Предметом алгебры является изучение уравнений

Предметом алгебры является изучение уравнений и ряда вопросов, которые развились из теории уравнений. В настоящее время, когда математика разделилась на ряд специальных областей, к области алгебры относят лишь уравнения определенного типа, так называемые алгебраические уравнения.

Исторические сведения о развитии алгебры

Буквенные обозначения, применяемые нами в алгебре, не употреблялись вавилонянами; уравнения записывались в словесной форме.

Греция. Первые сокращенные обозначения для неизвестных величин встречаются у древнегреческого математика Диофанта (2-3 в.н.э.). Неизвестное Диофант именует «аритмос» (число), вторую степень неизвестного — «дюнамис» (это слово имеет много значений: сила, могущество, имущество, степень. Третью степень Диофант называет «кюбос» (куб), четвертую — «дюнамодюнамис», пятую — «дюнамокюбос», шестую — «кюбокюбос». Эти величины он обозначает первыми буквами соответствующих наименований (ар, дю, кю, ддю, дкю, ккю). Известные числа для отличия от неизвестных сопровождаются обозначением «мо» (монас — единица). Сложение не обозначается совсем, для вычитания имеется сокращенное обозначение, равенство обозначается «ис» (йсос — равный).

Ни вавилоняне, ни греки не рассматривали отрицательных чисел. Уравнение

3 ар 6 мо ис 2 ар 1 мо (Зx + 6 = 2х + 1) Диофант называет «неуместным». Перенося члены из одной части уравнения в другую, Диофант говорит, что слагаемое становится вычитаемым, а вычитаемое — слагаемым.

Китай. За 2000 лет до нашего времени китайские ученые решали уравнения первой степени и их системы, а также квадратные уравнения. Им были знакомы отрицательные и иррациональные числа. Так как в китайском письме каждый знак изображает некоторое понятие, то в китайской алгебре не могло быть «сокращенных» обозначений. В последующие эпохи китайская математика обогатилась новыми достижениями. Так, в конце 13 века китайцы знали закон образования биномиальных коэффициентов, известный ныне под именем «треугольника Паскаля». В Западной Европе этот закон был открыт (Штифелем) на 250 лет позднее.

Индия. Индийские ученые широко применяли сокращенные обозначения неизвестных величин и их степеней. Эти обозначения являются начальными буквами соответствующих наименований (неизвестное называлось «столько-то»; для отличия второго, третьего и т. д. неизвестного употреблялись наименования цветов: «черное», «голубое», «желтое» и т.д.). Индийские авторы широко употребляли иррациональные (греческие математики умели находить приближенные значения корней, но в алгебре старались избегать иррациональностей) и отрицательные числа. Вместе с отрицательными числами в числовую семью вошел нуль, который прежде обозначал лишь отсутствие числа.

Страны арабского языка. Узбекистан. Таджикистан. У индийских авторов алгебраические вопросы излагались в астрономических сочинениях; самостоятельной дисциплиной алгебра становится у ученых, писавших па международном языке мусульманского мира — арабском. Основоположником алгебры, как особой науки, нужно считать узбекского ученого Мухаммеда из Хорезма, известного под арабским прозвищем аль-Хваризми (Хорезмиец). Его алгебраический труд, составленный в 9 в. н. э., носит название «Книга восстановления и противопоставления». «Восстановлением» Мухаммед называет перенос вычитаемого из одной части уравнения в другую, где оно становится слагаемым; «противопоставлением» — собирание неизвестных в одну сторону уравнения, а известных — в другую сторону. По-арабски «восстановление» называется «ал-джебр». Отсюда название «алгебра».

У Мухаммеда Хорезмского и у последующих авторов алгебра широко применяется к купеческим и иным денежным расчетам. Ни он, ни другие математики, писавшие по арабски (в них не было и нужды, ибо арабское письмо очень кратко: гласные не обозначаются, согласные и полугласные буквы просты по начертанию и сливаются по нескольку в один знак. Для написания многих слов требуется не больше времени, чем для написания некоторых, наших букв (например, ж, щ). Зато арабская грамота много труднее нашей), не употребляли никаких сокращенных обозначений. Они не признавали и отрицательных чисел: учение об отрицательных числах, знакомое им из индийских источников, они считали плохо обоснованным. Это было справедливо, но зато индийские ученые могли ограничиться одним случаем полного квадратного уравнения, тогда как Мухаммед Хорезмский и его преемники должны были различать три случая (x 2 + px = q, x 2 + q = px, x 2 = px + q; р и q — положительные числа).

Узбекские, таджикские, персидские и арабские математики обогатили алгебру рядом новых достижений. Для уравнений высших степеней они умели находить приближенные значения корней с очень большой точностью. Так, знаменитый узбекский философ, астроном и математик аль-Бируни (973-1048), родом тоже из Хорезма, свел задачу о вычислении стороны правильного 9-угольника, вписанного в данную окружность, к кубическому уравнению х 3 = 1 + 3х и нашел (в 60-ричных дробях) приближенное значение x = 1,52’45″47′»13″»(т.е. одна целая, 52 шестидесятых, 45 три тысячи шестисотых и т.д.). Великий таджикский поэт и ученый Омар аль-Хайам (1036-1123) из Нишапура подверг систематическому изучению уравнения третьей степени. Ни ему, ни другим математикам мусульманского мира не удалось найти выражения корней кубического уравнения через коэффициенты. Но аль-Хайам разработал способ, по которому можно (геометрически) найти число действительных корней кубического уравнения (его самого интересовали только положительные корни).

Средневековая Европа. В 12 веке «Алгебра» аль-Хваризми стала известна в Европе и была переведена на латинский язык. С этого времени начинается развитие алгебры в европейских странах (сперва под сильным влиянием науки восточных народов). Появляются сокращенные обозначения неизвестных, решается ряд новых задач, связанных с потребностями торговли. Но существенного сдвига не было до 16 века. В первой трети 16 века итальянцы дель-Ферро и Тарталья нашли правила для решения кубических уравнений вида x 3 = px + q; x 3 + px = q; x 3 + q = px, а Кардано в 1545г. показал, что всякое кубическое уравнение сводится к одному из этих трех; в это же время Феррари, ученик Кардано, нашел решение уравнения 4-й степени.

Сложность правил для решения этих уравнений сделала необходимым усовершенствование обозначений. Это совершалось постепенно в течение целого столетия. В конце 16 века французский математик Виета ввел буквенные обозначения, и притом не только для неизвестных, но и для известных величин (неизвестные обозначались заглавными гласными буквами, известные — заглавными согласными). Были введены сокращенные обозначения действий; у разных авторов они имели разный вид. В середине 17 века алгебраическая символика благодаря французскому ученому Декарту (1596—1650) приобретает вид, очень близкий к нынешней. Отрицательные числа. В 13-16 веках отрицательные числа рассматриваются европейцами лишь в исключительных случаях. После открытия решения кубического уравнения отрицательные числа постепенно завоевывают право гражданства в алгебре, хотя их и называют «ложными». В 1629г. Жирар (Франция) дал общеизвестный ныне способ геометрического изображения отрицательных чисел. Лет двадцать спустя отрицательные числа получили всеобщее распространение.

Комплексные числа. Введение комплексных чисел также было связано с открытием решения кубического уравнения.

И до этого открытия при решении квадратного уравнения x 2 + q = px приходилось сталкиваться со случаем, когда требовалось извлечь квадратный корень из где величина (p/2) 2 была меньше чем q. Но в таком случае заключали, что уравнение не имеет решений. О введении новых (комплексных) чисел в это время (когда даже отрицательные числа считались «ложными») не могло быть и мысли. Но при решении кубического уравнения по правилу Тартальи оказалось, что без действий над мнимыми числами нельзя получить действительный корень. Объясним это подробнее. По правилу Тартальи корень уравнения

x 3 = px + q (1)

(2)

где u и v — решения системы

u + v = q; uv = (p/3) 3 (3)

Например, для уравнения х 3 = 9х + 28 (р = 9; q = 28) имеем:

u + v = 28; u * v = 27,

откуда находим, что либо u = 27; v = 1, либо u = 1; v = 27.

В обоих случаях

Других действительных корней данное уравнение не имеет.

Но, как заметил уже Кардано, система (3) может не иметь действительных решений, между тем как уравнение (1) имеет действительный и притом положительный корень. Так, уравнение

х 3 = 15х + 4 имеет корень х = 4,

u + v = 4; u * v = 125

имеет комплексные корпи; u = 2 + 11i, v = 2 – 11i (или u = 2 – 11i, v = 2 + 11i).

На это загадочное явление впервые пролил свет Бомбелли в 1572г. Он указал, что 2 + 11i есть куб числа 2 + i, а 2 – 11i — куб числа 2 — i; значит, можно написать

и тогда формула (2) дает

x = (2 + i) + (2 – i) = 4.

С этого момента нельзя было игнорировать комплексные числа. Но теория комплексных чисел развивалась медленно: еще в 18 веке крупнейшие математики мира спорили о том, как находить логарифмы комплексных чисел. Хотя с помощью комплексных чисел удалось получить много важных фактов, относящихся к действительным числам, но самое существование комплексных чисел многим казалось сомнительным. Исчерпывающие правила действий с комплексными числами дал в середине 18 века русский академик Эйлер — один из величайших математиков всех времен и народов. На рубеже 18 и 19 веков было указано Весселем (Дания) и Арганом (Франция) (первые шаги в этом направлении были сделаны Валлисом (Англия) в 1685г.) геометрическое изображение комплексных чисел. Но на работы Весселя и Аргана не обратили внимания, и лишь в 1831г., когда тот же способ был развит великим математиком Гауссом (Германия), он стал всеобщим достоянием.

Вслед за тем, как были решены уравнения 3-й и 4-й степени, математики усиленно искали формулу для решения уравнения 5-й степени. Но Руффини (Италия) на рубеже 18 и 19 веков доказал, что буквенное уравнение пятой степени x 5 +ax 4 +bx 3 +cx 2 +dx+e=0 нельзя, решить алгебраически; точнее: нельзя выразить его корень через буквенные величины а, b, с, d, e с помощью шести алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня). В доказательстве Руффини были некоторые недочеты. В 1824г. Абель (Норвегия) дал безупречное доказательство. В 1830г. Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение, степень которого больше, чем 4, нельзя решить алгебраически.

Тем не менее всякое уравнение n-й степени имеет (если рассматривать и комплексные числа) n корней (среди которых могут быть и равные). В этом математики были убеждены еще в 17 веке (основываясь на разборе многочисленных частных случаев), но лишь на рубеже 18 и 19 веков упомянутая теорема была доказана Гауссом.

Вопросы, которыми занимались алгебраисты 19 и 20 веков, по большей части выходят за пределы элементарной математики.

Поэтому укажем только, что в 19 веке были разработаны многие методы приближенного решения уравнений. В этом направлении важные результаты были получены великим русским математиком Н. И. Лобачевским.

§1 Предмет алгебры

Primary tabs

Forums:

Предметом алгебры является изучение уравнений 1 ) (III, 15-17) и ряда вопросов, которые развились из теории уравнений. В настоящее время, когда математика разделилась на ряд специальных областей, к области алгебры относят лишь уравнения определённого типа, так называемые алгебраические уравнения (III,19). О происхождении названия «алгебра» см. §2.

1 ) Следует заметить, что в школьный курс алгебры принято включать и такие вопросы, которые к учению об уравнениях имеют лишь весьма отдалённое отношение. Таковы, например, теория прогрессий и логарифмические вычисления, которые по существу принадлежат скорее арифметике, чем алгебре; включение их в курс алгебры оправдывается педагогическими соображениями.

Краткий справочник по математике

Теоретический материал для подготовки к занятиям и решения задач

Просмотр содержимого документа
«Краткий справочник по математике»

Министерство образования Ставропольского края

ГОУ СПО «МИНЕРАЛОВОДСКИЙ КОЛЛЕДЖ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА»

по математике (алгебра)

АЛГЕБРА Предмет алгебры

Предметом алгебры является изучение уравнений и ряда вопросов, которые развились из теории уравнений. В настоящее время, когда математика разделилась на ряд специальных областей, к области алгебры относят лишь уравнения определенного типа, так называемые алгебраические уравнения.

Исторические сведения о развитии алгебры

Вавилон. Истоки алгебры восходят к глубокой древности. Уже около 4000 лет назад вавилонские ученые владели решением квадратного уравнения и решали системы двух уравнений, из которых одно — второй степени. С помощью таких уравнений решались разнообразные задачи землемерия, строительного искусства и военного дела.

Греция. Первые сокращенные обозначения для неизвестных величин встречаются у древнегреческого математика Диофанта (2-3 в.н.э.). Неизвестное Диофант именует «аритмос» (число), вторую степень неизвестного «дюнамис» (это слово имеет много значений: сила, могущество, имущество, степень и др.). Третью степень Диофант называет «кюбос» (куб), четвертую — «дюнамодюнамис», пятую — «дюнамокубос», шестую — «кюбокюбос». Эти величины он обозначает первыми буквами соответствующих наименований (ар, дю, кю, ддю, дкю, ккю). Известные числа для отличия от неизвестных сопровождаются обозначением «мо» (монас — единица). Сложение не обозначается совсем, для вычитания имеется сокращенное обозначение, равенство обозначается «ис» (исос — равный).

Ни вавилоняне, ни греки не рассматривали отрицательных чисел. Уравнение 3 ар 6 мо ис 2 ар 1 мо (3x+6=2x+1) Диофант называет «неуместным». Перенося члены из одной части уравнения в другую, Диофант говорит, что слагаемое становится вычитаемым, а вычитаемое — слагаемым.

Китай. За 2000 лет до нашего времени китайские ученые решали уравнения первой степени и их системы, а также квадратные уравнения. Им были знакомы отрицательные и иррациональные числа. Так как в китайском письме каждый знак изображает некоторое понятие, то в китайской алгебре не могло быть «сокращенных» обозначений.

В последующие эпохи китайская математика обогатилась новыми достижениями. Так в конце 13 века китайцы знали закон образования биноминальных коэффициентов, известный ныне под именем «треугольник Паскаля». В Западной Европе этот закон был открыт (Штифелем) на 250 лет позднее.

Индия. Индийские ученые широко применяли сокращенные обозначения неизвестных величин и их степеней. Эти обозначения являются начальными буквами соответствующих наименований (неизвестное называлось «столько-то»; для отличия второго, третьего и т.д. неизвестного употреблялись наименования цветов: «черное», «голубое», «желтое» и т.д.). Индийские авторы широко употребляли иррациональные и отрицательные числа. Вместе с отрицательными числами в числовую семью вошел нуль, который прежде обозначал лишь отсутствие числа.

Страны арабского языка. Узбекистан. Таджикистан. У индийских авторов алгебраические вопросы излагались в астрономических сочинениях; самостоятельной дисциплиной алгебра становится у ученых, писавших на международном языке мусульманского мира — арабском. Основоположником алгебры, как особой науки нужно считать среднеазиатского ученого Мухаммеда из Хорезма, известного под арабским прозвищем аль-Харизми (Хорезмианец). Его алгебраический труд, составленный в 9 в. н. э., носит название «Книга восстановления и противопоставления». «Восстановлением» Мухаммед называет перенос вычитаемого из одной части уравнения в другую, где оно становится слагаемым; «противопоставлением» — собирание неизвестных в одну сторону уравнения, а известных — в другую сторону. По-арабски «восстановление» называется «ал-джебр». Отсюда и название «алгебра».

У Муххамеда Хорезмского и у последующих авторов алгебра широко применяется к купеческим и иным денежным расчетам. Ни он, ни другие математики, писавшие по-арабски, не употребляли никаких сокращенных обозначений. (В них не было нужды, ибо арабское письмо очень кратко: гласные не обозначаются, согласные и полугласные буквы просты по начертанию и сливаются по нескольку в один знак. Для написания многих слов требуется не больше времени, чем для написания некоторых наших букв (например ж, щ). Зато арабская грамота намного трудней нашей.) Они не признавали и отрицательных чисел: учение об отрицательных числах, знакомое им из индийских источников, они считали плохо обоснованными. Это было справедливо, но зато индийские ученые могли ограничиться одним случаем полного квадратного уравнения, тогда как Мухаммед Хорезмский и его преемники должны были различать три случая (x 2 +px=q, x 2 +q=px, x 2 =px+q; p и q — положительные числа).

Среднеазиатские, персидские и арабские математики обогатили алгебру рядом новых достижений. Для уравнений высших степеней они умели находить приближенные значения корней с очень большой точностью. Так, знаменитый среднеазиатский философ, астроном и математик аль-Бируни (973 — 1048), родом из Хорезма, свел задачу о вычислении сторон правильного 9-угольника, вписанного в данную окружность, к кубическому уравнению x 3 =1+3x и нашел (в 60-ричных дробях) приближенное значение x=1,52’45»47»’13»» (Т.е. одна целая, 52 шестидесятых, 45 три тысячи шестисотых и т.д. с точностью до 1/60 4 ; в десятичных дробях это дает семь верных десятеричных знаков). Классик иранской и таджикской поэзии Омар аль-Хайам (1036- 1123) из Нишапура подверг систематическому изучению уравнение третьей степени. Ни ему, ни другим математикам мусульманского мира не удалось найти выражения корней кубического уравнения через коэффициенты. Но аль-Хайам разработал способ, по которому можно (геометрически) найти число действительных корней кубического уравнения (его самого интересовали только положительные корни).

Средневековая Европа. В 12 веке «Алгебра» аль-Харизми стала известна в Европе и была переведена на латинский язык. С этого самого времени начинается развитие алгебры в европейских странах (сперва под сильным влиянием науки восточных народов). Появляются сокращенные обозначения неизвестных, решается ряд новых задач, связанных с потребностями торговли. Но существенного сдвига не было до 16 века. В первой трети 16 века итальянцы дель-Ферро и Тарталья нашли правила для решения кубических уравнений вида x 3 =px+q; x 3 +px=q; x 3 +q=px, а Кардано в 1545 г. показал, что всякое кубическое уравнение сводится к одному из этих трех; в это же время Феррари, ученик Кардано, нашел решение уравнения четвертой степени.

Отрицательные числа. В 13 — 16 веках отрицательные числа рассматриваются европейцами лишь в исключительных случаях. После открытия решения кубического уравнения отрицательные числа постепенно завоевывают право гражданства в алгебре, хотя их и называют «ложными». В 1629 г. Жирар (Франция) дал общеизвестный ныне способ геометрического изображения отрицательных чисел. Лет 20 спустя отрицательные числа получили всеобщее распространение.

Комплексные числа. Введение комплексных чисел также было связано с открытием решения кубического уравнения.

И до этого открытия при решении квадратного уравнения x 2 +q=px приходилось сталкиваться с случаем, когда требовалось извлечь квадратный корень из (p/2) 2 -q, где величина (p/2) 2 была меньше чем q. Но в таком случае заключали, что уравнение не имеет решений. О введении новых (комплексных) чисел в то время (когда даже отрицательные числа считались «ложными») не могло быть и мысли. Но при решении кубического уравнения по правилу Тартальи оказалось, что без действий над мнимыми числами нельзя получить действительный корень.

Объясним это подробнее. По правилу Тартальи корень уравнения

, (2)

где u и v — решения системы.

Например для уравнения x 3 =9x+28 (p=9; q=28) имеем:

откуда находим, что либо u=27; v=1, либо u=1; v=27. В обоих случаях

x==4.

Других действительных корней данное уравнение не имеет.

Но, как заметил уже Кардано, система (3) может не иметь действительных решений, между тем как уравнение (1) имеет действительный и притом положительный корень. Так, уравнение x 3 =15x+4 имеет корень x=4, но система

На это загадочное явление впервые пролил свет Бомбелли в 1572г. Он указал, что 2+11i есть куб числа 2+i, а 2-11i — куб числа 2-i; значит можно написать =2+i; =2-i, и тогда формула (2) дает x=(2+i)+(2-i)=4.

Формулы сокращенного умножения

1.Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.

2.Квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.

3.Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов.

4.Куб суммы двух величин равен кубу первой плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй.

5.Куб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй.

6. Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов.

7. Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.

Действия с корнями

1. Величина корня не изменится, если его показатель увеличить в n раз и одновременно возвести подкоренное значение в степень n:

2. Величина корня не изменится, если показатель степени уменьшить в n раз и одновременно извлечь корень n-й степени из подкоренного значения:

3. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней той же степени из этих сомножителей:

Обратно, произведение корней одной и той же степени равно корню той же степени из произведения подкоренных значений:

4. Корень от частного равен частному от деления корня из делимого на корень из делителя (показатели корней должны быть одинаковыми):

5.Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное значение:

Обратно, чтобы извлечь корень из степени, достаточно возвести в эту степень корень из основания степени:

Действия со степенями

1. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей с тем же показателем:

т.е. произведение одинаковых степеней нескольких величин равно той же степени произведения этих величин.

2.Степень частного (дроби) равна частному от деления той же степени делимого на ту же степень делителя:

3.При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:

4.При делении степеней с одинаковыми основаниями показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого:

5.При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются:

где, a, b, c — действительные числа, причем a 0, называют квадратным уравнением. Если a = 1 , то квадратное уравнение называют приведенным; если a 1, — то неприведенным. Числа a, b, c носят следующие названия a — первый коэффициент, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Корни уравнения ax 2 +bx+c=0 находят по формуле

Выражение D = b 2 — 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения. Если D 0, то уравнение имеет два действительных корня.

В случае, когда D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.

Используя обозначение D = b 2 — 4ac, можно переписать формулу (2) в виде

Если b = 2k, то формула (2) принимает вид:

Последняя формула особенно удобна в тех случаях, когда b / 2 — целое число, т.е. коэффициент b — четное число.

Пример 1: Решить уравнение 2x 2 — 5x + 2 = 0. Здесь a = 2, b = -5, c = 2. Имеем D = b 2 — 4ac = (-5) 2 — 4*2*2 = 9. Так как D 0, то уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле (2)

Пример 2: Решить уравнение 2x 2 — 3x + 5 = 0. Здесь a = 2, b = -3, c = 5. Находим дискриминант D = b 2 — 4ac = (-3) 2 — 4*2*5 = -31. Так как D , то уравнение не имеет действительных корней.

Неполные квадратные уравнения. Если в квадратном уравнении ax 2 +bx+c=0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения — проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.

Пример 1: решить уравнение 2x 2 — 5x = 0.

Имеем x(2x — 5) = 0. Значит либо x = 0, либо 2x — 5 = 0, то есть x = 2.5. Итак, уравнение имеет два корня: 0 и 2,5.

Пример 2: решить уравнение 3x 2 — 27 = 0.

Имеем 3x 2 = 27. Следовательно корни данного уравнения — 3 и -3.

Теорема Виета. Если приведенное квадратное уравнение x 2 +px+q=0 имеет действительные корни, то их сумма равна -p, а произведение равно q, то есть

(сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).

Биквадратным называется уравнение вида ax 4 +bx 2 +c=0, где a0. Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив x 2 = y, прейдем к квадратному уравнению ay 2 +by+c=0.

Положив x 2 = y, получим квадратное уравнение y 2 +4y -21=0, откуда находим y₁= -7, y₂=3. Теперь задача сводится к решению уравнений x 2 = -7, x 2 =3. Первое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим

которые являются корнями заданного биквадратного уравнения.

источники:

http://fkn.ktu10.com/?q=node/11246

http://multiurok.ru/files/kratkii-spravochnik-po-matiematikie.html

Предметом алгебры является изучение уравнений