Преобразование нелинейное в линейное уравнение

ПРИВЕДЕНИЕ ИСХОДНОГО НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ К ЛИНЕЙНОМУ

О лабораторной работе № 2

на тему:

«Определение параметров нестационарного нелинейного уравнения регрессии»

2 курса 221 группы

Содержание

2.ПРИВЕДЕНИЕ ИСХОДНОГО НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ К ЛИНЕЙНОМУ………………………………………………………………………………………7 3.ПРОВЕРКА НАЛИЧИЯ МУЛЬТИКОЛЛИНЕАРНОСТИ МЕЖДУ ФАКТОРАМИ МОДЕЛИ……………………………………………………………………………………………8

4.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ. ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ………………………………………………………………………11

5.ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЗНАЧИМОСТИ УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ ………. 13

5.1.Проверка случайности колебаний уровней статочной последовательности………. 13

5.2. Проверка соответствия распределения случайной компоненты нормальному закону распределения……………………………………………………………………………………15

5.3.Проверка равенства математического ожидания случайной компоненты нулю………..16

5.4.Проверка независимости значений уровней случайной компоненты……………………17

5.5.Определение точности модели………………………………………………………………18

5.6. Тест ранговой корреляции Спирмена ……………………………………………………….19

6. ПРОВЕРКА НАЛИЧИЯ АНОМАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ ИССЛЕДУЕМОЙ МОДЕЛИ..21

7.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ВИДА ЛИНИИ ТРЕНДА. ПРОГНОЗ ПОКАЗАТЕЛЕЙ…………………………………………………………………………………..22

Список использованной литературы………………………………………………25

ВВЕДЕНИЕ

Специфической особенностью деятельности экономиста является работа в условиях недостатка информации и неполноты исходных данных. Анализ такой информации требует специальных методов, которые составляют один из аспектов эконометрики. Центральной проблемой эконометрики является построение эконометрической модели и определение возможностей ее использования для описания, анализа и прогнозирования реальных экономических процессов.

Становление и развитие эконометрического метода происходили на основе так называемой высшей статистики — на методах парной и множественной регрессии, парной, частной и множественной корреляции, выделения тренда и других компонент временного ряда, на статистическом основании.

Множественная регрессия широко используется в решении проблем спроса, доходности акций, при изучении функции издержек производства, в макроэкономических расчетах и целого ряда других вопросов эконометрики. В настоящее время множественная регрессия — один из наиболее распространенных методов в эконометрике. Основная цель множественной регрессии — построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемый показатель.

Задачей данной работы является оценка адекватности и точности нелинейной нестационарной модели уравнения регрессии с использованием персональных компьютеров.

Данная работа состоит из семи глав и трех приложении. Первая глава – постановка задачи.

Во второй главе осуществляется приведение исходного нелинейного уравнения регрессии к линейному по средствам замены переменных.

В третьей главе проверяется наличие мультиколлинеарности между факторами модели.

В главе 4 определяются параметры уравнения регрессии и строится искомое уравнение регрессии.

В пятой главе проверяется статистическая значимость уравнения регрессии. В пункте 5.1. осуществляется проверка колебаний уровней остаточной последовательности при помощи критерия серий, основанного на ме­диане выборки. В пункте 5.2. проводится проверка соответствия распределения случайной компоненты нормальному закону распределения при помощи показа­телей ассиметрии и эксцесса. В пункте 5.3. показана проверка равенства математического ожидания случайной компоненты нулю с использованием t-критерия Стьюдента. В пункте 5.4. проверяется независимость значений уровней случай­ной компоненты с целью выявления существующей автокорреляции остаточной последовательности. В данной работе эта проверка производится при помощи d-критерия Дарбина — Уотсона. В пункте 5.5. определяется точность модели. В каче­стве статистических показателей точности в данной работе используются сле­дующие: среднеквадратичное отклонение, средняя относительная ошибка аппрок­симации, коэффициент сходимости, коэффициент детерминации. В пункте 5.6 проверяется наличие или отсутствие гетероскедастичности исследуемой модели при помощи теста ранговой корреляции Спирмена.

В шестой главе осуществляется проверка на наличие аномальных колебании исследуемой модели с помощью метода Ирвина.

В восьмой главе определяется оптимальный вид линии тренда, которые отражены в приложениях, и прогнозируются показатели.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В данной работе необходимо рассмотреть нелинейную нестационарную модель изучаемого экономического объекта. В качестве объекта исследования представлен экономический процесс, о котором известны следующие статистические данные:

1. Y(t) — ставка % рефинансирования Центробанка;

2. X₁(t) — уровень безработицы, %

3. X₂(t) — уровень инфляции, %

Требуется найти коэффициенты нелинейной нестационарной модели уравнения множественной регрессии вида:

Y(t) — ставка % рефинансирования Центробанка;

X₁(t) — уровень безработицы, %

X₂(t) — уровень инфляции, %

Значения величин Y(t), X₁(t), Х₂(t) даны в Таблице №1 «Исходные данные». Данное нелинейное уравнение требуется привести к линейному уравнению вида:

(2)

Ø определить параметры уравнения регрессии, используя замену переменной;

Ø проверить наличие мультиколлинеарности между факторами;

Ø проверить статистическую значимость уравнения в целом и отдельных коэффициентов уравнения. Это позволит оценить адекватность полученной модели исследуемому процессу и возможность её использования для осуществления анализа и проектирования;

Ø проверить отсутствие гетероскедастичности и автокорреляции остатков исследуемой модели, установить адекватность и точность уравнения регрессии;

Ø проверить наличие аномальных наблюдений, используя метод Ирвина.

Таблица №1

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

ПРИВЕДЕНИЕ ИСХОДНОГО НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ К ЛИНЕЙНОМУ

Многие экономические процессы наилучшим образом описываются нелинейными уравнениями регрессии. Например, функции спроса и производственные функции. И в этом случае мы не можем применить к ним обычный метод наименьших квадратов и использовать стандартные подходы к оценке статистической надежности.

В связи с этим встает задача о возможности привести нелинейное уравнение к линейному виду.

В тех случаях, когда нелинейность касается факториальных переменных, но не связано с коэффициентами уравнения регрессии, нелинейность обычно устраняется путем замены переменной.

Рассмотрим нелинейное нестационарное уравнение:

Y(t) — ставка % рефинансирования Центробанка;

X₁(t) — уровень безработицы, %

X₂(t) — уровень инфляции, %

В данном случае нелинейность касается факторных переменных, но не связано с коэффициентами уравнения.

Вводим новые переменные:

Полученное уравнение является линейным как по переменным, так и по параметрам.

Суть и способы линеаризации нелинейных динамических систем

Линеаразиция — один из наиболее распространенных методов анализа нелинейных систем. Идея линеаризации — использование линейной системы для аппроксимации поведения решений нелинейной системы в окрестности точки равновесия.

Линеаризация позволяет выявить большинство качественных и особенно количественных свойств нелинейной системы.

Методы линеаризации имеют ограниченный характер, то есть эквивалентность исходной нелинейной системы и ее линейного приближения сохраняется лишь для ограниченных пространственных или временных масштабов системы, или для определенных процессов, причем, если система переходит из одного режима работы в другой, то следует изменить и ее линеаризованную модель.

Линеаризация нелинейных динамических систем методом замены переменных

Линеаризация системы нелинейных уравнений в окрестности точки равновесия может быть достигнута путем замены переменных так, чтобы точка равновесия превратилась в начало координат.

Уравнения, полученные в результате указанного действия, будут линейными и называться линеаризацией исходной системы. Точки исходной системы, находящиеся в окрестности точки равновесия, будут соответствовать точкам в окрестности начала координат новой системы. Нас будет интересовать:

1. значение новых переменных, близкие к нулю;
2. при каких условиях нелинейными выражениями можно пренебречь.

Рассмотрим нелинейную систему: (1) что имеет точки равновесия (p, q). Преобразование u=x-p v=y-q переводит точки равновесия p, q в начало координат. Дифференцирование дает: (2) После замены переменных, подставив их новые значения в каждое уравнение, выделим линейную часть: где F(u,v) и G(u,v) и состоят только из нелинейных выражений. Говорят, что линейная система есть линерализацией системы (1) при таких условиях: Эти последние условия обеспечивают то, что нелинейные выражения F(u,v) и G(u,v) на столько малы по сравнению с u и v при приближении к точке равновесия, что ими можно пренебречь.

Линеаризация на основе якобиана

Замену переменных можно использовать и при другой организации линеаризации. Производят замену: где Это может быть записано в виде: где называется якобиан.

Линеаризация нелинейных моделей регрессии

Вы будете перенаправлены на Автор24

Понятие регрессии

Регрессия – это односторонняя зависимость, которая устанавливает соответствие между случайными величинам.

Сущность регрессии заключается в том, чтобы через математическое выражение установить связь между зависимой и независимыми переменными. Ее отличительной особенностью от функциональной зависимости является тот факт, что каждому значению независимой соответствует одно определенное значение зависимой. В регрессионной связи одной и той же величине могут соответствовать абсолютно разные величины.

Впервые регрессию стали использовать в конце девятнадцатого века. Она была применена для установления зависимости между параметрами человека. Регрессию смогли перенести на плоскость. Точки легли на одну прямую, поэтому ее назвали линейной.

Построение линейной регрессии подразумевает, что ошибок в ней нет. Тогда распределение величин происходит под влиянием нормального закона. То есть, среднее значение равно нулю, а отклонение постоянно.

Чтобы вычислить параметры модели часто применяют программное обеспечение. Оно позволяет обрабатывать большие массивы информации с минимальными ошибками. Существуют специальные методы, позволяющие проверить величину отклонения. Ошибки необходимы для того, чтобы находить доверительные интервалы и проверять выдвинутые в начале исследования гипотезы. Например, в статистике используется критерий Стьюдента, позволяющий сопоставить средние значения двух выборок.

Самое простое представление регрессии состоит из зависимости между соотношениями случайной и независимой величины. Этот подход необходим для установления функциональной связи, если величины не случайны. В практической деятельности коэффициенты неизвестны, поэтому их исследуют с помощью экспериментальных данных.

Нелинейные модели регрессии

Построение нелинейной регрессии осуществляется для того, чтобы провести анализ. В нем экспериментальные данные записываются в функциональную зависимость, описывающей нелинейную комбинацию, представляющую модель, которая зависит от одной или нескольких переменных. Чтобы приблизить полученные данные к практическим величинам используется метод последовательных приближений.

Готовые работы на аналогичную тему

Этот метод заключается в следующем. Исследователем определяются корни уравнения или системы уравнений для того, чтобы упростить решаемую задачу, либо определить неизвестные параметры.

Структура нелинейной регрессии состоит из независимых и зависимых переменных. Для каждой переменной устанавливается случайная величина со средним значением. Погрешность может появиться, но есть ее обрабатывать, то она выйдет за пределы модели. В случае, если переменные не свободны, то модель становится ошибочной, поэтому для исследования становится непригодной.

Вот некоторые примеры нелинейных функций:

• Показательные.
• Логарифмические.
• Тригонометрические.
• Степенные.
• Функция Гаусса.
• Кривые Лоуренца.

В некоторых случаях регрессионный анализ может быть сведен к линейному, но данный способ должен применяться с осторожностью. Чтобы получить наилучший вариант расчета применяются оптимизационные алгоритмы. На практике могут применяться оценочные значения совместно с методиками оптимизации. В результате надо найти глобальный минимум суммы квадратов.

Нелинейная регрессия чаще всего применяется, как статистика линейной. Это позволяет сместить статистику, поэтому полученные данные интерпретируются с осторожностью.

Линеаризация нелинейных моделей регрессии

Линеаризация – это преобразование. Оно осуществляется для того, чтобы упростить определенные модели и вычисления. Например, применение логарифма к обеим частям линейной регрессии позволяет оценить неизвестные параметры более простым способом.

Но использование нелинейного изменения уравнения требует осторожности. Это связано с тем, что данные будут изменяться. Поэтому появятся ошибки модели. Их интерпретация может привести к ошибочному суждению о гипотезе. Обычно в нелинейных уравнениях используется модель Гаусса для исследования ошибок, что необходимо учитывать при проверке.

В которых случаях применяется уравнение Лайнуивер – Берк, либо обобщенная линейная модель.

Чтобы уточнить построенную модель и снизить вероятность ошибок, независимая переменная разбивается на классы. Вследствие этого линейная регрессия разбивается посегментно. Она может дать результат, в котором будет видно, как ведет себя параметр в зависимом положении. Отображение изменений производится графически.

То есть сущность линеаризации заключается в том, что исследователь применяет особые методики для того, чтобы провести преобразования исходных данных. Это позволяет исследовать нелинейную зависимость. Переменные нелинейного уравнения преобразуются с помощью специальных методик в линейные. Это может привести к ошибкам, что необходимо учитывать в процессе преобразования уравнения. Метод может быть опасным, так как влияет на результат вычислений.

Сущность метода заключается в том, что нелинейные переменные заменяются линейными. Регрессия сводится к линейной. Такой подход часто используется для полиномов. Далее применяются известные и простые оценки исследования линейных регрессии. Но изменение полиномов должно так же проводиться с осторожностью. Чем выше порядок полинома, тем сложнее удержаться в рамках реалистичной интерпретации коэффициентов регрессии.

В логарифмических моделях составляется линейная модель с новыми переменными. Оценка результата происходит с помощью метода наименьших квадратов. Эта методика подходит для исследования кривых спроса и предложения, производственных функций, кривых освоения связи между трудоемкостью и производственными масштабами. Такой подход актуален при запуске новых видов продукции.