Представьте в виде многочлена уравнение

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Упрощение многочлена.
Умножение многочленов.

С помощью данной математической программы вы можете упростить многочлен.
В процессе работы программа:
— умножает многочлены
— суммирует одночлены (приводит подобные)
— раскрывает скобки
— возводит многочлен в степень

Программа упрощения многочленов не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы вы могли проконтролировать свои знания по математике и/или алгебре.

Данная программа может быть полезна учащимся общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Немного теории.

Произведение одночлена и многочлена. Понятие многочлена

Среди различных выражений, которые рассматриваются в алгебре, важное место занимают суммы одночленов. Приведем примеры таких выражений:
\( 5a^4 — 2a^3 + 0,3a^2 — 4,6a + 8 \)
\( xy^3 — 5x^2y + 9x^3 — 7y^2 + 6x + 5y — 2 \)

Сумму одночленов называют многочленом. Слагаемые в многочлене называют членами многочлена. Одночлены также относят к многочленам, считая одночлен многочленом, состоящим из одного члена.

Например, многочлен
\( 8b^5 — 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 — 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
можно упростить.

Представим все слагаемые в виде одночленов стандартного вида:
\( 8b^5 — 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 — 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\( = 8b^5 — 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Приведем в полученном многочлене подобные члены:
\( 8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Получился многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, причем среди них нет подобных. Такие многочлены называют многочленами стандартного вида.

За степень многочлена стандартного вида принимают наибольшую из степеней его членов. Так, двучлен \( 12a^2b — 7b \) имеет третью степень, а трехчлен \( 2b^2 -7b + 6 \) — вторую.

Обычно члены многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, располагают в порядке убывания показателей ее степени. Например:
\( 5x — 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 — 18x^3 + 5x + 1 \)

Сумму нескольких многочленов можно преобразовать (упростить) в многочлен стандартного вида.

Иногда члены многочлена нужно разбить на группы, заключая каждую группу в скобки. Поскольку заключение в скобки — это преобразование, обратное раскрытию скобок, то легко сформулировать правила раскрытия скобок:

Если перед скобками ставится знак «+», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками.

Если перед скобками ставится знак «-», то члены, заключаемые в скобки, записываются с противоположными знаками.

Преобразование (упрощение) произведения одночлена и многочлена

С помощью распределительного свойства умножения можно преобразовать (упростить) в многочлен произведение одночлена и многочлена. Например:
\( 9a^2b(7a^2 — 5ab — 4b^2) = \)
\( = 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\( = 63a^4b — 45a^3b^2 — 36a^2b^3 \)

Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.

Этот результат обычно формулируют в виде правила.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.

Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.

Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов

Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.

Обычно пользуются следующим правилом.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.

Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов

С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. Пожалуй, наиболее часто встречаются выражения \( (a + b)^2, \; (a — b)^2 \) и \( a^2 — b^2 \), т. е. квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Вы заметили, что названия указанных выражений как бы не закончены, так, например, \( (a + b)^2 \) — это, конечно, не просто квадрат суммы, а квадрат суммы а и b. Однако квадрат суммы а и b встречается не так уж часто, как правило, вместо букв а и b в нем оказываются различные, иногда довольно сложные выражения.

Выражения \( (a + b)^2, \; (a — b)^2 \) нетрудно преобразовать (упростить) в многочлены стандартного вида, собственно, вы уже встречались с таким заданием при умножении многочленов:
\( (a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\( = a^2 + 2ab + b^2 \)

Полученные тождества полезно запомнить и применять без промежуточных выкладок. Помогают этому краткие словесные формулировки.

\( (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) — квадрат суммы равен сумме квадратов и удвоенного произведения.

\( (a — b)^2 = a^2 + b^2 — 2ab \) — квадрат разности равен сумме квадратов без удвоенного произведения.

\( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \) — разность квадратов равна произведению разности на сумму.

Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно — правые части левыми. Самое трудное при этом — увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.

Представьте в виде многочлена уравнение

Выражение представляет собой сумму одночленов . Такие выражения называют многочленами.

Определение. Многочленом называется сумма одночленов.

Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена. Так, многочлен состоит из членов .

Если многочлен состоит из двух членов, его называют двучленом, если из трех членов — трехчленом. Одночлены считают многочленами, состоящими из одного члена.

В многочлене члены являются подобными слагаемыми, так как они имеют одну и ту же буквенную часть. Подобными слагаемыми являются и члены 2 и — 7, не имеющие буквенной части. Подобные слагаемые в многочлене называют подобными членами многочлена.

Сумму подобных членов можно заменить одним членом, сложив их коэффициенты и оставив ту же буквенную часть. Такое тождественное преобразование многочленов называют приведением подобных членов.

Выполнив приведение подобных членов в многочлене , получим:

Многочлен не содержит подобных членов, и каждый его член является одночленом стандартного вида. Такой многочлен называют многочленом стандартного вида.

Любой многочлен можно привести к стандартному виду. Для этого нужно каждый его член представить в стандартном виде и привести подобные члены.

Членами многочлена стандартного вида служат одночлены второй, пятой и нулевой степени. Наибольшую из этих степеней называют степенью многочлена. Таким образом, многочлен стандартного вида является многочленом пятой степени.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. Степенью многочлена, не записанного в стандартном виде, называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.

Например, чтобы выяснить, какова степень многочлена , приведем его к стандартному виду:

Степень многочлена равна двум, поэтому и степень многочлена равна двум.

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ

Составим сумму многочленов

Раскроем скобки и приведем подобные члены. Получим:

Сумму многочленов мы представили в виде многочлена . Вообще, сумму любых многочленов можно представить в виде многочлена.

Составим разность многочленов :

После раскрытия скобок и приведения подобных членов получим:

Разность многочленов мы представили в виде многочлена . Вообще, разность любых многочленов можно представить в виде многочлена.

Таким образом, при сложении и вычитании многочленов снова получается многочлен.

Иногда требуется несколько членов многочлена заключить в скобки. Тогда:

если перед скобками ставят знак «плюс», то члены, которые заключают в скобки, пишут с теми же знаками;

если перед скобками ставят знак «минус», то члены, заключаемые в скобки, пишут с противоположными знаками.

Полученные равенства являются тождествами. Убедиться в этом можно, раскрыв скобки в правой части каждого равенства.

УМНОЖЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН

Составим произведение одночлена и многочлена

Преобразуем это произведение, используя распределительное свойство умножения:

Произведение одночлена и многочлена мы преобразовали в многочлен , умножив одночлен на каждый член многочлена и сложив полученные результаты.

Вообще, произведение одночлена и многочлена можно представить в виде многочлена.

При умножении одночлена на многочлен пользуются правилом:

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

При умножении одночлена на многочлен запись можно вести короче. Например,

Умножение одночлена на многочлен применяется при решении уравнений. Приведем примеры.

Пример 1. Решим уравнение Преобразуем левую часть уравнения, воспользовавшись правилом умножения одночлена на многочлен. Получим уравнение

Пример 2. Решим уравнение

Умножив обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей дробей, т. е. на число 18, получим:

ВЫНЕСЕНИЕ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ

Каждый член многочлена можно заменить произведением двух множителей, один из которых равен :

Полученное выражение на основе распределительного свойства можно представить в виде произведения двух множителей. Один из них — общий множитель , а второй — сумма :

Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов (среди которых могут быть и одночлены) называют разложением многочлена на множители. Такое преобразование используется при решении уравнений, в вычислениях и в других случаях.

Примененный нами способ разложения многочлена на множители называют вынесением общего множителя за скобки.

Пусть требуется разложить на множители многочлен . Члены этого многочлена имеют различные общие множители: и другие. Целесообразно вынести за скобки . Вынесем за скобки, например, :

Обычно при вынесении общего множителя за скобки каждую переменную, входящую во все члены многочлена.

выносят с наименьшим показателем» который она имеет в данном многочлене. Если все коэффициенты многочлена — целые числа, то в качестве коэффициента общего множителя берут наибольший по модулю общий делитель всех коэффициентов многочлена.

Покажем, как вынесение множителя за скобки применяется при решении уравнений.

Решим, например, уравнение

В выражении вынесем за скобки множитель . Получим:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, т. е. когда

Решая уравнение , находим:

Следовательно, произведение обращается в нуль при и при т. е. уравнение

Представьте в виде многочлена уравнение

3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно

2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности

Сервис (своего рода программа для классов 5 и 7, 8, 9, 10, 11) позволяет упрощать математические выражения: алгебра (алгебраические выражения), тригонометрических выражений, выражения с корнями и другими степенями, сокращение дробей, также упрощает сложные буквенные выражения,
для упрощение комплексных выражений вам сюда(!)

Важно В выражениях переменные обозначаются ОДНОЙ буквой! Например, a, b, . z

© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: