Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Калькулятор онлайн.
Выделение квадрата двучлена и разложение на множители квадратного трехчлена.
Т.е. задачи сводятся к нахождению чисел \( p, q \) и \( n, m \)
Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного трехчлена, рекомендуем с ними ознакомиться.
В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \( x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.
Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.
Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x — 3,5x^2
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 — 5&6/5x +1/7x^2
Результат: \( 3\frac<1> <3>— 5\frac<6> <5>x + \frac<1><7>x^2 \)
При вводе выражения можно использовать скобки. В этом случае при решении введённое выражение сначала упрощается.
Например: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)
8.2.5. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители
Квадратный трехчлен ax 2 +bx+c можно разложить на линейные множители по формуле:
ax 2 +bx+c=a (x-x1)(x-x2), где x1, x2 — корни квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0.
Разложить квадратный трехчлен на линейные множители:
Пример 1). 2x 2 -7x-15.
Решение. Найдем корни квадратного уравнения: 2x 2 -7x-15=0.
a=2; b=-7; c=-15. Это общий случай для полного квадратного уравнения. Находим дискриминант D.
D=b 2 -4ac=(-7) 2 -4∙2∙(-15)=49+120=169=13 2 >0; 2 действительных корня.
Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x1)(x-x2).
2x 2 -7x-15=2 (х+1,5)(х-5)=(2х+3)(х-5). Мы представили данный трехчлен 2x 2 -7x-15 в виде произведения двучленов 2х+3 и х-5.
Ответ: 2x 2 -7x-15=(2х+3)(х-5).
Пример 2). 3x 2 +2x-8.
Решение. Найдем корни квадратного уравнения:
a=3; b=2; c=-8. Это частный случай для полного квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом (b=2). Находим дискриминант D1.
Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x1)(x-x2).
Мы представили трехчлен 3x 2 +2x-8 в виде произведения двучленов х+2 и 3х-4.
Ответ: 3x 2 +2x-8=(х+2)(3х-4).
Пример 3). 5x 2 -3x-2.
Решение. Найдем корни квадратного уравнения:
a=5; b=-3; c=-2. Это частный случай для полного квадратного уравнения с выполненным условием: a+b+c=0 (5-3-2=0). В таких случаях первый корень всегда равен единице, а второй корень равен частному от деления свободного члена на первый коэффициент:
Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x1)(x-x2).
5x 2 -3x-2=5 (х-1)(х+0,4)=(х-1)(5х+2). Мы представили трехчлен 5x 2 -3x-2 в виде произведения двучленов х-1 и 5х+2.
Ответ: 5x 2 -3x-2=(х-1)(5х+2).
Пример 4). 6x 2 +x-5.
Решение. Найдем корни квадратного уравнения:
a=6; b=1; c=-5. Это частный случай для полного квадратного уравнения с выполненным условием: a-b+c=0 (6-1-5=0). В таких случаях первый корень всегда равен минус единице, а второй корень равен минус частному от деления свободного члена на первый коэффициент:
Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x1)(x-x2).
Мы представили трехчлен 6x 2 +x-5 в виде произведения двучленов х+1 и 6х-5.
Ответ: 6x 2 +x-5=(х+1)(6х-5).
Пример 5). x 2 -13x+12.
Решение. Найдем корни приведенного квадратного уравнения:
x 2 -13x+12=0. Проверим, можно ли применить теорему Виета. Для этого найдем дискриминант и убедимся, что он является полным квадратом целого числа.
a=1; b=-13; c=12. Находим дискриминант D.
D=b 2 -4ac=13 2 -4∙1∙12=169-48=121=11 2 .
Применим теорему Виета: сумма корней должна быть равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней должно быть равно свободному члену:
Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x1)(x-x2).
Ответ: x 2 -13x+12=(х-1)(х-12).
Пример 6). x 2 -4x-6.
Решение. Найдем корни приведенного квадратного уравнения:
a=1; b=-4; c=-6. Второй коэффициент — четное число. Находим дискриминант D1.
Дискриминант не является полным квадратом целого числа, поэтому, теорема Виета нам не поможет, и мы найдем корни по формулам для четного второго коэффициента:
Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x1)(x-x2) и запишем ответ:
Друзья, для того, чтобы разложить квадратные трехчлены на множители, мы решали каждое квадратное уравнение рациональным способом. Все эти способы мы рассмотрели ранее в теме: «Решение полных квадратных уравнений».
Разложение квадратного трёхчлена на множители
Как разложить на множители квадратный трёхчлен
Квадратный трёхчлен — это многочлен вида ax 2 + bx + c .
В прошлых уроках мы решали квадратные уравнения. Общий вид таких уравнений выглядел так:
Левая часть этого уравнения является квадратным трёхчленом.
Одним из полезных преобразований при решении задач является разложение квадратного трёхчлена на множители. Для этого исходный квадратный трёхчлен приравнивают к нулю и решают квадратное уравнение. В этом случае говорят, что выполняется поиск корней квадратного трёхчлена.
Полученные корни x1 и x2 следует подстáвить в следующее выражение, которое и станет разложением:
Таким образом, чтобы разложить квадратный трёхчлен на множители при помощи решения квадратного уравнения, нужно воспользоваться следующей готовой формулой:
Где левая часть — исходный квадратный трёхчлен.
Пример 1. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:
Найдём корни квадратного трёхчлена. Для этого приравняем данный квадратный трёхчлен к нулю и решим квадратное уравнение:
В данном случае коэффициент b является чётным. Поэтому можно воспользоваться формулами для чётного второго коэффициента. Чтобы сэкономить время, некоторые подробные вычисления можно пропустить:
Итак, x1 = 6 , x2 = 2 . Теперь воспользуемся формулой ax 2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2). В левой части вместо выражения ax 2 + bx + c напишем свой квадратный трёхчлен x 2 − 8x + 12. А в правой части подставим имеющиеся у нас значения. В данном случае a = 1, x1 = 6, x2 = 2
Если a равно единице (как в данном примере), то решение можно записать покороче:
Чтобы проверить правильно ли разложен квадратный трёхчлен на множители, нужно раскрыть скобки у правой части получившегося равенства.
Раскроем скобки у правой части равенства, то есть в выражении (x − 6)(x − 2) . Если мы всё сделали правильно, то должен получиться квадратный трёхчлен x 2 − 8x + 12
Пример 2. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:
Приравняем данный квадратный трёхчлен к нулю и решим уравнение:
Как и в прошлом примере коэффициент b является чётным. Поэтому можно воспользоваться формулами для чётного второго коэффициента:
Итак, x1 = 4 , x2 = 3 . Приравняем квадратный трехчлен 2x 2 − 14x + 24 к выражению a(x − x1)(x − x2) , где вместо переменных a , x1 и x2 подстáвим соответствующие значения. В данном случае a = 2
Выполним проверку. Для этого раскроем скобки у правой части получившегося равенства. Если мы всё сделали правильно, то должен получиться квадратный трёхчлен 2x 2 − 14x + 24
Как это работает
Разложение квадратного трёхчлена на множители происходит, если вместо коэффициентов квадратного трёхчлена подстáвить теорему Виета и выполнить тождественные преобразования.
Для начала рассмотрим случай, когда коэффициент a квадратного трёхчлена равен единице:
Вспоминаем, что если квадратное уравнение является приведённым, то теорема Виета имеет вид:
Тогда приведённый квадратный трехчлен x 2 + bx + c можно разложить на множители следующим образом. Сначала выразим b из уравнения x1 + x2 = −b . Для этого можно умножить обе его части на −1
Переменную c из теоремы Виета выражать не нужно — она уже выражена. Достаточно поменять местами левую и правую часть:
Теперь подставим выраженные переменные b и c в квадратный трёхчлен x 2 + bx + c
Раскроем скобки там где это можно:
В получившемся выражении выполним разложение многочлена на множители способом группировки. В данном случае удобно сгруппировать первый член со вторым, а третий с четвёртым:
Из первых скобок вынесем общий множитель x , из вторых скобок — общий множитель −x2
Далее замечаем, что выражение ( x − x1 ) является общим множителем. Вынесем его за скобки:
Но это был случай, когда исходный квадратный трёхчлен является приведённым. В нём коэффициент a равен единице. И соответственно, в формуле разложения такого квадратного трехчлена коэффициент a можно опустить.
Теперь рассмотрим случай, когда коэффициент a квадратного трёхчлена не равен единице. Это как раз тот случай, когда в формуле разложения присутствует перед скобками коэффициент a
Вспоминаем, что если квадратное уравнение не является приведённым, то есть имеет вид ax 2 + bx + c = 0 , то теорема Виета принимает следующий вид:
Это потому что теорема Виета работает только для приведённых квадратных уравнений. А чтобы уравнение ax 2 + bx + c = 0 стало приведённым, нужно разделить обе его части на a
Далее чтобы квадратный трёхчлен вида ax 2 + bx + c разложить на множители, нужно вместо b и c подставить соответствующие выражения из теоремы Виета. Но в этот раз нам следует использовать равенства и
Для начала выразим b и c . В первом равенстве умножим обе части на a . Затем обе части получившегося равенства умножим на −1
Теперь из второго равенства выразим c . Для этого умножим обе его части на a
Теперь подставим выраженные переменные b и с в квадратный трёхчлен ax 2 + bx + c . Для наглядности каждое преобразование будем выполнять на новой строчке:
Здесь вместо переменных b и c были подставлены выражения −ax1 − ax2 и ax1x2 , которые мы ранее выразили из теоремы Виета. Теперь раскроем скобки там где это можно:
В получившемся выражении выполним разложение многочлена на множители способом группировки. В данном случае удобно сгруппировать первый член со вторым, а третий с четвёртым:
Теперь из первых скобок вынесем общий множитель ax , а из вторых — общий множитель −ax2
Далее замечаем, что выражение x − x1 тоже является общим множителем. Вынесем его за скобки:
Вторые скобки содержат общий множитель a . Вынесем его за скобки. Его можно расположить в самом начале выражения:
Отметим, что если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители. Действительно, если не найдены корни квадратного трёхчлена, то нéчего будет подставлять в выражение a(x − x1)(x − x2) вместо переменных x1 и x2 .
Если квадратный трёхчлен имеет только один корень, то этот корень одновременно подставляется в x1 и x2 . Например, квадратный трёхчлен x 2 + 4x + 4 имеет только один корень −2
Тогда значение −2 в процессе разложения на множители будет подставлено вместо x1 и x2 . А значение a в данном случае равно единице. Её можно не записывать, поскольку это ничего не даст:
Скобки внутри скобок можно раскрыть. Тогда получим следующее:
При этом если нужно получить короткий ответ, последнее выражение можно записать в виде (x + 2) 2 поскольку выражение (x + 2)(x + 2) это перемножение двух сомножителей, каждый из которых равен (x + 2)
Примеры разложений
Пример 1. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:
Найдём корни квадратного трёхчлена:
Воспользуемся формулой разложения. В левой части напишем квадратный трёхчлен 3x 2 − 2x − 1 , а в правой части — его разложение в виде a(x − x1)(x − x2) , где вместо a , x1 и x2 подстáвим соответствующие значения:
Во вторых скобках можно заменить вычитание сложением:
Пример 2. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:
Упорядочим члены так, чтобы старший коэффициент располагался первым, средний — вторым, свободный член — третьим:
Найдём корни квадратного трёхчлена:
Воспользуемся формулой разложения:
Упростим получившееся разложение. Вынесем за первые скобки общий множитель 3
Теперь воспользуемся сочетательным законом умножения. Напомним, что он позволяет перемножать сомножители в любом порядке. Умножим 3 на вторые скобки. Это позвóлит избавиться от дроби в этих скобках:
Пример 3. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:
Найдём корни квадратного трёхчлена:
Воспользуемся формулой разложения:
Пример 4. Найдите значение k , при котором разложение на множители трёхчлена 3x 2 − 8x + k содержит множитель (x − 2)
Если разложение содержит множитель (x − 2) , то один из корней квадратного трёхчлена равен 2 . Пусть корень 2 это значение переменной x1
Чтобы найти значение k , нужно знать чему равен второй корень. Для его определения воспользуемся теоремой Виета.
В данном случае квадратный трёхчлен не является приведённым, поэтому сумма его корней будет равна дроби , а произведение корней — дроби
Выразим из первого равенства переменную x2 и сразу подстáвим найденное значение во второе равенство вместо x2
Теперь из второго равенства выразим k . Так мы найдём его значение.
Пример 5. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:
Перепишем данный трёхчлен в удобный для нас вид. Если в первом члене заменить деление умножением, то получим . Если поменять местами сомножители, то получится . То есть коэффициент a станет равным
Коэффициент b можно перевести в обыкновенную дробь. Так проще будет искать дискриминант:
Найдём корни квадратного трёхчлена:
Воспользуемся формулой разложения:
Задания для самостоятельного решения
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
http://mathematics-repetition.com/8-2-5-razlozhenie-kvadratnogo-trehtchlena-na-lineyne-mnozhiteli/
http://spacemath.xyz/razlozhenie-kvadratnogo-tryohchlena-na-mnozhiteli/