Равносильные уравнения. Равносильные преобразования уравнений
Равносильными называют уравнения, имеющие одни и те же корни. Равносильными считаются также уравнения, каждое из которых не имеет корней.
- Уравнения \(x+2=7\) и \(2x+1=11\) равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень – число \(5\).
- Равносильны и уравнения \(x^2+1=0\) и \(2x^2+3=1\) — ни одно из них не имеет корней.
- А вот уравнения \(x-6=0\) и \(x^2=36\) неравносильны, поскольку первое имеет только один корень \(6\), второе имеет два корня: \(6\) и \(-6\).
Равносильные преобразования уравнений — это такие преобразования, которые приводят нас к равносильным уравнениям.
Основные равносильные преобразования уравнений:
- Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую со сменой знака слагаемого на противоположный.
Умножение или деление обеих частей уравнения на одно число или выражение не равное нулю.
Применение всех формул и свойств, которые есть в математике.
Возведение в нечетную степень обеих частей уравнения.
Извлечение корня нечетной степени из обеих частей уравнения.
Равносильные уравнения и уравнения следствия
Равносильные преобразования уравнений можно назвать «правильными» или «безошибочными» преобразованиями, потому что, сделав их, вы не нарушите математических законов. Почему тогда математики так их и не назвали: «правильные преобразования уравнений»? Потому что есть еще «полу-правильные» преобразования уравнений. В них уравнение при преобразовании приобретает дополнительные корни по ходу решения, но лишние корни мы при записи ответа не учитываем. Строгие математики их называют уравнениями следствиями:
Если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, но при этом у второго также есть корни не подходящие первому, то второе уравнение является следствием второго.
Пример (ОГЭ). Решите уравнение \(x^2-2x+\sqrt<2-x>=\sqrt<2-x>+3\)
Перенесем оба слагаемых из правой части в левую.
Взаимно уничтожим подобные слагаемые. Это и есть «полу-правильное преобразование», так как после него у уравнения становится два корня вместо изначального одного.
Это уравнение следствие из предыдущего. Найдем корни уравнения по теореме Виета .
Сверяем корни с ОДЗ и исключаем неподходящие.
\(↑\) не подходит под ОДЗ
Переходить к уравнению следствию не запрещено, но при работе с ними нужно быть осторожным и не забывать про ОДЗ .
Пример. В каких пунктах применялись равносильные преобразования, а в каких был переход к уравнению следствию? Укажите какие виды равносильных преобразований применялись.
Решение:
В пункте a) применялось равносильное преобразование 1.
В пункте b) перешли к уравнению следствию, так как \(\sqrt
В пункте с) тоже перешли к уравнению следствию, из-за того что умножили на знаменатель;
В пункте d) применялось равносильное преобразование: «Извлечения корня нечетной степени из обеих частей уравнения»;
В пункте e) умножили обе части уравнения на \(2\) т.е. равносильно преобразовали;
В пункте f) перешли от вида \(a^
Примеры неравносильных преобразований
Примеры неравносильных преобразований
Рассмотрим несколько преобразований, приводящих к следствию (чтобы такого рода преобразования стали равносильными, в большинстве случаев надо просто учесть ОДЗ в решаемой задаче).
1.Возведение уравнения вида f(x)=g(x) в чётную степень приводит, вообще говоря, к следствию:
(в последнем уравнении f (х) и g (x) могут иметь разные знаки).
2.Умножение уравнения вида на функцию, стоящую в знаменателе, приводит, вообще говоря, к следствию (снимается ограничение
3.Взаимное уничтожение одного и того же слагаемого-функции в обеих частях уравнения приводит, вообще говоря, к следствию (из-за возможного расширения ОДЗ):
4.Переход от уравнения вида к совокупности уравнений приводит, вообще говоря, к следствию:
5.Возведение иррациональных уравнений вида в чётную степень 2n с целью избавления от радикалов приводит, вообще говоря, к следствию (снимаются ограничения
6.В следующей цепочке преобразований происходит постепенное расширение ОДЗ, что, вообще говоря, может привести к появлению посторонних корней.
7.Применение операции взятия синуса к обеим частям уравнения приводит к следствию:
Например,
Замечание 1. Понятия равносильности, следствия распространяются на неравенства, системы и совокупности уравнений и неравенств.
Замечание 2. Некорректное использование в процессе решения уравнения соотношения, эквивалентного данному уравнению, вопреки расхожему мнению, может повлечь появление посторонних корней.
Пример №143.
Найти все решения иррационального уравнения вида
где f(х), g(x),h(х) — рациональные функции, определённые при всех действительных x.
Решение:
Обозначим Тогда уравнение (1) примет вид
Уравнение (3) преобразуем с учётом уравнения (1), записанного в виде равенства (2), и получим равенство
Воспользовавшись формулами сокращенного умножения, разложим левую часть последнего равенства в произведение
что эквивалентно совокупности двух уравнений
причём второе из уравнений приводится к эквивалентному виду
что, в свою очередь, равносильно системе А(х)=В(х) = -С(х). (7)
Если система уравнений (7) имеет корни, не совпадающие с корнями данного уравнения (2), то это — посторонние корни; если же эта система не имеет корней, то посторонних корней нет.
Проанализируем, за счёт чего здесь возникли посторонние корни. В самом деле, при переходе от уравнения (2) к равенству (5) предполагается, что А + В — С = 0 . Поэтому, строго говоря, уравнение (5), а также совокупность (6) необходимо дополнить этим условием. Например, совокупность (6) на самом деле должна иметь вид
Другими словами, при правильном решении дополнительных корней появиться не может. Рассмотрим конкретный пример.
Пример №144.
Решить уравнение
Решение:
Данное уравнение — иррациональное, определённое при всех действительных значениях x . Введём обозначения
и перепишем исходное уравнение в виде A(х) + В(х) = С(х), который после возведения в куб эквивалентен уравнению
Заменяя А + В на С (в этот момент возможно возникновение посторонних корней), получаем
Возвращаясь в последнем уравнении к переменной x, имеем
Осталось решить это уравнение. Приведём подобные члены, уединив кубический корень
и после этого возведём в куб
У этого кубического уравнения два корня: —1 и 0. Проверка (которую сделать необходимо!) показывает, что x = 0 — посторонний корень, поскольку не удовлетворяет исходному уравнению. Заметим, что он удовлетворяет системе (7), которая в данном примере имеет вид
Ответ:
Пример №145.
Равносильны ли уравнения
Решение:
Заметим, что пара чисел удовлетворяет первому из уравнений, но не может быть решением второго уравнения, поскольку не принадлежит его ОДЗ. С другой стороны, пара чисел удовлетворяет второму уравнению, так как в этом случае tgx = tgy = 1, но в то же время эта пара, очевидно, не является решением первого уравнения. Данное наблюдение позволяет утверждать, что данные два уравнения не сравнимы между собой (в том числе не являются равносильными).
Пример №146.
При каких значениях параметра а неравенство
является следствием неравенства
Решение:
Решением второго из неравенств является интервал (1,3). Так как при любом значении параметра число а лежит на числовой прямой левее числа а + 2, то решением первого неравенства является объединение двух промежутков Чтобы выполнялось условие задачи, множество должно содержать внутри себя интервал (1, 3). Возможны два случая.
1) Интервал (1, 3 ) целиком принадлежит интервалу
Чтобы это выполнялось, необходимо потребовать .
2) Интервал (1, 3) целиком принадлежит интервалу
В этом случае должно выполняться условие . Объединяя полученные значения параметра, приходим к ответу.
Ответ:
Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:
Эти страницы возможно вам будут полезны:
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
Равносильные уравнения, преобразование уравнений
Некоторые преобразования позволяют нам перейти от решаемого уравнения к равносильным, а также к уравнениям-следствиям, благодаря чему упрощается решение первоначального уравнения. В данном материале мы расскажем, что из себя представляют эти уравнения, сформулируем основные определения, проиллюстрируем их наглядными примерами и поясним, как именно осуществляется вычисление корней исходного уравнения по корням уравнения-следствия или равносильного уравнения.
Понятие равносильных уравнений
Равносильными называются такие уравнения, имеющие одни и те же корни, или же те, в которых корней нет.
Определения такого типа часто встречаются в различных учебниках. Приведем несколько примеров.
Уравнение f ( x ) = g ( x ) считается равносильным уравнению r ( x ) = s ( x ) , если у них одинаковые корни или у них обоих нет корней.
Уравнения с одинаковыми корнями считаются равносильными. Также ими считаются два уравнения, одинаково не имеющие корней.
Если уравнение f ( x ) = g ( x ) имеет то же множество корней, что и уравнение p ( x ) = h ( x ) , то они считаются равносильными по отношению друг к другу.
Когда мы говорим о совпадающем множестве корней, то имеем в виду, что если определенное число будет корнем одного уравнения, то оно подойдет в качестве решения и другому уравнению. Ни одно из уравнений, являющихся равносильными, не может иметь такого корня, который не подходит для другого.
Приведем несколько примеров таких уравнений.
Например, равносильными будут 4 · x = 8 , 2 · x = 4 и x = 2 , поскольку каждое из них имеет только один корень – двойку. Также равносильными будут x · 0 = 0 и 2 + x = x + 2 , поскольку их корнями могут быть любые числа, то есть множества их решений совпадают. Также равносильными будут уравнения x = x + 5 и x 4 = − 1 , каждое из которых не имеет ни одного решения.
Для наглядности рассмотрим несколько примеров неравносильных уравнений.
К примеру, таковыми будут x = 2 и x 2 = 4 , поскольку их корни отличаются. То же относится и к уравнениям x x = 1 и x 2 + 5 x 2 + 5 , потому что во втором решением может быть любое число, а во втором корнем не может быть 0 .
Определения, данные выше, подойдут и для уравнений с несколькими переменными, однако в том случае, когда мы говорим о двух, трех и более корнях, более уместно выражение «решение уравнения». Таким образом, подытожим: равносильные уравнения – это те уравнения, у которых одни и те же решения или их совсем нет.
Возьмем примеры уравнений, которые содержат несколько переменных и являются равносильными друг другу. Так, x 2 + y 2 + z 2 = 0 и 5 · x 2 + x 2 · y 4 · z 8 = 0 включают в себя по три переменных и имеют только одно решение, равное 0 , во всех трех случаях. А пара уравнений x + y = 5 и x · y = 1 равносильной по отношению друг к другу не будет, поскольку, например, значения 5 и 3 подойдут для первого, но не будут решением второго: при подстановке их в первое уравнение мы получим верное равенство, а во второе – неверное.
Понятие уравнений-следствий
Процитируем несколько примеров определений уравнений-следствий, взятых из учебных пособий.
Следствием уравнения f ( x ) = g ( x ) будет уравнение p ( x ) = h ( x ) при условии, что каждый корень первого уравнения будет в то же время корнем второго.
http://lfirmal.com/primeryi-neravnosilnyih-preobrazovanij/
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/systems/ravnosilnye-uravnenija-preobrazovanie-uravnenij/