Преобразование уравнений в уравнения линейные по параметрам

Линейные уравнения с параметром

Рассмотрим линейные уравнения с параметром вида: $$p(a)x-q(a)=0,$$ где \(p(a)\) и \(q(a)\)- выражения, которые зависят от параметра. Для того, чтобы решить такое уравнение, нужно найти все \(x\) при всех значениях параметра \(a\). Приведем наше уравнение к виду: $$p(a)x=q(a),$$ Отсюда единственное решение: \(x=\frac\) при \(p(a)≠0.\) Если же \(p(a)=0\) и \(q(a)=0\), то решением данного уравнения является любое число. И последний случай, когда \(p(a)=0\),а \(q(a)≠0\), то уравнение не имеет решений. Замечу, что по некоторым уравнениям сразу невозможно определить, являются ли они линейными. Выполнив некоторые преобразования, вдруг обнаружим, что в уравнении отсутствуют члены с \(x\) в степени большей, чем 1. Если изначально у нас и были старшие степени, то теперь они сократились. Мы провели анализ линейного уравнения в общем виде, теперь разберем несколько примеров:

Решить уравнение \(ax-5a=7x-3\) при всех возможных \(a\).

Перенесем все одночлены с \(x\) влево, а оставшиеся члены – вправо. И вынесем \(x\) за скобку, как общий множитель: $$x(a-7)=5a-3;$$ Первый случай, когда \((a-7)≠0\). Тогда мы можем поделить все уравнение на \(a-7\) и выразить: $$x=\frac<5a-3>.$$ Второй случай, когда \((a-7)=0\), получим уравнение $$x*0=32,$$ которое не имеет решений. Таким образом, мы нашли решения уравнения для всех значений параметра \(а\). Например, \(x=\frac<2><7>\) при \(a=0,\) \(x=\frac<-1><3>\) при \(a=1\) и т.д.
Ответ: При \(a=7\) \(x∈∅;\)
при \(a≠7\) \(x=\frac<5a-3>.\)

Найдите все \(a\), при которых корнем уравнения $$ax+5a-2(3x+2)=-5x+a^2$$ будет любое число.

Раскроем скобки и перенесем все члены, содержащие \(x\), влево, а остальные – вправо. $$ax-6x+5x=-5a+4+a^2$$ Приведем подобные: $$ax-x=a^2-5a+4$$ И вынесем за скобку \(x\) и разложим квадратный многочлен на множители: $$x(a-1)=a^2-5a+4$$ $$x(a-1)=(a-1)(a-4)$$ Первый случай: \((a-1)=0\),т.е. \(a=1\) $$x*0=(a-1)(a-4)$$ $$x*0=0.$$ Решением уравнения будет любое число.
Второй случай: \((a-1)≠0\), т.е. \(a≠1\) $$x=\frac<(a-1)(a-4)>=a-4.$$ Решением данного уравнения будет одно число \(x=a-4\).
Ответ: \(a=1.\)

Из ОДЗ видно, что \(5a+x≠0\) и \(x-5a≠0,\) таким образом, \(x≠±5a.\) Приведем уравнение к общему знаменателю \(x^2-25a^2\) и умножим на него все уравнение: $$x^2-5ax-x^2-10ax-25a^2=-100a^2$$ $$-15ax=-75a^2$$ $$ax=5a^2.$$

После преобразований получили линейное уравнение.

Первый случай: \(a=0.\) Получаем уравнение \(0*x=0.\) Решениями этого уравнения будет любое число, кроме \(x=0\) (ОДЗ \(x≠±5a\)).

Ответ: При \(a=0\) решениями уравнения будут все действительные числа, кроме \(x=0.\) Если \(a≠0,\) то решений нет.

Методика введения решения линейных уравнений и уравнений, сводящихся к линейным

Разделы: Математика

Изучение уравнений в среднем звене начинается с введения решения линейных уравнений и уравнений, сводящихся к линейным.

Равенство двух функций, рассматриваемых в общей области определения, называется уравнением. Переменные, входящие в уравнение, обозначаются латинскими буквами x, y,z, t … Уравнение с одной переменной х в общем, виде записывается так f(x)= g(x).

Всякое значение переменной, при котором выражения f(x) и g(x) принимают равные числовые значения, называется корнем уравнения.

Решить уравнение – это, значит, найти все его корни или доказать, что их нет.

Например, уравнение 3+x=7 имеет единственный корень 4, так как при этом и только при этом значении переменной 3+x=7 верное равенство.

Уравнение (x-1)(x-2)=0 имеет 2 корня 1 и 2.

Уравнение x 2 +1=0 не имеет действительных корней, так как сумма двух положительных чисел не равняется 0.

Для того, чтобы решить любое уравнение с одной переменной, учащийся должен знать: во-первых, правила, формулы или алгоритмы решения уравнений данного вида и, во-вторых, правила выполнения тождественных и равносильных преобразований, с помощью которых данное уравнение можно привести к простейшим.

Таким образом, решение каждого уравнения складывается из двух основных частей:

1. преобразования данного уравнения к простейшим;
2. решения простейших уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам.

Если вторая часть является алгоритмической, то первая часть — в значительной степени — эвристической, что и представляет наибольшую трудность для учащихся. В процессе решения уравнения его стараются заменить более простым, поэтому важно знать с помощью каких преобразований это возможно. Здесь необходимо в доступной для ребенка форме дать понятие равносильности.

Уравнения, имеющие одни и теже корни, называются равносильными. Равносильными считаются и уравнения, каждое из которых не имеет корней.

Например, уравнения x+2=5 и x+5=8 равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень — число 3.Равносильны и уравнения x 2 +1=0 и 2x 2 +5=0 — ни одно из них не имеет корней.

Уравнения х-5=1 и х 2 =36 не равносильны, так как первое имеет только один корень х=6, тогда как второе имеет два корня 6 и –6.

К равносильным преобразованиям относятся:

1) Если к обеим частям уравнения прибавить одно и тоже число или одно и тоже целое алгебраическое выражение, содержащее неизвестное, то новое уравнение будет равносильно данному.

2) Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Например, уравнение равносильно уравнению x 2 – 1 = 6x

3) Если в уравнении произвести раскрытие скобок и привести подобные слагаемые, то получится уравнения, равносильно данному.

Обучение решения уравнений начинается с простейших линейных уравнений и уравнений сводящихся к ним. Дается определение линейного уравнения и рассматриваются случаи, когда оно имеет одно решение; не имеет решений и имеет бесконечное множество решений.

Линейным уравнением с одной переменной х называют уравнение вида ах = b, где а и b — действительные числа, а — называют коэффициентом при переменной, b — свободным членом.

Для линейного уравнения ах = b могут представиться при случае:

1. а 0, в этом случае корень уравнения равен b/a
2. а = 0; b = 0; в этом случае уравнение принимает вид 0х = b, что верно при любом х, т.е. корнем уравнения служит любое действительное число;
3. а = 0; b 0; в том случае уравнение принимает вид 0х = b, оно не имеет корней.

Многие уравнения в результате преобразований сводятся к линейным.

Так в 7 классе можно применить следующие уравнения:

1)

Это уравнение сводиться к линейному уравнению.

Умножением обеих частей на 12 (наименьшее общее краткое знаменателей 3, 4, 6, 12), получим:

8 + 3x + 2 – 2x = 5x –12,

8 + 2 + 12 = 5x – 3x + 2x,

2) Покажем, что уравнение 2 (х + 1) – 1 = 3 — (1 — 2х) не имеет корней.

Упростим обе части уравнения:

2х + 2 – 1 = 3 – 1 + 2х,

Это уравнение не имеет корней, т.к. левая часть 0 х равна 0 при любом х, а значит не равна 1.

3) Покажем, что уравнение 3(1 – x) + 2 = 5 – 3x имеет бесконечное множество корней.

При прохождении темы “линейные уравнения с двумя переменными” можно предложить учащимся графический способ решения уравнения. Данный метод основан на пользовании графиков функций, входящих в уравнение. Суть метода: найти абсциссы точек пересечения графиков функций, стоящих в левой и правой частях уравнения. Основывается на выполнение следующих действий:

1) Преобразовать исходное уравнение к виду f(x) = g(x), где f(x) и g(x) функции, графики, которых можно построить.
2) Построить графики функций f(x) и g(x)
3) Определить точки пересечения построенных графиков.
4) Определить абсциссы найденных точек. Они и дадут множество решений исходного уравнения.
5) Записать ответ.

Преимущество данного метода заключается в том, что он позволяет легко определить число корней уравнения. Недостаток в том, что корни в общем случае определяются приближенно.

Следующим этапом в изучении линейных уравнений, являются уравнения с модулями, причем некоторые решения выполняются несколькими способами.

Решение уравнений, содержащих знак модуля и уравнений с параметрами можно назвать деятельностью, близкой к исследовательской. Это обусловлено тем, что выбор метода решения, процесс решения, запись ответа предполагают определенный уровень сформированности умений наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезу, обобщать полученные результаты.

Особой интерес представляют уравнения, содержащие знак модуля.

По определению модуля числа a, имеем:

Число –a может быть отрицательным при a>0; -a положительным при a -1, тогда

,

Видим, что число 0 принадлежит промежутку. Значит, является корнем. Таким образом, уравнение имеет два корня: 0 и -4.

На простых примерах рассмотрим алгоритм решения уравнений с параметрами: область допустимых значений, область определения, общие решения, контрольные значения параметров, типы частных уравнений. Способы их нахождения будут устанавливаться в каждом виде уравнений отдельно.

На базе введенных понятий определим общую схему решения всякого уравнения F(a;x)=0 с параметром а (для случая двух параметров схема аналогична):

• устанавливаются область допустимых значений параметра и область определения;
• определяются контрольные значения параметра, разбивающие область допустимых значений параметра на области однотипности частных уравнений;
• для контрольных значений параметра соответствующие частные уравнения исследуются отдельно;
• находятся общие решения x=f₁ (a),…, f_k (a) уравнения F(a;x)=0 на соответствующих множествах А_f1,…, А_fk значений параметра;
• составляется модель общих решений, контрольных значений параметра;
• на модели выделяются промежутки значений параметра с одинаковыми общими решениями (области однотипности);
• для контрольных значений параметра и выделенных областей однотипности записываются характеристики всех типов частных уравнений
• Особое место в алгебре отводится линейным уравнениям с параметрами.

Рассмотрим несколько примеров.

1.	2х – 3 = m+1,

2х – 3 = + 4 m + 1,где m – неизвестный параметр.

Умножим обе части уравнения на 3, получим6х – 9 = m•х + 12m +3,

6х — m•х + 12m + 12,Вынесем общий множитель за скобки, получимх•(6-m) = 12(m+1),

, 6 – m ? 0, m ? 6.так как стоит в знаменателе дроби.Ответ: , при m 6.

Уравнение 2х – 3 + m (х/3 + 4) + 1 имеет множество решений, заданных формулой при всех значениях m, кроме 6.

2. , при m 2, x 1, n 0.

mx – n = 2x – 2 + 2n + 3xn,

mx – 2x – 3xn = — 2 + 2n +n,

mx – 2x – 3xn = 3n – 2,

x (m – 2 – 3n) = 3n – 2, при m 2, x 1, n 0.

Рассмотрим случай, где a = 0, тогда

m = 3n +2, при n 0

n = .

m = 3 • + 2,

x(4 – 2 – 3 ) = 3 • — 2,

x – любое число, кроме x = 1.

б) 3n – 2 0

0 • x = b. В этом случае уравнение не имеет решений.

2) a 0

m – 2 – 3n 0

m 2 + 3n.

x = , при x ? 1,

1,

3n – 2 m – 2 – 3n,

3n + 3n 2 – 2 + m,

6n m (n )

В этом случае уравнение решений не имеет.

Значит, при n = и m = 4, x – любое число, кроме 1; при n = 0, m = 6n

(n ), m = 3n + 2 (n ), m = 2 уравнение решений не имеет. Для всех остальных значения параметров x = .

Ответ: 1. n = , m = 4 – x ? R\.

2. n = 0, m = 6n (n ), m = 3n + 2 (n ), m = 2 – решений нет.

3. n 0, m 6n, m 3n + 2, m 2 – x = .

В дальнейшем предлагается рассмотреть решение задач методом составления линейных уравнений. Это сложный процесс, где надо уметь думать, догадываться, хорошо знать фактически материал.

В процессе решения каждой задачи надо четко размечать четыре этапа:

1. изучение условия задачи;
2. поиск плана решения и его составление;
3. оформление найденного решения;
4. критический анализ результата решения.

Теперь рассмотрим задачи, при решении которых применяются линейные уравнения.

1. Сплав меди и цинка содержит меди на 640 г. Больше, чем цинка. После того, как из сплава выделили 6/7 содержащейся в нем меди и 60% цинка, масса сплава оказалась равной 200 г. Какова была масса сплава первоначально?

Пусть в сплаве было х г. цинка, тогда меди (640 + х) г. после того, как выделили 6/7 меди и 60% цинка, осталось 1/7 меди и 40% цинка, т.е. 0,4 части. Зная, что масса сплава оказалась равной 200 г., составим уравнение.

1/7 (х + 640) + 0,4•х = 200,

х + 640 + 2,8•х =1400,

Значит, цинка было 200 г., а меди 840 г.

(200 + 640 = 840). 1) 200 + 840 = 1040 (г.) – масса сплава. Ответ: первоначальная масса сплава 1040 г.

2. Сколько литров 60% серной кислоты нужно прибавить к 10 л 30% кислоты, чтобы получить 40% раствор?

Пусть число литров 60% кислоты, которое прибавим х л, тогда раствора чистой кислоты будет л. А в 10 л 30% раствора чистой кислоты будет л. Зная, что в полученных (10 + х) смеси будет чистой кислоты л, составим уравнение.

+=,

60х + 300 = 40х + 400,

60х – 40х = 400 – 300,

Значит, нужно прибавить 5 л 60% кислоты.

При изучении темы “Решение линейных уравнений” рекомендуется некоторая историческая справка.

Задачи на решение уравнений первой степени встречаются еще в вавилонских клинописных текстах. В них же есть некоторые задачи, приводящие к квадратным и даже кубическим уравнениям (последние, по-видимому, решались с помощью подбора корней). Древнегреческие математики нашли геометрическую форму решения квадратного уравнения. В геометрической же форме арабский математик Омар Хайям (конец XI – начало XII века н. э.) исследовал кубическое уравнение, хотя и не нашел общей формулы для его решения. Решение кубического уравнения было найдено в начале XVI века в Италии. После того, как Сципиан дель Ферро решил один частный вид таких уравнений в 1535 году, итальянец Тарталья нашел общую формулу. Он доказал, что корни уравнения x 3 + px + q = 0 имеют вид x =.

Это выражение обычно называют формулой Кардано, по имени ученого, узнавшего ее от Тартальи и опубликовавшего в 1545 году в своей книге “Великое искусство алгебраических правил”. Ученик Кардано – молодой математик Феррари решил общее уравнение четвертой степени. После этого на протяжении двух с половиной столетий продолжались поиски формулы для решения уравнений пятой степени. В 1823 году замечательный норвежский математик Нильс Хендрик Абель (1802-1829) доказал, что такой формулы не существует. Точнее говоря, он доказал, что корни общего уравнения пятой степени нельзя выразить через его коэффициенты с помощью арифметических действий и операций извлечения корня. Глубокое исследование вопроса об условиях разрешимости уравнений в радикалах провел французский математик Эварист Галуа (1811-1832), погибший на дуэли в возрасте 21 года. Некоторые проблемы теории Галуа решил советский алгебраист И.Т.Шафаревич.

Наряду с поисками формулы для решения уравнения пятой степени велись и другие исследования в области теории алгебраических уравнений. Виета установил связь между коэффициентами уравнений и его корнями. Он доказал, что если x₁,…,x_n – корни уравнения x n + a₁x n-1 +…+a_n=0, то имеют место формулы:

Литература:

1. Журнал “Математика в школе” 6, 1999
2. Приложение к газете “Первое сентября”- математика 20, 1999.
3. С.И. Туманов “Алгебра”, пособие для учащихся 6-8 классов.
4. Н.И. Александров; И. П.Ярандай “Словарь-справочник по математике”.
5. О.Б. Епишева; В.И. Крупич “Учить школьников учиться математике”.
6. Е.И.Ямщенко “Изучение функций”.
7. А.И. Худобин; М.Ф. Шуршалов “Сборник задач по алгебре и элементарным функциям”.
8. Ш. А. Алимов, В.А. Ильин “Алгебра 6-8 классы”.

II. Линейные уравнения с параметрами уравнения приводимые к линейным

Оглавление

II. Линейные уравнения с параметрами уравнения приводимые к линейным. 4

III. Примеры простейших линейных уравнений с параметром. 6

IV. Линейные уравнения с параметром, имеющие стандартный канонический вид 9

V. Уравнения, приводимые к линейным уравнениям с параметром. 111

I. Введение

Уравнения и неравенства с параметрами являются традиционно наиболее трудными задачами курса математики. Чаще всего они встречаются в заданиях повышенной сложности, а также ученики довольно часто сталкиваются с такими заданиями на ОГЭ и ЕГЭ. В прошлом году только 13,4 % девятиклассников смогли выполнить задание 23 части С. На следующий год нам тоже предстоит сдавать ОГЭ, а данная тема вызывает наибольшее затруднение. Именно поэтому мы выбрали эту тему.

Цель

Изучение решения линейных уравнений с параметрами.

Задачи

1.Познакомиться с понятием параметра.

2.Изучить общий принцип и метод решения линейных уравнений с параметрами.

3.Рассмотреть различные виды уравнений с параметрами.

4.Научиться решать уравнения с параметрами.

Актуальность

Тема «Решение и исследование уравнений с параметрами» присутствует в материалах ОГЭ и Единого государственного экзамена. Данная тема является одной из самых трудных в курсе алгебры.. Совершенно очевидно, что к «встрече» с такими задачами надо специально готовиться.

Предмет исследования:линейные уравнения с параметром.

Объект исследования:алгоритм решения линейных уравнений с параметрами.

II. Линейные уравнения с параметрами уравнения приводимые к линейным

Параметр (от греческого “parametron” – отмеривающий) – величина, значения которой служат для различения элементов некоторого множества между собой. С использованием параметров проводятся исследования многих систем и процессов реальной жизни. В частности, в физике в качестве параметров могут выступать температура, время и др. В математике параметры вводятся для обозначения некоторой совокупности объектов. Так, уравнение + = с параметрами а, b и с определяет совокупность всех окружностей; уравнение + = 1 – всех единичных окружностей; уравнение + = – совокупность концентрических окружностей с центром в начале координат. Рассмотрим с точки зрения алгебры, как определяется уравнение с параметром.

Определение.Уравнение вида Аx=В , где А и В зависят от параметра, то есть А=А(а), В=В(а) называется линейным уравнением с параметром а.

Замечание. Уравнение, которое с помощью тождественных преобразований сводится к уравнению Аx=В, также называется линейным.

Более примитивно линейное уравнение с параметром определяется как уравнение, в запись которого, кроме неизвестных, входят числа, обозначенные буквами.

В отношении уравнений с параметром чаще всего встречаются две постановки задачи:

1) Для каждого значения параметра найти все решения заданного уравнения;

2) Найти все значения параметра, при каждом из которых решения урав- нения удовлетворяют заданным требованиям.

В качестве примера рассмотрим уравнение

1) Пусть , тогда уравнение примет вид

Решим его:

2) Пусть , тогда уравнение примет вид , решением которого является любое действительное значение .

3) Пусть , тогда уравнение примет вид . Решив его, получим, что . В этом случае уравнение не имеет решения.

Следовательно, сам факт существования решения зависит от значения

параметра .

Определение. Исследовать и решить уравнение с параметром это значит :

— найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение;

— найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, т.е. для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.