Псевдосферические поверхности и уравнение синус-Гордона Текст научной статьи по специальности « Математика»
Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Санюк В. И., Хорунжая Л. В.
На основании известной связи уравнения синус-Гордона с геометрией псевдосферических поверхностей дано подробное изложение различных аспектов преобразований Бэклунда и их возможностей для построения многосолитонных решений уравнения.
Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Санюк В. И., Хорунжая Л. В.
Pseudospherical Surfaces and SineGordon Equation
A detailed exposition of various aspects of Backlund transformations and their capacites for multisoliton construction to the sine-Gordon equation has been given on the basis of the well-known relationship between this equation and the pseudospherical surfaces theory.
Текст научной работы на тему «Псевдосферические поверхности и уравнение синус-Гордона»
Псевдосферические поверхности и уравнение
В. И. Санюк, Л. В. Хорунжая
Кафедра теоретической физики Российский университет дружбы народов Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6
На основании известной связи уравнения синус-Гордона с геометрией псевдосферических поверхностей дано подробное изложение различных аспектов преобразований Бэклунда и их возможностей для построения многосолитонных решений уравнения.
Некоторые задачи современной физики сводятся к нелинейным дифференциальным уравнениям, имеющим естественную геометрическую интерпретацию. Среди таких уравнений и уравнение синус-Гордона, возникшее изначально в дифференциальной геометрии в связи с задачей изометрического погружения плоскости Лобачевского в евклидово пространство. Позднее обнаружилось, что уравнение синус-Гордона описывает ряд физических явлений, и, наконец, был установлен универсальный характер этого уравнения.
Уравнение синус-Гордона для функции зависящей от одной простран-
ственной переменной х и времени ¿,
получило свое название в силу наличия синуса в правой части и сходства с уравнением Клейна-Гордона. Его можно записать также в координатах светового конуса
В этом случае оно принимает вид
описывает такие физические явления и процессы, как распространение импульсов в двухуровневых резонансных средах, поведение блоховских стенок в ферромагнитных кристаллах, движение дислокаций, процессы в джозефсоновских контактах и ряд других физических явлений (подробнее см. в 6). Оно возникает при рассмотрении физических явлений, не ограничивающемся чисто линейным приближением, а учитывающем простейшие нелинейности. Впервые оно было введено в физику в 1939 г. Я.И. Френкелем и Т.М. Коиторовой как уравнение, описывающее
Рис. 1. Сеть линий на поверхности Ф. Яркими линиями выделен сетевой четырехугольник. У гол г(х,у) — сетевой
распространение дислокаций в одномерном кристалле (см., например, [4,7,8]). Спустя почти 20 лет к такому же уравнению пришел английский физик Т. Скирм, при рассмотрении упрощенного (двумерного) варианта своей модели «пионной жидкости». Внимательно изучив свойства упрощенной модели, Скирм не только впервые получил явный вид решения уравнения синус-Гордона (задолго до открытия метода обратной задачи рассеяния), но и ввел в физику сохраняющуюся величину нового типа — топологический заряд (см. подробнее [9,10]). В данной статье мы сосредоточимся на изучении связи уравнения синус-Гордона с теорией псевдосферических поверхностей и дадим по возможности детальное изложение этого вопроса. Собранные здесь факты, в основном, известны, однако не имели до сих пор последовательного изложения. Работа посвящена памяти Я.П. Терлецкого, который своими пионерскими работами по свойствам частицеподобных решений дифференциальных уравнений способствовал зарождению нового направления в теоретической и математической физике — теории солитонов.
2. Поверхности постоянной отрицательной
кривизны и уравнение синус-гордона
Возникновение уравнения синус-Гордона в дифференциальной геометрии в конце 19 в. связано с проблемой регулярных изометрических погружений частей плоскости Лобачевского в трехмерное евклидово пространство Е3 — проблемой построения модели геометрии Лобачевского в рамках евклидовой геометрии. Решение этой проблемы было дано в 1901 г. Д. Гильбертом, который доказал, что в пространстве Е3 не существует полной и регулярной поверхности, внутренняя геометрия которой представляет геометрию полной плоскости Лобачевского.
2.1. Чебышевские сети на поверхности
В 1878 г. известный русский математик П. Л. Чебышев в работе «О кройке одежды» исследовал вопрос о специальных сетях линий на поверхностях. Эти сети, называемые теперь чебышевскими, характеризуются следующим свойством: в каждом сетевом четырехугольнике противоположные стороны равны. Например, нити куска ткани, натянутой на поверхность, образуют на ней чебышевскую сеть (рис. 1) [11].
Рассмотрим поверхность Ф с заданной на ней чебышевской сетью, линии которой выбраны за координатные. Одну из линий первого семейства примем за базовую линию х (т.е. линию, для которой у = 0), а некоторую линию другого семейства — за базовую линию у (линия х = 0), Угол между координатными линиями х н у в точке М(х,у) (сетевой угол) обозначим z(x,y).
Из определения чебышевской сети вытекает, что параметры х и у — длины дуг соответствующих координатных линий. Если поверхность Ф задана уравнением г = г(х,у), то
f® = l,r£ = l, (rx, ry) = c:osz(x,y),
где обозначено гх — дг/дх, гу = дг/ду и (гг, гу) — скалярное произведение векторов тх и Гу.
Следовательно, первая квадратичная форма поверхности для выбранной внутренней системы координат хну имеет вид
I = ds2 = dx2 + 2cosz(x,y)dxdy + dy2 (4)
I = ds2 = Ебх2 + 2Fdxdy + вАу2, где Е = Г*Х = 1, Р = (гх,гу) = созг(х,у), £ = г£ = 1.
Верно и обратное: если первая квадратичная форма поверхности имеет вид (4), то сеть координатных линий х и у является чебышевской.
Найдем уравнение для сетевого угла г(х,у) чебышевской сети. Подсчитаем кривизну К поверхности Ф при помощи теоремы Гаусса [11]: кривизна К регулярной поверхности может быть выражена только через коэффициенты первой квадратичной формы и их производные
^__f д Ey-Fx _ д Fy-Gx
где W = EG — F2, a L,M,N — коэффициенты второй квадратичной формы поверхности
II = 1Ахг + 2Mdxdy + Ndy2 (7)
(.L = (fII( n), M = (fxy, n), N = (fyy, n), ñ = — единичный вектор нормали
в т. (х,у) поверхности). Полагая в (6) х = и, у = и, получим
W = EG — F2 = 1 — eos2 г » sin2 г,
Fx=Fu = -z-u sinz, FV = FV = -Zy sin«, Gx — Gu = 0, Gy — Gv = 0.
1. ( д Ev — Fu д Fv-Gu 2 y/W y/w 9u Vw
Эта формула после несложных преобразований вытекает из формулы для сетевого угла, приведенной Чебышевым. Уравнение (9) переходит в уравнение синус-Гордона при К = -1. Таким образом, с геометрической точки зрения уравнение синус-Гордона связано с задачей построения чебышевских сетей на поверхностях, гауссова кривизна которых равна -1. Более того, каждому решению уравнения синус-Гордона на такой поверхности отвечает некоторая чебышевская сеть.
2.2. Изометрические погружения плоскости Лобачевского А2 в евклидово пространство .Е3
На плоскости Лобачевского Л2 можно ввести полугеодезическую систему координат (х,у) — координатные линии различных семейств попарно ортогональны и одно из семейств состоит из геодезических линий — так, что [12]
ds2 = dx2 + e2kxdy2, где k = const. (10)
В полугеодезической системе координат первую квадратичную форму поверхности можно привести к виду [11]
/ = ds2 = dx2 + В2(х, y)dy2,
где В(0,у) = 1, Вх(0,у) = О, Вх — дВ/дх. При такой параметризации гауссова кривизна
Вычисляя гауссову кривизну К а плоскости Лобачевского по формуле (11), получим
т.е. плоскость Лобачевского имеет постоянную отрицательную гауссову кривизну Кл — —к2. При к = 1 гауссова кривизна Кд = —1. В декартовой системе координат (х,у) линейный элемент евклидовой плоскости задается в виде
ds2 = dx2 + dy2. (13)
Задача об изометрическом погружении плоскости Лобачевского с линейным элементом
ds2 = da;2 + е2:Му2(/г = 1). (14)
в евклидово пространство сводится к следующему: существует ли в пространстве Е3 поверхность, первая квадратичная форма которой задается соотношением (14)? При этом, поскольку
и дискриминант W = EG — F2 > 0, то знак дискриминанта второй квадратичной формы совпадает со знаком гауссовой кривизны, т.е. LN — М2 0), заданная радиус-вектором г— г*. Этой поверхности сопоставляется другая поверхность Ф°, заданная радиус-вектором г = f7 так, что каждой точке М 6 Ф* соответствует точка М’ е Ф», удовлетворяющая определенным условиям [14]. С. Ли [14] показал, что это преобразование определено только для поверхностей постоянной кривизны —1/а2 и преобразованная поверхность Ф» имеет ту же кривизну.
Преобразование Бэклунда для псевдосферической поверхности имеет вид [13]:
г° — г* +a;sin Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
Рассмотрим разработанный Клэрэном метод построения преобразований Бэклунда как общего вида, так и для функций zn-.\ и гп, удовлетворяющих одному и тому же дифференциальному уравнению [7]. Дифференциальные уравнения второго порядка вида
/1 (£, »Л 25, + /2(£, т/,2,2?, г^гц,, + /3(£, г), 2,20 гп)гтт +
часто называют уравнениями Монжа — Ампера. Преобразование Бэклунда, связывающее два таких уравнения второго порядка для функций 2П_1 и гп, задается парой дифференциальных уравнений первого порядка:
Кроме того, уравнения (30) являются дифференциальными уравнениями в частных производных, имеющими решения
т(2п,гп_!) = т(г„+ г„_!), (32а)
Введем новые независимые переменные по формулам: Тогда уравнение (33) можно записать в виде
где переменные разделены и к2 > 0 является постоянной разделения. (Выбор знака перед к2 соответствует мнимым показателям экспонент в уравнении синус -Гордона г^п = /т(е»).)
Решая уравнения (34), получаем выражения для т и ц :
т(и) = Ъ cos ки + csin ки, fx(v) — 0 cos kv + 7 sin kv.
Используя (25), определяем постоянные интегрирования Ь, с, /3,7 :
smzn — smz„_i = ——-Zn-i,v + (ába’
sinzn + Sin2„-1 = a-+ Д—(36b)
Подставляя в (36a) выражение для m (35), получим
2 sin — cos — = -kbB sin ки cos kv + кф cos ки cos kv — klrysxnkusinkv + 2 2
+ key sin kv cos fcu. (37)
Этому уравнению можно удовлетворить, выбирая к — 1/2, су/2 — 4. Аналогичные значения констант интегрирования получаются при рассмотрении уравнения (36Ь). Полагая с = 2а, найдем 7 = 2/а и окончательные выражения для m и ц имеют вид:
m(u) = 2а sin-, /х(и) =-sin-, (38)
Теперь уравнения (28) запишутся в виде:
Иначе это можно записать как
дгп дгп-1 , 2 . гп %п-\ /опи\ Н—бш—. (оУЬ)
Итак, мы получили выражения (39), (40) для преобразования Бэклунда, отображающего уравнение синус-Гордона в себя.
3.4. Построение решений уравнения синус-Гордона методом преобразований Бэклунда
Соотношения (39), (40) позволяют из одного известного решения уравнения синус — Гордона строить другие решения. Положим п — 1 ч возьмем простейшее решение г0 = 0. Подставляя его в выражение (40), получим следующую систему уравнений:
где д^тдт) равны соответственно д/д£ и д/дт/. Введем новые переменные:
и = а£ + -77, V — аЬ—г>.
=а( и ■ Эти три решения должны быть связаны процедурой преобразования Бэклунда, т.е. для построения решения гп+\ необходимо найти два качественно различных решения гп_! и гп непосредственно из преобразований Бэклунда.
Построение решений уравнения синус-Гордона с помощью преобразований Бэклунда иллюстрируется диаграммой Лэмба (рис. 2).
На каждом «этаже» диаграммы Лэмба располагаются качественно одинаковые решения — решения, отличающиеся лишь значениями входящих в них констант. Число верхних индексов в скобках равно количеству постоянных коэффициентов в решении и увеличивается на единицу с переходом на очередной верхний горизонтальный слой диаграммы.
Найдем двух-кинковые решения уравнения синус-Гордона. В качестве г0 по-
прежнему берем решение го = 0, в качестве — решение (44) :
в качестве — решение (44) с коэффициентами аг,^2
-аг^ а2£ + — т) + Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
Выбирая знак «—», получаем решение, описывающее столкновение двух кинков:
При выборе знака «+» в выражении (53) замечаем, что коэффициенты преобразования й1 и а2 могут быть комплексно сопряженными. Имеем
й1 = а + г/3, 02 = а — ¿/3 и а2 + 0* = 1. Тогда бризерное решение уравнения синус-Гордона есть
где V — 0/а, 7 = а — (1 + и2)
Итак, методом преобразований Бэклунда мы получили одно- и двухсолитонные решения уравнения синус-Гордона.
1. Новокшенов В. Ю. Введение в теорию солитонов. — Москва — Ижевск: рхд, 2002.
2. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. — М.: Мир, 1989.
3. Абловиц М., Сигир X. Солитоны и метод обратной задачи. — М.: Мир, 1988.
4. Френкель Я. И. Введение в теорию металлов. — 3-е издание. — М.: Гос. издательство физ. — мат. литературы, 1958.
5. Скотт Э., Чу Ф., Мак-Лафлин Д. Солитон — новое понятие в прикладных науках // Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. — М.: Сов. радио, 1977.
6. Солитоны и нелинейные волновые уравнения / Р. Додд, Д. Эйлбек, Д. Гиббон, X. Моррис. — М.: Мир, 1988.
7. Лэм Д. Л. Введение в теорию солитонов. — М.: Мир, 1983.
8. Филиппов А. Т. Многоликий солитон. — 2-е издание. — М.: Наука, 1990.
9. Маханьков В. Г., Рыбаков Ю. П., Санюк В. И. Модель Скирма и солитоны в физике адронов. Лекции для молодых ученых. — Дубна: ОИЯИ, 1989.
10. Санюк В. И. Топологические солитоны: классификация и Л^солитонные конфигурации. 1. Кинки, лэмпы, вихри и анионы // Вестник РУДН, сер. Физика. — № 3, вып. 1. — 1995. — С. 142-167.
11. Позняк Э. Г., Шикин Е. В. Дифференциальная геометрия: Первое знакомство. — М.: Издательство МГУ, 1990.
12. Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — М.: Наука, 1971. — С. 547.
13. Позняк Э. Г., Попов А. Г. Уравнение синус — Гордона: геометрия и физика // Новое в жизни, науке, технике. Сер. «Математика, кибернетика». — Т. 6. — 1991.
14. Ибрагимов Н. X. Группы преобразований в математической физике. — М.: Наука, 1983.
Pseudospherical Surfaces and Sine-Gordon Equation V. I.Sanuyk, L. W. Khorunzhaya
Department of Theoretical Physics Peoples’ Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklay str., Moscow, 117198, Russia
A detailed exposition of various aspects of Backlund transformations and their capacites for multisoliton construction to the sine-Gordon equation has been given on the basis of the well-known relationship between this equation and the pseudospherical surfaces theory.