Преобразование выражений содержащих квадратные корни уравнения

Урок алгебры по теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни». 8-й класс

Класс: 8

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (690 кБ)

Цели и задачи:

• проверить теоретическую подготовку учащихся к уроку;
• проверить качество усвоения материала отдельными учащимися;
• закрепить и систематизировать знания учащихся по данной теме;
• формировать у учащихся навыки правильного воспроизведения своих знаний и умений;
• воспитать чувство коллективизма и сопереживания успехам и неудачам своих товарищей.

Ход урока

I. Организационный момент

• сообщение темы изучения материала;
• формулировка вместе с учащимися цели и задачи изучения данного материала;
• показ практической значимости изучения нового материала, мотивации учащихся к его усвоению;
• постановка перед учащимися учебной проблемы.

Слайд 1

II. Устно

Слайд 2-3

Слайд 4

2. Решить уравнение

x 2 =81	x 2 =0,36	x 2 =1
		x 2 =0

Слайд 5

3. Выполнить действия, используя формулы сокращенного умножения

III. Проверка домашнего задания

Слайд 6

е)
ж)
з)
и)
к)

Слайд 7

г)
д)
е)

Слайд 8

IV. Решение примеров

№422(а, б, в) Выполните действие:

№423(а, б, д, е). Выполните действие, используя формулы сокращенного умножения

а) (x+)(x-)=x 2 -y

№425(а-в). Выполните действия

а)
б)
в)

№428(а, б, в). Выполните действия

№426(а-г). Преобразуйте выражение

№427(а, б, в). Разложите на множители, используя формулу разности квадратов:

№428 (а, б, в). Разложите на множители выражение:

№429(а-г). Сократите дробь

V. Самостоятельная работа

Вариант 1	Вариант 2
Упростите выражение
Выполните действия
Сократите дробь

VI. Проверка самостоятельной работы

Слайд 9

Вариант 1	Вариант 2
Упростите выражение
Выполните действия
Сократите дробь
	=

VII. Задание на дом

№ 420(г-е), № 423(в, г, ж, з), № 430(г-е), № 441(а).

Способы решения задач с помощью преобразования выражений с квадратными корнями

Определение арифметического корня и его свойства

Арифметический корень из числа а>0, является таким неотрицательным числом, которое в квадрате равно а.

При извлечении квадратного корня из некоего числа в любом случае получается один результат, который больше нуля. Он и будет арифметическим корнем, имеющим ряд характерных свойств. Перечислим их:

1. Корень произведения соответствует произведению корней: a b = a · b . Приведем пример: 64 · 9 = 64 · 9 = 8 · 3 = 24
2. Корень из дроби равен корню из числителя и корню из знаменателя: a b = a b , когда a ≥ 0 , b > 0 . Приведем пример: 64 9 = 64 9 = 8 3 = 2 2 3 .
3. При возведении корня в степень необходимо возвести в данную степень подкоренное значение: a n = a n , когда a ≥ 0 . Приведем пример: 2 4 = 2 4 = 16 = 4 .

Решение задач по вынесению множителя из квадратного корня

Операция вынесения числа, то есть множителя, из-под знака корня представляет собой извлечение корня из выражения, находящегося под знаком корня. Такое выражение называют подкоренным.

При a 2 = b имеем, что b = a .

Приведем несколько примеров:

4 = 2 , так как 2 2 = 4

36 = 6 , так как 6 2 = 36

С целью упрощения вынесения чисел и множителей из-под знака квадратного корня следует ознакомиться с таблицей квадратов:

Разберем несколько наглядных примеров, с которыми можно встретиться на уроках в классе, а также при решении контрольных и проверочных работ. Вынесем множитель из-под знака корня (с объяснением) в таком выражении:

Заметим, что извлечение квадратного корня в данном случае возможно лишь из числа 25. Выполним действия:

25 × 3 = 5 2 × 3 = 5 2 × 3 = 5 × 3

Разберем другое задание для повторения темы, которое следует решать аналогичным методом. Представим, что нужно вынести корень из числа:

В первую очередь стоит разложить выражение, которое записано под знаком корня. Множителями являются числа 9 и 5. Заметим, что извлекается квадратный корень в этом случае лишь из 9. Запишем:

45 = 9 × 5 = 3 2 × 5 = 3 5

Когда под знаком корня записано выражение, то его можно вынести. Данное утверждение справедливо лишь в том случае, когда под корнем произведение. Приведем примеры:

Все, за исключением первого выражения, являются неверными. В таких случаях целесообразно сначала выполнить действия под знаком корня, а затем переходить к его извлечению. Продолжим вычисления:

Во многих задачах по алгебре и физике можно встретить выражения, для решения которых необходимо вынести из-под знака корня не число, а букву. В таком случае необходимо выполнить тождественные преобразования и преобразовать эту букву в дробь. Роль числителя при этом будет играть степень подкоренного выражения, а знаменателем является непосредственно сам корень:

Данная формула справедлива также при выполнении действий с числами. Приведем несколько типичных примеров:

a 12 4 = a 12 4 = a 3

Решение задач по внесению множителя под знак корня

На следующем этапе стоит потренироваться с внесением чисел под знак корня. Запишем некое выражение с содержанием корня:

4 6 — 2 3 · 8 = 16 · 6 — 4 · 3 · 8 = 96 — 96 = 0

Отметим, что после внесения числа под знак корня решение существенно упростилось. Рассмотрим число:

Заметим, что цифру 3 можно внести под корень. Это связано с тем, что данное число является корнем квадратным из числа 9:

С помощью записанных закономерностей получилось значительно расширить возможности при решении разнообразных заданий. Например:

3 10 — 45 · 2 = 90 — 90 = 0

Здесь важно отметить, что внесение под знак арифметического корня допускается лишь в том случае, когда число является положительным.

Разберем еще несколько примеров:

4 6 — 2 3 · 8 = 16 · 6 — 4 · 3 · 8 = 96 — 96 = 0

5 2 = 25 · 2 = 25 · 2 = 50

Решение задач по освобождению от иррациональности в знаменателе

При решении задач можно встретить примеры с дробями, в знаменателе которых записан корень или иррациональное число. В таком случае следует выполнить умножение данной дроби на какой-то член или выражение. В результате получится исключить корень. Существует несколько видов выражений, где нужно избавиться от иррациональности в знаменателе дроби. Рассмотрим наиболее распространенные из них.

Когда в знаменателе записан одночлен, следует внимательно изучить такую дробь. При отсутствии корня упростить подобное выражение не составит труда. Однако при наличии в знаменателе квадратного или другого корня необходимо выполнить умножение числителя и знаменателя на какой-нибудь одночлен, что в итоге позволит избавиться от корня. Разберем пример:

Воспользуемся записанным правилом и упростим выражение:

7 3 2 7 · 7 7 = 7 21 14 = 21 2

Когда в знаменателе дроби записан двучлен в виде суммы или разности пары одночленов, в один из которых включен корень, недопустимо выполнять умножение дроби на подобный двучлен, так как не получится исключить иррациональность:

Рассмотрим это правило на примере дроби:

Здесь в одночлене a или b имеется корень.

Попробуем упростить выражение:

( a + b ) ( a + b ) = a 2 + 2 a b + b 2

Заметим, что в составе одночлена 2ab в любом случае имеется корень а или b.

Разберем наглядный пример:

4 2 + 2 · 2 + 2 2 + 2 = 4 ( 2 + 2 ) 4 + 4 2 + 2

Заметим, что в этом случае отсутствует возможность исключить корень из знаменателя, так как в нем записан одночлен 4 2 .

При решении подобных задач следует воспользоваться понятием сопряженного двучлена, то есть такого двучлена, который состоит из аналогичных одночленов, но знак между ними противоположный. Таким образом, 2 + 2 является сопряженным для двучлена 2 — 2 . Применим данное правило к нашему выражению:

4 2 + 2 · 2 — 2 2 — 2

При умножении числителя и знаменателя дроби на сопряженный двучлен одночлены будут возведены в квадрат, что позволяет избавиться от знака корня:

( a + b ) ( a — b ) = a 2 — b 2

Заметим, что в последнем задании имеется общий множитель в числителе и знаменателе:

Таким образом, можно сократить дробь:

4 2 + 2 · 2 — 2 2 — 2 = 4 ( 2 — 2 ) 4 — 2 = 4 — 2 2

Разберем другие выражения, при решении которых нужно избавиться от иррациональности. К таким относят обратные выражения. Представим, что требуется определить выражение, которое является обратным для данного и содержит корень. В этом случае следует рационализировать полученную дробь, а затем приступать к ее упрощению. Здесь пригодятся правила, описанные ранее. Рассмотрим пример:

Запишем для этого выражения обратное. На первом шаге следует выполнить деление единицы на это выражение. В том случае, когда имеется дробь, нужно поменять местами числитель со знаменателем. Важно заметить, что какое-либо выражение достаточно просто записать в виде дроби. При этом в знаменателе будет стоять единица.

Избавимся от корня путем умножения числителя и знаменателя на некое выражение. При этом значение полученной дроби сохранится без изменений. Применительно к этой задаче, следует умножить дробь на сопряженный двучлен:

1 2 — 3 · 2 + 3 2 + 3

Упростим выражение с помощью сокращения выражения, записанного в знаменателе:

1 2 — 3 · 2 + 3 2 + 3 = 2 + 3 4 — 3 = 2 + 3

Задания для самостоятельной работы

Упростить записанное выражение:

15 2 + ( — 13 ) 2 + 3 2

Воспользуемся свойством арифметического квадратного корня и выполним необходимые вычисления:

a 2 = a , если a ≥ 0

15 2 + ( — 13 ) 2 + 3 2 = | 15 | + | — 13 | + 3 = 15 + 13 + 3 = 31

Ответ: 15 2 + ( — 13 ) 2 + 3 2 = 31

Вспомним свойства арифметического квадратного корня и выполним преобразования:

— 2 — 5 2 + 2 — 5 2 = | — 2 — 5 | + | 2 — 5 |

Вычислим модули по определению:

— 2 — 5 2 + 2 — 5 2 = | — 2 — 5 | + | 2 — 5 | = 2 + 5 + 5 — 2 = 2 5

Ответ: — 2 — 5 2 + 2 — 5 2 = 2 5

Дано выражение, которое требуется упростить:

a 4 · b 9 3 a — 2 3

Переведем показатели степеней в вид рациональных чисел. Затем выполним необходимые преобразования:

a 4 · b 9 3 a — 2 3 = a 4 — ( — 2 ) · b 9 3 1 3 = a 6 · b 3 1 3 = a 6 1 3 · b 3 1 3 = a 6 3 · b 3 3 = a 2 b

Ответ: a 4 · b 9 3 a — 2 3 = a 2 b

3 + 5 3 — 5 — 3 5 2

Здесь следует исключить иррациональность, которую можно наблюдать в первой дроби. Сделать это можно путем умножения числителя и знаменателя дроби на выражение, которое сопряжено со знаменателем, то есть на ( 3 + 5 ) . Таким образом:

3 + 5 3 — 5 — 3 5 2 = ( 3 + 5 ) ( 3 + 5 ) ( 3 — 5 ) ( 3 + 5 ) — 3 5 2 = ( 3 + 5 ) 2 ( 3 — 5 ) ( 3 + 5 ) — 3 5 2

Заметим, что дробь, которая получилась, может быть преобразована. При этом целесообразно воспользоваться формулами сокращенного умножения:

3 + 5 3 — 5 — 3 5 2 = ( 3 + 5 ) 2 ( 3 — 5 ) ( 3 + 5 ) — 3 5 2 = 3 2 + 2 · 3 · 5 + ( 5 ) 2 3 2 — ( 5 ) 2 — 3 5 2 = 9 + 6 5 + 5 9 — 5 — 3 5 2 = 14 + 6 5 4 — 3 5 2

Далее необходимо выполнить вычитание дробей, заранее приведя их к общему знаменателю:

3 + 5 3 — 5 — 3 5 2 = 14 + 6 5 4 — 3 5 2 = 14 + 6 5 — 6 5 4 = 14 4 = 3 , 5

Ответ: 3 + 5 3 — 5 — 3 5 2 = 3 , 5

Дано выражение, которое следует упростить:

27 + 2 50 · ( 5 — 2 )

Здесь следует записать выражение, расположенное под знаком корня, как:

27 + 2 50 · ( 5 — 2 ) = 25 + 2 2 · 25 + 2 · ( 5 — 2 ) = 25 + 2 · 5 2 + ( 2 ) 2 · ( 5 — 2 )

В результате получился квадрат суммы, записанный под знаком корня:

27 + 2 50 · ( 5 — 2 ) = 25 + 2 · 5 2 + ( 2 ) 2 · ( 5 — 2 ) = ( 5 + 2 ) 2 · ( 5 — 2 )

Вспомним свойство, которым обладает арифметический квадратный корень:

Применим записанную формулу:

27 + 2 50 · ( 5 — 2 ) = ( 5 + 2 ) 2 · ( 5 — 2 ) = | 5 + 2 | · ( 5 — 2 ) = ( 5 + 2 ) · ( 5 — 2 )

Заметим, что результат данных преобразований является разностью квадратов. В таком случае:

27 + 2 50 · ( 5 — 2 ) = ( 5 + 2 ) · ( 5 — 2 ) = 5 2 — ( 2 ) 2 = 25 — 2 = 23

Преобразование, упрощение выражений с корнями

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На данном уроке мы будем решать различные примеры на преобразование и упрощение выражений с корнями. На этом уроке мы рассмотрим различные примеры, которые решаются с помощью использования определения и свойств квадратного корня.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений»