными знаками , надо: а) разделить модуль делимого на модуль делителя; б) поставить перед полученным числом знак — .

1. Число , которое можно записать в виде отношения а/н , где а-целое число , а н-натуральное число , называют рациональным числом.
2. Любое целое число является рациональным.
3. Сумма , разность и произведение рациональных чисел тоже рациональные числа.
4. Если делитель отличен от нуля , то частное двух рациональных чисел тоже рациональное число.
5. Любое рациональное число можно записать либо в сиде десятичной дроби ( в частности целого числа ) , либо в виде периодической дроби.
6. Сложение рациональных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами.
7. Умножение рациональных чисел тоже обладает переместительным и сочетательным свойствами.
8. Произведение может быть равно нулю лишь в том случае , когда хотя бы один из множителей равен нулю.
9. Умножение рациональных чисел обладает распределительным свойством относительно сложения.

1. Если перед скобками стоит знак + , то можно опустить скобки и этот знак + , сохранив знаки слагаемых , стоящих в скобках.Если первое слагаемое записано без знака , то его надо записать со знаком + .
2. Чтобы раскрыть скобки перед которыми стоит знак — , надо заменить этот знак на + , поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные , а потом раскрыть скобки.

1. Если выражение является произведением числа и одной или нескольких букв , то это число называют числовым коэффициентом ( или просто коэффициентом ).
2. Слагаемые , имеющие одинаковую буквенную часть, называют подобными слагаемыми.
3. Чтобы сложить ( или говорят : привести ) подобные слагаемые , надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.

1. Корни уравнения не изменяются , если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число , не равное нулю.
2. Корни уравнения не изменяются , если какое –нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую , изменив при этом его знак.
3. Уравнение , которое можно привести к виду ах=в с помощью переноса слагаемых и приведения подобных , называют линейным уравнением с одним неизвестным.

Координаты на плоскости.

1. Две прямые , образующие при пересечении прямые углы , называют перпендикулярными.
2. Отрезки ( или лучи) , лежащие на перпендикулярных прямых , называют перпендикулярными отрезками ( или лучами).
3. Две непересекающиеся прямые на плоскости называют параллельными.
4. Если две прямые в плоскости перпендикулярны третьей , то они параллельны.
5. Через каждую точку плоскости , не лежащую на данной прямой , можно провести только одну прямую , параллельную данной прямой.
6. Отрезки ( или лучи) , лежащие на параллельных прямых , называют параллельными отрезками ( или лучами).
7. Системой координат на плоскости называют две перпендикулярные координатные прямые- х и у , которые пересекаются в начале отсчета – точке О. Тока О называется началом координат.
8. Плоскость на которой выбрана система координат , называют координатной плоскостью.
9. Координатную прямую х называют осью абсцисс , а у – осью ординат.