Преобразование тригонометрических выражений и уравнений

Тригонометрические уравнения и преобразования

Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида $sin x=a, cos x=a, tg x=a$, где $а$ – действительное число.

Перед решением уравнений разберем некоторые тригонометрические выражения и формулы.

Значения тригонометрических функций некоторых углов

Периоды повтора значений тригонометрических функций

Период повторения у синуса и косинуса $2π$, у тангенса и котангенса $π$

Знаки тригонометрических функций по четвертям

Эта информация нам пригодится для использования формул приведения. Формулы приведения необходимы для понижения углов до значения от $0$ до $90$ градусов.

Чтобы правильно раскрыть формулы приведения необходимо помнить, что:

1. если в формуле содержатся углы $180°$ и $360°$ ($π$ и $2π$), то наименование функции не изменяется; (если же в формуле содержатся углы $90°$ и $270°$ ($<π>/<2>$ и $<3π>/<2>$), то наименование функции меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);
2. чтобы определить знак в правой части формулы ($+$ или $-$), достаточно, считая угол $α$ острым, определить знак преобразуемого выражения.

Преобразовать $сos(90° + α)$. Прежде всего, мы замечаем, что в формуле содержится угол $90$, поэтому $cos$ измениться на $sin$.

Чтобы определить знак перед $sinα$, предположим, что угол $α$ острый, тогда угол $90° + α$ должен оканчиваться во 2-й четверти, а косинус угла, лежащего во 2-й четверти, отрицателен. Поэтому, перед $sinα$ нужен знак $-$.

$сos(90° + α)= — sinα$ — это конечный результат преобразования

Четность тригонометрических функций

Косинус четная функция: $cos(-t)=cos t$

Синус, тангенс и котангенс нечетные функции: $sin(-t)= — sin t; tg(-t)= — tg t; ctg(-t)= — ctg t$

Тригонометрические тождества

1. $tgα=/$
2. $ctgα=/$
3. $sin^2α+cos^2α=1$ (Основное тригонометрическое тождество)

Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса

Вычислить $sin t$, если $cos t = <5>/ <13>; t ∈(<3π>/<2>;2π)$

Найдем $sin t$ через основное тригонометрическое тождество. И определим знак, так как $t ∈(<3π>/<2>;2π)$ -это четвертая четверть, то синус в ней имеет знак минус

Пособие по теме Преобразование тригонометрических выражений

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НОВОСИБИРСКОЙ ОБЛАСТИ «КУПИНСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ ТЕХНИКУМ»

Для самостоятельной работы студентов

По дисциплине: МАТЕМАТИКА: алгебра и начало математического анализа; геометрия

Тема: « ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ »

Специальность: 34.02.01 Сестринское дело Курс: 1

Рассмотрено на заседании предметной цикловой

Методической комиссии по общеобразовательным дисциплинам,

общему гуманитарному и социально-экономическому, математическому и

Протокол № _____ от «_____» _________20____г.

Автор – составитель: преподаватель математики высшей категории Тюменцева О.Н.

Пояснительная записка к методическому пособию

Методическое пособие предназначено для повторения теоретических и практических знаний по теме.

Цель пособия – повторить понятия: тригонометрических функций, радианной меры углов, таблицы значений тригонометрических функций, формулы перевода градусов в радианы и наоборот, основные тригонометрические тождества и подготовится к занятию по теме « Преобразование простейших тригонометрических выражений » .

Данное пособие рекомендовано для студентов первого курса специальности 34.02.01 Сестринское дело. Пособие содержит определения, свойства и формулы по теме: Преобразование простейших тригонометрических выражений, тест для самоконтроля и ключи к тесту.

Пособие направлено на формирование навыков самостоятельной работы с учебным материалом, формирование навыков решения задач, формирование и развитие творческого потенциала, повышение интереса к дисциплине.

Преобразование простейших тригонометрических выражений Под преобразованием тригонометрических выражений понимают упрощение, выполняемое с помощью формул из тригонометрии.

Существуют основные правила, которых следует придерживаться во время преобразования выражений:

1. Во время преобразования выражений, содержащих большое количество тригонометрических функций, необходимо привести его к минимальному количеству видов функций. Для этого следует воспользоваться основными тригонометрическими тождествами, формулами приведения и другими формулами.

2. Если выражение содержит функции с разными аргументами, постарайтесь привести их к одному аргументу.

3. Если для упрощения выражений необходимо получить кофункцию, воспользуйтесь формулами приведения.

4. Если в выражении имеются функции высоких степеней, то можно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством или же формулами понижения степеней:

5. Для преобразования некоторых выражений Вам могут помочь дополнительные формулы, которые не рассматривались в предыдущих вопросах:

С помощью следующих формул можно избавиться от произведения функций, перейдя к сумме:

Переход к половинным углам:

В тождественных преобразованиях тригонометрических выражений могут быть использованы следующие алгебраические приемы: добавление и вычитание одинаковых слагаемых; вынесение общего множителя за скобки; умножение и деление на одну и ту же величину; применение формул сокращенного умножения; выделение полного квадрата; разложение квадратного трехчлена на множители; введение новых переменных с целью упрощения преобразований.

При преобразованиях тригонометрических выражений, содержащих дроби, можно использовать свойства пропорции, сокращение дробей или приведение дробей к общему знаменателю. Кроме того, можно пользоваться выделением целой части дроби, умножением числителя и знаменателя дроби на одинаковую величину, а так же по возможности учитывать однородность числителя или знаменателя. При необходимости можно представлять дробь в виде суммы или разности нескольких более простых дробей.

Кроме того, применяя все необходимые методы преобразования тригонометрических выражений, необходимо постоянно учитывать облась допустимых значений преобразуемых выражений.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.

Вычислить А = (sin (2x – π) · cos (3π – x) + sin (2x – 9π/2) · cos (x + π/2)) 2 + (cos (x – π/2) · cos (2x – 7π/2) + sin (3π/2 – x) · sin (2x – 5π/2)) 2

Из формул приведения следует:

sin (2x – π ) = -sin 2x; cos (3 π – x) = -cos x;

sin (2x – 9 π /2) = -cos 2x; cos (x + π /2) = -sin x;

cos (x – π /2) = sin x; cos (2x – 7 π /2) = -sin 2x;

sin (3 π /2 – x) = -cos x; sin (2x – 5 π /2) = -cos 2x.

Откуда в силу формул сложения аргументов и основного тригонометрического тождества получаем

А = (sin 2x · cos x + cos 2x · sin x) 2 + (-sin x · sin 2x + cos x · cos 2x) 2 = sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) = sin 2 3x + cos 2 3x = 1

Ответ: 1.

Пример 2.

Преобразовать в произведение выражение М = cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β – sin (α + β) · sin γ + cos γ.

Из формул сложения аргументов и формул преобразования суммы тригонометрических функций в произведение после соответствующей группировки имеем

М = (cos (α + β) · cos γ – sin (α + β) · sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

= 2cos ((β + γ)/2) · cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

= 2cos ((β + γ)/2) · cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) · cos ((β + γ)/2)) =

= 2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

= 2cos ((β + γ)/2) · 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) · cos ((β – γ)/2) – (α + (β + γ)/2)/2) = 4cos ((β + γ)/2) · cos ((α +β)/2) · cos ((α + γ)/2).

Ответ: М = 4cos ((α + β)/2) · cos ((α + γ)/2) · cos ((β + γ)/2).

Пример 3 .

Показать, что выражение А = cos 2 (x + π/6) – cos (x + π/6) · cos (x – π/6) + cos 2 (x – π/6) принимает для всех х из R одно и то же значение. Найти это значение.

Приведем два способа решения этой задачи. Применяя первый способ, путем выделения полного квадрата и пользуясь соответствующими основными тригонометрическими формулами, получим

А = (cos (x + π/6) – cos (x – π/6)) 2 + cos (x – π/6) · cos (x – π/6) =

= 4sin 2 x · sin 2 π /6 + 1/2(cos 2x + cos π /3) =

= sin 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 1/2 · (1 – cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 3/4.

Решая задачу вторым способом, рассмотрим А как функцию от х из R и вычислим ее производную. После преобразований получим

А´ = -2cos (x + π/6) · sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) · cos (x – π/6) + cos (x + π/6) · sin (x + π/6)) – 2cos (x – π/6) · sin (x – π/6) =

= -sin 2(x + π /6) + sin ((x + π /6) + (x – π /6)) – sin 2(x – π /6) =

= sin 2x – (sin (2x + π /3) + sin (2x – π /3)) =

= sin 2x – 2sin 2x · cos π /3 = sin 2x – sin 2x ≡ 0.

Отсюда в силу критерия постоянства дифференцируемой на промежутке функции заключаем, что

А(х) ≡ (0) = cos 2 π/6 — cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x € R.

Ответ: А = 3/4 для x € R.

Основными приемами доказательства тригонометрических тождеств являются:

а) сведение левой части тождества к правой путем соответствующих преобразований;
б) сведение правой части тождества к левой;
в) сведение правой и левой частей тождества к одному и тому же виду;
г) сведение к нулю разности левой и правой частей доказываемого тождества.

Пример 4.

Проверить, что cos 3x = -4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3).

Преобразуя правую часть этого тождества по соответствующим тригонометрическим формулам, имеем

-4 cos x · cos ( x + π/3) · cos ( x + 2π/3) = -2 cos x · ( cos (( x + π/3) + ( x + 2π/3)) + cos (( x + π/3) – ( x + 2π/3))) = -2 cos x · ( cos (2 x + π) + cos π/3) =

= 2cos x · cos 2x — cos x = (cos 3x + cos x) – cos x = cos 3x.

Правая часть тождества сведена к левой.

Пример 5.

Доказать, что sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ = 2, если α, β, γ – внутренние углы некоторого треугольника.

Учитывая, что α, β, γ – внутренние углы некоторого треугольника, получаем, что α + β + γ = π и, значит, γ = π – α – β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ =

= sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π – α – β) – 2cos α · cos β · cos (π – α – β) =

= sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α – β) · (cos (α + β) =

= sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α – β) · (cos (α + β) =

= 1/2 · (1 – сos 2α) + ½ · (1 – cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.

Исходное равенство доказано.

Преобразовать в произведение: .

Применив формулы понижения степени, получим:

Преобразовать в произведение: .

заменим через . Чтобы и в перейти к аргументу , применим формулу синуса двойного угла:

Тест по теме Преобразование простейших тригонометрических выражений

1) 2) 3) 4)

Найдите , если

1) 2) 3) 4)

Упростите выражение:

1) 2) 3) 0; 4)

Найдите значение выражения

1) 2) 3) 4)

Упростите выражение:

1) 2) 3) 4)

В) Напишите правильный ответ

Вычислите:

Определите наибольшее значение выражения

С) Приведите подробное решение данного задания.

Вычислите , если .

1) 2) 3) 4)

Найдите , если

1) 2) 3) 4)

Упростите выражение:

1) 2) 3) 0; 4)

Найдите значение выражения

1) 2) 3) 4)

Упростите выражение:

1) 2) 3) 4)

В) Напишите правильный ответ

Вычислите:

Определите наименьшее значение выражения

С) Приведите подробное решение данного задания.

Вычислите , если

Ключ к тесту по теме Преобразование простейших тригонометрических выражений

Критерии оценивания тестовых заданий

8 вопросов 5 (отлично) (8 ответов)

8 вопросов 4 (хорошо) (7 ответов)

8 вопросов 3 (удов) (6 ответов)

Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М.: 2018

Башмаков М.И. Сборник задач: учеб. пособие (базовый уровень). 11 кл. – М.: 2012

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №40. Преобразование тригонометрических выражений.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

• различные приёмы преобразования тригонометрических выражений.
• различные тригонометрические формулами и их использование при преобразовании тригонометрических выражений.

Глоссарий по теме

Преобразование тригонометрических выражений – это упрощение выражений, которое выполняется с помощью тригонометрических формул.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

• Преобразование тригонометрических выражений – это их упрощение, которое выполняется с помощью тригонометрических формул.

Вот некоторые правила, которые помогут нам преобразовывать тригонометрические выражения.

1. Если в тригонометрических выражениях разные меры угла, то их следует привести к единой, применяя правила:

1))

Например:

2)

Например: .

1. Если синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы содержат разные аргументы, (углы),стараемся привести к одному аргументу (углу).

Например, с помощью формул двойного аргумента(угла) заменяем на по формуле .

1. Если в тригонометрическом выражении необходимо поменять синус на косинус, тангенс на котангенс, то применяем формулы приведения.

Например: , так как , синус меняется на косинус.

, так как , тангенс меняется на котангенс, угол в четвёртой четверти, здесь тангенс отрицательный.

1. Если тригонометрические выражения содержат большое количество тригонометрических функций, то необходимо привести к минимальному количеству видов функций. Для этого используем формулы приведения, основное тригонометрическое тождество или другие формулы.

вычислить .

Заметим, что , , .

Тогда данное выражение примет вид: ;

в скобках формула косинуса двойного угла, т.е. , значит

1. Если в тригонометрическом выражении нужно понизить степень входящих в него компонентов, применяем формулу понижения степени или формулу половинного аргумента. Только помните: степень понижается, аргумент удваивается.

, , ,

Данная группа формул позволяет перейти от любого тригонометрического выражения к рациональному.

Например: упростите выражение .

Применяем формулу понижения степени для косинуса и получаем:

.

Чтобы определить рациональность значения тригонометрического выражения, мы должны знать, что из всех углов, содержащих рациональное число, лишь углы вида ; ; , где k целое число, имеют рациональный косинус.

Например, число рациональное, так как .

Углы вида ; ; , где k целое число, имеют рациональный синус.

Углы вида ; , где k целое число, имеют рациональный тангенс.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля:

Рассмотрим примеры преобразований тригонометрических выражений.

Пример 1.Вычислите: .

Заметим, что в знаменателе данной дроби у синусов разные углы и . Используем формулу приведения: и тогда наше выражение примет вид: , в знаменателе тригонометрическое тождество, равное 1. Нам осталось 24 разделить на 1, получаем 24.

Пример 2. Найдите , если .

Так как , то разделив числитель и знаменатель данной дроби на . Получаем:

, сократим и заменим на.

, по условию =3, подставим это число в наше выражение: .