Основные тождества для квадратных корней
Таблица основных тождеств для квадратных корней
$$ (\sqrt a)^2=a, \quad a \ge 0 $$
$$ \sqrt = |a|, \quad a \in \Bbb R $$
$$ \sqrt = |a^k |, \quad a \in \Bbb R, k \in \Bbb N $$
$$\sqrt
$$ \sqrt a \cdot \sqrt b \cdot \sqrt c … = \sqrt
Алгоритм решения уравнений с квадратным корнем
Решаем уравнение вида $ \sqrt
Шаг 1. Если $c \ge 0$, возвести в квадрат левую и правую части.
Если $c \lt 0$, решений нет, $x \in \varnothing$, перейти на шаг 3.
Шаг 2. $ax+b = c^2 \Rightarrow x = \frac
Шаг 3. Конец работы.
Примеры
Пример 1. Вычислите:
д)$$ \sqrt <250>\cdot \sqrt <90>= \sqrt <25 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 10>= \sqrt <25>\cdot \sqrt <9>9 \cdot \sqrt <10^2>= 5 \cdot 3 \cdot 10 = 150 $$
е)$$ \sqrt <33>\cdot \sqrt <21>\cdot \sqrt <77>= \sqrt <3 \cdot 11 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 11>= \sqrt <3^2>\cdot \sqrt <7^2>\cdot \sqrt <11^2>= 3 \cdot 7 \cdot 11 = 231 $$
Пример 2. Найдите значение выражения, если x = 1,14:
Пример 3. Решите уравнение:
$ (\sqrt
$\sqrt <5+x>= -1 \lt 0$ – значение квадратного корня не может быть отрицательным $x \in \varnothing$, решений нет
$ ( \sqrt
$ (\sqrt<\sqrt
Пример 4*. Сократите дробь:
Пример 5. В Древнем Вавилоне уже умели находить не только квадратные корни в натуральных числах, но и вывели формулу для приблизительных вычислений.
Если число можно представить в виде $k = a^2 \pm b$, где $a^2$ – ближайший к a по значению квадрат натурального числа, b — «остаток», то
$ \sqrt <65>= \sqrt <8^2+1>\approx 8+ \frac<1> <2 \cdot 8>\approx 8,06 $
$ \sqrt <65>= \sqrt <8^2-1>\approx 8 — \frac<1> <2 \cdot 8>\approx 7,94 $
Найдите с точностью до сотых квадратные корни из следующих чисел:
$ \sqrt <125>= \sqrt <121+4>= \sqrt <11^2+4>\approx 11+ \frac<4> <2 \cdot 11>\approx 11,18 $
$ \sqrt <138>= \sqrt <144-6>= \sqrt <12^2-6>\approx 12 — \frac<6> <2 \cdot 12>\approx 11,75 $
$ \sqrt <83>= \sqrt <81+2>= \sqrt <9^2+2>\approx 9 + \frac<2> <2 \cdot 9>\approx 9,11 $
$ \sqrt <175>= \sqrt <169+6>= \sqrt <13^2+6>\approx 13 + \frac<6> <2 \cdot 13>\approx 13,23 $
Урок алгебры по теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни». 8-й класс
Класс: 8
Презентация к уроку
Загрузить презентацию (690 кБ)
Цели и задачи:
- проверить теоретическую подготовку учащихся к уроку;
- проверить качество усвоения материала отдельными учащимися;
- закрепить и систематизировать знания учащихся по данной теме;
- формировать у учащихся навыки правильного воспроизведения своих знаний и умений;
- воспитать чувство коллективизма и сопереживания успехам и неудачам своих товарищей.
Ход урока
I. Организационный момент
- сообщение темы изучения материала;
- формулировка вместе с учащимися цели и задачи изучения данного материала;
- показ практической значимости изучения нового материала, мотивации учащихся к его усвоению;
- постановка перед учащимися учебной проблемы.
Слайд 1
II. Устно
Слайд 2-3
Слайд 4
2. Решить уравнение
x 2 =81 | x 2 =0,36 | x 2 =1 |
x 2 =0 |
Слайд 5
3. Выполнить действия, используя формулы сокращенного умножения
III. Проверка домашнего задания
Слайд 6
е)
ж)
з)
и)
к)
Слайд 7
г)
д)
е)
Слайд 8
IV. Решение примеров
№422(а, б, в) Выполните действие:
№423(а, б, д, е). Выполните действие, используя формулы сокращенного умножения
а) (x+)(x-)=x 2 -y
№425(а-в). Выполните действия
а)
б)
в)
№428(а, б, в). Выполните действия
№426(а-г). Преобразуйте выражение
№427(а, б, в). Разложите на множители, используя формулу разности квадратов:
№428 (а, б, в). Разложите на множители выражение:
№429(а-г). Сократите дробь
V. Самостоятельная работа
Вариант 1 | Вариант 2 |
Упростите выражение | |
Выполните действия | |
Сократите дробь | |
VI. Проверка самостоятельной работы
Слайд 9
Вариант 1 | Вариант 2 |
Упростите выражение | |
Выполните действия | |
Сократите дробь | |
= |
VII. Задание на дом
№ 420(г-е), № 423(в, г, ж, з), № 430(г-е), № 441(а).
Квадратные уравнения (8 класс)
Уравнение называют квадратным, если его можно записать в виде \(ax^2+bx+c=0\), где \(x\) неизвестная, \(a\), \(b\) и \(с\) коэффициенты (то есть, некоторые числа, причем \(a≠0\)).
В первом примере \(a=3\), \(b=-26\), \(c=5\). В двух других \(a\),\(b\) и \(c\) не выражены явно. Но если эти уравнения преобразовать к виду \(ax^2+bx+c=0\), они обязательно появятся.
Коэффициент \(a\) называют первым или старшим коэффициентом, \(b\) – вторым коэффициентом, \(c\) – свободным членом уравнения.
Виды квадратных уравнений
Если в квадратном уравнении присутствуют все три его члена, его называют полным. В ином случае уравнение называется неполным.
Как решать квадратные уравнения
В данной статье мы рассмотрим вопрос решения полных квадратных уравнений. Про решение неполных — смотрите здесь .
Итак, стандартный алгоритм решения полного квадратного уравнения:
Преобразовать уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\).
Выписать значения коэффициентов \(a\), \(b\) и \(c\).
Пока не отработали решение квадратных уравнений до автоматизма, не пропускайте этот этап! Особенно обратите внимание, что знак перед членом берется в коэффициент. То есть, для уравнения \(2x^2-3x+5=0\), коэффициент \(b=-3\), а не \(3\).
Вычислить значение дискриминанта по формуле \(D=b^2-4ac\).
Решите квадратное уравнение \(2x(1+x)=3(x+5)\)
Решение:
Теперь переносим все слагаемые влево, меняя знак.
Уравнение приняло нужный нам вид. Выпишем коэффициенты.
Найдем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\).
Найдем корни уравнения по формулам \(x_1=\frac<-b + \sqrt
Решите квадратное уравнение \(x^2+9=6x\)
Решение:
Тождественными преобразованиями приведем уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\).
Найдем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\).
Найдем корни уравнения по формулам \(x_1=\frac<-b + \sqrt
В обоих корнях получилось одинаковое значение. Нет смысла писать его в ответ два раза.
Решите квадратное уравнение \(3x^2+x+2=0\)
Решение:
Уравнение сразу дано в виде \(ax^2+bx+c=0\), преобразования не нужны. Выписываем коэффициенты.
Найдем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\).
Найдем корни уравнения по формулам \(x_1=\frac<-b + \sqrt
Оба корня невычислимы, так как арифметический квадратный корень из отрицательного числа не извлекается.
Обратите внимание, в первом уравнении у нас два корня, во втором – один, а в третьем – вообще нет корней. Это связано со знаком дискриминанта (подробнее смотри тут ).
Также многие квадратные уравнения могут быть решены с помощью обратной теоремы Виета . Это быстрее, но требует определенного навыка.
Пример. Решить уравнение \(x^2-7x+6=0\).
Решение: Согласно обратной теореме Виета, корнями уравнения будут такие числа, которые в произведении дадут \(6\), а в сумме \(7\). Простым подбором получаем, что эти числа: \(1\) и \(6\). Это и есть наши корни (можете проверить решением через дискриминант).
Ответ: \(x_1=1\), \(x_2=6\).
Данную теорему удобно использовать с приведенными квадратными уравнениями, имеющими целые коэффициенты \(b\) и \(c\).
http://urok.1sept.ru/articles/616917
http://cos-cos.ru/math/121/