Преобразовать дифференциальное уравнение по лапласу

Оригинал и его изображение

Назначение . Данный сервис предназначен для нахождения онлайн оригинала f(t) по изображению F(p) . Результаты вычисления оформляются в формате Word (см. пример).

• Решение онлайн
• Видеоинструкция

Таблица оригиналов и изображений Лапласа

Изображение	Оригинал
	t
	1
	e at
	sin(ωt)
	cos(ωt)
	e -at sin(ωt)
	e -at cos(ωt)
	sh(ωt)
	ch(ωt)

Начальной функцией или оригиналом называют функцию f(t) действительной переменной t , удовлетворяющей следующим условиям:

1. f(t)=0 при t 0 и s – некоторые вещественные числа, то |f(t)|≤Me st при t≥0.
2. f(t) — кусочно-непрерывная и интегрируемая на любом конечном отрезке изменения t .

Точная нижняя грань s₀ всех чисел s , для которых выполняется неравенство, называется показателем роста функции f(t) .

Теоремы запаздывания и смещения

Теорема смещения: L[e p₀t f(t)] = F(p-p₀).
Пример . (p+4)/((p+4) 2 +9) = e -4t cos(3t)

Преобразование Лапласа онлайн

Преобразованием Лапласа некоторой функции называется интегральное преобразование вида:

Функция называется оригиналом, функция — изображением. Причём является функцией комлексной переменной, т.е. .

В качестве примера, найдём изображение функции оригинала .

Для этого нам необходимо воспользоваться приведённой выше формулой и вычислить интеграл:

То, что функция является изображением функции записывается как или .

Важным свойством преобразования Лапласа является то, что если , то

Указанное свойство активно используется при решении дифференциальных уравнений поскольку позволяет сводить последние к алгебраическим.

Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha позволяет найти преобразование Лапласа практически любой, даже очень сложной функции.

Применение преобразования Лапласа к решению
линейных дифференциальных уравнений и систем

1°. Общие сведения о преобразовании Лапласа: оригинал и изображение

Функцией-оригиналом называется комплекснозначная функция действительного переменного , удовлетворяющая следующим условиям:

2) функция интегрируема на любом конечном интервале оси ;

3) с возрастанием модуль функции растет не быстрее некоторой показательной функции, т. е. существуют числа 0″ png;base64,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» /> и такие, что для всех имеем

Изображением функции-оригинала по Лапласу называется функция комплексного переменного , определяемая равенством

при s_0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />. Условие 3 обеспечивает существование интеграла (2).

Преобразование (2), ставящее в соответствие оригиналу его изображение , называется преобразованием Лапласа. При этом пишут .

Свойства преобразования Лапласа

Всюду в дальнейшем считаем, что

I. Свойство линейности. Для любых комплексных постоянных и

II. Теорема подобия. Для любого постоянного 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADEAAAAQBAMAAABNQoq8AAAALVBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACttl6nAAAADnRSTlMAAcGe2BFbQSGBMfCxcU2qjNsAAADDSURBVBjTY2AgDYgvxCHB5WyyALtM9wW2HUhcDgs4006A8TGyyprjAlCWiwCjCpDNekkzACLQrA6RYnwkwKgHZK42DVFghkq5CcBlAhi4NjOwPSuGGtMJlmJ/xMCgV8DA9JSB6yXc8kg3IMEKkelTAOo2gMv4Iuypm8DA+DoArgVkGiPQbdpgGdY3DDAXQP3DAPKPiAFjkRMbiqsZ1iWwPweGkY+RafYxEL8IJsHA5jklAeSShQysIHtYEaHD2JbKwAAA/gYrl5lLD9QAAAAASUVORK5CYII=» />

III. Дифференцирование оригинала. Если есть оригинал, то

Обобщение: если раз непрерывно дифференцируема на и если есть оригинал, то

IV. Дифференцирование изображения равносильно умножению оригинала на «минус аргумент», т.е.

V. Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на

VI. Интегрирование изображения равносильно делению на оригинала:

(предполагаем, что интеграл сходится).

VII. Теорема запаздывания. Для любого положительного числа

VIII. Теорема смещения (умножение оригинала на показательную функцию). Для любого комплексного числа

IX. Теорема умножения (Э. Борель). Произведение двух изображений и также является изображением, причем

Интеграл в правой части (14) называется сверткой функций и и обозначается символом

Теорема XI утверждает, что умножение изображений равносильно свертыванию оригиналов , т.е.

Отыскание оригиналов дробно-рациональных изображений

Для нахождения оригинала по известному изображению , где есть правильная рациональная дробь, применяют следующие приемы.

1) Эту дробь разлагают на сумму простейших дробей и находят для каждой из них оригинал, пользуясь свойствами I–IX преобразования Лапласа.

2) Находят полюсы этой дроби и их кратности . Тогда оригиналом для будет функция

где сумма берется по всем полюсам функции .

В случае, если все полюсы функции простые, т.е. , последняя формула упрощается и принимает вид

Пример 1. Найти оригинал функции , если

Решение. Первый способ. Представим в виде суммы простейших дробей

и найдем неопределенные коэффициенты . Имеем

Полагая в последнем равенстве последовательно , получаем

Находя оригиналы для каждой из простейших дробей и пользуясь свойствам линейности, получаем

Второй способ. Найдем полюсы функции . Они совпадают с нулями знаменателя . Таким образом, изображение имеет четыре простых полюса . Пользуясь формулой (17), получаем оригинал

Пример 2. Найти оригинал , если .

Решение. Данная дробь имеет полюс кратности и полюс кратности . Пользуясь формулой (16), получаем оригинал

2°. Решение задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Будем считать, что функция и решение вместе с его производньь ми до второго порядка включительно являются функциями-оригиналами. Пусть . По правилу дифференцирования оригиналов с учетом (2) имеем

Применяя к обеим частям (1) преобразование Лапласа и пользуясь свойством линейности преобразования, получаем операторное уравнение

Решая уравнение (20), найдем операторное решение

Находя оригинал для , получаем решение уравнения (18), удовлетворяющее начальным условиям (19).

Аналогично можно решить любое уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами и с начальными условиями при .

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение операторным методом

Решение. Пусть , тогда по правилу дифференцирования оригинала имеем

Известно, что поэтому, переходя отданной задачи (21)–(22) к операторному уравнению, будем иметь

Легко видеть, что функция удовлетворяет данному уравнению и начальному условию задачи.

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Так как и по условию , то операторное уравнение будет иметь вид

Отсюда находим операторное решение

Разлагаем правую часть на элементарные дроби:

Переходя к оригиналам, получаем искомое решение .

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Так как и по условию , то операторное уравнение будет иметь вид

и, следовательно, операторное решение

Разложим правую часть на элементарные дроби:

Переходя к оригиналам, получим решение поставленной задачи

3°. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Пусть требуется найти решение системы двух уравнений с постоянными коэффициентами

удовлетворяющее начальным условиям

Будем предполагать, что функции , а также и являются функциями-оригиналами.

По правилу дифференцирования оригиналов с учетом (24) имеем

Применяя к обеим частям каждого из уравнений системы (23) преобразование Лапласа, получим операторную систему

Эта система является линейной алгебраической системой двух уравнений с двумя неизвестными и . Решая ее, мы найдем и , а затем, переходя к оригиналам, получим решение системы (23), удовлетворяющее начальным условиям (24). Аналогично решаются линейные системы вида

Пример 6. Найти решение системы дифференциальных уравнений операторным методом

удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Так как и , то операторная система будет иметь вид

Решая систему, получаем

Разлагаем дроби, стоящие в правых частях, на элементарные:

Переходя к оригиналам, получим искомое решение